Phương pháp chuẩn hoá trong số phức

PHƢƠNG PHÁP CHUẨN HÓA TRONG SỐ PHỨC
Ví dụ 1: Cho số phức z  a  bi  0 sao cho z không phải là số thực và w 
thực. Tính

z

z
là số
1  z3

2
2

1 z

.

1
2a  1
2
B.
a2

1
3a  2
1
D.
2a  2

A.

C.

Lời giải:
Chuẩn hóa: : Vì w là số thực nên ta chọn w  1 
2

z
 1  z  0,6624  0, 5623i
1  z3

2

0,6624  0, 5623i
1
1
Suy ra



0
2
2
2a  1 1  0,6624  0, 5623i
2.0,6624  1
1 z
z

Vậy đáp án là A
Bình luận: Vì w là số thực nên ta chọn w là số bất kì kh{c 0 l| đƣợc. Ngoài ra ta còn
c{ch truy ngƣợc đ{p {n v| chuẩn hóa số phức z nhƣng c{ch n|y chậm hơn ^_^

Ví dụ 2: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z  w  2 z  w . Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức u 

z
. Tính a 2  b 2  ?
w

1
2
7
B.
2

1
8
1
D.
4

A.

C.

Lời giải:
Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:






2
2
2
2

 z  1  2 z
1
 x  1  y  4 x  y

 1  4 x2  y 2  y 2   x2

2
2
4
 x  1  y  1
 z  1  1

Thay vào PT2 ta được:  x  1 
2

dò được x 





1
 x2  1 . Dùng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE ta
4

1
15
1
15
1
15
y
z 
iu 
i
8
8
8
8
8
8

Bình luận: z, w là các số phức không cố định nên ta chọn bất kì thỏa yêu cầu đề là
đƣợc, ngoài ra ta có thể chuẩn hóa số phức z.
Ví dụ 3: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z  w  5 z  w . Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức u  z.w . Tính a 2  b 2  ?
1
A.
50
1
B.
25

1

100
1
D.
10

C.

Lời giải:
Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:





 x  12  y 2  25 x 2  y 2

1 3 11
1 3 11
1
 z 1  5 z


z

iu

i  a2  b2 

2
2

50
50
50
50
25


 z 1  1
 x  1  y  1

Ví dụ 4: Cho z1 ,z2 ,z3 là các số phức thoả mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  1 . Biểu
thức P  z12n1  z22n1  z32n1 ,  n 



 nhận giá trị nào sao đây?

A. 1
C. 1

B. 0
D. 3
Lời giải:

Chuẩn hóa: n  1, z1  1, z2  i , z3  i Suy ra đáp áp A


Ví dụ 5: Cho z1 ,z2 ,z3 là các số phức thoả mãn z1  z2  z3  1 . Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1

B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1

C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1

D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1
Lời giải:

Chuẩn hóa: z1  i , z2  i , z3  1 suy ra đáp án A
Ví dụ 6: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Tính giá trị
của biểu thức P  z12  z22  z32 .
B. 1
D. 2

A. 0
C. 1
Lời giải:
Chuẩn hóa: z1 

1
3
1
3

i , z2  
i , z3  1 Suy ra P  0
2 2
2 2

Ví dụ 7: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1  z2  z3  1999

và z1  z2  z3  0 . Tính giá trị chủa biểu thức P 

z1 z2  z2 z3  z3 z1
.
z1  z2  z3

A. P  1999

C. P  999,5

B. P  1999 2

D. P  5997
Lời giải:

Chuẩn hóa: z1  1999; z2  1999; z3  1  i 1999 2  1 suy ra P  1999
Ví dụ 8: Cho các số phức a , b , c , z thỏa az 2  bz  c  0  a  0  . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai
nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức
2

2

P  z1  z2  z1  z2  2  z1  z1 

A. P  2

c
a

2

C. P  4

c
a


B. P 

c
a

1 c
2 a

D. P  .

Lời giải:

1
 z1   

2
Chuẩn hóa: a  b  c  1  
z   1 
 2
2

3
i

2  P  4 . Đáp án C thỏa P  4
3
i
2

Ví dụ 9: Nếu z không phải là số thực đồng thời

1
có phần thực bằng 4 thì môđun
z z

của z là?
1
12
1
D.
16

1
8
1
B.
6

A.

C.

Lời giải:
 Thử đ{p án:

 Đ{p {n A:
Với z 

1
17
1
17
1
i
, chọn x   y  
, do đó z  
9
72
9 72
8

Thay z vào ta được

1
 4  4 17i ( thỏa yêu cầu đề bài có phần thưc bằng 4 )
z z

Vậy đáp án là A
Ví dụ 10: Nếu hai số thức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1 và z1 .z2  1 thì số phức

w

z1  z2
có phần ảo bằng?
1  z1 z2

A. 0
B. 1

C. 1
D. Lớn hơn 1
Lời giải:

Chuẩn hóa: z1  i ; z2  1 do đó w 

i 1
 1 suy ra phần ảo của w bằng 0
1  i.1

Vậy đáp án là A

Ví dụ 11: Cho số phức z  a  bi  a , b 



 thỏa mãn điều kiện



z 2  4  2 z . Đặt

P  8 b 2  a 2  12 . Mệnh đề nào sau đây đúng?









A. P  z  2
B. P  z  4

 
D. P   z  4 

2

2

C. P  z  2

2

2

2

2

Lời giải:





2



Ta có: z 2  4  2 z  a2  b2  4  4a 2 b2  4 a 2  b2



Chọn b  0  a2  4



2



 a  1
. Thay a, b vào P
 4a2  a  1  i 3 suy ra z  1  i 3  
b  3

ta được P  4
Thay z  1  i 3 vào đáp án C ta được kết quả là 4. Vậy đáp án là C
Ví dụ 12: Cho các số phức z1 , z2  0  a , b 
giá trị của biểu thức P 
A.

2
2

 thỏa mãn điều kiện

z1
z
 2 .
z2
z1

C.

3

2 1
1
. Tính
 
z1 z2 z1  z2


B.

2

D.

3 2
2

Lời giải:
Chuẩn hóa: z1  1  2 

P

1
1

 z2  0, 5  0, 5i
z2 z2  1

1
0, 5  0, 5i 3 2


0, 5  0, 5i
1
2

Ví dụ 13: Cho số phức z  a  bi  0 sao cho z không phải là số thực và w 
thực. Tính

z
1 z

2

z
là số

1  z2

.

1
5
1
B.
3

A.

C.

1
2

D. 1
Lời giải:

Chuẩn hóa: Vì w là số thực nên ta chọn w  1 

Suy ra

z
1 z

2

0, 5  0, 5 3i



1  0, 5  0, 5 3i

2



z
 1  z  0, 5  0, 5 3i
1  z2

1
2

Ví dụ 14: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1  z2  z1  z2  1 . Tính giá trị
2

z  z 
của biểu thức P   1    2 
 z2   z1 
A. 1
B. 1  i

2

C. 2
D. 1  i

Lời giải:

1
3
i
 z1  

2
2
Chuẩn hóa: 
 P  1
z   1  3 i
 2
2 2

Ví dụ 15: Nếu z không phải là số thực đồng thời

z
2

z  z 1

là số thực thì môđun của z

là?
C. 1
D. 3

C. 2

D. 4
Lời giải:

 Thử đ{p {n:
 Đ{p {n A:
Với z  1 , chọn x 

Thay z vào ta được

1
3
1
3
y
i
, do đó z  
2
2
2 2

z
2

z  z 1

 1 ( thỏa yêu cầu đề bài là số thực)

Vậy đáp án là A
Ví dụ 16: Cho các số phức z1 , z2  0  a , b 
Giá trị của biểu thức P 

 thỏa mãn điều kiện

2016 2017
2018
.


z1
z2
z1  z2

z1
z
 2 gần nhất với giá trị nào sau đây?
z2
z1

A. 1
B. 4

C. 2
D. 3
Lời giải:


Ví dụ 17: Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn z1  z2  1 và z1  z2  2 . Tính

1
1

z1  z2
2
2
ĐỀ THI THỬ SỞ ĐÀ NẴNG
A.
B.

2
2

1
2

C.

2
4

D.

3
3

Lời giải:
Chuẩn hóa: Chọn z1  1 , z2  x  yi ta được:
2
2

2
 x  1  y  2

  x  1  1  x2  2 . Dùng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE ta
 2
2

x  y  1

được z2  i 

1
1
1 1
2
z1  z2   i 
2
2
2 2
2

Ví dụ 18: Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn z1  z2  5 . Biết tập hợp các điểm biểu
diễn số phức z sao cho z  z1  2 z  z2 là một đường tròn. Tính bán kính R của đường
tròn đó.
A.

ĐỀ THI THỬ CHUYÊN BẮC NINH
14
C.
3
10
D.
3

8
3

B. 10
Lời giải:
Chuẩn hóa: chọn z1  3; z2  2 , z  x  yi ta được:

2


11 
 10 
z  z1  2 z  z2   x  3   y  4  x  2   4 y   x    y 2   
3

 3
2

2

2

2

2


Vậy R 

10
3