ĐỀ THI MẪU SỐ 01 KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017 KÈM LỜI GIẢI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2017
Bài thi: TOÁN
ĐỀ THI MẪU
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
(Đề thi có 07 trang)

Mã đề thi 01
Họ, tên thí sinh: ……………………………………
Số báo danh: ……………………………………….
Câu 1: Đồ thị hàm số f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e với a > 0 có thể có tối đa bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = |x 2 − 4x + 3|và y = x + 3
A. 109/6

B. 110/6

C. 108/6

D. 111/6

Cách 1: Sử dụng máy tính
* Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 5
5

* S = ∫0 ||x 2 − 4x + 3| − (x + 3)| dx = 18,1666 =

109
6

Sử dụng: SHIFT + HYP để gõ biểu thức trị tuyệt đối | f(x) | (sử dụng máy fx570 ES)
Câu 3: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = xlnx, y = 0 và x = e. Tính thể tích của
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
A.

π(5e3 −2)
27

B.

π(4e3 −2)

C.

27

π(7e3 −2)
27

D.

π(6e3 −2)
27

Đáp án:
* Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y = xlnx và y=0 là xlnx = 0 ↔ x = 1
* Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành:
e
2

e

V = π ∫ y dx = π ∫ (xlnx)2 dx = 3,6455π
1

1

Câu 4: Điểm M(-3,4) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Tìm modun số phức z
A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

4

3
5
Câu 5: Cho biểu thức P = √x 2 . √x 6 √x 4 . √x 3 với x < 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
53

A. P = x 30

7

B. P = x 10

53

C. P = −x 30

53

D. P = −(−x)30

Đáp án: Do x < 0 => −x > 0. Đặt –x=t (t>0)

1|6


4

3

5
P = √t 2 . √t 6 √t 4 . √(−t)3 =

4

4
+6
2 +2

3 5
3
t 4 . t 5 . √(−1)3

53

= −t 30

2

Câu 6: Cho ∫0 f(x) dx = 16. Tính I = ∫0 f(2x) dx
A. 32

B. 8

C. 16
x+1

y−2

D. 4

z

Câu 7: Cho đường thẳng (d)
=
= . Biết mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng
2
−2
3

(d). Vậy vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) có thể là vecto có tọa độ nào?
4

4

3

3

A. ( ; − ; 2)

B. (8; −8; −12)

C. A và B đều đúng

D. A và B đều sai

Câu 8: Cho hình trụ có 2 đáy là hình tròn có bán kính bằng 3. Chiều cao hình trụ bằng 5. Tỷ
số giữa diện tích toàn phần hình trụ và thể tích khối trụ gần giá trị nào nhất?
A. 1

B. 1,1

C. 1,2

D. 1,3

Đáp án:
* Diện tích xung quanh hình trụ: 2π. R. h = 2π. 3.5 = 30π
* Diện tích 2 mặt đáy: 2. S1 = 2. (πR2 ) = 2. π. 32 = 18π

* Tổng diện tích toàn phần: 30π + 18π = 48π
* Thể tích khối trụ: S1 . h = (πR2 )h = π. 32 . 5 = 45π
=> Tỷ lệ:

48π
45π

=

48
45

= 1,067

Câu 9: Quay một tam giác đều cạnh a cm xung quanh 1 đường cao bất kỳ thu được một khối
nón. Tỷ số của diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối nón gần giá trị nào nhất?
𝟏𝟎

A.

10,5

B.

𝐚

C.

a

11

D.

a

11,5
a

Đáp án:
1 2

* l = a; h = a√12 − ( ) =

√3

2

2

a; R =

a
2

a

πa2

2

2

* Diện tích xung quanh: π. R. l = π. ( ) . a =
a 2

* Diện tích đáy: π. R2 = π. ( ) =

πa2

2

* Tổng diện tích toàn phần:

πa2
2

+

4

πa2
4

3

= πa2
4

1

1

1

a 2

3

3

3

2

* Thể tích khối nón: S1 h = . (π. R2 ). h = (π ( ) ) .

a√3
2

=

√3
24

πa3

2|6

3 2
πa
6 √3
Ta có tỷ số: 4
=
a
√3 3
πa
24
log2 240

Câu 10: Tìm giá trị biểu thức
A. 4

log3,75 2

−

log2 15
log60 2

+ log 2 1

B. 3

C. 1

D. -8

Câu 11: Tìm số nghiệm của phương trình log x2 x = 0?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án:
0 < x2 ≠ 1
0log x2 x = 0 ↔ { x > 0 ↔ {
=> Vô nghiệm
x=1
2
0
(x ) = x
3 2x−1

Câu 12: Tập các số x thỏa mãn ( )
5

A. [3; +∞)
3 2x−1−2+x

Đáp án: ( )
5

3 2−x

≤( )

B. (−∞; 1]

5

là?
C. [1; +∞)

D. (−∞; +∞)

3 0

≤ 1 = ( ) ↔ (3x − 3) ≥ 0 ↔ x ≥ 1
5

Câu 13: A mới lên đại học, do hay đi chơi nên tiêu hết tiền mẹ cho. Cậu ta đi trên đường thấy
một tờ giấy dán trên tường ghi “ cho vay lãi suất thấp, lãi chỉ 0,7% một ngày“.Sau khi đi vay
thì A lâm vào tình trạng khánh kiệt do không thể trả hết nợ cũ và nợ mới do 0,7% là lãi gộp
theo ngày, tức cứ sau 1 ngày thì lãi lại gộp với gốc để tính lãi tiếp. Cậu ta do học luật nên biết
rằng, theo BLDS năm 2005 thì lãi suất vay không được quá 150% lãi cơ bản mà hiện lãi cơ
bản ngân hàng là 10% một năm nên nếu chứng minh được lãi đã vay lớn hơn con số đó thì A
sẽ được miễn trả lãi. Vậy nếu qui mức 0,7% lãi theo ngày ra mức lãi theo năm thì con số là bao
nhiêu?
A. 1174,8%/năm

B. 25,65%/năm

C. 1175,72%/năm

D. 130%/năm

Đáp án:
Ta có mức lãi theo năm: (1 + 0,7%)365 − 1 = 1175,72%/năm
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3,3,0); B(3,0,3), C(0,3,3) và
D (3,3,3). Giả sử tâm mặt cầu là I(a,b,c), tìm tổng a+b+c?
A. -4

B. 4

C. -4,5

D. 4,5

Đáp án:
Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (tâm I
(a,b,c) và a2 + b2 + c 2 − d > 0)
Thay tọa độ 4 điểm vào, thu được a = −1,5; b = −1,5; c = −1,5; d = 0
3|6


Câu 15:
Một thùng chứa rượu là một hình tròn xoay như hình vẽ bên
có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai
đáy bằng 80 cm. Đường cong mặt bên của thùng là một phần
của đường elip có độ dài trục lớn bằng 100 cm, độ dài trục
bé bằng 60 cm. Hỏi chiếc thùng đó chứa được bao nhiêu lít
rượu?

A.

1316π
25

lit

B.

1516π
25

lit

C.

1416π
25

lit

D.

1616π
25

lit

Đáp án:

3

1

4

O

4

1

3

Elip:

x2

y2

5

32

+
2

= 1 => y = 3√1 −

x2
52
4

4

Thể tích thùng chứa rượu sẽ bằng π ∫−4 y 2 dx = π ∫−4 32 (1 −
Câu 16: Giải bất phương trình sau: log 1
2

x2 −3x+2
x

x2
52

) dx =

1416
25

π (lit)

≥0

A. x ∈ (−∞; 0) ∪ [2 − √2; 2 + √2]
𝐁. x ∈ (0; 1) ∪ (2; +∞)
C. x ∈ [2 − √2; 1) ∪ (2; 2 + √2]
D. x ∈ (2; 2 + √2]
Đáp án:

4|6

x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x + 2
log 1
≥ 0 = log 1 1 ↔ 0 <
≤1
x
x
2
2
*0<
*

x2 −3x+2
x

x2 −3x+2
x

↔ x ∈ (0; 1) ∪ (2; +∞)

≤1↔

x2 −4x+2
x

≤ 0 ↔ x ∈ (−∞; 0) ∪ [2 − √2; 2 + √2]

Kết hợp lại => x ∈ [2 − √2; 1) ∪ (2; 2 + √2]
Câu 17: Tính đạo hàm hàm số sau: y = log 3 (x 2 . 2x ) (x ≠ 0)

A.

1

.

1

B.

ln3 x2 .2x

1
xln3

(2 + xln2)

C.

1
xln3

(2 + x)

D. A,B,C đều sai

Đáp án:
y = log 3 (x 2 . 2x ) =

ln(x 2 . 2x )

1
1
1
(2 + xln2)
=> y ′ =
. 2 x . (2x. 2x + x 2 . 2x . ln2) =
ln3
ln3 x . 2
xln3

Câu 18: Cho hình lập phương ABCD. A1 B1 C1 D1 có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa
hai đường thẳng A1 B và B1 D?
A.

a
√6

B.

2a

B. 2

√6

a
3√6

D.

3a
4√6

Đáp án: Ta coi a=1
Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0;0;0); B(1;0;0); D(0;1;0); A1 (0; 0; 1)=> C(1;1;0);
B1 (1;0;1); C1 (1;1;1); D1 (0;1;1)
Ta có: d(A1 B; B1 D) =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|[A
1 B,B
1 D]A
1 B1 |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|[A
B
,B
D
1
1 ]|

=

1
√6

Câu 19: Giả sử số phức z thỏa mãn: |z − (2 + i)| = √10 và z. z̅ = 25. Tìm phần ảo của số

i−3
phức w biết w = z(i + 2) −
và z có phần ảo là số dương.
2i+4

A. 21/2

B. 10

C. 11

D. 11,5

Đáp án:
|(x − 2) + (y − 1)i| = √10
Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R) => {|z − (2 + i)| = √10 ↔ {
↔
x 2 + y 2 = 25
z. z̅ = 25
(x − 2)2 + (y − 1)2 = 10
{
↔ (x; y) = (3; 4)hoặc (x; y) = (5; 0) => z = 3 + 4i
x 2 + y 2 = 25
=> w =
Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
z + 1 + i?
A. 3

B. 4

5 21
+
i
2 2

2(1+2i)
1+i

= 7 + 8i Tìm modun của số phức w =
C. 5

D. 6
5|6


Đáp án:
Ta ấn mode, chọn 2:CMPLX, và sử dụng SHIFT +ENG để gõ phần phức chứa “i”
Tính z = 3+2i => w=4+3i => |w|=5
Câu 21. Cho hàm số y = |x|3 − 2x 2 + 1. Nhận định nào sau đây là đúng?
5

A. Hàm số đồng biến trên (− ; 0)
3

B. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1)
5

C. Hàm số nghịch biến trên (0; )
3

D. Hàm số đồng biến trên (2; +∞)
3

Đáp án: y = (√x 2 ) − 2x 2 + 1
TXĐ: D=R
2

y = 3. (√x 2 ) .
′

y′ = 0 ↔ {

3x 3
. 2x − 4x =
− 4x
|x|
2√x 2
1

4
x≠0
x≠0
x≠0
{
↔{ 6
↔
↔
x
=
±

3x = 4x|x|
9x = 16x 4
9x 2 = 16
3
3

Bảng biến thiên
x
y’
y

−∞
-4/3
−∞ - 0 +

0
4/3
|| 0

+

+∞
+∞

Câu 22: Giải phương trình z 2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức, tổng phần ảo
của các nghiệm là:
A. -1

B. -2

C. -3

D. 2

Đáp án:
Phương trình có ∆= −2i = (1 − i)2 => Nghiệm: z = −1 − 2i; z = −2 − i
(2x+1)(x−1)

Câu 23. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = (x−1)2 (x+1)?
A. x = 1

B. x = −1

C. x = 1 và x = −1

D. Cả A, B, C sai

Đáp án: C
TXĐ: D = R/{1;-1}
lim+

x→1

(2x + 1)(x − 1)
(2x + 1)
=
lim
= +∞
(x − 1)2 (x + 1) x→1+ (x − 1)(x + 1)
6|6

lim−

x→1

(2x + 1)(x − 1)
(2x + 1)
=
lim
= −∞
(x − 1)2 (x + 1) x→1− (x − 1)(x + 1)

=> x=1 là tiệm cận đứng
Tương tự, x = −1 cũng là tiệm cận đứng
Câu 24. Đồ thị của hàm số y = x 2 + 1 và đồ thị của hàm số x = y 2 − 3 có tất cả bao nhiêu
điểm chung?
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án:
Giả sử (xo , yo ) là điểm chung của 2 đồ thị => {

yo = xo2 + 1
=> yo = (yo2 − 3)2 + 1

xo = yo2 − 3

↔ (yo − 2)(yo3 + 2yo2 − 2yo − 5) = 0 ↔ {

yo = 2
=> C
yo = 1,5115

2 +x

Câu 25: Tính tổng các nghiệm của phương trình sau: 2x
A. 1

B. 0

2 −x

− 4.2x

− 22x + 4 = 0

C. 2

D. 3

Đáp án:
Chú ý: (x 2 + x) − (x 2 − x) = 2x => đặt (x 2 + x) = a và (x 2 − x) = b
=> 2a − 4.2b − 2a−b + 4 = 0 => (2a −

2a

2b

) − 4(2b − 1) = 0 => (2b − 1) (

2a
2b

− 4) = 0

2

2
b
x −x
=> ⟦ 2a−b= 1 ↔ ⟦2 2x = 1 ↔ ⟦x − x = 0
x=1
2
=4
2 =4
1

1

1

Câu 26: Cho số phức z có modun bằng ½ và số phức w thỏa mãn + =
. Tìm modun
z
w
z+w

của w?
A. 1/3

B. 3

C. 1/2

D. 2

Cách 1: Do tồn tại vô số số phức z, mỗi số z lại tìm được 1 số w nên ta có thể giả sử z=1/2
=> 2 +

1
1
=
=> 2w 2 + w + 0,5 = 0
w 0,5 + w

1 √3
1 √3
1
=> w = (− +
i) hoặc w = (− −
i) => |w| =
4
4
4
4
2
Cách 2: Giải phương trình đẳng cấp bậc 2 với z và w

z
1 √3
=
−
+
i
z
z
z
w
2
2
2
2
z + zw + w = 0 ↔ ( ) + + 1 = 0 ↔ ⟦
=> | | = 1
w
w
w
z
1 √3
=− −
i
w
2
2
2

7|6

=>

|z|
1
= 1 => |w| =
|w|
2

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;2); B(2; -2; 1) và C(-2; 0;1)
Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z − 3 = 0 (P) sao cho khoảng cách từ M đến
3 điểm A, B, C bằng nhau.
A. (2; 3; −8)

5

5

B. (2; ; −7)

C. ( ; 3; −7)

2

2

D. (2; 3; −7)

Đáp án:
* Giả sử I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC => M là giao của (d) và (P) với (d)

là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (ABC)
* Chú ý: Tam giác ABC vuông tại A => I là trung điểm của BC => I(0;-1;1)
* (ABC): x+2y-4z+6=0
Câu 28:
Cho bảng biến thiên của một hàm số f(x)
như hình vẽ. Phương trình |f(x)| = 3 sẽ có
bao nhiêu nghiệm?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Đáp án:
|f(x)| = 3 ↔ ⟦

f(x) = 3
f(x) = −3

Nhìn vào hình vẽ => f(x)=3 có 1 nghiệm, f(x)= -3 có 1 nghiệm => tổng có 2 nghiệm
Câu 29: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x + (3 − m)2x −
m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0;1)
A. [3; 4]

B. [2; 4]

C. (2,4)

D. (3; 4)

Đáp án:

m=

6x + 3.2x
= f(x)
2x + 1

Ta khảo sát hàm số trên khoảng (0,1): mode, 7:table, f(x), start:0, end:1, step:

1
20

Ta thấy hàm đồng biến tăng dần từ 2 đến 4 => Đáp án C
8|6


Câu 30: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình sau gần giá trị nào nhất?
f(x) = √x 2 + 1 + 3x + 5 − x 3 − ln(x + 2) = 0
A. 5

B. 5,5

C. 6

D. 6,5

Đáp án: ĐKXĐ: x > −2
Ta sử dụng chức năng table để khảo sát trên (−2; 20], step: 1,1 => khi x đi qua khoảng
(−2; 3,5] thì f(x) đổi dấu => f(x)=0 có nghiệm duy nhất nằm trong (−2; 3,5]
Ta khảo sát trên (-2; 3,5], step:

3,5+2
20

Ta thấy khi x đi qua 2,125 và 2,675 thì f(x) đổi dấu.
* Ta dùng chức năng solve để giải cụ thể nghiệm
Nhập f(x), =, 2.125, =, shift, solve, =
Từ đó tìm được nghiệm duy nhất là x=2,362025, gán vào A . Ta có A2 = 5,579
Câu 31:

𝑦 = log 𝑎 𝑥

Nhận định nào là đúng?
A. a>b>c
B. c>a>b
C. b>a>c
D. c>b>a

𝑦 = log 𝑏 𝑥
𝑦 = log 𝑐 𝑥
Đáp án:

𝑦 = log 𝑎 𝑥

𝑦 = log 𝑏 𝑥

2
1
2
-2

Ta xét đường thằng x=2
log a 2 = 2 => a = √2
=>{ log b 2 = 1 => b = 2
1
log c 2 = −2 => c =
√2
=>b>a>c

𝑦 = log 𝑐 𝑥

9|6


Câu 32: Một cửa hàng bán lẻ phần mềm có giá 10 đô. Với giá bán này cửa hàng chỉ bán được
25 sản phẩm. Ước tính mỗi lần giảm giá bán đi 2 đô thì số sản phẩm bán được tăng thêm 40
sản phẩm. Xác định giá bán để cửa hàng đạt lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá mua về một sản
phẩm là 5 đô.
A. 7,625

B. 8,525

C. 8,625

D. 8,125

Đáp án:
Giả sử sản lượng Q là hàm số bậc nhất của giá bán P => Q=a+bP
25 = a + b. 10
Ta có: {Q′ (P) = 40 = b = −20 => a = 225; b = −20 => Q = 225 − 20P
−2

Lợi nhuận là R= doanh số - chi phí = PQ − 5Q = (P − 5)Q = (P − 5)(225 − 20P) = f(P)
f ′ (P) = −40P + 325 => f ′ (P) = 0 thì P = 8,125.
Vẽ bảng biến thiên => P=8,125 đô thì lợi nhuận max
Câu 33: Cho số phức w và hai số thực a và b. Biết z1 = w + 2i; z2 = 2w − 3 là hai nghiệm
phức của phương trình z 2 + az + b = 0. Tính T = |z1 | + |z2 |
A. 2√13

B.

2√97
3

C.

2√85

D. 4√13

3

Đáp án:
Cách 1: Ta biết rằng z1 và z2 là 2 số phức liên hợp của nhau => z1 = z̅2
=> x + (y + 2)i = (2x − 3) − 2yi => {

x = 2x − 3
y + 2 = −2y

Cách 2:
Giả sử w = x + yi (x, y ∈ R)

z1 + z2 = 3w + 2i − 3 = (3x − 3) + (3y + 2)i = −a => (3x − 3) = −a và y = −
Ta có: x =

3−a
3

và y = −

=> z1 z2 = [

2
3

2
3

3 − a 4 −3 − 2a 4
2a2 a 7
4a 8
[
(
+ i]
− i] =
− + ) + i (− − ) = b
3
3
3
3
9
3 9

9 3

2a2 a 7
4
(
− + )=b
a = −6
z=3+ i
97
9
3 9
3
97 => z 2 + (−6)z + ( ) = 0 => ⟦
=>
=> {
4
b=
9
4a 8
9
z
=
3
−
i
(− − ) = 0
3
9 3
{
10 | 6

=> T = 2.

√97
3

1

Câu 34: Tìm m để hàm số y = x 3 − 2mx 2 − 4mx + 1 có cực đại và cực tiểu tại x1 , x2 sao
cho T =

8m2
x21 −4mx1 +4m2

A. 2

+

3
x22 −4mx2 +4m2
8m2

đạt giá trị nhỏ nhất?

B. -2

D. -1/3 hoặc 1

C. 1

Đáp án:
Ta có: y ′ = x 2 − 4mx − 4m => y ′ (x1 ) = y ′ (x2 ) = 0
=>

x12

− 4mx1 − 4m =

x22

8m2
4m2 + 4m
− 4mx2 − 4m = 0 => T =
+
4m2 + 4m
8m2

Chú ý: y ′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt nên ∆= 16m2 + 16m > 0 => T ≥ 2 (cosi)
Dấu bằng khi 8m2 = 4m2 + 4m => m = 1
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn |z 2 + 2z + 2| = |z + 1 − i|. Tìm giá trị lớn nhất của |z|
A. √2 + 1

C. √2 + 2

B. 2

D. √2 − 1

Đáp án:

* |z 2 + 2z + 2| = |(z + 1)2 − i2 | = |(z + 1 − i)(z + 1 + i)| = |z + 1 − i||z + 1 + i|
* |z + 1 − i|(|z + 1 + i| − 1) = 0 ↔ ⟦

|z + 1 − i| = 0 => z = i − 1 => |z| = √2
|z + 1 + i| = 1 (∗)

* Xét (*): Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R) => |(x + 1) + i(y + 1)| = 1 => (x + 1)2 +
(y + 1)2 = 1 => Tập hợp M (x;y) là đường tròn tâm I (-1;-1) bán kính R=1 và ta cần tìm M
sao cho |z| lớn nhất tức OM lớn nhất (vì OM=|z|)
Ta thấy OMmax = OI + R = √2 + 1 => |z|max = √2 + 1
x+1

y

z−2

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
= =
và điểm I
1
2
1
(0;0;3). Biết mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại 2 điểm A và B sao cho tam giác IAB vuông tại
I, tính bán kính mặt cầu?
A.

2√6

B.

3

2√5

C.

3

2√7
3

D.

2√8
3

Đáp án:
* Tam giác IAB vuông cân tại I. Giả sử H là trung điểm AB => IH vuông góc AB và IH =
d(I, d)
* Ta có: IH = IA. sin45 =

R√2
2

2 2

2 2

2 2

3

3

3

* IH=d(I,d)=√(− ) + ( ) + (− ) =

2√3
3

=> R =

2√6
3

11 | 6


Câu 37: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
4

4

√2x + √2x + 2√6 − x + 2√6 − x = m

4

A. 2√6 + 2 √6 ≤ m ≤ 3√2 + 6
4

B. 2√3 + √12 ≤ m ≤ 3√2 + 6
4

C. 2√6 + 2 √6 < m < 3√2 + 6
4

D. 2√3 + √12 < m < 3√2 + 6
Đáp án:
Cách 1: Sử dụng chức năng table của fx570 Es
4
4
Mode, 7, nhập hàm f(x) = √2x + √2x + 2 √6 − x + 2√6 − x, start=0, end=6, step=(6-0)/20

Từ đó ta sẽ xác định được phổ giá trị của hàm số, từ đó rút ra m
Cách 2:
ĐKXĐ: 0 ≤ x ≤ 6
4

4

Ta có: f(x) = √2x + √2x + 2 √6 − x + 2√6 − x (TXĐ: D = [0; 6])
f ′ (x) =

1
1
1
1
1
(4

)+(
) (0 < x < 6)
−4
−
2 √(2x)3 √(6 − x)3
√2x √6 − x

Ta thấy f′(x) là hàm số giảm trên (0;6). Mặt khác f ′ (2) = 0 nên ta có bảng biến thiên

4

=> 2√6 + 2 √6 ≤ m ≤ 3√2 + 6
Câu 38: Cho hình phẳng H được giới hạn bởi các đường y = −√x + 2, y=x+2, x=1. Tính thể
tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng H qua trục hoành?
A. V =

27π
2

B. V =

9π
2

C. V = 9π

D.

55π
6

Đáp án: Lấy đối xứng d2 qua trục hoành ta có đường thẳng d2’: y = −x − 2 . Khi đó ta thay
đổi vai trò d2 và d2’ thì V không đổi.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của y = −√x + 2 và y = −x − 2
=> x = −1 hoặc x = −2
12 | 6


y
x=1
-2

-1

x

O
-1

−1

2

1

Ta có: V = V1 + V2 = π ∫−2 (−√x + 2) dx + π ∫−1(−x − 2)2 dx =

55π
6

Câu 39: A học đại học Ngoại thương và ra trường sau 4 năm. 3 năm đầu mỗi năm học 40 tín
chỉ, riêng năm cuối học 20 tín chỉ. Vào năm 1 thì học phí 1 tín chỉ là 400 ngàn đồng, cứ sau
1 năm thì học phí lại tăng lên 10% mỗi tín chỉ. A ở suốt trên Hà Nội với chi phí sinh hoạt nói
chung là 2 triệu một tháng. A vay toàn bộ số tiền cần thiết để học đại học vào thời điểm nhập
học, lãi suất 5% một năm, cứ sau một năm thì lãi lại gộp vào tiền gốc để tính lãi năm tiếp
theo. Khi A ra trường, A ngay lập tức đi làm ở một công ty với mức lương x triệu đồng, mức
lương tăng 10% sau mỗi năm làm việc. Hỏi x tối thiểu bằng bao nhiêu để sau 2 năm thì A sẽ
tiết kiệm đủ số tiền để trả nợ ngân hàng biết mỗi tháng A tiết kiệm 60% số tiền lương nhận
được.
A. 14,15 triệu

B. 15 triệu

C. 16,2 triệu

D. 13,7 triệu

* Tổng học phí đại học:
40.0,4 + 40.0,4.110% + 40.0,4.110%. 110% + 20.0,4.110%. 110%. 110%
= 63,608 triệu
* Tổng chi phí sinh hoạt khi học đại học: 4.12.2=96 triệu
* Tổng chi phí để học đại học = 63,608+96=159,608 triệu
* Sau 2 năm đi làm thì tổng số tiền nợ: 159,608. (1 + 5%)6
* Tổng số tiền tiết kiệm được sau 2 năm đi làm: 12.60%x + 12.60%(110%x) = 15,12x
Ta có: 15,12x = 159,608. (1 + 5%)6 => x = 14,15 triệu
Câu 40: Xét số phức z ≠ 0 thỏa mãn z√3z. z̅ + 2 = |z|(3 + 5iz + i). Modun của z gần giá
trị nào nhất?
A. 0,5

B. 0,6

C. 0,7

D. 0,8

Đáp án: z (√3|z|2 + 2 − 5i. |z|) = |z|(3 + i)
Lấy modun 2 vế ta có: |z|√(3|z|2 + 2 + 25|z|2 ) = |z|√32 + 12
13 | 6


2

=> 28|z|2 = 8 (vì z ≠ 0) => |z| = √ = 0,53
7

Câu 41: Cho hình vẽ như trên, tất cả các điểm đều cố định, riêng M là di động trên đoạn SE.
Giá trị CM+MH nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
S

E

M
4
C

7
8

F
A. 15

H
C. 17

B. 16

D. 18

Đáp án:
* Ta lấy C1 đối xứng C qua đường
thẳng SE
=> CM+MH=C1M+MH
Ta lấy C1H giao SE tại Mo. Xét
tam giác C1MH => C1M+MH ≥
C1H => (CM+MH) min = C1H =
√(7 + 4 + 4)2 + 82 = 17. Dấu
bằng xảy ra khi M=Mo

C1

S

E
Mo

M

4
C

7
F

8

H

Câu 42: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên
AA’=a√2. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa AM và B’C
A. a/√7

B. a/√9

C. a/√8

D. a/√6

14 | 6


* E là trung điểm BB’. Khi đó (AME) song
song với B’C => Khoảng cách AM và B’C
bằng khoảng cách từ B’C đến (AME)
* BB’ cắt (AME) tại trung điểm E => khoảng
cách từ B đến (AME) bằng khoảng cách từ
B’ đến (AME)
* Giả sử h là khoảng cách từ B đếm (AME)
Vì BE, BM, BA đôi một vuông góc nên:
1
1

1
1
7
a
=
+
+
=
=>
h
=
h2 BE2 BM2 BA2 a2
√7

Câu 43: Cho hàm số f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c. Nếu phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân
2
biệt thì phương trình 2f(x). f ′′ (x) = (f ′ (x)) có số nghiệm là k, vậy k có thể nhận bao nhiêu
giá trị trong số các giá trị sau: 1, 2, 3, 4
A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Đáp án:
f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là m, n, p
2

Xét hàm số g(x) = 2f(x)f ′′ (x) − (f ′ (x)) có số hạng có bậc cao nhất là 2. x 3 (6x) −
(3x 2 )2 = 12x 4 − 9x 4 = 3x 4
g ′ = 2(f ′ f ′′ + ff ′′′ ) − 2f ′ f ′′ = 2f. f ′′′ = 12f => g ′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt m, n, p
Bảng biến thiên:
x
g’
g

−∞
m
−∞ - 0

+

n
0 -

p
0

+

+∞
+∞

Ta có:
2

2

g(n) = 2f(n)f ′′ (n) − (f ′ (n)) = −(f ′ (n)) < 0
(vì f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên f′(n) ≠ 0)
=> g(x) = 0 Chỉ có 2 nghiệm mà thôi

15 | 6


Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60 độ.
Tính khoảng cách giữa SA và BC?
A.

a√41

B.

13

a√42

C.

12

a√43

D.

11

a√44
12

* Kẻ Ax//BC và N,K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H lên Ax và SN. Ta có
BC//(SAN)
và
BA=3HA/2
nên
d(SA,BC)=d(B,(SAN))=3d(H(SAN))/2
* Ta có HK vuông góc (SAN) =>
d(H,(SAN))=HK
* Tam giác SHN vuông tại H, có HK vuông
1
1
1
với SN => 2 = 2 + 2
HK

HN

HS

Trong đó: HN = AHsin60 =
HCtan60 =

a√21
3

=> HK =

a√3

a√42

3

và HS =

12

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z − 1 = 0 và
x+1
y
z+9
x−1
y−3
z+1
hai đường thẳng d1 :
= =
và d2 :
=
=
. Xác định tọa độ điểm M thuộc
1
1
6
2
1
−2

đường thẳng d1 sao cho khoảng cách từ M đến d2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
bằng nhau biết M không nằm trên mặt phẳng Oyz.
18 53

A. ( ;

3

; )

34 34 34

19 54

B. ( ;

4

18 53

; )

C. ( ;

35 35 35

3

19 54

; )

D. ( ;

35 35 35

4

; )

34 34 34

Đáp án:
M ∈ d1 => M(−1 + t; t; −9 + 6t)
* Lấy A(1; 3; −1) ∈ d2 ; d2 có VTCP u
⃗ = (2; 1; −2) => d(M; d2 ) =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;u
⃗ ]|
|[MA
|u
⃗|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; u
* ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
MA = (2 − t; 3 − t; 8 − 6t) => [MA
⃗ ] = (8t − 14; 20 − 14t; t − 4)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; u
=> |[MA
⃗ ]| = 3√29t 2 − 88t + 68 => d(M, d2 ) = √29t 2 − 88t + 68

* d(M; (P)) =

|−1+t−2t+12t−18−1|
√12 +(−2)2 +22

=

|11t−20|
3

16 | 6


* √29t 2 − 88t + 68 =

|11t−20|
3

↔ 35t 2 − 88t + 53 = 0 ↔ t = 1(loại) hoặc t =

53
35

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC. A1 B1 C1 . Biết
A(a;0;0); B(-a;0;0); C(0;1;0); B1 (−a; 0; b) với a và b đều dương. Biết a,b thay đổi nhưng thỏa
mãn a+b=4. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1 C và AC1 ?
7

B. √3

A. √2

9

D. √

C. √

4

4

Đáp án:
*Ta có:
d(B1 C, AC1 ) =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ]AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 |
|[B
1 C,AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ]|
|[B
1 C,AC

* Mặt khác:
C1 (0; 1; b)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
B1 C = (a; 1; −b)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AC1 = (−a; 1; b)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB1 = (−2a; 0; b)
ab
=> d(B1 C, AC1 ) = √a2 2
+b
Áp dụng BĐT Cosi, ta có:
a2 + b2 ≥ 2ab
ab
1
√ab
=>
≤
√a2 + b 2 √2
1 (a + b)
≤
= √2
√2 2
d(B1 C, AC1 ) ≤ √2
Dấu bằng xảy ra khi a=b=2

Câu 47: Cho hàm số y=f(x)=x(x 2 − 1)(x 2 − 4)(x 2 − 9). Hỏi hàm số y = f′(x) sẽ cắt trục
hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt?
A. 4

B. 5

C. 6

D. 4

Đáp án:
Ta có: f(x) = (x − 3)(x − 2)(x − 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
a′

b′

a

b

+

(x+1)′

Ta có: (abc)′ = a′ bc + ab′ c + abc ′ = abc( +
=> f ′ (x) = f(x) (
=> f ′ (x) = f(x) (

(x−3)′
x−3
1
x−3

+

+

(x−2)′

x−2

1
x−2

+

+

1
x−1

(x−1)′
x−1

+

x′
x

1

1

x

x+1

+ +

+

x+1
1
x+2

c′

+ )

+

c

+

(x+2)′

1

x+2

+

(x+3)′
x+3

)

)

x+3

Do f(x) = 0 có 7 nghiệm phân biệt => f ′ (x) = 0 không có nghiệm thuộc {-3,-2,-1,0,1,2,3}
=> nếu giả sử xo là nghiệm của f ′ (x) = 0 thì f(xo ) ≠ 0
17 | 6


=> f ′ (x) = 0 ↔ g(x) =

1
x−3

+

1
x−2

+

1
x−1

1

1

x

x+1

+ +

+

1
x+2

+

1
x+3

=0

Ta thấy g ′ (x) < 0∀x ∉ {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}
Bảng biến thiên g(x)
x

−∞

g’(x)
g(x)

-3
-

0−

||

+∞
−∞

-2
-

||
+∞
−∞

-1

0

|| -

||

+∞

+∞

-

−∞

-

−∞

+∞

1

2

3

|| -

|| -

|| -

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

0+

Vậy sẽ có 6 giao điểm với trục hoành.

Câu 48.
Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe X và
Y khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và
trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu
diễn vận tốc của X là một đường cong, đồ thị
biểu diễn vận tốc của xe Y là một đường
thẳng. Sau khi đi được 4s thì khoảng cách
giữa 2 xe có giá trị đúng bằng:
A. |A − D|
B. A + D
C. A + B + C
D. A + B + C + D

𝑚
𝑣( )
𝑠

𝑣𝑌

𝑣𝑋

D
A

B

C
𝑡(s) 4

18 | 6

Đáp án:
4

xX = ∫0 vX dt = A + B + C
vX = xX′ => xX = ∫ vX
{
Ta có: {
=>
Sau
4s:
4
vY = xY′ => xY = ∫ vY
xY = ∫ vY dt = B + C + D
0

Sau 4s, X đi được quãng đường: xX = A+B+C
Còn Y đi được quãng đường: xY = B+C+D => |xX − xY | = |A − D|
Câu 49: Tính thể tình khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục xy?
5π 3
a
48
5π
B. a3
16
π
C. a3
6
π

D. a3
8

A.

Đáp án:

𝑑1

1/2

𝑑2
-1/2 -1/4
Ta chia thành 4 mảnh nhỏ. Tính V1 là thể tích do 1 mảnh tạo ra.
Ta có: V1 =

0
π ∫−1 d12 dx
2

1
4
1
−
2

−

−π∫

x

1

2

4

Mặt khác: (d1 ): y = − +

d22 dx
1

5π

2

96

và (d2 ): y = −2x − => V1 =

=> Tổng thể tích: V = 2V1 =

5π
48

Câu 50: Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [-1;2] thỏa mãn f(0)=1 và f 2 (x). f ′ (x) = 1 +
2x + 3x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-1;2]
3

3

3

3

A. min= √2, max= √40
B. min= √2, max= √43
3

3

3

3

C. min= √−2, max= √43
D. min= √−2, max= √40
19 | 6


Đáp án:
f 2 (x)f ′ (x) = 1 + 2x + 3x 2 .
Ta lấy nguyên hàm cả 2 vế theo x: ∫ f 2 (x)f ′ (x)dx = ∫(1 + 2x + 3x 2 )dx
f 3 (x)
+ c2 = x + x 2 + x 3 + c1 => f 3 (x)
3
3
2
3

= 3(x + x + x + c) => f(x) = √3(x + x 2 + x 3 + c)

=> ∫ f 2 (x)df(x) = x + x 2 + x 3 + c1 =>

3

1

3

1

f(0) = 1=> √3c = 1 => c = => f(x) = √3(x + x 2 + x 3 + )
3
3
1
3
(3 + 6x + 9x 2 )
min = f(−1) = √−2
3
′( )
f x =3
> 0∀x ∈ [−1; 2] ⇒ {
3
max = f(2) = √43
√(3x + 3x 2 + 3x 3 + 1)2

--------- HẾT---------

20 | 6