Phân tích hưởng ứng suất và biến dạng tại đáy vết nứt bằng phương pháp element free galerkin (EFG)

Header Page 1 of 126.

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN TẤN TẠI

PHÂN TÍCH TRƯỜNG ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG TẠI ĐÁY VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ELEMENT FREE GALERKIN

Chuyên ngành : Công nghệ chế tạo máy
Mã số
: 60.52.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Đà Nẵng - Năm 2011

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

2

Công trình ñược hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Xuân Hùng

Phản biện 1: PGS.TS. Trần Xuân Tùy

Phản biện 2: PGS.TS. Phạm Phú Lý

Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn
thạc sĩ kỹ thuật họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 8
năm 2011.

* Có t`hể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.

3

MỞ ĐẦU
1.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phân tích sự hư hại do sự phát triển và lan truyền của vết nứt là

một trong những bài tốn cần thiết để đảm bảo độ tin cậy của các kết
cấu dưới tác động của tải có chu kì. Vết nứt như là kết quả của những
hạn chế về cơng nghệ trong q trình chế tạo. Sự phát triển của vết

nứt được mơ hình bằng sự mở rộng liên tục của vết nứt. Điều kiện để
vết nứt phát triển được dựa vào tiêu chuẩn hệ số cường độ ứng suất.
Hệ số cường độ ứng suất có được từ sự phân tích ứng suất.
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là khơng phù hợp để phân
tích bài tốn phát triển vết nứt vì chi phí tính tốn để chỉnh lý lưới
sau mỗi lần mở rộng vết nứt là khá lớn. Để khắc phục khó khăn này,
các nhà khoa học đã tìm ra phương pháp để giải bài tốn phát triển
vết nứt một cách hiệu quả, đó là các phương pháp khơng lưới. Đây
là các phương pháp rất tốt để giải các bài toán trò biên mà đặc biệt
là các bài toán biến dạng lớn, bài toán nứt. Đặc điểm của phương
pháp này là chỉ yêu cầu một hệ các điểm nút cùng với các miền
ảnh hưởng (miền con) của nó để xây dựng lời giải xấp xỉ mà
không cần có sự ràng buộc hay liên hệ giữa các nút. Vì vậy việc
thêm hay bớt các nút trong vùng quan tâm được thực hiện dễ dàng.
Vào năm 1994, Belytschko, Lu và Gu đã phát triển một phương
pháp khơng lưới mới và được gọi là phương pháp phần tử tự do
Galerkin (Element Free Galerkin (EFG) method). Phương pháp
EFG tỏ ra hiệu quả khi xử lý các bài toán cơ học vật rắn nứt, bài
toán biến dạng lớn.

Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.

4

Vì những lý do trên với mong muốn đóng góp vào việc xây dựng
và phát triển lĩnh vực nghiên cứu các phương pháp Meshlees ở Việt
Nam, Vì vậy tác giả thực hiện đề tài “ Phân tích trường ứng suất

và biến dạng tại đáy vết nứt bằng phương pháp EFG (Element
Free Galerkin)”.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

2.

Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp EFG, xây dựng dạng
yếu cho bài tốn cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính bằng phương
pháp EFG. Ứng dụng phương pháp này để phân tích trường ứng suất,
biến dạng của tấm có vết nứt. Các bài tốn sẽ được phân tích bao
gồm:
•

Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu kéo đơn trục.

•

Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu tải trọng ngang.

Phân tích với các thơng số khác nhau để có được lời giải tin cậy
và hiệu quả.
Đánh giá kết quả của lời giải EFG với lời giải giải tích và đề xuất
các biện pháp để nâng cao tính chính xác và tốc độ hội tụ của
phương pháp.
Xây dựng thuật tốn, viết chương trình phân tích và mơ phỏng
trường ứng suất, biến dạng, tính hệ số cường độ ứng suất bằng ngơn
ngữ lập trình Matlab.
3.

ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Xây dựng lời giải xấp xỉ cho bài tốn cơ học phá hủy đàn hồi

tuyến tính bằng phương pháp EFG. Trên cơ sở lời giải xấp xỉ tiến
hành xây dựng giải thuật và viết chương trình phân tích và mơ phỏng
trường ứng suất, biến dạng, xác định hệ số cường độ ứng suất của bài
tốn tấm có vết nứt bằng ngơn ngữ.

Footer Page 4 of 126.


Header Page 5 of 126.

5

Để ñạt ñược mục tiêu ñặt ra cần giải quyết các nhiệm vụ cơ bản
sau:
- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của cơ học phá hủy ñể xây dựng
phương trình vi phân mô tả bài toán tấm có vết nứt cùng với
các ñiều kiện biên.
- Tìm hiểu và ứng dụng phương pháp EFG ñể phân tích trường
ứng suất, biến dạng, hệ số cường ñộ ứng suất bài toán tấm có
vết nứt.
- Xây dựng thuật toán và viết chương trình phân tích và mô
phỏng trường ứng suất, biến dạng và xác ñịnh hệ số cường ñộ
ứng suất bằng ngôn ngữ lập trình Matlab.
- So sánh lời giải của phương pháp EFG so với lời giải giải
tích. Đánh giá hiệu quả của phương pháp EFG và ñề xuất các
biện pháp ñể nâng cao tính chính xác và tốc ñộ hội tụ của
phương pháp.
4.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp nghiên cứu ứng dụng.
- Phương pháp thu thập tài liệu.

5.

Ý NGHĨA KHOA HỌC CỦA LUẬN VĂN
Phân tích sự hư hại do sự phát triển và lan truyền của vết nứt là

một trong những bài toán cần thiết ñể ñảm bảo ñộ tin cậy của các kết
cấu dưới tác ñộng của tải có chu kì. Điều kiện ñể vết nứt phát triển
ñược dựa vào tiêu chuẩn hệ số cường ñộ ứng suất. Hệ số cường ñộ
ứng suất có ñược từ sự phân tích ứng suất.
Phân tích ứng suất, biến dạng và xác ñịnh hệ số cường ñộ ứng
suất của tấm có vết nứt là cơ sở quan trọng ñể ñánh giá khả năng làm
việc của chi tiết. Làm cơ sở ñể phân tích sự lan truyền và phát triển
của vết nứt.

Footer Page 5 of 126.


Header Page 6 of 126.
6.

6

CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngồi phần mở đầu, luận văn bao gồm 4 chương:
Chương 1: Trình bày cơ sở lý thuyết của cơ học phá hủy đàn hồi

tuyến tính, tích phân J , dạng miền của tích phân J , hệ số cường độ
ứng suất.
Chương 2: Trình bày các khái niệm và cơ sở lý thuyết của
phương pháp EFG và ứng dụng phương pháp EFG xây dựng lời
giải xấp xỉ cho bài toán cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính, các
phương pháp làm giàu cho phương pháp EFG.
Chương 3: Trong chương này tác giả ứng dụng phương pháp
EFG để phân tích trường ứng suất, biến dạng của các bài toán dưới
đây bằng phương pháp EFG:
- Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu kéo đơn trục.
- Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu tải trọng ngang.
Các kết quả có được từ phương pháp EFG sẽ được so sánh với
lời giải giải tích đã có. Tất cả các bài toán này đều được khảo sát
trong miền đàn hồi. Ngôn ngữ lập trình Matlab được sử dụng để
viết chương trình khảo sát các bài toán này. Trong mỗi bài toán sẽ
được khảo sát với các số lượng nút phân bố, bán kính miền ảnh
hưởng, hàm trọng số và số lượng điểm Gauss khác nhau.
Chương 4: Kết luận cho luận văn, bao gồm phần đánh giá sai số,
tốc độ hội tụ của phương pháp và đề xuất các biện pháp nhằm nâng
cao tính chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp EFG. Cuối cùng
là hướng phát triển tiếp theo của luận văn.

Footer Page 6 of 126.


Header Page 7 of 126.

7

CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT CƠ HỌC PHÁ HỦY ĐÀN HỒI
TUYẾN TÍNH
1.1 . GIỚI THIỆU
Trong chương này tác giả tập trung vào các vấn đề sau:
•

Xem xét cơ sở của cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính, các
tiêu chuẩn của cơ học phá hủy và các phương pháp phân
tích chúng.

•

Đònh nghóa bài toán giá trò biên của vật thể có vết nứt cho
trường hợp ứng xử của vật liệu là đàn hồi tuyến tính.

•

Nghiên cứu phương pháp EFG cho bài toán đàn hồi tuyến
tính của vết nứt đơn.

•

Đánh giá độ tin cậy, hiệu quả và độ chính xác của lời giải
phương pháp EFG so với lời giải giải tích.

•

Mở rộng ứng dụng bài toán EFG cho các bài toán phức tạp
như bài toán nhiều vết nứt.

1.2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TIÊU CHUẨN CỦA
CƠ HỌC PHÁ HỦY ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
1.2.1.

Bài toán giá trò biên

Y
Γt

α

σx

Phân tố

τ xy

Γu

dy

b)
O

X

ds

β

dx

y

a)

n

x

τ yx

σy

Hình 1.1. Bài toán phẳng và phân tố trên biên tự nhiên

Footer Page 7 of 126.


Header Page 8 of 126.

8

1.2.2.

Tiêu chuẩn năng lượng

1.2.3.

Hệ số cường độ ứng suất

Irwin [3] đã phân tích mối liên hệ giữa năng lượng tới hạn và
sự phân bố ứng suất gần đỉnh vết nứt và đã đưa ra khái niệm hệ số
cường độ ứng suất. Hệ số cường độ ứng suất biểu thò mức độ tập
trung ứng suất tại vùng gần đỉnh vết nứt.
1.2.4. Mối quan hệ giữa suất giải phóng năng lượng và hệ số
cường độ ứng suất
1.2.5.

Tích phân J

Sự phát triển đồng thời phương pháp tích phân J vào những
năm 1960 bởi Rice [5] ở Mỹ và Cherepanov [6] ở Liên xô đã đưa
ra một tiêu chuẩn mới cho cơ học phá hủy. Tiêu chuẩn này có thể
áp dụng cho cả bài toán đàn hồi tuyến tính và cho cả bài toán đàn
dẻo. Tiêu chuẩn này chỉ ra rằng, tích phân J bằng với suất giải
phóng năng lượng phi tuyến và đặc trưng cho trường ứng suất và
biến dạng tại đáy vết nứt. Hiện nay, tích phân J là một trong
những đặc trưng quan trọng nhất trong cơ học phá hủy.
Nếu sự chảy dẻo xảy ra trong giới hạn nhỏ (độ lớn của vùng
chảy dẻo tại đỉnh vết nứt nhỏ), các hệ số K và G hoàn toàn có
thể mô tả trạng thái ứng suất và biến dạng gần đỉnh vết nứt. Tuy
nhiên, đối với những vật liệu có độ bền cao mà vùng chảy dẻo tại
đỉnh vết nứt lớn thì các hệ số K và G không còn chính xác trong
việc mô tả sự ứng xử đàn dẻo của loại vật liệu này. Để xác đònh
được đại lượng năng lượng sao cho mô tả chính xác ứng xử đàn
dẻo của vật liệu có độ bền cao, cần phải sử dụng tích phân J .
1.2.6.

Tính toán tích phân J và hệ số cường độ ứng suất

Footer Page 8 of 126.


Header Page 9 of 126.

9

Các phương pháp: suất giải phóng năng lượng biến dạng,
ngoại suy chuyển vò, mở rộng vết nứt ảo, tích phân J và một số
phương pháp khác đã được phát triển để tính toán hệ số cường độ
ứng suất và giá trò tích phân J . Thông thường có hai dạng chính,
dạng trực tiếp và dạng gián tiếp. Phương pháp trực tiếp xác đònh
hệ số cường độ ứng suất từ trường ứng suất và biến dạng trong khi
đó phương pháp gián tiếp là năng lượng dựa vào và được thiết lập
từ tích phân J và suất giải phóng năng lượng. Trong đề tài này
tác giả sử dụng phương pháp tích phân J để tính toán hệ số cường
độ ứng suất và giá trò tích phân J .
1.2.7.

Dạng miền của tích phân J

Có một số khó khăn phát sinh khi tính tích phân J bằng
phương pháp số. Do sự biến động và mất liên tục của trường ứng
suất và biến dạng tại đáy vết nứt làm sinh ra sai số đáng kể trong
việc tính toán tích phân J tại những vùng quanh vết nứt. Vì vậy
để cải thiện việc tính toán tích phân J , dạng miền của tích phân

J phải được chọn hợp lý.

CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP EFG CHO BÀI TOÁN CƠ HỌC PHÁ
HỦY ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
2.1.

GIỚI THIỆU
Trong phần mở đầu chúng ta đã bàn luận về những thuận lợi và

những khó khăn của phương pháp EFG khi giải các bài toán cơ
học rạn nứt. Trong chương này tác giả trình bày các khái niệm và
cơ sở lý thuyết của phương pháp EFG và ứng dụng phương pháp

Footer Page 9 of 126.


Header Page 10 of 126.

10

EFG xây dựng lời giải xấp xó cho bài toán cơ học rạn nứt đàn hồi
tuyến tính.
2.2.

XẤP XĨ KHÔNG LƯỚI BỞI PHƯƠNG PHÁP EFG
Phương pháp EFG là một trong những phương pháp không

lưới. Trong các phương pháp không lưới, miền bài toán được mô
tả bởi một bộ các nút. Sự đóng góp của mỗi nút trong phép xấp xó
EFG được đònh nghóa bởi hàm trọng số của miền xác đònh của mỗi

nút. Miền xác đònh này được gọi là miền ảnh hưởng của mỗi nút.
Hàm trọng số được đònh nghóa sao cho miền xác đònh của các nút
phủ đầy trên toàn miền khảo sát.

xI

Ω

Hình 2.1. Miền ảnh hưởng của các nút phủ kín trên toàn miền bài
toán.

Phương pháp EFG dựa trên phép xấp xó bình phương tối thiểu

động [15]. Theo phương pháp này, xấp xó u h ( x ) của hàm u ( x )

(hình 2.2) tại bất kì điểm x ∈ℜ N trong miền Ω ⊆ ℜ N , ở đây

N = 1 hoặc 2 hoặc 3 k và có dạng như sau:
u h ( x ) = ∑ pi ( x )ai ( x ) = pT ( x ) a ( x )
đây:
pT ( xi =)1=  p1 ( x ) p2 ( x ) ... pk ( x )  là một
cơ
sở
bậc
k,
pi ( x )
là
hàm
cơ
sở

và
a ( x ) =  a1 ( x ) a2 ( x ) ... ak ( x )  là một véctơ các hệ số
chưa biết phụ thuộc vào tọa độ x .

Footer Page 10 of 126.


Header Page 11 of 126.

11

u

uh ( x)

u h ( xi )

ui

B

Hình 2.2. Hàm xấp xỉ

u

h

( x ) và thông số ui

x

trong phép xấp xỉ MLS

Chú ý rằng hàm dạng EFG (2.12) không thỏa mãn tính chất

delta-Cronecker: φI ≠ δ ij vì vậy u h ( xI ) ≠ u I . Thông số nút u I

không phải là giá trò nút của u h ( xI ) do đó đây là một phép xấp
xỉ. Vì vậy cần phải chỉnh lý điều kiện biên chính.

Trong phép xấp xỉ bình phương tối thiẻu động, kích thước của
miền ảnh hưởng d mI đóng vai trò rất quan trọng. Nên chọn d mI
đủ lớn để miền ảnh hưởng bao hàm được các nút cần thiết trong

miền con Ω x ( N ≥ m ) và để chắc chắn ma trận [ A] (2.7) không
bò suy biến. Nếu chọn d mI quá nhỏ có thể dẫn đến sai số quá lớn

trong phép tính tích phân Gauss của các đại lượng trong ma trận
hệ thống. Ngược lại, nên chọn d mI đủ nhỏ để phép xấp xỉ MLS có
được tính chất đòa phương- “phần tử” (local character) của nó.
2.3.

DẠNG YẾU CỦA BÀI TOÁN CƠ HỌC PHÁ HỦY
ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
Để phân tích trường ứng suất và biến dạng cũng như đi xác

đònh các thông số đặc trưng của bài toán cơ học phá hủy như: tích

Footer Page 11 of 126.

Header Page 12 of 126.

12

phân J , hệ số cường độ ứng suất bằng phương pháp EFG thì dạng
biến phân (dạng yếu) cần phải được thiết lập.
Dạng biến phân của phương trình (1.1) có dạng:

∂W = ∫ σ T δε d Ω − ∫ bT δ u.d Ω − ∫ t −T δ u.d Γ − ∂Wu = 0
Γt
đây Ωδ là toán tửΩ biến phân và
∂Wu mô tả thành phần để
khử điều kiện biên chính.
Dạng rút gọn của phương trình (2.18) được viết:

K .u = f
Với K là ma trận độ cứng, u là véctơ chuyển vò và f là
véctơ lực.
Chú ý rằng phương pháp EFG không thỏa mãn tính chất delta-

Cronecker: φI ( xJ ) ≠ δ IJ . Do đó, điều kiện biên chính không tự

thỏa mãn. Để giải quyết vấn đề này đã xó một số phương pháp
được sử dụng như: phương pháp nhân tử Lagrange, phương pháp
phạt, phương pháp biến phân chỉnh lý, kết hợp với phương pháp
phần tử hữu hạn. Trong đề tài này tác giả sử dụng phương pháp
nhân tử Lagrange để chỉnh lý điều kiện biên chính.
2.4.

MÔ HÌNH BÀI TOÁN CƠ HỌC PHÁ HỦY BẰNG

PHƯƠNG PHÁP EFG
Khi phân tích bài toán cơ học phá hủy bằng phương pháp EFG
cần phải quan tâm một số vấn đề sau: vết nứt sinh ra sự mất liên
tục trong vật liệu và tạo ra trường ứng suất suy biến ở đáy vết nứt.
Để thể hiện được sự suy biến của vùng đáy vết nứt và thu được
nghiệm chính xác cần phải lựa chọn hàm trọng số, chọn cơ sở và
chọn sự phân bố của các nút trong miền bài toán hợp lý.

Footer Page 12 of 126.


Header Page 13 of 126.
2.4.1.

13

Sự phân bố các nút trong miền bài toán

Thông thường trong phương pháp EFG, người ta thường phân
bố các nút đều. Tuy nhiên đối với những bài toán có biên phức
tạp, bài toán có vết nứt thì cần phải có một giải pháp phân bố các
nút hợp lý. Với bài toán cơ học phá hủy, các nút có thể được thêm
vào quanh vết nứt và gần đáy của vết nứt để nâng cao độ chính xác
của lời giải.
Việc bố trí các nút gần đỉnh vết nứt theo dạng ngôi sao là
dạng hợp lý nhất và mang lại lại giải chính xác nhất trong phân
tích bằng phương pháp EFG. Số lượng các vòng, khoảng cách giữa
các vòng và số nút trên từng vòng được lựa chọn tùy thuộc vào
từng bài toán.

2.4.2.

Tích phân số

Độ chính xác của tích phân số là một trong những yếu tố ảnh
hưởng đến độ chính xác của lời giải cuối cùng. Trong tất cả các
bước tính toán ma trận độ cứng, véctơ lực, tích phân J đều sử
dụng tích phân số. Phương pháp tích phân được sử dụng trong luận
văn này là phương pháp tích phân Gauss. Phương pháp này cần
phải chia miền bài toán thành các ô, được gọi là ô lưới nền. Thông
thường các ô lưới nền này không phụ thuộc vào sự phân bố của
các nút. Trong mỗi ô lưới nền số điểm Gauss tối thiểu được sử
dụng là 4 × 4 điểm Gauss. Đa thức Gauss bậc cao hơn có thể được
dụng cho mỗi ô lưới nền để nâng cao độ chính xác của lời giải
nhưng chi phí tính toán sẽ tăng theo.

Footer Page 13 of 126.


Header Page 14 of 126.

14

Điểm Gauss
Nút
Vết nứt

Hình 2.7. Các nút phân bố đều và đa thức Gauss 4 × 4 được
sử dụng cho mỗi ô lưới nền

2.4.3.

Phương pháp EFG với cơ sở làm giàu

Một số phương pháp đã được phát triển để làm giàu phương
pháp EFG. Các phương pháp này dựa trên cơ sở tổ hợp các hàm
để xấp xó trường chuyển vò gần đỉnh vết nứt. Các kỹ thuật làm
giàu có thể được chia làm hai loại: làm giàu bên ngoài và làm
giàu bên trong. Làm giàu bên ngoài dựa trên việc thêm hàm làm
giàu vào hàm thử. Trong khi đó kỹ thuật làm giàu bên trong, hàm
làm giàu được thêm vào cơ sở. Kỹ thuật làm giàu bên trong thực
hiện dễ hơn nhưng cần thêm chi phí tính toán và cần phải nghiạch
đảo ma trận mômen bởi vì kích thước cơ sở lớn hơn.
2.4.4.

Sử dụng hàm không liên tục xấp xỉ tại vùng lân cận vết
nứt

2.4.5.

Độ chính xác của phương pháp

Footer Page 14 of 126.


Header Page 15 of 126.

15

CHƯƠNG 3

VÍ DỤ SỐ
GIỚI THIỆU

3.1.

Trong chương này tác giả ứng dụng phương pháp EFG để phân
tích trường ứng suất, biến dạng của các bài toán dưới đây bằng
phương pháp EFG:
- Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu kéo đơn trục.
- Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu tải trọng ngang.
Các kết quả có được từ phương pháp EFG sẽ được so sánh với
lời giải giải tích đã có.
Tất cả các bài toán này đều được khảo sát trong miền đàn hồi.
Ngôn ngữ lập trình Matlab được sử dụng để viết chương trình khảo
sát các bài toán này.
3.2.

BÀI TOÁN TẤM VÔ HẠN CÓ VẾT NỨT CẠNH CHỊU
KÉO ĐƠN TRỤC

3.2.1.

Mô hình và thông số phân tích

Xét tấm làm việc trong miền đàn hồi dưới điều kiện ứng suất
phẳng. Mô hình bài toán như hình 3.1.
Với các thông số hình học và vật liệu:
•

Môđun đàn hồi của vật liệu: E = 3.107 N/mm2

•

Lực kéo ở hai dầu tự do: σ = 1 N

•

Chiều dài tấm: W = 5 mm

•

Chiều cao tấm: 2H = 10 mm

•

Chiều dài vết nứt: a = 2mm

•

Hệ số poisson: ν = 0,3

Footer Page 15 of 126.


Header Page 16 of 126.

16

σ

H

a

H

W

σ
3.2.2.

Hình 3.1. Tấm phẳng vô hạn có vết nứt cạnh

Kết quả phân tích
0.65

Ứng suất pháp

0.6

Loi giai giai
Loi
tich giai EFG

0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3

0.25
0.2
2

3

4

5
6
Toại độ nút

7

8

9

10

Hình 3.8. So sánh ứng suất vùng gần dáy vết nứt giữa nghiêm giải tích
và lời giải bằng phương pháp EFG

Footer Page 16 of 126.


Header Page 17 of 126.

17

Bảng 3.1. Trường ứng suất gần đỉnh vết nứt
STT
nút
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Stress σ xx
Nghiệm giải tích
0.5187
0.3679
0.3007
0.2606
0.2331
0.2129
0.1971
0.1844
0.1739

Nghiệm EFG
0.5684
0.3671
0.2953
0.2563

0.2316
0.2136
0.1989
0.1860
0.1743

Sai số (%)
3.65899
-0.21792
-1.82865
-1.67772
-0.64767
0.327715
0.904977
0.860215
0.229489

Dưới đây là bảng số liệu so sánh chuyển vò theo phương đứng
của các nút nằm trên vết nứt của lời giải EFG và lời giải giải tích.
Bảng 3.2. Chuyển vò đứng của các nút nằm trên vết nứt
STT
Nut
1
2
3
4
5
6
7
8

9

Chuyển vò đứng
Nghiệm giải tích
Nghiệm EFG
−5
( ×10 )
( ×10 −5 )
0.1213
0.1185
0.1133
0.1108
0.1046
0.1031
0.0951
0.0952
0.0846
0.0864
0.0726
0.075
0.0581
0.0608
0.0384
0.0402
0.1213
0.1185

Footer Page 17 of 126.

Sai số (%)

-2.36287
-2.25632
-1.4549
0.105042
2.083333
3.2
4.440789
4.477612
-2.36287


Header Page 18 of 126.
3.3.

18

BÀI TOÁN TẤM VÔ HẠN CÓ VẾT NỨT CẠNH CHỊU
TẢI TRỌNG NGANG
Xét tấm làm việc trong miền đàn hồi dưới điều kiện ứng suất

phẳng. Mô hình bài toán như hình 3.15.
Với các thông số hình học và vật liệu:
•

Môđun đàn hồi của vật liệu: E = 3.107 N/mm2

•

Lực kéo ở hai dầu tự do: σ = 1 N

•

Chiều dài tấm: W = 1 mm

•

Chiều cao tấm: H = 1 mm

•

Chiều dài vết nứt: a = 0.45 mm

•

Hệ số poisson: ν = 0,3

σ

H
a

H

W

Hình 3.15. Tấm phẳng vô hạn có vết nứt cạnh

Footer Page 18 of 126.

Header Page 19 of 126.

19

1
0.995
0.99

K/KChính xác

0.985
0.98
0.975
0.97
0.965
0.96
0.955
0.95
200 400

600

800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200

Số nút trong miền khảo
Hình 3.21. Hệ sốsá
cườ
t ng độ ứng suất phụ thuộc vào số nút
trong miền khảo sát

Với các kết quả đạt được như trên lời giải bằng phương pháp
EFG có độ tin cậy cao có thể ứng dụng để giải các bài toán thực tế
phức tạp như tính toán nứt trong các cấu kiện bê tông, nứt các các
chi tiết cơ khí…
Từ hình 3.21 ta thấy rằng, khi số nút tăng lên thì giá trò của hệ
số cường độ ứng suất về gần với giá trò chính xác. Tuy nhiên thời
gian tính toán sẽ tăng theo. Vì vậy, tùy thuộc vào từng bài toán,
từng yêu cầu cụ thể của lời giải mà ta chọn số lượng nút phân tích
cho phù hợp.
Việc ứng dụng kỹ thuật làm giàu bằng cách sử dụng hàm xấp
xỉ là tổ hợp của hàm tuyến tính, hàm Heaviside đã thể hiện được
sự suy biến của trường ứng suất ở đáy vết nứt và sự mất liên tục
của chuyển vò ở hai phí của vết nứt. Kết quả đạt được hoàn toàn
phù hợp với lời giải giải tích.

Footer Page 19 of 126.


Header Page 20 of 126.

20
CHƯƠNG 4

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
4.1. KẾT LUẬN
Luận văn đã hồn thành mục tiêu đặt ra. Các mục tiêu bao gồm:
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp EFG, xây lời giải xấp xỉ
cho bài tốn cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính bằng phương pháp EFG.
Ứng dụng phương pháp này để phân tích trường ứng suất, biến dạng và
xác định hệ số cường độ ứng suất của tấm có vết nứt. Các bài tốn sẽ được

phân tích trong đề tài bao gồm:
•

Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu kéo đơn trục.

•

Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu tải trọng ngang.

Phân tích với các thơng số khác nhau để có được lời giải tin cậy và
hiệu quả.
Đánh giá kết quả của lời giải EFG với lời giải giải tích và đề xuất các
biện pháp để nâng cao tính chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp.
Xây dựng thuật tốn, viết chương trình phân tích và mơ phỏng
trường ứng suất, biến dạng, tính hệ số cường độ ứng suất bằng ngơn
ngữ lập trình Matlab.
Luận văn được hồn thành với các nội dung:
Chương 1: trình bày cơ sở lý thuyết của cơ học phá hủy đàn hồi
tuyến tính, tích phân J , dạng miền của tích phân J , hệ số cường độ
ứng suất.
Chương 2: trình bày các khái niệm và cơ sở lý thuyết của
phương pháp EFG và ứng dụng phương pháp EFG xây dựng lời
giải xấp xỉ cho bài toán cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính. Các
phương pháp làm giàu cho phương pháp EFG cũng được trình bày
trong chương này.

Footer Page 20 of 126.


Header Page 21 of 126.

21

Chương 3: Trong chương này tác giả ứng dụng phương pháp
EFG để phân tích trường ứng suất, biến dạng của các bài toán dưới
đây bằng phương pháp EFG:
•

Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu kéo đơn trục.

•

Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu tải trọng ngang.

Các kết quả có được từ phương pháp EFG sẽ được so sánh với
lời giải giải tích đã có. Tất cả các bài toán này đều được khảo sát
trong miền đàn hồi. Ngôn ngữ lập trình Matlab được sử dụng để
viết chương trình khảo sát các bài toán này. Trong mỗi bài toán sẽ
được khảo sát với các số lượng nút phân bố, bán kính miền ảnh
hưởng, hàm trọng số và số lượng điểm Gauss khác nhau.
Chương 4: Kết luận cho luận văn, bao gồm phần đánh giá sai số,
tốc độ hội tụ của phương pháp và đề xuất các biện pháp nhằm nâng cao
tính chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp EFG. Cuối cùng là
hướng phát triển tiếp theo của luận văn.
Tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để xây dựng thành
công chương trình phân tích và mô phỏng tự động trường ứng suất,
biến dạng và tính hệ số cường độ ứng suất bài toán tấm có vết
nứt, chương trình này cho kết quả tin cậy so với lời giải giải tích.
Các giải thuật chia lưới nền tự động cho các kết cấu cũng được tác
giả thực hiện để có được các lời giải với mật độ lưới khác nhau.

Một giao diện được lập trình cho phép khảo sát bài toán với các
thông số khác nhau của bán kính miền ảnh hưởng, mật độ nút, bậc
đa thức Gauss, kích thước tấm, kích thước và vi trí vết nứt, giá trò
tải.
Qua kết quả phân tích các bài toán đàn hồi hai chiều bằng
phương pháp EFG, tác giả nhận thấy một số vấn đề cần lưu ý khi
sử dụng phương pháp này:

Footer Page 21 of 126.


Header Page 22 of 126.
•

22

Phương pháp EFG là phương pháp không lưới được xây
dựng dựa trên nguyên lý biến phân Galerkin. Mặc dù
lưới là không cần thiết cho việc xây dựng hàm dạng.
Tuy nhiên, lưới nền vẫn được sử dụng trong phép tính
tích phân để tính ma trận độ cứng và ma trận khối lượng.

•

Kết quả phân tích bằng lời giải EFG cho thấy rằng bằng
giải thuật thêm các nút vào vùng lân cận của đáy vết
nứt thì độ chính xác của lời giải vẫn đạt được với số
lượng nút ít hơn so với không thêm các nút vào và thời
gian tính toán ít hơn. Độ chính xác của lời giải cũng phụ
thuộc vào dạng bố trí các nút khi thêm vào. Sau nhiều

kết quả thử nghiệm, tác giải nhận thấy rằng cách bố trí
các nút quanh lân cận đỉnh vết nứt theo dạng ngôi sao
(hình 3.15) cho kết quả chính xác nhất.

•

Tuy nhiên như đã thấy ở trên, việc chia lưới đều trên
toàn miền tính toán có ưu điểm là giải thuật chia lưới dễ
thực hiện, tuy nhiên đã làm tăng thêm thời gian tính
toán vì vậy làm cho giá thành tính toán sẽ cao. Ưu điểm
nổi bậc của các phương pháp không lưới là không cần
phải đònh nghóa lưới khi xây dựng hàm dạng, chỉ cần một
bộ nút phân bố trong miền bài toán, sự liên kết giữa các
nút là không cần thiết. Chính vì vậy để giảm thời gian
tính toán ta tiến hành tăng thêm các nút ở vùng gần đỉnh
vết nứt.

•

Trong phương pháp EFG hàm chuyển vò u ( x ) được xấp

xỉ bởi u h ( x ) . Do đó những nguyên nhân ảnh hưởng đến
độ chính xác của lời giải bằng phương pháp EFG là: 1)
kích thước bán kính miền ảnh hưởng d mI , 2) dạng hàm

Footer Page 22 of 126.


Header Page 23 of 126.

23

trọng số được lựa chọn, 3) mật độ nút phân bố trong
miền khảo sát, 4) số điểm Gauss trong từng miền con và
trong toàn miền khảo sát, 5) tham số phạt λ .
•

Phương pháp EFG cho kết quả liên tục trên các biến thứ
cấp, đây là khác biệt rất lớn mà các phương pháp khác
không có được. Phương pháp PTHH không giữ được tính
liên tục cho các biến thứ cấp (chẳng hạn ứng suất) tại
biên tiếp giáp giữa các phần tử. Sở dó như vậy là vì hàm
dạng trong PTHH là tuyến tính từng khúc khi sử dụng để
xây dựng hàm thử. Ngược lại, phương pháp EFG không
sử dụng phần tử mà chỉ sử dụng các nút. Hàm thử được
xấp xỉ theo MLS nên hàm thử là trơn. Bởi vậy, các biến
thứ cấp của EFG là liên tục. Như vậy, có thể khẳng đònh,
đây là một ưu điểm rất lớn của phương pháp EFG.

•

Trong phép xấp xỉ MLS, kích thước d mI của miền ảnh
hưởng đóng vai trò rất quan trọng. Nên chọn d mI đủ lớn
để miền ảnh hưởng bao hàm được các nút cần thiết
trong miền con Ω x ( N ≥ m ) và để chắc chắn ma trận

[ A] (2.7) không bò suy biến. Nếu chọn

d mI quá nhỏ có

thể dẫn đến sai số quá lớn trong phép tính tích phân
Gauss của các đại lượng trong hệ thống các ma trận.
Ngược lại, nên chọn d mI đủ nhỏ để phép xấp xỉ MLS có
được tính chất đòa phương- “phần tử” (local character)
của nó.
•

Số điểm tích phân Gauss nhỏ nhất phải lớn hơn hai phần
ba số nút phân bố trong miền bài toán ( nQ >

•

2
nt ).
3

Tỉ số giữa số điểm tích phân Gauss và số nút ( α n ) nằm
trong khoảng từ 3 đến 9, kết quả kinh tế với độ chính

Footer Page 23 of 126.


Header Page 24 of 126.

24

xác chấp nhận được có thể có được với α n = 3 . Điều
này có nghóa là số điểm tích phân Gauss phải gấp ba lần
số nút phân bố trong miền phân tích.
•

Khử điều kiện biên chính bằng phương pháp hàm phạt
có tốc độ hội tụ nhanh hơn phương pháp nhân tử
Lagrange.

Việc ứng dụng kỹ thuật làm giàu bằng cách sử dụng hàm xấp
xỉ là tổ hợp của hàm tuyến tính, hàm Heaviside đã thể hiện được
sự suy biến của trường ứng suất ở đáy vết nứt và sự mất liên tục
của chuyển vò ở hai phí của vết nứt. Kết quả đạt được hoàn toàn
phù hợp với lời giải giải tích.
Với các kết quả đạt được như trên lời giải bằng phương pháp
EFG có độ tin cậy cao có thể ứng dụng để giải các bài toán thực tế
phức tạp như tính toán nứt trong các cấu kiện bê tông, nứt các các
chi tiết cơ khí…
4.2. HƯỚNG PHÁT TRIỂN
Bên cạnh những ưu điểm đã được xem xét trong các chương
trên, phương pháp EFG vẫn còn tồn tại một số vấn đề cần phải
được nghiên cứu:
•

Hàm dạng của EFG còn khá phức tạp và không có tính
chất Delta Kronecker do vậy cần phải chỉnh lý điều kiện
biên chính.

•

Chưa có cơ sở để lựa chọn bán kính miền ảnh hưởng

d max , thông số phạt λ , mật độ nút, bán kính miền làm
giàu để có lời giải tin cậy và hiệu quả. Vì vậy gây khó

khăn cho người sử dụng.
Cần nghiên cứu xây dựng hàm dạng thỏa điều kiện biên chính
cho phương pháp EFG.

Footer Page 24 of 126.


Header Page 25 of 126.

25

Nghiên cứu kết hợp giữa phương pháp EFG và phương pháp
FEM để giải quyết các bài toán phi tuyến.
Cùng với việc nghiên cứu để hạn chế các nhược điểm của
phương pháp, hướng cần được phát triển là ứng dụng phương pháp
này vào giải quyết các bài toán biến dạng lớn, bài toán phát hiện
và dự đoán sự phát triển của vết nứt, bài toán biến dạng dẻo, bài
toán va chạm,…

Footer Page 25 of 126.