chuyên đề phương trình mũ và logarit

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

S雲 GIÁO D影C & AÀO T萎O A唄NG NAI
Tr逢運ng THPT BC Lê H欝ng Phong

Giáo viên th詠c hi羽n

NGUY右N T遺T THU

N
-1-


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

M影C L影C
M影C L影C.................................................................................................................................... 1
L云I M雲 A井U.............................................................................................................................. 3
I. S盈 D影NG CSC – CSN A韻 XÂY D衛NG CÁCH TÌM CTTQ C曳A M浦T S渦 D萎NG
DÃY S渦 CÓ CÔNG TH永C TRUY H唄I A咽C BI烏T. ............................................................ 4
II. S盈 D影NG PHÉP TH蔭 L姶営NG GIÁC A韻 XÁC A卯NH CTTQ C曳A DÃY S渦........... 24
III. 永NG D影NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C曳A DÃY S渦 VÀO GI謂I M浦T S渦 BÀI
TOÁN V陰 DÃY S渦 - T蔚 H営P............................................................................................... 30
BÀI T一P ÁP D影NG ................................................................................................................. 41
K蔭T LU一N – KI蔭N NGH卯...................................................................................................... 45
TÀI LI烏U THAM KH謂O ........................................................................................................ 46

-2-


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

L云I M雲 A井U
Trong ch逢挨ng trình toán h丑c THPT các bài toán liên quan 8院n dãy s嘘 là m瓜t ph亥n
quan tr丑ng c栄a 8衣i s嘘 và gi違i tích l噂p 11 , h丑c sinh th逢運ng g員p nhi隠u khó khcác bài toán liên qua 8院n dãy s嘘 và 8員c bi羽t là bài toán xác 8鵜nh công th泳c s嘘 h衣ng t鰻ng
quát c栄a dãy s嘘 . H挨n n英a 荏 m瓜t s嘘 l噂p bài toán khi 8ã xác 8鵜nh 8逢嬰c công th泳c t鰻ng
quát c栄a dãy s嘘 thì n瓜i dung c栄a bài toán g亥n nh逢 8逢嬰c gi違i quy院t. Do 8ó xác 8鵜nh công
th泳c t鰻ng quát c栄a dãy s嘘 chi院m m瓜t v鵜 trí nh医t 8鵜nh trong các bài toán dãy s嘘.
Chuyên 8隠 “Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ ”
nh茨m chia s飲 v噂i các b衣n 8欝ng nghi羽p m瓜t s嘘 kinh nghi羽m gi違i bài toán xác 8鵜nh CTTQ
c栄a dãy s嘘 mà b違n thân 8úc rút 8逢嬰c trong quá trình h丑c t壱p và gi違ng d衣y.
N瓜i dung c栄a chuyên 8隠 8逢嬰c chia làm ba m映c :
I: Sぬ dつng CSC – CSN 8あ xây dばng ph⇔￢ng pháp tìm CTTQ cてa mじt sぐ dＴng dãy sぐ
có dＴng công thとc truy hげi 8ｐc biうt.
II: Sぬ dつng ph⇔￢ng pháp thｘ l⇔ぢng giác 8あ xác 8おnh CTTQ cてa dãy sぐ
III: でng dつng cてa bài toán xác 8おnh CTTQ cてa dãy sぐ vào giＶi mじt sぐ bài toán vｚ
dãy sぐ - tご hぢp .
M瓜t s嘘 k院t qu違 trong chuyên 8隠 này 8ã có 荏 m瓜t s嘘 sách tham kh違o v隠 dãy s嘘, tuy
nhiên trong chuyên 8隠 các k院t qu違 8ó 8逢嬰c xây d詠ng m瓜t cách t詠 nhiên h挨n và 8逢嬰c s逸p
x院p t瑛 8挨n gi違n 8院n ph泳c t衣p giúp các em h丑c sinh n逸m b逸t ki院n th泳c d宇 dàng h挨n và
phát tri吋n t逢 duy cho các em h丑c sinh.
Trong quá trình vi院t chuyên 8隠, chúng tôi nh壱n 8逢嬰c s詠 8瓜ng viên, giúp 8叡 nhi羽t
thành c栄a BGH và quý th亥y cô t鰻 Toán Tr逢運ng THPT BC Lê H欝ng Phong. Chúng tôi

xin 8逢嬰c bày t臼 lòng bi院t 挨n sâu s逸c.
Vì nmong quý Th亥y – Cô và các b衣n 8欝ng nghi羽p thông c違m và góp ý 8吋 chuyên 8隠 8逢嬰c t嘘t
h挨n.

-3-


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

M浦T S渦 PH姶愛NG PHÁP XÁC A卯NH
CÔNG TH永C T蔚NG QUÁT C曳A DÃY S渦
I. S盈 D影NG CSC – CSN A韻 XÂY D衛NG CÁCH TÌM CTTQ C曳A M浦T S渦
D萎NG DÃY S渦 CÓ CÔNG TH永C TRUY H唄I A咽C BI烏T.
Trong m映c này chúng tôi xây d詠ng ph逢挨ng pháp xác 8鵜nh CTTQ c栄a m瓜t s嘘 d衣ng dãy
s嘘 có công th泳c truy h欝i d衣ng 8員c bi羽t. Ph逢挨ng pháp này 8逢嬰c xây d詠ng d詠a trên
các k院t qu違 8ã bi院t v隠 CSN – CSC , k院t h嬰p v噂i ph逢挨ng pháp ch丑n thích h嬰p. Tr逢噂c h院t
chúng ta nh逸c l衣i m瓜t s嘘 k院t qu違 8ã bi院t v隠 CSN – CSC .
1. S嘘 h衣ng t鰻ng quát c栄a c医p s嘘 c瓜ng và c医p s嘘 nhân
1.1: S嘘 h衣ng t鰻ng quát c栄a c医p s嘘 c瓜ng
Aおnh ngh a: Dãy s嘘 'tm ( có tính ch医t tm = tm −0 + c ∀m ≥ 1 , c là s嘘 th詠c không 8鰻i
g丑i là c医p s嘘 c瓜ng .
c : g丑i là công sai c栄a CSC; t0 : g丑i s嘘 h衣ng 8亥u, tm g丑i là s嘘 h衣ng t鰻ng quát c栄a c医p s嘘
Aおnh lí 1: Cho CSC 'tm ( . Ta có : tm = t0 + 'm − 0(c

(1).

Aおnh lí 2: G丑i Rm là t鰻ng n s嘘 h衣ng 8亥u c栄a CSC 'tm ( có công sai d. Ta có:

m
Z1t0 + 'm − 0(c ¥
(2).
1
1. 2: S嘘 h衣ng t鰻ng quát c栄a c医p s嘘 nhân
Aおnh ngh a: Dãy s嘘 'tm ( có tính ch医t tm +0 = p-tm äää∀m ∈ ) g丑i là c医p s嘘 nhân công
b瓜i p .
Rm =

m −0
Aおnh lí 3: Cho CSN 'tm ( có công b瓜i p . Ta có: tm = t0p
(3).

Aおnh lí 4: G丑i Rm là t鰻ng n s嘘 h衣ng 8亥u c栄a CSN 'tm ( có công b瓜i p . Ta có:
0 , pm
Rm = t0
0 ,p

(4).

-4-


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

2. Áp d映ng CSC – CSN 8吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a m瓜t s嘘 d衣ng dãy s嘘 8員c bi羽t
Ví dつ 1.1: Xác 8鵜nh s嘘 h衣ng t鰻ng quát c栄a dãy s嘘 'tm ( 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i:
t0 = 0+ ätm = tm −0 − 1äääääää∀m ≥ 1 .

Gi違i:
Ta th医y dãy 'tm ( là m瓜t CSC có công sai c = −1 . Áp d映ng k院t qu違 (1) ta có:
tm = 0 − 1'm − 0( = −1m + 2 .

Ví dつ 1.2: Xác 8鵜nh s嘘 h衣ng t鰻ng quát c栄a dãy s嘘 'tm ( 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i:
t0 = 2+ ätm = 1tm −0 äääääää∀m ≥ 1 .

Gi違i:
Ta th医y dãy 'tm ( là m瓜t CSN có công b瓜i p = 1 . Ta có: tm = 2-1m −0 .
Ví dつ 1.3: Xác 8鵜nh s嘘 h衣ng t鰻ng quát c栄a dãy 'tm ( 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i:
t0 = −1+ äätm = 2tm −0 − 0äääääää∀m ≥ 1 .

Gi違i:
Trong bài toán này chúng ta g員p khó khth医y dãy 'tm ( không ph違i là CSN vì xu医t hi羽n h茨ng s嘘 −0 荏 VT. Ta tìm cách làm m医t
−0 8i và chuy吋n dãy s嘘 v隠 CSN.
2 0
Ta có: −0 = − + nên ta vi院t công th泳c truy h欝i c栄a dãy nh逢 sau:
1 1
0
2
0
tm − = 2tm −0 − = 2'tm −0 − ( (1).
1
1
1
0
4
A員t um = tm − µ u0 = − và um = 2um −0 ää∀m ≥ 1 . Dãy 'um ( là CSN công b瓜i p = 2

1
1
4
0
4
0
∀m = 0+1+---+-- .
µ um = u0-p m −0 = − -2m −0 . V壱y tm = um + = − -2m +
1
1
1
1
2 0
Nhｆn xét: M磯u ch嘘t 荏 cách làm trên là ta phân tích −0 = − + 8吋 chuy吋n công th泳c
1 1
truy h欝i c栄a dãy v隠 (1), t瑛 8ó ta 8員t dãy ph映 8吋 chuy吋n v隠 dãy 'um ( là m瓜t CSN. Tuy
nhiên vi羽c làm trên có v飲 không t詠 nhiên l逸m! Làm th院 nào ta bi院t phân tích
2 0
−0 = − + ? Ta có th吋 làm nh逢 sau:
1 1

-5-


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

Ta phân tích −0 = j − 2j µ j =

0
.
1

ÊÍt = w /
.
V噂i cách làm này ta xác 8鵜nh 8逢嬰c CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë 0
=
+
∀
≥
t
`t
a
m
äää
1
ÍÌ m
m −0
Th壱t v壱y:
* N院u ` = 0 thì dãy 'tm ( là CSC có công sai c = a nên tm = t0 + 'm − 0(a .
`a
a
. Khi 8ó công th泳c truy h欝i c栄a dãy 8逢嬰c vi院t nh逢
−
` −0 ` −0
a
a
a
a

sau: tm +
= `'tm −0 +
( , t瑛 8ây ta có 8逢嬰c: tm +
= 't0 +
(` m −0
` −0
` −0
` −0
` −0
` m −0 − 0
Hay tm = t0` m −0 + a
.
` −0
V壱y ta có k院t qu違 sau:

* N院u ` ≠ 0 , ta vi院t a =

D衣ng 1: Dãy s嘘 'tm ( 9 t0 = w / + ätm = `tm −0 + a ä∀m ≥ 1 (`+a ≠ / là các h茨ng s嘘) có
CTTQ là:
Êt0 + 'm − 0(a äääääjghääää` = 0
Í
tm = Ë
äää .
` m −0 − 0
m −0
+a
ääjghä` ≠ 0
Ít0-`
Ì
` −0

Ví dつ 1.4: Xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( 8逢嬰c xác 8鵜nh : t0 = 1: ätm = 1tm −0 + 2m − 0 .
Gi違i: A吋 tìm CTTQ c栄a dãy s嘘 ta tìm cách làm m医t 2m − 0 8吋 chuy吋n v隠 dãy s嘘 là m瓜t
CSN. Mu嘘n làm v壱y ta vi院t :
2m − 0 = −2m − 4 + 1 ÇÉ2'm − 0( + 4Ú (2).
Khi 8ó công th泳c truy h欝i c栄a dãy 8逢嬰c vi院t nh逢 sau:
tm + 2m + 4 = 1 ÇÉtm + 2'm − 0( + 4 Ú .

A員t um = tm + 2m + 4 , ta có: u0 = 0/ và um = 1um −0 ä∀m ≥ 1 µ um = u0-1m −0 = 0/-1m −0
V壱y CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 tm = um − 2m − 4 = 4-1m − 2m − 4ää∀m = 0+1+ 2+--- .
Chú ý : 1) A吋 phân tích 8逢嬰c 8鰯ng th泳c (2), ta làm nh逢 sau:

-6-


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

ÊÍ` − a = 1
ÊÍ` = −2
⇔Ë
2m − 0 = `m + a − 1 ÇÉ`'m − 0( + a Ú . Cho m = 0: m = 1 ta có: Ë
.
−
=
=
−
a
4
a

4
ÍÌ
ÌÍ
ÊÍt
2) Trong tr逢運ng h嬰p t鰻ng quát dãy tm 9 Ë 0
, trong 8ó e 'm (
t
`t
e
m
m
'
(ää
1
=
+
∀
≥
m −0
ÌÍ m
là m瓜t 8a th泳c b壱c j theo m , ta xác 8鵜nh CTTQ nh逢 sau:
Phân tích e 'm ( = f'm ( − `f'm − 0( (3) v噂i f'm ( c ng là m瓜t 8a th泳c theo m . Khi 8ó ta

( )

có: tm − f'm ( = ` ÇÉtm −0 − f'm − 0(Ú = --- = ` m −0 ÇÉt0 − f'0(Ú
V壱y ta có: tm = ÇÉt0 − f '0(Ú ` m −0 + f 'm ( .

V医n 8隠 còn l衣i là ta xác 8鵜nh f'm ( nh逢 th院 nào ?
Ta th医y :

*N院u ` = 0 thì f'm ( − `f'm − 0( là m瓜t 8a th泳c có b壱c nh臼 h挨n b壱c c栄a f'm ( m瓜t b壱c và
không ph映 thu瓜c vào h羽 s嘘 t詠 do c栄a f'm ( , mà e 'm ( là 8a th泳c b壱c j nên 8吋 có (3) ta
ch丑n f'm ( là 8a th泳c b壱c j + 0 , có h羽 s嘘 t詠 do b茨ng không và khi 8ó 8吋 xác 8鵜nh f'm (
thì trong 8鰯ng th泳c (3) ta cho j + 0 giá tr鵜 c栄a m b医t kì ta 8逢嬰c h羽 j + 0 ph逢挨ng trình,
gi違i h羽 này ta tìm 8逢嬰c các h羽 s嘘 c栄a f'm ( .
* N院u ` ≠ 0 thì f'm ( − `f'm − 0( là m瓜t 8a th泳c cùng b壱c v噂i f'm ( nên ta ch丑n f'm ( là
8a th泳c b壱c j và trong 8鰯ng th泳c (3) ta cho j + 0 giá tr鵜 c栄a m thì ta s胤 xác 8鵜nh 8逢嬰c
f'm ( .
V壱y ta có k院t qu違 sau:
ÊÍt = w /
, trong
D衣ng 2: A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i: Ë 0
ÍÌtm = `-tm −0 + e 'm (
8ó e 'm ( là m瓜t 8a th泳c b壱c j theo m ; ` là h茨ng s嘘. Ta làm nh逢 sau:
Ta phân tích: e 'm ( = f'm ( − `-f'm − 0( v噂i f'm ( là m瓜t 8a th泳c theo m . Khi 8ó, ta 8員t
um = tm − f'm ( ta có 8逢嬰c: tm = ÇÉt0 − f'0(Ú ` m −0 + f'm ( .
L逢u ý n院u ` = 0 , ta ch丑n f'm ( là 8a th泳c b壱c j + 0 có h羽 s嘘 t詠 do b茨ng không, còn n院u
` ≠ 0 ta ch丑n f'm ( là 8a th泳c b壱c j .

ÊÍt = 1
Ví dつ 1.5: Cho dãy s嘘 'tm ( 9 Ë 0
. Tìm CTTQ c栄a dãy 'tm ( .
=
+
+
t
t
1
m
0

ÍÌ m
m −0

Gi違i: Ta phân tích 1m + 0 = f'm ( − f'm − 0( = ` Çm 1 − 'm − 0(1 + a ÇÉm − 'm − 0(Ú
É
Ú
-7-


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

( trong 8ó f'm ( = `m 1 + am ).
ÊÍ −` + a = 0
Cho m = /+ m = 0 ta có h羽: Ë
⇔
2
`
a
+
=
ÌÍ

ÊÍ` = 0
µ f'm ( = m 1 + 1m .
Ë
1
a
=

ÌÍ

µ tm = m 1 + 1m − 0 .

ÊÍt0 = 0
.Tìm CTTQ c栄a dãy 'tm ( .
Ví dつ 1.6: Cho dãy s嘘 'tm ( 9 Ë
m
t
2
t
1
ä:ää
m
1+
2+--=
+
=
ÍÌ m
m −0

Gi違i: Ta v磯n b逸t ch逢噂c cách làm trong các ví d映 trên, ta phân tích:
1m = `-1m − 2`-1m −0 . Cho m = 0 , ta có: ` = −1 µ 1m = −1-1m + 2-1-1m −0
Nên ta có: tm + 1-1m = 2'tm −0 + 1-1m −0 ( = --- = 2m −0't0 + 3(
V壱y tm = 4-2m −0 − 1m +0 .
Chú ý : Trong tr逢運ng h嬰p t鰻ng quát dãy 'tm ( 9 tm = `-tm −0 + a-α m , ta phân tích

α m = j -α m − `j -α m −0 v噂i '` ≠ α ( .

(

)

(

Khi 8ó: tm − ja-α m = ` tm −0 − ja-α m −0 = --- = ` m −0 t0 − aj

)

Suy ra tm = ` m −0't0 − aj ( + aj -α m .
Tr逢運ng h嬰p α = ` , ta phân tích α m = m-α m − α 'm − 0(-α m −0

(

)

µ tm − am-α m = α tm −0 − a'm − 0(-α m −0 = --- = α m −0't0 − aα (

µ tm = a'm − 0(α m + t0α m −0 . V壱y ta có k院t qu違 sau.
ÊÍt0
D衣ng 3: A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë
, ta làm nh逢
m
=
+
∀
≥
α
ä
1

t
`
t
a
m
ÍÌ m
m −0
sau:
•ä N院u ` = α µ tm = a'm − 0(α m + t0α m −0 .

•ä N院u ` ≠ α , ta phân tích α m = j -α m − `j -α m −0 . Khi 8ó: tm = ` m −0't0 − aj ( + aj -α m
Ta tìm 8逢嬰c: j =

α
α −`

.

-8-


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

ÊÍt0 = −1
Ví dつ 1.7: Tìm CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë
.
m
m

=
+
−
+
=
t
4
t
1-2
5-6
01ä:ä
m
1+
2+---ä
ÍÌ m
m −0
Ê
2
ÍÍj = −
1
Ë
6
Ík =
ÍÌ
1
H挨n n英a 01 = −2 + 4-2 nên công th泳c truy h欝i c栄a dãy 8逢嬰c vi院t l衣i nh逢 sau:

ÊÍ2m = j -2m − 4j -2m −0
Gi違i: Ta có: Ë m
cho m = 0 , ta 8逢嬰c:

m
m −0
=
−
6
k
-6
4
k
-6
ÍÌ

(

)

tm + 2-2m + 10-6m + 2 = 4 tm −0 + 2-2m −0 + 10-6m −0 + 2 = --- = 4m −0't0 + 8 + 036 + 2(

V壱y tm = 046-4m −0 − 2m +0 − 2-6m +0 − 2 .
ÊÍt0 = 0
.
Ví dつ 1.8: Tìm CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë
m
t
1
t
2
m
:
ää

m
1
=
+
−
∀
≥
ÍÌ m
m −0

ÊÍ2m = 2-2m − 1-2-2m −0
Gi違i: Ta phân tích: Ë
nên ta vi院t công th泳c truy h欝i c栄a dãy
Ç
1
1
'
0(
1
=
−
−
+
−
+
m
m
m
É
Ú

ÌÍ
nh逢 sau: tm − 2-2m − m − 1 = 1 Çtm −0 − 2-2m −0 − 'm − 0( − 1 = --- = 1m −0't0 − 01(
É
Ú

V壱y tm = −00-1m −0 + 2m +0 + m + 1 .
ÊÍt0 = o
, trong
D衣ng 4: A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë
m
α
'
(:
ää
1
t
`
t
a
e
m
m
=
+
+
∀
≥
ÍÌ m
m −0

8ó e 'm ( là 8a th泳c theo m b壱c j , ta phân tích α m và e 'm ( nh逢 cách phân tích 荏 d衣ng 2
và d衣ng 3.
Ví dつ 1.9: Xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 t/ = −0+ t0 = 2+ ätm = 4tm −0 − 5tm − 1 ä∀m ≥ 1Gi違i: A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy s嘘 trên, ta thay th院 dãy 'tm ( b茨ng m瓜t dãy s嘘 khác là
m瓜t CSN. Ta vi院t l衣i công th泳c truy h欝i c栄a dãy nh逢 sau:

-9-


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

ÊÍw + w 1 = 4
tm − w0-tm −0 = w 1 'tm −0 − w0tm − 1 ( , do 8ó ta ph違i ch丑n w 0+ w 1 9 Ë 0
hay w0+ w 1 là
=
w
w
5
ÍÌ 0 1

nghi羽m ph逢挨ng trình : w 1 − 4w + 5 = / ⇔ w = 1: w = 2 . Ta ch丑n w 0 = 1: w 1 = 2 . Khi 8ó:
tm − 1tm −0 = 2'tm −0 − 1tm − 1 ( = --- = 2m −0't0 − 1t / ( = 4-2m −0

µ tm = 1tm −0 + 4-2m −0 . S穎 d映ng k院t qu違 d衣ng 3, ta tìm 8逢嬰c: tm = 4-2m − 5-1m .
Chú ý : T逢挨ng t詠 v噂i cách làm trên ta xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i:
ÊÍt / : ät0
, trong 8ó `+a là các s嘘 th詠c cho tr逢噂c và ` 1 − 3a ≥ /
Ë
ÍÌtm − `-tm −0 + a-tm − 1

nh逢 sau:

G丑i w0+ w 1 là hai nghi羽m c栄a ph逢挨ng trình : w 1 − `w + a = /äää'3( ( ph逢挨ng trình này
8逢嬰c g丑i là ph逢挨ng trình 8員c tr逢ng c栄a dãy).
Khi 8ó: tm − w0-tm −0 = w 1 'tm −0 − w0-tm − 1 ( = --- = w 1m −0't0 − w0-t/ ( .
S穎 d映ng k院t qu違 c栄a d衣ng 3, ta có các tr逢運ng h嬰p sau:
w -t − t0 m t0 − w -t/ m
w0 +
w 1 . Hay tm = j -w0m + k -w 1m , trong 8ó
•ä N院u w0 ≠ w 1 thì tm = 1 /
w 1 − w0
x −w
ÊÍj + k = t/
j+ k là nghi羽m c栄a h羽: Ë
.
w
j
+
w
k
=
t
ÍÌ 0
1
0
Çt `
`t
•ä N院u w0 = w 1 = α thì tm = α m −0 È / + 't0 − / (m Ù , hay tm = 'jm + k (α m −0 , trong
1
ÈÉ 1

ÙÚ
ÊÍk = α -t/
8ó j+ k là nghi羽m c栄a h羽: Ë
.
+
=
j
k
t
0
ÌÍ
V壱y ta có k院t qu違 sau:

ÊÍt : ät
, trong
D衣ng 5: A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( : Ë / 0
t
`
t
a
t
/ää
m
1
−
+
=
∀
≥
m −0

m −1
ÍÌ m

8ó `+ a+ b là các s嘘 th詠c khác không; ` 1 − 3a ≥ / ta làm nh逢 sau:
G丑i w 0+ w 1 là nghi羽m c栄a ph逢挨ng trình 8員c tr逢ng: w 1 − `w + a = / .

- 10 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

ÊÍj + k = t/
•ä N院u w 0 ≠ w 1 thì tm = j -w0m + k -w 1m , trong 8ó j+ k là nghi羽m c栄a h羽 : Ë
.
+
=
w
j
w
k
t
ÍÌ 0
1
0
ÊÍk = α -t /
•ä N院u w 0 = w 1 = α thì tm = 'jm + k (α m −0 , trong 8ó j+ k là nghi羽m c栄a h羽: Ë
.
+

=
j
k
t
ÍÌ
0
ÊÍt = 0: t0 = 1
Ví dつ 1.10: Cho dãy s嘘 tm 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i : Ë /
.
=
+
∀
≥
t
t
t
m
3
ää
0
ÍÌ m + 0
m
m −0
Hãy xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( .

( )

Gi違i:
Ph逢挨ng trình w 1 − 3w − 0 = / có hai nghi羽m w0 = 1 + 4: äw 1 = 1 − 4 .
ÊÍj + k = 0

µ tm = j -w0m + k -w 1m . Vì t / = 0: t0 = 1 nên ta có h羽: Ë
ÍÌ'1 + 4(j + '1 − 4(k = 1
0
0
V壱y tm = Ç'1 + 4(m + '1 − 4(m .
⇔j =k = .
Ú
1
1É

ÊÍt = 0: t0 = 2
Ví dつ 1.11: Xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy: 'tm ( 9 Ë /
.
ÍÌtm − 3tm −0 + 3tm − 1 = /ä∀m = 1+ 2+--Gi違i:

Ph逢挨ng trình 8員c tr逢ng w 1 − 3w + 3 = / có nghi羽m kép w = 1 nên tm = 'jm + k (1m −0
ÊÍk = 1
⇔ j = 0: k = 1 .
Vì t / = 0: t0 = 2 nên ta có h羽: Ë
ÍÌj + k = 2

V壱y tm = 'm + 1(1m −0 .
ÊÍt/ = −0: t0 = 2
. Xác 8鵜nh
Ví dつ 1.12: Cho dãy 'tm ( 9 Ë
1
ÍÌtm − 4tm −0 + 5tm − 1 = 1m + 1m + 0: äää∀m ≥ 1
CTTQ c栄a dãy 'tm ( .

Gi違i:

V噂i cách làm t逢挨ng t詠 nh逢 Ví dつ 1.4, ta phân tích: 1m 1 + 1m + 0 =
- 11 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

= 'jm 1 + km + s ( − 4 Çj 'm − 0(1 + k 'm − 0( + s + 5 Çj 'm − 1(1 + k 'm − 1( + s (5)
É
Ú
É
Ú
Ê08j − 6k + 1s = 0
Êj = 0
Í
Í
雲 (5) cho m = /: m = 0: m = 1 ta có h羽: Ë6j − 4k + 1s = 4 ⇔ Ëk = 7 .
Í −j − 2k + 1s = 02
Ís = 08
Ì
Ì

A員t um = tm − m 1 − 7m − 08 µ u/ = −1/: u0 = −14 và um − 4um −0 + 5um − 1 = /
ÊÍα + β = −1/
ÊÍα = 04
⇔Ë
µ um = α -2m + β -1m . Ta có h羽: Ë
ÍÌ2α + 1β = −14
ÍÌ β = −24

µ um = 04-2m − 24-1m µ tm = 04-2m − 24-1m + m 1 + 7m + 08 .
ÊÍt : t
Chú ý : A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy s嘘: 'tm ( 9 Ë / 0
,
ÍÌtm + 0 + `-tm + a-tm −0 = e 'm (ä:ä∀m ≥ 1

( trong 8ó e 'm ( là 8a th泳c b壱c j theo m và ` 1 − 3a ≥ / ) ta làm nh逢 sau:
•ä Ta phân tích e 'm ( = f'm ( + `f'm − 0( + af'm − 1( (6) r欝i ta 8員t um = tm − f'm (
ÊÍu = t/ − f'/(: u0 = t0 − f'0(
Ta có 8逢嬰c dãy s嘘 'um ( 9 Ë /
. Aây là dãy s嘘 mà ta 8ã xét
u
`u
au
/ä
m
1
+
+
=
∀
≥
m −0
m −1
ÍÌ m
trong d衣ng 5. Do 8ó ta s胤 xác 8鵜nh 8逢嬰c CTTQ c栄a um µ tm .
•ä V医n 8隠 còn l衣i là ta xác 8鵜nh f'm ( nh逢 th院 nào 8吋 có (6) ?
Vì e 'm ( là 8a th泳c b壱c j nên ta ph違i ch丑n f'm ( sao cho f'm ( + `f'm − 0( + af'm − 1( là
m瓜t 8a th泳c b壱c j theo m . Khi 8ó ta ch雨 c亥n thay j + 0 giá tr鵜 b医t kì c栄a m vào (6) ta s胤

xác 8鵜nh 8逢嬰c f'm ( .

Gi違 s穎 f'm ( = `l m l + `l −0m l −0 + --- + `0m + ` / '`l ≠ / ) là 8a th泳c b壱c l . Khi 8ó h羽
s嘘 c栄a w l và w l −0 trong VP là: `l -'0 + ` + a( và ÇÉ −'` + 1a(l-`l + '0 + ` + a(`l −0 Ú .
Do 8ó :
h ( N院u PT: w 1 + `w + a = / (1) có nghi羽m hai nghi羽m phân bi羽t khác 0 thì
0 + ` + a ≠ / nên VP(6) là m瓜t 8a th泳c b壱c l .
hh ( N院u PT (1) có hai nghi羽m phân bi羽t trong 8ó có m瓜t nghi羽m w = 0 µ 0 + ` + a = /

và −'` + 1a(l-`l + '0 + ` + a(`l −0 = −'` + 1a (-l-`l ≠ / nên VP(6) là m瓜t 8a th泳c b壱c
l −0 .
hhh ( N院u PT (1) có nghi羽m kép w = 0 µ ` = −1:a = 0 nên VP(6) là m瓜t 8a th泳c b壱c
l − 1.
V壱y 8吋 ch丑n f'm ( ta c亥n chú ý nh逢 sau:
- 12 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

¬ N院u (1) có hai nghi羽m phân bi羽t, thì f'm ( là m瓜t 8a th泳c cùng b壱c v噂i e 'm (
¬ N院u (1) có hai nghi羽m phân bi羽t, trong 8ó m瓜t nghi羽m b茨ng 0 thì ta ch丑n
f'm ( = m-g'm ( trong 8ó g'm ( là 8a th泳c cùng b壱c v噂i e 'm ( .
¬ N院u (1) có nghi羽m kép w = 0 thì ta ch丑n f 'm ( = m 1 -g 'm ( trong 8ó g'm ( là 8a th泳c
cùng b壱c v噂i e 'm ( .
ÊÍt : t
,
D衣ng 6: A吋 tìm CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë / 0
t

`
t
a
t
e
'
m
(ä:ä
m
1
+
+
=
∀
≥
ÍÌ m
m −0
m −1

( trong 8ó e 'm ( là 8a th泳c theo m b壱c j và a 1 − 3`b ≥ / ) ta làm nh逢 sau:
Xét f'm ( là m瓜t 8a th泳c b壱c j : f'm ( = `j m j + --- + `0j + ` / .

•ä N院u ph逢挨ng trình : w 1 + `w + a = /ä'0( có hai nghi羽m phân bi羽t, ta phân tích
e 'm ( = f'm ( + `f'm − 0( + af'm − 1( r欝i 8員t um = tm − f'm ( .
•ä N院u (1) có hai nghi羽m phân bi羽t trong 8ó m瓜t nghi羽m w = 0 , ta phân tích
e 'm ( = m-f'm ( + `'m − 0(f'm − 0( + a'm − 1(f'm − 1( r欝i 8員t um = tm − m-f'm ( .
•ä N院u (1) có nghi羽m kép w = 0 , ta phân tích
e 'm ( = m 1 -f'm ( + `'m − 0(1 -f'm − 0( + a'm − 1(1 -f'm − 1( r欝i 8員t um = tm − m 1 -f'm ( .

ÊÍt = 0: t0 = 3

Ví dつ 1.13: Xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë /
.
ÍÌtm − 2tm −0 + 1tm − 1 = 1m + 0ä∀m ≥ 1
Gi違i:
Vì ph逢挨ng trình w 1 − 2w + 1 = / có hai nghi羽m w = 0: w = 1 nên ta phân tích
1m + 0 = m'jm + k ( − 2'm − 0( ÇÉj 'm − 0( + k Ú + 1'm − 1( ÇÉj 'm − 1( + k Ú , cho m = /: m = 0 ta
ÊÍ4j − k = 0
có h羽: Ë
⇔ j = −0:k = −5 .
ÍÌ2j − k = 2
A員t um = tm + m'm + 5( µ u/ = 0: u0 = 00 và um − 2um −0 + 1um −1 = /

ÊÍα + β = 0
µ um = α -1m + β -0m v噂i α + β 9 Ë
⇔ α = 0/: β = −8
α
β
1
00
+
=
ÍÌ
µ um = 0/-1m − 8 µ tm = 4-1m +0 − m 1 − 5m − 8ää∀m = /+0+1+--- .

- 13 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

ÊÍt/ = −0: t0 = 2
Ví dつ 1.14: Tìm CTTQ c栄a dãy s嘘 'tm ( 9 Ë
.
m
t
3
t
2
t
4-1
ää
m
1
−
+
=
∀
≥
ÍÌ m
m −0
m −1

Gi違i: Ta phân tích 1m = `-1m − 3`-1m −0 + 2`-1m − 1 .
Cho m = 1 ta có: 3 = 3` − 7` + 2` ⇔ ` = −3
A員t um = tm + 4-3-1m µ u/ = 08: u0 = 32 và um − 3um −0 + 2um − 1 = /
Vì ph逢挨ng trình w 1 − 3w + 2 = / có hai nghi羽m w = 0+ w = 2 nên um = α -2m + β -0m
ÊÍα + β = 08
V噂i α + β 9 Ë
⇔ α = 01: β = 6 µ um = 01-2m + 6 .

ÍÌ2α + β = 32

V壱y tm = 3-2m +0 − 4-1m + 1 + 6ää∀m = 0+1+--- .
Chú ý : V噂i ý t逢荏ng cách gi違i trên, ta tìm CTTQ c栄a dãy s嘘 'tm ( 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i:
ÊÍt / : t0
(v噂i ` 1 − 3a ≥ / ) nh逢 sau:
Ë
m
ÍÌtm + `-tm −0 + a-tm − 1 = b-α ää∀m ≥ 1

Ta phân tích α m = jα m + `-j -α m −0 + a-j -α m − 1 (7).
Cho m = 1 thì (7) tr荏 thành: j 'α 1 + `-α + a( = α 1
T瑛 8ây, ta tìm 8逢嬰c j =

α1
1

α + `α + a

khi α không là nghi羽m c栄a ph逢挨ng trình :

w 1 + `w + a = / (8).
ÊÍu = t/ − jb: u0 = t0 − jbα
Khi 8ó, ta 8員t um = tm − jb-α m , ta có dãy 'um ( 9 Ë /
u + `-um −0 + aum − 1 = /ää∀m ≥ 1
ÌÍ m

µ um = o-w 0m + p-w 1m ää'w0+ w 1 là hai nghi羽m c栄a (8)).
µ tm = o-w 0m + p-w 1m + jb-α m .

V壱y n院u w = α là m瓜t nghi羽m c栄a (8), t泳c là: α 1 + `α + a = / thì ta s胤 x穎 lí th院 nào ?
Nhìn l衣i cách gi違i 荏 d衣ng 3, ta phân tích :

α m = jm-α m + `-j 'm − 0(α m −0 + aj 'm − 1(α m − 1

(9).

Cho m = 1 ta có: α j '1α + ` ( = α 1 ⇔ j '1α + ` ( = α ⇔ j =

`
α
ää'α ≠ − ( .
1α + `
1

µ '1( có nghi羽m j ⇔ α là nghi羽m 8挨n c栄a ph逢挨ng trình (8).

Khi 8ó: µ tm = o-w0m + p-w 1m + jbm-α m .
- 14 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

`
là nghi羽m kép c栄a (8). V噂i t逢 t逢荏ng nh逢 trên,
1
ta s胤 phân tích: α m = jm 1 -α m + `-j 'm − 0(1 α m −0 + aj 'm − 1(1 α m − 1 (10).

Cu嘘i cùng ta xét tr逢運ng h嬰p w = α = −

Cho m = 1 ta có: '0/( ⇔ α 1 = 3j -α 1 + `j -α µ j =

α
0
= .
3α + ` 1

0
Khi 8ó: µ tm = o-w 0m + p-w 1m + bm 1 -α m .
1
V壱y ta có k院t qu違 sau:

ÊÍt / : t0
D衣ng 7: Cho dãy s嘘 'tm ( xác 8鵜nh b荏i: Ë
.
m
ÍÌtm + `-tm −0 + a-tm − 1 = b-α :ä∀m ≥ 1
A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( ta làm nh逢 sau:

Xét ph逢挨ng trình : w 1 + `w + a = /ä'00(
•ä N院u ph逢挨ng trình (11) có hai nghi羽m phân bi羽t khác α thì
tm =

o-w0m

+ p-w 1m

α1

m

+ jb-α v噂i j =

•ä N院u ph逢挨ng trình (11) có nghi羽m 8挨n w = α thì

α 1 + `α + a

tm = o-w 0m + p-w 1m + jbm-α m v噂i j =

.

α
.
1α + `

0
•ä N院u w = α là nghi羽m kép c栄a (11) thì : tm = 'o + pm + bm 1 (-α m .
1

ÊÍt/ = −0: t0 = 2
Ví dつ 1.15: Xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë
.
m
t
4
t
5
t

4-1
ä
m
1
−
+
=
∀
≥
ÍÌ m
m −0
m −1

Gi違i:
Ph逢挨ng trình w 1 − 4w + 5 = / có hai nghi羽m w0 = 1: w 1 = 2 , do 8ó
tm = o-1m + p-2m + 4jm-1m .

- 15 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

Ê
α
1
=
= −1
Íj =

α
+
−
1
3
4
`
Í
⇔ j = −1: o = −15: p = 14 .
V噂i Ë o + p = −0
Í1o + 2p + 0/j = 2
Í
Ì

V壱y tm = −15-1m + 14-2m − 0/m-1m = 14-2m − 1m +0'4m + 02( ∀m = 0+1+--- .
ÊÍt/ = 0: t0 = 2
Ví dつ 1.16: Tìm CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë
m .
t
3
t
3
t
2-1
−
+
=
ÍÌ m
m −0
m −1

Gi違i:

Ph逢挨ng trình w 1 − 3w + 3 = / có nghi羽m kép w = 1 nên tm = 'o + pm +

2 1 m
m (1
1

ÊÍ o = 0
⇔ o = 0: p = −0 .
D詠a vào t / + t0 ta có h羽: Ë
+
=
o
p
/
ÍÌ

V壱y tm = '2m 1 − 1m + 1(1m −0 ä∀m = 0+1+--- .
V噂i cách xây d詠ng t逢挨ng t詠 ta c ng có 8逢嬰c các k院t qu違 sau:
ÊÍt + t + t
.A吋 xác 8鵜nh CTTQ
D衣ng 8: Cho dãy (un ) : Ë / 0 1
t
`t
at
bt
/ä
m
2

+
+
+
=
∀
≥
m −0
m −1
m −2
ÍÌ m

c栄a dãy ta xét ph逢挨ng trình: w 2 + `w 1 + aw + b = / (12) .
•ä N院u (12) có ba nghi羽m phân bi羽t w0+ w 1 + w 2 µ tm = α w0m + β w 1m + γ w 2m . D詠a vào

t/ + t0+ t1 ta tìm 8逢嬰c α + β + γ .
•ä N院u (12) có m瓜t nghi羽m 8挨n, 1 nghi羽m kép:

w0 = w 1 ≠ w 2 µ tm = 'α + β m (w0m + γ -w 2m
D詠a vào t / + t0+ t1 ta tìm 8逢嬰c α + β + γ .
•ä N院u (12) có nghi羽m b瓜i 3 w0 = w 1 = w 2 µ tm = 'α + β m + γ m 1 (w0m .

D詠a vào t / + t0+ t1 ta tìm 8逢嬰c α + β + γ .
ÊÍt = /+ t1 = 0+ t2 = 2+
Ví dつ 1.17: Tìm CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë 0
ÍÌtm = 6tm −0 − 00-tm − 1 + 4-tm − 2 + ää∀m ≥ 3
- 16 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

Gi違i : Xét ph逢挨ng trình 8員c tr逢ng : w 2 − 6w 1 + 00w − 4 = /
Ph逢挨ng trình có 3 nghi羽m th詠c: w0 = w 1 = 0+ äw 2 = 4
V壱y `m = α + β m + γ 4m
Cho m = 0+ äm = 1+ äm = 2 và gi違i h羽 ph逢挨ng trình t衣o thành, ta 8逢嬰c

α=−
V壱y an = −

0
2
0
+ äβ = + ä γ =
05
3
05

1 3
1
+ ( n − 1) + .5n −1 .
16 4
16

ÊÍt = 1: äätm = 1tm −0 + um −0
ä∀m ≥ 0 .
Ví dつ 1.18: Tìm CTTQ c栄a dãy s嘘 'tm (+'um ( 9 Ë /
u
0:
äää

u
t
1
u
=
=
+
ÍÌ /
m
m −0
m −0
Gi違i:
Ta có: tm = 1tm −0 + tm − 1 + 1um − 1 = 1tm −0 + tm − 1 + 1'tm −0 − 1tm − 1 (

µ tm = 3tm −0 − 2tm − 1 và t0 = 4
0 + 2m +0
−0 + 2m +0
µ um = tm +0 − 1tm =
.
1
1
T逢挨ng t詠 ta có k院t qu違 sau:

T瑛 8ây, ta có: tm =

ÊÍw = ow m −0 + pxm −0 :äääw0
D衣ng 9: Cho dãy 'w m (+'xm ( 9 Ë m
. A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a hai dãy
=
+

x
qx
rw
:äää
x
ÍÌ m
m −0
m −0
0
'wm (+'xm ( ta làm nh逢 sau:

Ta bi院n 8鰻i 8逢嬰c: w m − 'o + r (w m −0 + 'or − pq (w m − 1 = / t瑛 8ây ta xác 8鵜nh 8逢嬰c w m ,
thay vào h羽 8ã cho ta có 8逢嬰c xm .
Chú ý : Ta có th吋 tìm CTTQ c栄a dãy s嘘 trên theo cách sau:
Ê
p − λq
xm −0 (
ÍÍw m − λxm = 'o − λr ('w m −0 −
λ
r
o
−
Ta 8逢a vào các tham s嘘 ph映 λ , λ ' µ Ë
p + λ &q
Íw + λ & x = 'o + λ & r ('w
+
x (
m
m
m −0

o + λ & r m −0
ÌÍ

- 17 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

Ê
p − λq
ÍÍλ =
λr − o µ ÍÊw m − λxm = 'o − λr ('w m −0 − λxm −0 (
Ta ch丑n λ , λ ' sao cho Ë
Ë
ÍÌw m + λ & xm = 'o + λ & r ('w m −0 + λ & xm −0 (
Íλ & = p + λ & q
λ &r + o
ÌÍ
ÊÍw − λx = 'o − λr (m −0'w − λx (
m
m
0
0
gi違i h羽 này ta tìm 8逢嬰c ( xn ) , ( yn ) .
Ë
m −0
ÍÌw m + λ & xm = 'o + λ & r ( 'w0 + λ & x0 (
Êt0 = 0

Í
1tm −0
Ví dつ 1.19: Tìm CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë
.
t
ää
m
1
=
∀
≥
Í m 2t
+3
Ì
m −0

Gi違i: Ta có

2t
+3 2
0
0
0
. A員t w m =
, ta có:
= m −0
= +1
1tm −0
1
tm

tm
tm −0

Êw0 = 0
4-1m −0 − 2
1
Í
µ
w
=
µ
t
=
.
Ë
2
m
m
m −0
1
w
w
1
=
+
−2
4-1
Í m
m −0
Ì

1
Êt0 = 1
Í
−8tm −0 − 13
Ví dつ 1.20: Tìm CTTQ c栄a dãy s嘘 'tm ( 9 Ë
.
ää∀m ≥ 1
Ítm = 4t
+ 02
Ì
m −0

Gi違i: Bài toán này không còn 8挨n gi違i nh逢 bài toán trên vì 荏 trên t穎 s嘘 còn h羽 s嘘 t詠 do,
do 8ó ta tìm cách làm m医t h羽 s嘘 t詠 do 荏 trên t穎 s嘘. Mu嘘n v壱y ta 8逢a vào dãy ph映 b茨ng
cách 8員t tm = wm + s . Thay vào công th泳c truy h欝i, ta có:
wm + s =

−8w m −0 − 8s − 13
4w m −0 + 4s + 02

µ wm =

'−8 − 4s (wm −0 − 4s 1 − 11s − 13
4w m −0 + 4s + 02

Ta ch丑n s 9 4s 1 + 11s + 13 = / µ s = −1 µ w0 = 3
µ wm =

0
2

0
00-2m −0 − 0/
3
µ
=4+
µ
=
µ wm =
+2
3
wm
w m −0
wm
00-2m −0 − 0/

w m −0
4wm −0

µ tm = w m − 1 =

−11-2m −0 + 13
m −0

00-2

− 0/

.

- 18 -

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

D衣ng 10: Cho dãy ( tm ): t0 = α : ätm =

otm −0 + p
qtm −0 + r

ää∀m ≥ 1 . A吋 tìm CTTQ c栄a dãy (xn)

ta làm nh逢 sau:
A員t tm = w m + s , thay vào công th泳c truy h欝i c栄a dãy ta có:
wm =

ow m −0 + os + p
qtm −0 + qs + r

−s =

'o − qs (w m −0 − qs 1 + 'o − r (s + p
qw m −0 + qs + r

(13).

Ta ch丑n s 9 qs 1 + 'r − o(s − p = / . Khi 8ó ta chuy吋n (13) v隠 d衣ng:
T瑛 8ây ta tìm 8逢嬰c

0
0
=`
+a
wm
w m −0

0
, suy ra tm .
wm

ÊÍt = 1
Ví dつ 1.21: Xác 8鵜nh CTTQ c栄a hai dãy s嘘 'tm (+'um ( 9 Ë 0
và
ÍÌu0 = 0
ÊÍt = t 1 + 1u 1
m
m −0
m −0 ää∀m ≥ 1 .
Ë
ÍÌum = 1tm −0um −0
Gi違i:
1
1
1
Ê
ÍÊtm = tm −0 + 1um −0
Ítm + 1um = 'tm −0 + 1um −0 (
µË
Ta có: Ë

1
=
1
u
1
1
t
u
ÍÌ
ÍÌtm − 1um = 'tm −0 − 1um −0 (
m
m −0 m −0
m −0
Ê
1m − 0
= '1 + 1(1
Ítm + 1um = 't0 + 1u0 (
µË
m −0
m −0
Ítm − 1um = 't0 − 1u0 (1
= '1 − 1(1
Ì
Ê
0Ç
1m −0
1m − 0
=
+
+

−
'1
1(
'1
1(
t
ÍÍ m
ÙÚ
1 ÈÉ
µË
.
m −0
m −0
0 Ç
1
1
Íum =
− '1 − 1(
È'1 + 1(
ÙÚ
1 1É
ÌÍ

- 19 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ
1

ÊÍt = t 1 + 1u 1
tm tm1 −0 + 1um1 −0
0
0
m
m
−
m
−
µ
=
Nh壱n xét: T瑛 Ë
1
u
t
u
=
1tm −0um −0
u
ÍÌ m
m −0 m −0
m

Do v壱y n院u ta 8員t w m =

tm
um

à tm −0 Ô

ÄÄ
ÕÕ + 1
u
= Å m −0 Ö
Ãt
Ô
1 Ä m −0 Õ
Äu
Õ
Å m −0 Ö

Êw0 = 1
Í
ta 8逢嬰c dãy s嘘 'wm ( 9 Ë
w m1 −0 + 1 . Ta có bài toán sau:
Íw m =
1w m −0
Ì

Êw0 = 1
Í
.
Ví dつ 1.22: Xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy s嘘 'wm ( 9 Ë
w m1 −0 + 1
=
∀
≥
w
ää
m

1
Í m
1w m −0
Ì

Gi違i:
1
1
ÍÊt0 = 1 ÊÍtm = tm −0 + 1um −0
ää∀m ≥ 1 .
Xét hai dãy 'tm (+'um ( 9 Ë
và Ë
=
u
0
=
u
1
t
u
ÍÌ m
m −0 m −0
ÌÍ 0
t
Ta ch泳ng minh w m = m (14).
um

•ä m = 1 µ w 1 =
•ä Gi違 s穎 w m −0 =

t1
u1

= 1 µ m = 1 (14) 8úng.

tm −0
um −0

µ wm =

w m1 −0 + 1
1w m −0

=

tm1 −0 + 1um1 −0
1tm −0um −0

=

tm
um

µ '03( 8逢嬰c ch泳ng

minh
m −0

Theo k院t qu違 bài toán trên, ta có: w m = 1

'1 + 1(1

1m − 0

'1 + 1(

m −0

+ '1 − 1(1

1m − 0

.

− '1 − 1(

D衣ng 11:
0(ä T瑛 hai ví d映 trên ta có 8逢嬰c cách tìm CTTQ c栄a hai dãy s嘘 'tm (+'um ( 8逢嬰c xác 8鵜nh
ÊÍt = t 1 + `-u 1 ä:ät = α
m −0
m −0
0
b荏i: Ë m
(trong 8ó ` là s嘘 th詠c d逢挨ng) nh逢 sau:
=
=
β
u
1
u

t
ääääää:ä
u
ÍÌ m
m −0 m −0
0

- 20 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ
1
1
1
Ê
ÍÊtm = tm −0 + `-um −0
Ítm + `tm −0 = 'tm −0 + `tm −0 (
µË
Ta có: Ë
1
ÍÌ ` -um = 1 ` -um −0tm −0 ä
ÍÌtm − `tm −0 = 'tm −0 − `tm −0 (
m −0
Ê
0Ç
1m − 0
+ 'α − β ` (1 Ù
ÍÍtm = È'α + β ` (

1É
Ú .
µË
0 Ç
1m − 0
1m − 0
Íum =
+
−
−
α
β
α
β
'
(
'
(
`
`
È
ÙÚ
ÍÌ
1 ` É

Êw0 = α
Í
1(ä Áp d映ng k院t qu違 trên ta tìm 8逢嬰c CTTQ c栄a dãy 'wm ( 9 Ë
w m1 −0 + ` .
Íw m =

1w m −0
Ì
ÊÍt = t 1 + `-u 1 ä:ät = α
0
m −0
m −0
Xét hai dãy 'tm (+'um ( 9 Ë m
ÍÌum = 1um −0tm −0 ääääää:äu0 = 0

Khi 8ó: w m =

tm
um

m −0

= `

'α + ` (1

1m − 0

'α + ` (

m −0

+ 'α − ` (1

1m − 0

.

+ 'α − ` (

Êt0 = 0
Í
Ví dつ 1.23: Cho dãy 'tm ( 9 Ë
. Tìm tm ?
1
=
+
−
∀
≥
t
4
t
13
t
7
ä
m
1
ÍÌ m
m −0
m −0

Gi違i:
Ta có: t1 = 8: t2 = 78: t3 = 770 . Gi違 s穎: tm = wtm −0 + xtm − 1
ÊÍ8w + x = 78

µË
⇔
78
w
8
x
770
+
=
ÌÍ

ÊÍw = 0/
. Ta ch泳ng minh: tm = 0/tm −0 − tm − 1 ∀m ≥ 2
Ë
x
0
=
−
ÌÍ

T瑛 công th泳c truy h欝i c栄a dãy ta có: 'tm − 4tm −0 (1 = 13tm1 −0 − 7
⇔ tm1 − 0/tm tm −0 + tm1 −0 + 7 = / '04( thay m b荏i m − 0 , ta 8逢嬰c:
tm1 − 1 − 0/tm − 1tm −0 + tm1 −0 − 7 = / '05( .

T瑛 '04(+'05( µ tm − 1 + tm là hai nghi羽m c栄a ph逢挨ng trình : s 1 − 0/tm −0s + tm1 −0 − 7 = /
Áp d映ng 8鵜nh lí Viet, ta có: tm + tm − 1 = 0/tm −0 .
V壱y tm =

5 −1
1 5

(

4−1 5

m −0

)

+

5 +1
1 5

(

4+1 5

m −0

)

.
- 21 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

DＴng 12:
Êt0 = 0
Í
0(ä Dãy 'tm ( 9 Ë
là dãy nguyên ⇔ ` = 13 .
1
=
+
−
∀
≥
t
4
t
`t
7
ää
m
1
ÍÌ m
m −0
m −0

Th壱t v壱y: t1 = 4 + ` − 7 = 4 + s ( s = ` − 7 ∈

) µ t2 = 4 + 's 1 + 7('s + 4(1 − 7

µ t2 ∈ | ⇔ e 's ( = 's 1 + 7('s + 4(1 − 7 = l 1 ää'l ∈ |( .

Mà 's 1 + 4s + 3(1 < e 's ( < 's 1 + 4s + 03(1 k院t h嬰p v噂i e 's ( là s嘘 ch印n ta suy ra

{

}

l = s 1 + 4s + w v噂i w ∈ 5+ 7+0/+01 . Th穎 tr詠c ti院p ta th医y s = 3 µ ` = 13 .

Êt0 = α
Í
1(ä V噂i dãy s嘘 'tm ( 9 Ë
, v噂i ` 1 − a = 0 ta xác 8鵜nh
1
ÍÌtm = `tm −0 + atm −0 + b ää∀m ≥ 1
CTTQ nh逢 sau:

T瑛 dãy truy h欝i µ 'tm − `tm −0 (1 = atm1 −0 + b ⇔ tm1 − 1`tm tm −0 + tm1 −0 − b = /
Thay m b荏i m − 0 , ta có: tm1 − 1 − 1`tm −0tm − 1 + tm1 −0 − b = / µ tm + tm − 1 = 1`tm −0 .
Êt0 = α
ÍÍ
tm −0
2(ä V噂i dãy 'tm ( 9 Ë
,trong 8ó α > /: ` > 0 ; ` 1 − a = 0 ta
ää∀m ≥ 1
tm =
Í
` + btm1 −0 + a
ÍÌ
xác 8鵜nh CTTQ nh逢 sau:

Ta vi院t l衣i công th泳c truy h欝i d逢噂i d衣ng:

0
`
a
0
=
+ b+
. A員t w m =
tm
tm tm −0
tm1 −0

Ta có tm = `tm −0 + aw m1 −0 + b 8ây là dãy mà ta 8ã xét 荏 trên.

Êt0 = t1 = 0
Í
Ví dつ 1.24: Cho dãy 'tm ( 9 Ë
. Tìm tm ?
tm1 −0 + 1
=
∀
≥
t
ää
m
1
Í m
tm − 1
Ì

Gi違i:
Ta có: t 2 = 2: t3 = 00: t4 = 30 . Ta gi違 s穎 tm = wtm −0 + xtm −1 + y .T瑛 t2 = 2: t3 = 00:
- 22 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

Êw + x + y = 2
Í
t4 = 30 ta có h羽 ph逢挨ng trình: Ë2w + x + y = 00 ⇔
Í00w + 2x + y = 30
Ì
ÊÍt = t1 = 0
Ta ch泳ng minh 'tm ( 9 Ë 0
.
ÍÌtm = 3tm −0 − tm − 1 ää∀m ≥ 2
•ä V噂i m = 2 µ t2 = 3t1 − t0 = 2 µ m = 2 8úng

Êw = 3
Í
Ëx = −0 µ tm = 3tm −0 − tm − 1
Íy = /
Ì

•ä Gi違 s穎 tj = 3tj −0 − tj − 1 . Ta có:

tj +0 =

=

tj1 + 1
tj −0

1

( 3tj −0 − tj −1 )
=
tj −0

+1

=

05tj1 −0 − 7tj −0tj − 1 + tj −0tj − 2
tj −0

05tj1 −0 − 7tj −0tj − 1 + tj1 − 1 + 1
tj −0

= 05tj −0 − 7tj −1 + tj − 2

= 3'3tj −0 − tj − 1 ( − '3tj − 1 − tj − 2 ( = 3tj − tj −0

Theo nguyên lí quy n衣p ta có 8pcm µ tm =

2 +0
1 2

(

1− 2

m −0

)

+

2 −0
1 2

(

1+ 2

m −0

)

- 23 -

.


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

II. S盈 D影NG PHÉP TH蔭 L姶営NG GIÁC A韻 XÁC A卯NH CTTQ C曳A DÃY S渦
Nhi隠u dãy s嘘 có công th泳c truy h欝i ph泳c t衣p tr荏 thành 8挨n gi違n nh運 phép th院 l逢嬰ng giác.
Khi trong bài toán xu医t hi羽n nh英ng y院u t嘘 g嬰i cho ta nh噂 8院n nh英ng công th泳c l逢嬰ng
giác thì ta có th吋 th穎 v噂i ph逢挨ng pháp th院 l逢嬰ng giác. Ta xét các ví d映 sau
Ê
0
Ít0 =
Ví dつ 2.1: Cho dãy 'tm ( 9 Ë
. Xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 'tm ( .
1
1
Ít = 1tm −0 − 0ää∀m ≥ 1
Ì m
Gi違i:
T瑛 công th泳c truy h欝i c栄a dãy, ta liên t逢荏ng 8院n công th泳c nhân 8ôi c栄a hàm s嘘 côsin
0
π
π
1π
Ta có: t0 = = bnr µ t1 = 1 bnr1 − 0 = bnr
1
2
2
2
1π
3π
7π
µ t2 = 1 bnr1
− 0 = bnr
µ t3 = bnr

....
2
2
2
1m −0 π
. Th壱t v壱y
Ta ch泳ng minh tm = bnr
2

11 −0 π
1π
= bnr
(8úng)
•ä V噂i m = 1 µ t1 = bnr
2
2
m −0
1m − 1 π
π
1m −0 π
1
1 1
µ tm = 1tm −0 − 0 = 1 bnr
− 0 = bnr
•ä Gi違 s穎 tm −0 = bnr
2
2
2
m −0
1 π

V壱y tm = bnr
∀m ≥ 0 .
2
ÊÍt0
D衣ng 13: A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy s嘘 'tm ( 9 Ë
ta làm nh逢
1
=
−
∀
≥
1
0ää
1
t
t
m
ÍÌ m
m −0
sau:

•ä N院u { t0 {≤ 0 , ta 8員t t0 = bnr α . Khi 8ó ta có: tm = bnr 1m −0α .

0
0
'` + ( ( trong 8ó ` ≠ / và cùng d医u v噂i t0 ).
1
`
0
0

0
0
0
0
Khi 8ó t1 = '` 1 + 1 + ( − 0 = '` 1 + ( µ t2 = '` 3 + ( ....
1
1
1
`1
`1
`3
•ä N院u { t0 {> 0 ta 8員t t0 =

- 24 -


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ

0 1m −0
0
'`
+ m −0 (ää∀m ≥ 0 . Trong 8ó ` là nghi羽m (cùng d医u
1
`1
v噂i t0 ) c栄a ph逢挨ng trình : ` 1 − 1t0` + 0 = / . Vì ph逢挨ng trình này có hai nghi羽m có
tích b茨ng 0 nên ta có th吋 vi院t CTTQ c栄a dãy nh逢 sau
Ç
1m − 0

1m − 0
0 ÈÃ
Ô
Ã
Ô
1
1
Ù.
tm = Ä t0 − t0 − 0 Õ
+ Ä t0 + t0 − 0 Õ
È
Ù
1 Å
Ö
Å
Ö
É
Ú

Ta ch泳ng minh 8逢嬰c tm =

Ê
2
Ít0 =
Ví dつ 2.2: Xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy s嘘 'tm ( 9 Ë
.
1
2
Ít = 3t
− 2tm −0 ää∀m ≥ 1

m −0
Ì m
Gi違i:

2
π
π
π
21 π
2π
= bnr µ t1 = 3 bnr
− 2 bnr = bnr 2 µ t2 = bnr
.....
Ta có: t0 =
1
5
5
5
5
5
2m −0 π
B茨ng quy n衣p ta ch泳ng minh 8逢嬰c: tm = bnr
.
5
D衣ng 14:
ÊÍt0 = o
0(ä A吋 tìm CTTQ c栄a dãy 'tm ( 9 Ë
, ta làm nh逢 sau
2
=

−
∀
≥
3
2
ä
1
t
t
t
m
ÍÌ m
m −0
m −0
•ä N院u { o {≤ 0 µ ∃α ∈ ÇÉ /: π Ú 9 bnr α = o .

Khi 8ó b茨ng quy n衣p ta ch泳ng minh 8逢嬰c : tm = bnr 2m −0α .
•ä N院u { o {> 0 , ta 8員t t0 =

0Ã
0Ô
`
+
Ä
Õ (` cùng d医u v噂i t0 )
1Å
`Ö

B茨ng quy n衣p ta ch泳ng minh 8逢嬰c tm =

0 Ã 2m −0
0
+ m −0
Ä`
1 ÄÅ
`2

Ô
Õ.
Õ
Ö

Ç
2m − 0
2m − 0
0 ÈÃ
Ô
Ã
Ô
1
1
Ù.
+ Ä t0 + t0 − 0 Õ
Hay tm = Ä t0 − t0 − 0 Õ
È
Ù
1 Å
Ö
Å
Ö

É
Ú
1(ä T瑛 tr逢運ng h嬰p th泳 hai c栄a bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ c栄a dãy s嘘

- 25 -