Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 cấp tỉnh tỉnh Thanh Hoá năm 2017 có đáp án

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

THANH HÓA

NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn Toán: Lớp 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1: (5,0 điểm)

 x2
1  x 1
x
. Với x  0, x  1.


:
2




x
x
1
x

x
1
1
x



Cho biểu thức: P  

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P 

2
.
7

c) So sánh: P2 và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Tìm x, y  Z thỏa mãn: 2 y 2 x  x  y  1  x 2  2 y 2  xy
b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện:
2

1 1 1
1 1 1
     2 2 2.
b c
a b c a
Chứng minh rằng: a 3  b3  c3 chia hết cho 3.
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình sau:

4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  10 x  20

b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao
điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm
của EF.
a) Chứng minh: CM vuông góc với EF.
b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của


hình vuông ABCD
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a
b
c
a
b
c





ab bc ca

bc
ca
ab
-------------- Hết-----------Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.


ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Bài Câu
1

a

Nội dung

Điểm

Điều kiện: x  0, x  1.

0,5

 x2
P

x
x
x
1




x2
 

3
 x 1 x 


0,5

 




b

x
1  x 1

:
2
x 1 1 x 

x
1  x 1

:
2
x 1
x  1 



x  2  x ( x  1)  ( x  x  1)





x  2 x 1





x 1 x  x 1





x 1 x  x 1

.

:

x 1
2

2

x 1

0,5

0,5

2
x  x 1

Với x  0, x  1. Ta có:

P

2
7

0,5

2
2

x  x 1 7

1,0

 x  x 1  7

0,25



 x x 60
 ( x  2)( x  3)  0
Vì

x  3  0 nên

Vậy P =
c

0,25

x  2  0  x  4 (t/m)

2
khi x = 4
7

Vì x  0  x  x  1  1

0,25


2
2
x  x 1
 0P2
 P ( P  2)  0

 0

0,25

 P2  2P  0

0,25

 P2  2P
Dấu “=” xảy ra khi P = 2  x = 0

0,25

Vậy P2  2P
2

a

2 y2 x  x  y  1  x2  2 y2  xy
 2 y2 x  x  y  1  x2  2 y2  xy  0
  x  1 (2 y2  y  x)  1

0,5
0,25

Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1
+) Nếu x – 1 = 1  x = 2

0,5

Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1

 y = 1 (t/m) hoặc y =

1
Z (loại)
2

+) Nếu x – 1 = -1  x = 0

0,5

Khi đó 2y - y = 1
2

 y = 1 (t/m) hoặc y =

1
Z (loại)
2

0,25

x  2 x  0
; 
y 1 y 1

Vậy 
b

a) Từ giả thiết

1 1 1
1 1 1
(   )2  2  2  2
a b c
a
b c
1
1
1
 2(   )  0
ab bc ca
Vì a, b, c  0 nên a + b + c = 0

0,5
0,5

0,5


 a  b  c
  a  b    c 

0,25

 a 3  b3  3ab(a  b)  c3

0,25

3

3

 a 3  b3  c3  3abc
Vậy a 3  b 3  c3 3

với a, b, c  Z

Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.
3

a

Đkxđ: x  R

0,25

4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  10 x  20
Vì

4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  0 với x

 10x – 20  0  x  2

0,5

Ta có:

4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  10 x  20
 2 x  5  x  3  10 x  20
 2 x  5  x  3  10 x  20
 7 x  28
 x  4(t / m)

0,5
0,5
0,25

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4
b

x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.

0,5

  x  y   7( x  y )  10   y 2
2

 ( x  y  2)( x  y  5)   y 2  0
 4  x  y  1  1
* x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0
* x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0
Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0
Amax = - 1 khi x = -2; y = 0

0,5
0,5
0,5

4

a

E
M

A

N

B

F

1,0
D

C

  BCF
 (cùng phụ với ECB
)
Ta có: ECD
Chứng minh được:  EDC =  FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn)

1,0

 CE = CF
  ECF cân tại C
Mà CM là đường trung tuyến nên CM  EF
b

* Vì  EDC =  FBC  ED = FB

0,5

 NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
ta có:
BC2 = NB.BF  a2 = NB.DE (đpcm)

0,5

*  CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên CM 

 AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM 

EF
2

EF
2

0,5

 CM = AM  M thuộc đường trung trực của AC.
Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC

0,5

 B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC
(đpcm).
c

Đặt DE = x (x > 0)  BF = x

0,5


SACFE = SACF + SAEF =

1
AF   AE  CB 
2

1
 (AB  BF)   AE  AD 
2
1
 (a  x).DE
2
1
 (a  x)x
2
SACFE = 3.SABCD 

0,25

0,5

1
(a  x)x  3a 2  6a 2  ax  x 2  0
2

 (2a  x)(3a  x)  0
Do x > 0; a > 0  3a + x > 0  2a  x  0  x = 2a

0,5

 A là trung điểm của DE  AE = a
Vì AE //BC nên

AN AE

1
NB BC

0,25

 N là trung điểm của AB.
Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD
5

* Vì a, b, c > 0 nên
Tương tự:



a
a
a c
.
1

ab
ab abc

b
ba
c
c b

;

bc abc ca abc

a
b
c


 2 (1)
ab bc ca

* Ta có:

a
a


bc
a (b  c)

Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:
a  (b  c )
 a (b  c )  0
2
2
1


abc
a (b  c )

0,5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807