Lý thuyết lượng tử về ảnh hưởng sóng điện từ lên hiệu ứng âm điện từ trong siêu mạng pha tạp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------

VŨ THỊ DỊU

LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ ẢNH HƢỞNG SÓNG ĐIỆN TỪ
LÊN HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN - TỪ
TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------

Vũ Thị Dịu

LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ ẢNH HƢỞNG SÓNG ĐIỆN TỪ
LÊN HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN - TỪ
TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số:60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:TS.NGUYỄN VĂN HIẾU

Hà Nội – 2015


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành
tới GS. TS Nguyễn Quang Báu, TS. Nguyễn Văn Hiếu. Cảm ơn thầy đã hướng dẫn,
chỉ bảo và giúp đỡ tận tình em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận văn.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, bộ môn
Vật lý lý thuyết cũng như các thầy cô trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học
Quốc Gia Hà Nội đã hết lòng đào tạo, giúp đỡ em trong suốt thời gian em học tập
tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này.
Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài NAFOSTED
(Number.103.01-2015.22).
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả những người thân, anh chị và
các bạn trong bộ môn Vật lý lý thuyết đã động viên, giúp đỡ em trong thời gian làm
luận văn .

Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Học viên

Vũ Thị Dịu


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
Chƣơng I:TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN -TỪ TRONG BÁN DẪN KHỐI ....................................................................3

1.1.

Khái quát về siêu mạng pha tạp ........................................................................3

1.1.1.

Cấu trúc về siêu mạng pha tạp .......................................................................3

1.1.2.

Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp .............3

1.1.2.1.

Trường hợp vắng mặt của từ trường ..........................................................3

1.1.2.2.

Trường hợp có mặt của từ trường ..............................................................5

1.2.

Phương pháp phương trình động lượng tử và hiệu ứng âm-điện-từ trong bán

dẫn khối. ......................................................................................................................5
1.2.1.

Khái niệm về hiệu ứng âm-điện và âm-điện-từ .............................................5

1.2.2.

Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm-điện-từ ..................................................6

Chƣơng II:PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ TRONG
HIỆU ỨNG ÂM -ĐIỆN -TỪ ĐỐI VỚI SIÊU MẠNG PHA TẠP KHI CÓ
SÓNG ĐIỆN TỪ NGOÀI .......................................................................................13
2.1. Toán tử hamintonian của hệ điện tử -phonon trong siêu mạng pha tạp khi có
mặt sóng điện từ ........................................................................................................13
2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp khi có mặt
sóng điện từ. ..............................................................................................................15
2.3. Biểu thức trường âm điện từ trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ 24
Chƣơng III:TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO
SIÊU MẠNG PHA TẠP n-GaAs/p-GaAs VÀ BÀN LUẬN.
3.1. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm điện từ vào tần số sóng âm
……...........................................................................................................................36


3.2. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm điện từ vào từ trường ngoài
……...........................................................................................................................38
3.3. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm điện từ vào từ trường khi có mặt
và không có mặt sóng điện từ……………….............................……………...…...40
KẾT LUẬN………………………………………………………………………. 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................42
PHỤ LỤC .................................................................................................................44


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ĐỒ THỊ
Số hiệu
Hình 1

Hình 3.1

Tên hình vẽ

Trang

Thí nghiệm hiệu ứng âm điện từ

6

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm

37

điện từ vào tần số sóng âm tại những giá trị
khác nhau của từ trường ngoài
Hình 3.2

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm

37

điện từ vào tần số sóng âm tại những giá trị
khác nhau của nhiệt độ
Hình 3.3

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm

38

điện từ vào tần số sóng âm tại những giá trị
khác nhau của tần số sóng điện từ
Hình 3.4

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm

39

điện từ vào từ trường ngoài trong trường hợp từ
trường mạnh, nhiệt độ cao ωq =1,46.109 s-1..
Hình 3.5

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm

39

điện từ vào từ trường ngoài trong trường hợp từ
trường yếu, nhiệt độ cao ωq =1,46.109 s-1..
Hình 3.6

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm
điện từ vào từ trường ngoài khi có ảnh hưởng
sóng điện từ và khi không có sóng điện từ.

40


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, việc chế tạo và nghiên cứu các tính chất của các

vật liệu có cấu trúc nano là vấn đề mang tính thời sự thu hút nhiều nhà khoa học
hàng đầu trong nước và quốc tế tham gia nghiên cứu. Trong đó bán dẫn thấp
chiều là một điểm nóng trong các nghiên cứu hiện đại vì khả năng ứng dụng rộng
rãi trong đời sống và trong khoa học kĩ thuật. Các nhà khoa học đã tìm ra nhiều
phương pháp tạo ra các cấu trúc nano khác nhau, trong đó có bán dẫn thấp chiều
(như siêu mạng, hố lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử...). Người ta nghiên
cứu được rằng: không những tính chất vật lý của các điện tử thấp chiều bị thay
đổi một cách đáng kể, mà còn có nhiều đặc tính mới khác hoàn toàn so với hệ
điện tử ba chiều thông thường[1-11].
Khác với bán dẫn khối, các điện tử chuyển động tự do trong toàn mạng tinh
thể theo ba chiều thì trong hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn
theo một, hai, hoặc ba hướng tọa độ. Từ đó cũng dẫn đến sự gián đoạn của phổ
năng lượng các hạt tải. Và sự lượng tử hóa phổ năng lượng của hạt tải này cũng
làm cho tính chất vật lý của hệ thay đổi như: tương tác điện tử - phonon, tính chất
điện, tính chất quang ... Và các đặc trưng của vật liệu cũng thay đổi như: hàm
phân bố, mật độ trạng thái, tensor độ dẫn... Theo đó, khi chịu tác dụng của trường
ngoài, với các bài toán tính dòng âm - điện - từ, trường - âm - điện- từ,…trong
các hệ thấp chiều sẽ cho các kết quả mới, khác biệt so với trường hợp bán dẫn
khối.
Thời gian gần đây, bài toán về hiệu ứng âm- điện-từ trong các hệ thấp chiều
cũng được nghiên cứu như: hiệu ứng âm - điện - từ trong siêu mạng, hiệu ứng âm
-điện - từ trong hệ một chiều, hiệu ứng âm - điện - từ trong hệ không chiều (chấm
lượng tử), hiệu ứng âm - điện - từ trong các vật liệu nano-cacbon[3,4,5]. Tuy vậy
bài toán về sự ảnh hưởng sóng điện từ lên hiệu ứng âm - điện - từ trong siêu
mạng pha tạp vẫn chưa được nghiên cứu . Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề nghiên

1


cứu là: lý thuyết lượng tử về sự ảnh hưởng sóng điện từ lên hiệu ứng âm - điện từ trong siêu mạng pha tạp

2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trên quan điểm lý thuyết lượng tử , bài toán hiệu ứng âm - điện -từ có thể
giải quyết theo nhiều phương pháp khác nhau với những ưu nhược điểm nhất
định trong từng phương pháp. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương
pháp phương trình động lượng tử. Đây là phương pháp đã được sử dụng tính toán
trong nhiều bài toán trong hệ thấp chiều và đã thu được kết quả có ý nghĩa khoa
học nhất định. Các kết quả lý thuyết được kết hợp tính số và đánh giá cả về định
tính, định lượng bằng phần mềm Matlap( phần mềm mô phỏng được sử dụng
nhiều trong vật lý ).
3. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và ba
chương chính sau:
Chương 1: Tổng quan siêu mạng pha tạp và hiệu ứng âm - điện - từ trong
bán dẫn khối.
Chương 2: Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hiệu ứng âm điện
từ đối với siêu mạng pha tạp khi có sóng điện từ ngoài
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho siêu mạng pha
tạp n-GaAs/p-GaAs và bàn luận.
Trong chương 2 và chương 3 của luận văn bao gồm các nội dung chính và kết
quả .Kết quả luận văn đã thu được biểu thức giải tích của trường âm điện từ trong
siêu mạng pha tap khi có sóng điện từ. Các kết quả tính số được trình bày và bàn
luận để cho thấy trường âm điện từ phụ thuộc mạnh vào từ trường ngoài, nhiệt
độ, sóng điện từ và tần số sóng âm trong siêu mạng pha tạp .Kết quả thu được là
mới , có những điểm khác biệt so với bài toán trường âm điện từ trong bán dẫn
khối và so với trường âm – điện – từ khi không có sóng điện từ.

2


Chƣơng I:

TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN TỪ
TRONG BÁN DẪN KHỐI

1.1.

Khái quát về siêu mạng pha tạp

1.1.1. Cấu trúc về siêu mạng pha tạp
Trong cấu trúc đa lớp có sự xen kẽ giữa các lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp
và lớp bán dẫn có vùng cấm rộng, nhưng các hạt tải nằm trong một lớp bất kì của
bán dẫn vùng cấm hẹp không thể xuyên qua lớp bán dẫn có vùng cấm rộng để đi
tới các lớp tiếp theo của bán dẫn có vùng cấm hẹp. Chính các lớp mỏng của bán
dẫn vùng cấm hẹp tạo nên các hố lượng tử hai chiều cách ly và xác định xứ mạnh
các hạt tải điện. Nếu các lớp ngăn cách của bán dẫn vùng cấm rộng có độ dày
không lớn thì các hạt tải có thể xuyên qua hàng rào thế năng từ lớp bán dẫn vùng
cấm hẹp này sang các lớp bán dẫn vùng cấm hẹp gần nhất bằng hiệu ứng đường
hầm. Cấu trúc này được gọi là siêu mạng bán dẫn.
Siêu mạng pha tạp được tạo nên do sự sắp xếp tuần hoàn của các lớp bán
dẫn mỏng GaAs loại n (GaAs:Si) và GaAs loại p (GaAs:Be), ngăn cách bởi các
lớp GaAs không pha tạp . Hay được gọi là tinh thể n-i-p-i. Trong siêu mạng pha
tạp sự phân bố điện tích đóng vai trò quyết định đối với việc tạo nên thế siêu
mạng.
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng pha
tạp
1.1.2.1.

Trƣờng hợp vắng mặt của từ trƣờng

Trong siêu mạng pha tạp khi ta đưa các pha tạp vào thì cấu trúc của mạng
tinh thể chính không bị ảnh hưởng bởi số nguyên tử pha tạp luôn ít hơn số

3


nguyên tử pha tạp trong bán dẫn chính .Nên không xảy ra vấn đề gì đối với các
mặt tiếp xúc giữa các lớp, không có các giới hạn đối với việc chọn bán dẫn
chính.Khi các acceptor trong các lớp p bằng số các donor trong các lớp n và mật
độ của chất pha tạp không quá cao thì tất cả các tâm donor trong siêu mạng pha
tạp đều tích điện dương ,còn tất cả các tâm acceptor đều tích điện âm .
Với nD ( z ) là hàm phân bố donor, nA ( z ) là hàm phân bố acceptor ,còn  0 là hằng
số điện môi tĩnh thì sự đóng góp của các chất pha tạp, được ion, vào thế siêu
mạng được xác định bởi nghiệm của phương trình poisson :
d 2U i ( z )  4 e2 

  nD ( z )  nA ( z ).
dz 2
 0 

(1.1)

Có điều kiện biên (z=0 ứng với tâm của lớp n)
dU i ( z )
 U i (0),
dz z 0

(1.2)

Sự pha tạp đồng nhất cho nên thế U i ( z ) có dạng toàn phương trong các
vùng được pha tạp
 2 e2 nD z 2

d
,z  n,

0
2

Ui ( z)  
2
2U  2 e nA ( d  z ) 2 , ( d  z )  d p ,
0

0
2
2
2


(1.3)

Trong các vùng thiết yếu thì thế U i ( z ) tuyến tính
Ui ( z) 

d  d
d  dn
2 e2 nD z 2 
z  n , n  z 
,

0
4 2

2


(1.4)

Với 2 U 0 là biên độ của U i ( z ) , d n ( p ,i ) là độ rộng của lớp n(p,i).
2

 e2  nD d n2 nAd p
U0 

 nD d n di  ,


0  4
4


(1.5)

Theo tính toán này, các hạt tải dòng linh động , cụ thể là n(z) đối với điện tử và
p(z) đối với lỗ trống cho ta đóng góp Hatree
U H ( z) 

4 e2

0

z'

z

 dz  dz
'

0

n

 n( z '' )  p( z '' ) ,

0

4

(1.6)


Và đóng góp tương quan trao đổi U xc ( z ) vào thế siêu mạng. Ở đây, n(z) và p(z)
được tính theo phương pháp hàm năng lượng, trong đó phương trình schrodinger
đơn hạt được giải theo trường tự hợp .
2



 2  U ( z )  n, p (r )   n ( p) n , p (r ),

 2m


U ( z)  Ui ( z)  U H ( z)  U xc ( z).

(1.7)
(1.8)

Khi bỏ qua U(z) trong trường hợp chồng chéo các vùng năng lượng khác
nhau thì nghiệm của có dạng:
(1.9)
Giải phương trình thu được năng lượng có dạng
(1.10)
Trong đó

là tần số Plasma
;
1.1.2.2.

là nồng độ pha tạp.
Trƣờng hợp có mặt của từ trƣờng

Khi có mặt của từ trường hướng theo trục z  B / / oz  cũng dẫn đến sự lượng
tử hóa của điện tử chuyển động trong mặt phẳng (x,y). Với A  A( By ,0,0) là thế
vecto của điện trường điện tử trong gần đúng liên kết mạch, phổ năng lượng của
điện tử trong mini vùng thấp nhất có dạng:
(1.11)
Và hàm sóng:

(1.12)

1.2.

Phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử và hiệu ứng âm điện từ
trong bán dẫn khối.

5


1.2.1. Khái niệm về hiệu ứng âm-điện và âm-điện-từ
Hiệu ứng âm-điện xuất hiện do sự truyền năng lượng và xung lượng từ sóng
âm cho các điện tử khi sóng âm truyền dọc theo một vật dẫn. Mặt khác, trong sự
có mặt của từ trường, sóng âm truyền trong vật dẫn có thể gây ra một hiệu ứng
khác gọi là hiệu ứng âm-điện-từ. Trong mạch kín, hiệu ứng âm-điện-từ tạo ra
một dòng âm-điện-từ và trong mạch hở thì hiệu ứng âm-điện-từ tạo ra một
trường âm -điện-từ .
Hiệu ứng âm-điện-từ (acoustomagnetoelectric effect) trong các chất bán
dẫn một loại hạt tải được dự đoán lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1967, sau đó
được phát hiện thực nghiệm vào năm 1971 trong bán dẫn n-InSb. Nội dung của
hiệu ứng như sau: giả sử mẫu bán dẫn hình khối chữ nhật được đặt trong từ


trường H // Oz của mẫu và dòng sóng âm cường độ


W

// Ox (hình 1). Khi đó nếu

mẫu cách điện giữa hai mặt bên (theo phương Oy) xuất hiện một hiệu điện thế,
và ta đóng mạch theo phương này thì sẽ xuất hiện một dòng điện. Dòng điện này
chính là dòng âm điện từ.


H
z


W

0

V

x

y

Hình 1: Thí nghiệm hiệu ứng âm điện từ
Về bản chất sự tồn tại các dòng riêng của các nhóm hạt tải mang năng lượng
khác nhau, khi dòng trung bình toàn phần trong mẫu bằng không là nguyên nhân
xuất hiện ứng âm điện từ .
1.2.2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng âm điện từ

6


Lý thuyết lượng về hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn khối đã được nghiên
cứu lần đầu tiên bởi Parmenter vào năm 1953, và trong những năm sau đó tới nay
có nhiều hướng nghiên cứu về cả lý thuyết và thực nghiệm trong siêu mạng,
trong hố lượng tử, trong dây lượng tử và cho ra kết quả .Tuy nhiên về mặt lý
thuyết tất cả các công trình đều được nghiên cứu bằng phương pháp phương trình
động Boltzmann và xem sóng âm như là một lực tác dụng, khi sử dụng phương

pháp này thì việc giải thích các kết quả thực nghiệm và áp dụng có nhiều hạn
chế. Các kết quả nghiên cứu từ phương trình động Boltzmann không giải thích
được kết quả thực nghiệm và chỉ áp dụng cho miền nhiệt độ cao và từ trường
yếu. và không còn đúng trong miền nhiệt độ thấp và từ trường mạnh .
Trên cơ sở đó lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn
khối đã được A D Margulis và VI A Margulis nghiên cứu và công bố 1994 và
xem sóng âm như những dòng phonon kết hợp với hàm phân bố Delta
,
Để bắt đầu cho việc tính toán, tác giả xây dựng Hamintonian tương tác của hệ
điện tử - sóng âm.
+

+

exp (-i

),

(1.13)

Với


;



;

,

,

(1.14)

Trong đó: Cq là hằng số tương tác điện tử - phonon âm, an, px , an, px lần lượt là các
toán tử sinh, hủy điện tử, bq , bq lần lượt là các toán tử sinh, hủy phonon,

p, q

lần lượt là véc tơ sóng của điện tử và phonon, q là tần số của âm , sau , 0 là
mật độ khối lượng của môi trường , U n,n' (q ) là yếu tố ma trận của toán tử

U  exp(iqy  kl z) ,



kl  q 2  q2 / cl2



1/2

là thừa số tắt dần của thế trong trường

dịch chuyển .

7


Để thu được biểu thức mật độ dòng âm điện từ hoặc trường âm điện từ,

chúng ta cần thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
, Bắt đầu từ phương trình động cho toán tử số hạt f p (t )  a p a p
i

f p (t )
t

t

 a p a p , H .

(1.15)

t

Sử dụng Hamiltonian và hệ thức giao hoán của toán tử, thực hiện các phép
biến đổi kết quả thu được phương trình động lượng tử cho điện từ trong bán dẫn
khối , và chú ý tới hàm phân bố dòng phonon N  k 

f p

 2 


3

q cs

t

2

 cq U (q)

2

 f

pq

 



 

 f p    p  q   p  q  f p q  f p    p q   p  q



(1.16)
Vậy chúng ta có phương trình hàm phân bố của điện tử tương tác dòng
phonon ngoài khi có mặt từ trường.
f p 
f p  f p0 (2 )3
2
2


 Cq U (q) 

 eE  c  p, h  ,
  
q cs
p 
 ( p)



 f

pq

 

 

 

 f p    p  q   p  q  f p q  f p    p q   p  q

.

(1.17)
Nhân cả hai vế của phương trình (1.17) cho e p    p  và lấy tổng theo tòan
m

bộ p ta nhận được phương trình cho mật độ dòng riêng R( ) :

 m p f    
e

p

p

p

  me p f     
0



 ( p )
e 
p



e
p    p
m



p

 ( p )

p


p

f p
e
p    p (c  p, h  , ) 
m
p



2
2
 f p  (2 )3
 Cq U (q) 
 E ,
 
  p  q cs

(1.18)

8





p



p
f    p
m p

 f

pq

 



Đặt: R    e p f p    p
p

Q    e2 
p

S   



 f

pq

m

 

 

 f p    p  q   p  q  f p q  f p    p q   p  q

 ,



p  f p 
 E,
    p
m   p 





2
2
(2 )3
p
 Cq U (q) e     p 
q cs
p m



 



 

 

 f p    p  q   p  q  f p q  f p    p q   p  q

 ,

Ta có :
R  

  

   , R      Q     S    .

(1.19)

Trong gần đúng tuyến tính theo E và  , thay thế hàm f p bằng hàm phân bố
điện tử cân bằng f 0 , ta biến đổi tổng theo tích phân trong biểu thức của Q( ) và

S ( ) , sau đó tích phân trong hệ tọa độ cầu :
Q    e2 
p



p  f p 
 E,

    p
m   p 
2

e2

 2 





3







 f0 
2
d

sin

p
dp
0 0 0  E,  p      p

4 e2





p dp
   
m p
 2  
2

p f0

3

p



E

0

3/2



e 2 (2mn )3/2
2 2 mn



3/2
  1 ( )
f 0
 g

E .

 2 
1 

 g 

9

(1.20)


Tính toán tương tự đối với S ( ) kết quả thu được:
2

S   

 Cq U (q)

2

f p

p

 

0

pq



0

0

2





p
qdp    p 
m

 

  p  q    p q   p  q

  2  Cq U (q)
2

2



 d  sin   p

q cs




2

q cs

2



(1.21)
1/2

1/2


1 m
 1/2   1



 g

2  2 


1

g

Trong đó    1 

 g 

f 0
    1  ,


1/2

q2 
là hàm bậc thang,với 1  1 

2  2mn 




 1 .



Giải phương trình (1.21) với Q( ) và S ( ) biết từ (1.20) và (1.19) ta được :
R   

  
Q( )  S ( )     c    , Q     , S ( )  
1  c2 2  









 c2 2   Q    S   ,

 .



(1.22)

Chúng ta sẽ tính mật độ dòng âm điện từ toàn phần trong mẫu theo công thức:


j   R( )d   L0 (Q)  L0 ( S ),
0

Thực hiện một số phép biến đổi tích phân và tenxơ ta thu được

ji   ij E j  ij j ,

(1.23)

Ở đây:  ij là ten-xơ độ dẫn điện, ij là ten-xơ độ dẫn âm có dạng như sau :

e2 n
 ij 
a1. ij  c a2 . ijk hk  2c .a3hi h j ,
m



ij 



e
c  2mn 
2
s

3/2

b 

1 ij



 cb2 ijk hk  c 2b j hi h j ,

Trong đó  là hệ số hấp thụ sóng âm.

10


Giả sử dòng âm  và từ trường ngoài H cũng lần lượt được hướng dọc
theo các trục Ox và Oz và giả thiết rằng mẫu hoàn toàn cách điện  j  0  . Khi đó
từ (1.23) thiết lập hệ phương trình jx  j y  0 và giải ra ta thu được biểu thức của
trường âm điện từ E AME xuất hiện theo phương Oz của mẫu. Ta có phương trình:

jx   xj E j xj j   xx Ex   xy Ey   xz Ez  xx  x  xy y  xz z  0,

j y   yj E j yj j   yx Ex   yy Ey   yz Ez yx  x  yy y  yz z  0,
 xy E y  xx  x  0  yx xy E y   yxxx  x  0,

Suy ra : 
 yy E y   yx  x  0  yy yy E y   yy yx  x  0,
Suy ra: Ey ( yx xy   yy yy )   x ( yxxx   yyyx )  0.
Suy ra: E y 

 x ( yxxx   yy yx )

 xy 2   yy 2

;( yx   xy )

(1.24)

Biểu thức (1.24) là biểu thức tổng quát để tính trường âm điện từ trong bán
dẫn trong trường hợp thời gian phục hồi xung lượng phụ thuộc vào năng lượng
.Bằng một số phép biên đổi toán học ten-xơ chúng ta thu được biểu thức trường
âm điện trong bán dẫn khối.
Ey 

c Ew
3/2
2 (m)1/2 cs

Đặt: Ew 

 a1b2  a2b1  c2 (a3b2  a2b3 ) 

.
c2 a22  (a1  c2 a3 )2




trường Weinreich
ncs e

Trƣờng hợp từ trƣờng yếu:

.

(1.25) Trƣờng hợp từ trƣờng mạnh

11


.

(1.26)
Từ công thức (1.25) và (1.26) ta có nhận xét rằng đối với bán dẫn khối

trong từ trường yếu trường âm điện từ

tỉ lệ thuận với từ trường ngoài H,

còn trong từ trường mạnh trường âm điện từ
H.

12

tỉ lệ nghịch với từ trường ngoài


Chƣơng II:
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ TRONG HIỆU
ỨNG ÂM-ĐIỆN-TỪ ĐỐI VỚI SIÊU MẠNG PHA TẠP KHI CÓ SÓNG
ĐIỆN TỪ NGOÀI
2.1. Toán tử hamintonian của hệ điện tử -phonon trong siêu mạng pha tạp
khi có mặt sóng điện từ
Giả sử siêu mạng pha tạp đặt trong trường laser có vectơ cường độ điện
trường
vuông góc với phương truyền sóng

Hamintonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp được viết như sau
+

,

(2.1)
là năng lượng của các điện tử và phonon không tương tác .
,
(2.2)
là Haminltonian tương tác điện tử phonon
(2.3)
Với:
;

,

(2.4)
;

;

(2.5)
Trong đó:

13

,


an, px , an, px lần lượt là các toán tử sinh, hủy điện tử.

bq , bq lần lượt là các toán tử sinh, hủy phonon.

p, q lần lượt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.
q là tần số của phonon ngoài.
k là tần số của phonon trong.
Cq là hằng số tương tác điện tử - phonon ngoài.
Là

yếu

tố

ma

trận

của

toán

tử

.

(2.6)
: Vận tốc sóng âm ngang và vận tốc sóng âm dọc
là mật độ khối lượng siêu mạng pha tạp.
…. Là các chỉ số mức năng lương của điện tử bị lượng tử hóa theo
phương vuông góc oz.

Trong mô hình này thế siêu mạng có thể xem như hố lượng tử đa lớp với hố
thế parapol cho mỗi hố, chúng ta có hàm sóng và năng lượng tương ứng khi có
sóng điện từ
(2.7)



px  eA(t )
1
 ( p  eA(t ))  (n  ) 
2
2m



2

  p2
 2


 ( p y  eA(t )) 2
 
2m


(2.8)

Với n=0,1,2….m,e là khối lượng và điện tích hiệu dụng của điện tử dẫn,
Là véctơ của điện tử trong mặt phẳng (xy),ở đây ta xét p // p y ,

14


: Hằng số điện môi

,
tĩnh của bán dẫn,

là nống độ pha tạp,

.

(2.9)
Là đa thức Hermite bậc n.
Ta tính yếu tố ma trận của tóan tử

có dạng như sau:

(2.10)
2

kl4
1
)  3 4 2 2
Với: L (k
mc
m
0
n

2
l

2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp khi có
mặt sóng điện từ.
Để tính toán được trường âm điện từ trong siêu mạng pha tạp khi có mặt
sóng điện từ, trước hết ta thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử giam
cầm trong siêu mạng pha tạp. Tiếp theo chúng ta bắt đầu từ phương trình động
cho trung bình thống kê toán tử số hạt trong siêu mang pha tạp.

15


,

(2.11)

Sử dụng Hamiltonian (2.1)-(2.3) và từ các phép biến đổi đại số toán tử trên cơ sở
lý thuyết trường lượng tử cho hệ hạt Ferminon và Boson ta thu được:

(2.12)
Sử dụng các hệ thức của toán tử sinh hủy điện tử và toán tử sinh hủy Born:
,
,
,
,
Ta đi tính từng số hạng trong biểu thức (2.12).
Số hạng thứ nhất:
,

Ta có:

16


Ta có:
Vậy:

.

(2.13)

Số hạng thứ hai:
= 0.

(2.14)

Với:

,

(2.15)
Số hạng thứ ba:

an, p an, p , an', p '



  q



 an, p an , p an', p '


an '

  q



1,

an '

1,

 an, p ( n,n ' p

a


n , p

an '

1,

b  an', p '

  q

b  n,n ' p

 , p '  q

p ' q

  q

p ' q

 an', p '

 , p '  q



b 

p ' q

an '

1,

an, p )an '


a

1,


n ', p '  q

b an, p an , p

p ' q





b  an', p '

  q

p ' q

an, p bq n ,n '  p


1

 p '

( n,n '  p

 p '

1

 an, p an ' p ' )an, p bq


,





,

Suy ra:

a a ,
CqU n ',n ' (q)an', p '

n, p
n, p

n ', n '
p' q





  q

1

an '

1,

p '

1

,



CU
q

n ', n '1

an, p an '


n ', n '1
p ' , q

  CqU nn '
n ',q

1,

b  n ,n ' p



 , p '  q

p ' q




bq 





 q

CU
q

n ', n '1

an', p '

  q

an , p bq n ,n '  p



1

 p '

n ', n '1
p ' , q

t

an', p

t

an , p bq


Suy ra :

17

t

t

 an, p an ', p




 q

bq

t




(2.16)
Thay vào biểu thức (2.12) ta được:
.
(2.17)
Xây dựng phương trình động lượng tử cho hàm
,

(2.18)

Ta đi tính từng số hạng trong biểu thức (2.18) bằng các phép biến đổi đại số.
Số hạng thứ nhất:
,
Ta xét :

Thay vào số hạng thứ nhất ta có:
,
Bởi:

18

,
Vậy:

.

(2.19)
Số hạng thứ hai:
,
Ta có:

,
Vậy:

.

(2.20)
Số hạng thứ ba:

Ta có:

19