Sử dụng bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác

Header Page 1 of 133.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

VŨ VĂN THƯỞNG

SỬ DỤNG BỔ ĐỀ TRỘI CHỨNG MINH
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 133.


Header Page 2 of 133.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

VŨ VĂN THƯỞNG – C00458

SỬ DỤNG BỔ ĐỀ TRỘI CHỨNG MINH
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2016

1
Footer Page 2 of 133.

Thang Long University Library


Header Page 3 of 133.

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ................................................................................................ 01
Mục lục.......................................................................................................... 02
Lời cam đoan ................................................................................................. 04
Tóm tắt luận văn............................................................................................ 05
MỞ ĐẦU....................................................................................................... 06
Chương 1. KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG
MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1 KHÁI NIỆM TRỘI................................................................................. 08
1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.................................................................................... 08
1.2 HÀM LỒI SHUR..................................................................................... 08
1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 ................................................................................... 08
1.2.2 Định nghĩa 1.2.2 ................................................................................... 08
1.2.3 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi, hàm lõm..................................... 09
1.2.3.1 Tính chất 1.......................................................................................... 09
1.2.3.2 Tính chất 2.......................................................................................... 09

1.2.4 Định nghĩa 1.2.3 ................................................................................... 10
1.2.4.1 Bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923) ........................................10
1.2.4.2 Một số hệ quả của bất đẳng thức trội ................................................ 12
1.3 ỨNG DỤNG CỦA KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC ............................................................................................... 14
Kết luận Chương 1......................................................................................... 24
Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ TRỘI TRONG CHỨNG MINH
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
2
Footer Page 3 of 133.


Header Page 4 of 133.

2.1 THÍ DỤ MINH HỌA............................................................................... 25
Nhận xét 2.1.1................................................................................................ 26
2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA
TAM GIÁC ................................................................................................... 26
Nhận xét 2.2.1................................................................................................ 26
2.2.1 Hàm sin.................................................................................................. 28
Nhận xét 2.2.2................................................................................................ 28
2.2.2 Hàm cosin.............................................................................................. 53
Nhận xét 2.2.3................................................................................................ 53
2.2.3 Hàm tan................................................................................................. 65
Nhận xét 2.2.4................................................................................................ 65
2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CẠNH CỦA
TAM GIÁC ................................................................................................... 71
Nhận xét 2.3.1................................................................................................ 71
2.4 MỘT SỐ HỆ THỨC KHÁC TRONG TAM GIÁC................................. 77
Kết luận Chương 2. ....................................................................................... 86

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận..................................................................................................... 87
2. Khuyến nghị............................................................................................... 87
TÀI LIỆU TRÍCH DẪN ............................................................................. 88

3
Footer Page 4 of 133.

Thang Long University Library


Header Page 5 of 133.

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của
PGS TS Tạ Duy Phượng, luận văn cao học chuyên nghành phương pháp Toán
sơ cấp với đề tài “Sử dụng Bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong
tam giác” là công trình nghiên cứu của riêng tôi trong thời gian học tập và
nghiên cứu tại trường Đại học Thăng Long.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa và
phát huy những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Tác giả

Vũ Văn Thưởng

4
Footer Page 5 of 133.

Header Page 6 of 133.

TÓM TẮT LUẬN VĂN
Luận văn gồm ba phần:
PHẦN 1. Mở đầu
PHẦN 2. Nội dung
Phần này gồm hai chương.
Chương 1. KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG
MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1 KHÁI NIỆM TRỘI
1.2 HÀM LỒI SHUR
1.3 ỨNG DỤNG CỦA KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC
Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ TRỘI TRONG CHỨNG MINH
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
2.1 THÍ DỤ MINH HỌA
2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA
TAM GIÁC
2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CẠNH CỦA
TAM GIÁC
2.4 MỘT SỐ HỆ THỨC KHÁC TRONG TAM GIÁC
PHẦN 3. Kết luận và khuyến nghị.

5
Footer Page 6 of 133.

Thang Long University Library

Header Page 7 of 133.

MỞ ĐẦU
Khái niệm trội được đưa ra nhằm mục đích so sánh hai phần tử (hai
vectơ) trong không gian

n

. Khái niệm này là cơ sở của lý thuyết trội, được

áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, xem, thí dụ [8].
Khái niệm trội được áp dụng khá thành công trong chứng minh các bất
đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức trong tam giác, xem, thí dụ, [7], [8]. Có
thể nói, bất đẳng thức Karamata (xem, thí dụ, [3]) cũng chính là bất đẳng
thức trội. Khái niệm trội cũng khá gần với một số ý tưởng về sắp thứ tự tam
giác, xem, thí dụ, [2].
Tuy vậy, hình như chưa có một cuốn sách tiếng Việt hoặc một luận văn
cao học nào trình bày ứng dụng khái niệm trội, đặc biệt là trong chứng minh
bất đẳng thức trong tam giác.
Luận văn Sử dụng Bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam
giác có mục đích minh họa khả năng sử dụng khái niệm trội và bất đẳng thức
trội (Bổ đề trội) trong chứng minh, cải tiến và làm mới các bất đẳng thức
trong tam giác. Đây là một vấn đề còn mới mẻ nhưng có ý nghĩa khoa học và
ứng dụng thực tiễn cao trong giảng dạy toán sơ cấp, vì vậy tôi chọn đề tài này
làm đề tài luận văn cao học của mình.
Luận văn gồm Mở đầu, hai Chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản như khái niệm trội, hàm lồi
Shur, đặc biệt là bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923) và hệ quả của nó,
đồng thời trình bày ứng dụng của bất đẳng thức trội trong việc chứng minh
một số bất đẳng thức.

Chương 2: Trình bày ứng dụng của bổ đề trội và hệ quả của nó trong
việc chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác. Qua đây ta thấy được thế
mạnh của bất đẳng thức trội và hệ quả của nó ứng dụng vào việc chứng minh
6
Footer Page 7 of 133.


Header Page 8 of 133.

nhiều bài toán liên quan đến các bất đẳng thức trong tam giác như: Bất đẳng
thức liên quan đến các góc trong của tam giác, bất đẳng thức liên quan đến
các cạnh của tam giác và một số hệ thức khác trong tam giác. Ngoài ra, trong
Chương 2 còn trình bày ứng dụng hiệu quả của bất đẳng thức trội so với một
số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường khác cho một số bất
đẳng thức trong tam giác.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long dưới sự
hướng dẫn khoa học và chỉ bảo tận tình của PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện
Toán học. Là người học trò đã tiếp thu được nhiều điều bổ ích, quý báu từ
Thầy, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên
kịp thời và sự nghiêm khắc chỉ bảo, hướng dẫn của Thầy.
Tôi xin cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Trường Đại học Thăng Long,
phòng Sau đại học và Quản lý khoa học - Trường Đại học Thăng Long. Đồng
thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp CTM3-BG (Cao học toán Bắc
Giang) khóa 2014 – 2016 của Trường Đại học Thăng Long đã động viên giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Tôi xin cảm ơn tới Ban Giám hiệu, tổ chuyên môn Toán – tin, các đồng
nghiệp Trường THPT Yên Dũng số 3, Bắc Giang đã tạo điều kiện giúp đỡ,
góp ý cho tác giả trong thời gian học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề nghiên cứu tương
đối phức tạp và khó, kinh nghiệm nghiên cứu và viết luận văn còn hạn chế

nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Tác giả
Vũ Văn Thưởng
7
Footer Page 8 of 133.

Thang Long University Library


Header Page 9 of 133.

Chương 1
KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1 KHÁI NIỆM TRỘI
1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cho a   a1,..., an  và b   b1,..., bn  là hai vectơ trong
không gian hữu hạn chiều

n

. Các tọa độ ai và bi , i  1,2,..., n được sắp thứ

tự như sau: a1  a2  ...  an , b1  b2  ...  bn . Nếu:
a1  b1 ;
a  a  b  b ;
 1 2 1 2
....
a  a  ...  a  b  b  ...  b ;

n 1
1
2
n 1
 1 2
a1  a2  ...  an1  an  b1  b2  ...  bn1  bn

thì ta nói a trội hơn b ( a majorizes b ) và viết a

b.

Ta cũng nói b bị trội bởi a ( b majorized by a ) và viết b

a.

1.2 HÀM LỒI SHUR
1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 Tập X 

n

được gọi là tập lồi nếu với mọi   0;1

và x1  X , x2  X ta có x   x1  1    x2  X .
Nghĩa là, tập lồi X chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó.
1.2.2 Định nghĩa 1.2.2 Hàm f : X 

n



được gọi là hàm lồi nếu X là

tập lồi và với mọi   0;1 và x1  X , x2  X ta có
f  x   f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  .

(1.2.1)

Nếu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2 thì f được gọi là lồi chặt trên X .
Hàm f được gọi là hàm lõm nếu - f là hàm lồi, hay ta có bất đẳng thức
ngược lại.
8
Footer Page 9 of 133.


Header Page 10 of 133.

Nếu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2 thì hàm f được gọi là lõm chặt
trên X .
1.2.3 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi, hàm lõm
Tính chất 1.2.3.1 Nếu f :  a; b 

a;b và



là hàm lồi khả vi liên tục trên

x, y Î [a, b] thì
f (y)- f (x)³ (y - x). f ¢(x).

Chứng minh Thật vậy, theo tính chất của hàm lồi, với mọi α Î [0,1] và

x, y Î [a, b] ta có

f (αy + (1- α)x)£ αf (y)+ (1- α) f (x),
hay

f (x + α(y - x))- f ( x) £ α ( f (y)- f (x)).
Với x, y Î [a, b], x  y và α Î (0,1) ta có
f (x + α ( y - x))- f (x)
α ( y - x)

£

f ( y )- f (x )
.
y- x

Cho α ¯ 0 ta được
f ¢(x)= lim
α® 0

f (x + α ( y - x ))- f (x )
α ( y - x)

£

f ( y )- f (x )
y- x

hay f (y)- f (x)³ (y - x). f ¢(x).
Trường hợp x, y Î [a, b], x  y chứng minh hoàn toàn tương tự.
Tính chất 1.2.3.2 Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập X và có đạo hàm
cấp hai tại mọi x Î X .
Nếu f   x  ³ 0 với mọi x Î X thì f  x  là hàm lồi trên X .
Nếu f   x   0 với mọi x Î X thì f  x  là hàm lõm trên X .

9
Footer Page 10 of 133.

Thang Long University Library


Header Page 11 of 133.

1.2.4 Định nghĩa 1.2.3 Hàm F : X 
(Shur-convex function) nếu x

n



được gọi là hàm lồi Shur

y trên X suy ra F  x   F  y .

Một bất đẳng thức cho hàm lồi được sử dụng hiệu quả trong chứng minh các
bất đẳng thức là Bất đẳng thức trội dưới đây.
1.2.4.1 Bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923)
Kí hiệu I n :  x   x1 ,..., xn  : xi  I  , trong đó I :  a; b  .

Nếu

f :  a; b 



là hàm lồi trên

a;b

thì F :  a; b  , với

n

F  x  :  f  xi  là hàm lồi Shur, tức là với mọi x, y  I n , x

n

y ta có

i 1

n

n

i 1

i 1

 f  xi    f  yi ,
hay
f  x1   f  x2   ...  f  xn  £ f  y1   f  y2   ...  f  yn .

Nếu f :  a; b 
mọi x, y  I n , x

(1.2.2)

là hàm lõm thì ta có bất đẳng thức ngược lại, tức là với

y ta có:

f  x1   f  x2   ...  f  xn   f  y1   f  y2   ...  f  yn .

(1.2.3)

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh Bổ đề trội cho trường hợp n  2.
Không hạn chế tổng quát, coi x   x1, x2  với x1  x2 và y   y1, y2  với
y1  y2 . Vì x

y nên ta có x1  y1, x1  x2  y1  y2  x2   y1  x1   y2  y2 .

Như vậy, y2  x2  x1  y1.
Vì x1  y2 ; y1  nên tồn tại  0;1 sao cho x1   y1  1    y2 .
Khi đó: x2  y1  y2  x1  y1  y2   y1  1    y2   1    y1   y2 .
Do f là hàm lồi, theo (1.2.1) ta có:

10
Footer Page 11 of 133.

Header Page 12 of 133.

f  x1   f  x2   f  y1  1    y2   f

 1    y1   y2 
  f  y1   1    f  y2     1    f  y1    f  y2    f  y1   f  y2  .
Vậy bất đẳng thức (1.2.2) đúng trong trường hợp này.
Trong trường hợp n bất kì, để đơn giản hóa chứng minh, ta giả thiết thêm f
là hàm lồi hai lần khả vi trên  a; b.
Áp dụng tính chất 1.2.3.1 của hàm lồi cho các cặp số xi , yi Î [a, b] ta được
f ( yi )- f (xi )  ( yi - xi ) f ¢(xi ), " i = 1, n.

Do f là hàm lồi trên [a, b] nên f   x   0 với mọi x Î [a, b], hay f   x  là
xi  xi+ 1

hàm đồng biến trên [a, b]. Vì

với mọi

i = 1, n - 1 nên

f ¢(xi )  f ¢(xi+ 1 ), với mọi i = 1, n - 1.
i

Chú ý đến giả thiết,

i

å

xk £

k= 1

n

å

n

f ( yi )-

i= 1

å

i= 1

å

n

yk , i = 1, n - 1 và

k= 1

å

n

xk =

k= 1

å

yk , ta đi đến

k= 1

n

f (xi )=

å ( f (yi )-

f (xi ))³

i= 1

³ ( y1 - x1 ) f ¢(x1 )+ ( y2 - x2 ) f ¢(x2 )+ ... + ( yn - xn ) f ¢(xn )
= ( y1 - x1 )( f ¢(x1 )- f ¢(x2 ))+ ( y1 + y2 - x1 - x2 ) f ¢(x2 )+ ... + ( yn - xn ) f ¢(xn )
= ( y1 - x1 )( f ¢(x1 )- f ¢(x2 ))+ ( y1 + y2 - x1 - x2 )( f ¢(x2 )- f ¢(x3 ))+ ...
+ ( y1 + y2 + ... + yn- 1 - x1 - x2 - ... - xn- 1 )( f ¢(xn- 1 )- f ¢(xn ))+
+ ( y1 + y2 + ... + yn - x1 - x2 - ... - xn ) f ¢(xn )³ 0.

Vậy ta có f  x1   f  x2   ...  f  xn   f  y1   f  y2   ...  f  yn  .
Bất đẳng thức (1.2.2) được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xi  yi , i  1, n.
Chứng minh tương tự cho bất đẳng thức (1.2.3).

11
Footer Page 12 of 133.

Thang Long University Library


Header Page 13 of 133.

Nhận xét Nhiều sách (thí dụ, [1], [3]) gọi bất đẳng thức (1.2.2) và (1.2.3) là
bất đẳng thức Karamata (Karamata inequality). Bổ đề trội được Shur chứng
minh năm 1923 và Karamata chứng minh năm 1932. Hơn nữa, Bổ đề trội có
rất nhiều ứng dụng khác, không chỉ trong chứng minh bất đẳng thức (xem
[8]). Do đó, chúng tôi gọi (theo [8]), các đẳng thức (1.2.2) và (1.2.3) là bất
đẳng thức trội hay bất đẳng thức Shur.
1.2.4.2 Một số hệ quả của bất đẳng thức trội
Hệ quả 1 (Bất đẳng thức Jensen) Với mọi hàm lồi f ( x) trên I ( a, b) và với
mọi xi  I (a, b) (i  1, 2,..., n), ta luôn có bất đẳng thức:

f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xn )

n

 x  x  ...  xn 
f 1 2
.
n




(1.2.4)

Chứng minh Do tính chất đối xứng, không mất tính tổng quát, ta có thể giả
sử x1  x2  ...  xn . Khi đó, ta có
 x  x;
 1
 x1  x2  2 x;

.............
 x  x  ...  x  ( n  1) x;
2
n 1
 1
 x1  x2  ...  xn  nx,

trong đó x 

x1  x2  ...  xn
.
n

Khi đó, ta có: (x1, x2 ,..., xn ) (x, x,..., x).
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm lồi f ( x) , ta được:

12
Footer Page 13 of 133.

Header Page 14 of 133.

 

 

 







f x1  f x2  ...  f xn  f x  f x  ...  f x

   
 

 x  x  ...  x 
f  x   f  x   ...  f  x   nf 

n


f  x   f  x   ...  f  x 
 x  x  ...  x 
 f
.
n

 f x1  f x2  ...  f xn  n. f x



1

2

n

1

2

n

n




1

2

n

1

2

n

n




Vậy bất đẳng thức (1.2.4) được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn .
Hệ quả 2 (Bất đẳng thức T. Popoviciu) Với mọi hàm lồi trên I  a; b  và với
mọi x, y, z  I  a; b  , ta đều có bất đẳng thức:

 x yx
 x y
 yz
 zx
f  x  f  y  f  z   3 f 
2f 
2f 
2f 
.
3


 2 
 2 
 2 
(1.2.5)

Chứng minh Ta coi x  y  z. Khi đó sẽ xảy ra một trong hai khả năng:
x

x yz
x yz
 y  z hoặc x  y 
 z.
3
3

Ta chỉ cần xét trường hợp x  y 

x yz
 z là đủ.
3

Khi đó dễ dàng kiểm tra
x y

x yz x yz x yz


 z,
3
3
3

x y x y xz xz yz yz






2
2
2
2
2
2

và

x y z
 x y y  z z  x
x  y  z  3


  2
.
3
2
2
2




Khi đó, ta có
13
Footer Page 14 of 133.

Thang Long University Library


Header Page 15 of 133.

æ x + y + z x + y + z x + y + z ö÷ æx + y x + y x + z x + z y + z y +
ççx,y,
ç
,
,
,z÷
,
,
,
,
,
çè
ø÷ èçç 2
3
3
3
2
2
2
2
2

z ö÷
÷.

ø÷

Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm lồi, ta được
æx + y + z ö÷
f (x)+ f ( y )+ f çç
÷+
èç
ø÷
3
æx + y ö÷
æx + y ö÷
æx +
çç
çç
f çç
+
f
+
f
÷
÷
çè 2 ø÷
çè 2 ø÷
çè 2

æx + y + z ö÷
æx + y + z ö÷
ç
f çç
+

f
÷
÷+ f (z )³
èç
ø÷
èçç
ø÷
3
3
æx + z ö÷
æy + z ö÷
æy + z ö÷
z ö÷
çç
çç
çç
+
f
+
f
+
f
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç

ç
ø
è 2 ø
è 2 ø
èç 2 ø÷
æ æx + y ö
æx + y + z ö÷
æ
ö
çç f çç
÷
çç x + z ÷
Û f (x)+ f ( y )+ f (z )+ 3. f çç
³
2
.
+
f
÷
÷
÷+
çè
çè 2 ø÷
ø÷
ø
3
èç èç 2 ÷

æy +
f çç

èç 2

ö
ö÷
z÷
.
÷
÷
ø÷÷
ø

Vậy bất đẳng thức (1.2.5) được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
1.3 ỨNG DỤNG KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC
Khái niệm trội, thậm chí chỉ riêng bất đẳng thức trội, đặc biệt có lợi
trong đánh giá (và tìm cực trị) các đại lượng. Các thí dụ dưới đây minh họa
điều này.
Các thí dụ minh họa
Thí dụ 1.3.1 Cho a, b, c  0 . Khi ấy

1 1 1
1
1 
 1
   2.


.
a b c

ab bc ac

(1.3.1)

Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử a  b  c , suy ra
a  b  a  c  b  c . Khi đó, ta có:

2a  a  b;

2a  2b  2a  b  c   a  b    a  c  ;

2a  2b  2c   a  b    a  c    b  c .
Do đó ta có:  2a,2b,2c 

 a  b, a  c, b  c .
14

Footer Page 15 of 133.


Header Page 16 of 133.

Xét hàm số y  f  x  
Ta có: f   x   

1
với x   0;   .
x

1

2
 f   x   3  0 với x   0;   nên f  x  là hàm lồi
2
x
x

trên khoảng  0;  .
1
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm y  f  x   , ta được:
x

f  2a   f  2b   f  2c   f  a  b   f  a  c   f b  c 
1
1
1
1
1
1

 


2a 2b 2c a  b a  c b  c
1 1 1
1
1 
 1
    2



.
a b c
a b a c bc


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c.
Vậy bất đẳng thức (1.3.1) được chứng minh.
Thí dụ 1.3.2 ([7], IMO 2000, Problem 2) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn
điều kiện a.b.c  1. Khi ấy


1
1
1
 a  1   b  1    c  1    1.
b 
c 
a


(1.3.2)

x
y
z
Chứng minh Đặt a  , b  , c  với x, y, z > 0. Khi đó ta có:
y
z
x
a 1

1 x
z xz y
 1 
;
b y
y
y

1 y
x yxz
b 1  1 
;
c z
z
z
c 1

1 z
y z yx
 1 
.
a x
x
x

Bất đẳng thức (1.3.2) trở thành

15
Footer Page 16 of 133.

Thang Long University Library


Header Page 17 of 133.

 x  y  z  y  z  x  z  x  y   xyz.

(1.3.2.1)

Không hạn chế tổng quát, coi x  y  z. Khi ấy x  y  z  0; z  x  y  0.
Nếu y  z  x  0 thì (1.3.2.1) hiển nhiên đúng.
Nếu y  z  x  0. Khi đó:
Đặt a1  x, a2  y, a3  z và b1  x  y  z, b2  z  x  y, b3  y  z  x ta có:
a1  a2  a3 ; b1  b2  b3 và

a1  x  x  y  z  b1;

a1  a2  x  y  2 x   x  y  z    z  x  y   b1  b2 ;

a1  a2  a3  x  y  z   x  y  z    z  x  y    y  z  x   b1  b2  b3 .

Do đó ta có:  a1 , a2 , a3 

 b , b , b .
1

2

3

Xét hàm số y  f  x   ln x với x  0;  .
Ta có: f   x  

1
1
 f   x    2  0 với x   0;   nên f  x  là hàm lõm
x
x

trên khoảng  0;  .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm y  f  x   ln x , ta được:
ln a1  ln a2  ln a3  ln b1  ln b2  ln b3

 ln x  ln y  ln z  ln  x  y  z   ln  z  x  y   ln  y  z  x 
 xyz   x  y  z  z  x  y  y  z  x .
Bất đẳng thức (1.3.2.1) được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z hay a  b  c  1.
Vậy bất đẳng thức (1.3.2) được chứng minh.
Thí dụ 1.3.3 Cho 2n số thực dương ai , bi  i  1,2,...., n  thỏa mãn các điều
kiện
a1  a2  ...  an ; b1  b2  ...  bn ; a1  b1; a1.a2  b1.b2 ;...; a1.a2 ...an  b1.b2 ...bn .

Khi ấy
16
Footer Page 17 of 133.


Header Page 18 of 133.

a1  a2  ...  an  b1  b2  ...  bn .

(1.3.3)

Chứng minh Đặt xi  lnai ; yi  lnbi  i=1,2, ...,n  .
Với các điều kiện đã cho, ta có: x1  x2    xn ; y1  y2    yn và

 x1  y1 ;
x  x  y  y ;
1
2
 1 2
...
 x  x  ...  x  y  y  ....  y ;
n 1
1
2
n 1
 1 2
 x1  x2  ...  xn  y1  y2  ....  yn .
Do đó ta có:  x1 ,x2 ,....,xn 

 y , y ,...., y  .
1

2

n

Xét hàm số y=f  x =e x với x   0;   .

Ta có: f   x   e x  f   x   e x  0 với mọi x   0;   nên f  x  lồi trên
khoảng  0;   .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm y=f  x   e x , ta được:

ex  ex  ...  ex  e y  e y  ...  e y
1

n

2

1

n

2

 eln a  eln a  ...  eln a  eln b  eln b  ...  eln b
1

2

n

1

2

n

 a1  a2  ...  an  b1  b2  ...  bn .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai  bi , i=1,n .
Vậy bất đẳng thức (1.3.3) được chứng minh.
Thí dụ 1.3.4 Cho a ,b là các số thực dương. Khi ấy
3

a  3 a  3 b  3 b  3 a  3 b  3 b  3 a.

(1.3.4)

Chứng minh Giả sử b  a  0 . Đặt:
x1  b  3 b ; x2  b  3 a ; x3  a  3 b ; x4  a  3 a .

Khi đó x1 là số lớn nhất, x4 là số nhỏ nhất.
Ta có:

17
Footer Page 18 of 133.

Thang Long University Library


Header Page 19 of 133.

 x  x2 ;
x1  x4 ; x2  x3 và  1
 x1  x4  x2  x3 .

Do đó ta có:  x1 ,x4 

 x ,x  .
2

3

Xét hàm số y  f  x   3 x trên  0;   .
Ta có: f   x  

1

2 1
  x    .

f
 0, x   0;   nên f  x  là hàm
9 3 x5
3 3 x2

lõm trên  0;   .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm y  f  x   3 x , ta được:
3

a 3 a  3 b 3 b  3 a 3 b  3 b 3 a.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b.
Vậy bất đẳng thức (1.3.4) được chứng minh.
Thí dụ 1.3.5 ([7]) Cho n  4, 0  ai 



2

n

, i  1,2,..., n. Giả sử S :  ai  2 .
i 1

Khi ấy
n

S
4   sin ai  n sin .
n
i 1

(1.3.5)

 π
Chứng minh Xét hàm số y  f  x   sin x với x  0;  .
 2
 π
Ta có: f   x   cos x  f   x    sin x<0 với mọi x  0;  nên f  x  là
 2
 π
hàm lõm trên 0;  .
 2
Không mất tính tổng quát, giả sử

π
 a1  a2  ....  an  0.

2

a, Từ giả thiết bài toán, ta có:

18
Footer Page 19 of 133.


Header Page 20 of 133.

π

a

;
1

2

a1  a2  π  π  π  2π;

2 2

π π π 3π
 2π;
a1  a2  a3    
2
2
2
2


....

π π π π
a1  a2  ....  an 1      0  ....  0  2π;
2 2 2 2

a1  a2  ....  an 1  an  2π.

Do đó, ta có

 a ,a ,...,a 
1

2

n

π π π π

 , , , ,0,0,...,0  .
2 2 2 2


Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm y  f  x   sin x, ta được:
π
π
π
π
sin a1  sin a2  ...  sin an  sin    sin    sin    sin    sin  0   ...  sin  0 

2
2
2
 2

 sin a1  sin a2  ...  sin an  4
n

  sin ai  4 .

(1)

i 1

b, Từ giả thiết bài toán, ta có:
S a1  a2  ...  an a1  a1  ...  a1 n.a1



 a1
n
n
n
n

Khi ấy a1  a2 
(*)  a1  a2 
 a1  a2 

S S

 (*). Thật vậy:
n n

a1  a2  ...  an a1  a2  ...  an

n
n

a1  a2 a1  a2

  n  2 . a1  a2   0 (luôn đúng với n  4 ).
n
n

Vậy a1  a2 

S S
 .
n n

19
Footer Page 20 of 133.

Thang Long University Library


Header Page 21 of 133.

Tương tự, ta cũng có:
a1  a2  ...  an 1 

S S
S
  ...  ;
n n
n

a1  a2  ...  an 

S S
S
  ...  .
n n
n

n 1

n

Do đó, ta có:


S

a

;
1

n


a1  a2  S  S ;

n n

.........

S S
S
a1  a2  ...  an 1    ...  ;
n n
n

n

1

S S
S

a1  a2  ...  an  n  n  ...  n .

n

Vậy

 a ,a ,...,a 
1

2

n

S
S S
 , ,...,  .
n
n n

Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm f  x   sin x, ta được:
S
S
S
sin a1  sin a2  ...  sin an  sin    sin    ...  sin  
n
n
n
n

S
 sin a1  sin a2  ...  sin an  n.sin  .
n

S
Từ (1) và (2), ta suy ra 4  sin a1  ...  sin an  n.sin  
n
n
S
 4   sin ai  n sin  .
n

i 1

Vậy bất đẳng thức (1.3.5) được chứng minh.

20
Footer Page 21 of 133.

(2)


Header Page 22 of 133.

Thớ d 1.3.6 ([7]) Cho ai , i 1,2,..., n l nhng s nguyờn dng. Kớ hiu
n

S ai n . Khi y
i 1

2

ổS ử
(S - n + 1) + n - 1 a + a + ... + a n.ỗỗỗ ữữữ .
ốn ứ
2

2
1

2
2

2
n

(1.3.6)

Chng minh Xột hm s y = f (x)= x 2 .
Ta cú: f Â(x)= 2 x ị f ÂÂ(x)= 2 > 0 nờn y = f (x)= x 2 l hm li.
Khụng lm mt tớnh tng quỏt, gi s a1 a2 ... an 1.
a, T gi thit bi toỏn, ta cú:
S - n + 1 = a1 + a2 + ... + an - (n - 1) a1 + 1 + 1 + ... + 1- (n - 1)= a1 .
n- 1

S - n + 1 + 1 = a1 + a2 + a3 + ... + an - n + 2 = a1 + a2 + ... + an - (n - 2)
a1 + a2 + 1 + 1 + ... + 1- (n - 2)= a1 + a2 .
n- 2

Tng t, ta cú:

(S - n + 1)+ 1 + ... + 1 a1 + a2 + ... + an- 1 .
n- 1

(S - n + 1)+ 1 + ... + 1 = S - (n - 1)+ 1 + 1 + ... + 1 = a1 + a2 + ... + an .
n- 1

Do ú ta cú:
ỡù
ùù
ùù S - n + 1 a1 ;
ùù S - n + 1 + 1 a + a ;

1
2
ùù
ùớ ...
ùù
ùù (S - n + 1)+ 1 + ... + 1 a1 + a2 + ... + an- 1 ;
ùù
n- 1
ùù
ùùợ S - n + 1 + 1 + ... + 1 = a1 + a2 + ... + an .

Khi ú

21
Footer Page 22 of 133.

Thang Long University Library


Header Page 23 of 133.

, , ,...,1) (a1 ,a2 ,a3 ,...,an ).
(S - n + 111
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm y = f (x)= x 2 , ta được:
2

(S - n + 1) + 12 + 12 + ... + 12 ³ a12 + a22 + ... + an2
n- 1

2

Û (S - n + 1) + n - 1³ a12 + a22 + ... + an2 .

(1)

b, Tương tự như Thí dụ 1.3.5, ta có:


S

a1  n ;

a1  a2  S  S ;

n n

.........

S S
S
a1  a2  ...  an 1    ...  ;
n n
n

n

1

S S
S


a

a

...

a



...

.
1
2
n

n n
n

n

S
S S
Khi đó, ta có:  a1 ,a2 ,...,an   , ,...,  .
n
n n
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm y = f (x)= x 2 , ta được:
2

2

2

æS ö
S
S
.
a  ...  a     ...    Û a12 + ... + an2 ³ n.çç ÷
÷
÷
ç
è
ø
n
n
n
 
 
2
1

2
n

(2)

n

Từ (1) và (2), ta được:
2

S
 S  n  1  n  1  a  ...  a  n.  .
n
2

2
1

Vậy bất đẳng thức (1.3.6) được chứng minh.

22
Footer Page 23 of 133.

2
n


Header Page 24 of 133.

Thí dụ 1.3.7 (Đề thi kết thúc học phần cao học, chuyên đề bất đẳng thức, Đại
học Đà Nẵng) Cho a,b,c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện

0  c  b  a  8;

a  b  13;
a  b  c  15.


Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  a2  b2  c2 .
Chứng minh Từ gải thiết bài toán, ta có: a  b  c , 8  5  2 và

0  a  8;

a  b  8  5;
a  b  c    5  2.

Do đó ta có: 8,5,2

 a,b,c  .

Xét hàm số y  f  x   x 2 với x  .
Do f   x   2 x  f   x   2  0 nên y  f  x   x 2 là hàm lồi trên

.

Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm y  f  x   x 2 , ta được:

f  a   f  b   f  c   f  8  f  5  f  2 

 a2  b2  c2  82  52  22  93
 M  93.

Vậy max M = 93 đạt được khi a = 8, b = 5, c = 2.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bộ số (a, b, c) và (1,1,1) ta được:

1.a  1.b  1.c   1
2

2

 12  12  a2  b2  c2 

 152  3. a 2  b 2  c 2   a2  b2  c2  75.

Vậy min M = 75 đạt được khi a  b  c  5.
Thí dụ 1.3.8 Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn: 1  a,b,c  1 và

1
a  b  c   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  a12  b12  c12 . .
2
23
Footer Page 24 of 133.

Thang Long University Library


Header Page 25 of 133.

Giải Không mất tính tổng quát, giả sử a  b  c . Khi đó:

 a  1;

1
1
1
a  b    c    1  ;
2
2

2

a  b  c   1 .

2

 1

Do đó ta có:  a,b,c  1, ,1 .
 2 
Xét hàm số y  f  x   x12 trên  1;1.
Ta có: f   x   12 x11  f   x   132.x10  0 với x  1;1 nên y  f  x   x12
làm hàm lồi trên  1;1 .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm y  f  x   x12 , ta được:
 1
f  a   f  b   f  c   f 1  f     f  1
 2
12
12
 1
12
12
12
12
 a  b  c  1       1
 2
1
 a12  b12  c12  2  12 .
2

Vậy max A  2 

1
1
, đạt được khi a  1; b   ; c  1.
12
2
2

Kết luận Chương 1 Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về khái niệm
trội, hàm lồi, hàm lõm, dấu hiệu nhận biết hàm lồi, hàm lõm, đặc biệt là khái
niệm hàm lồi Shur cho ta bất đẳng thức trội. Ngoài ra, trong Chương 1 cũng
giới thiệu một số ứng dụng của bất đẳng thức trội vào việc chứng minh một số
bất đẳng thức. Qua đó cho thấy thế mạnh của bất đẳng trội trong chứng minh
các bất đẳng thức là rất đa dạng và hiệu quả, áp dụng bất đẳng thức trội một
cách hợp lý cho ta ngay kết quả cần đạt được.

24
Footer Page 25 of 133.