Ứng dụng của BĐT Côsi - Chuyên đề Bồi dưỡng HSG

NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài
toán tìm cực trị(đại số)
I. Kiến thức cần nhớ
A. khái niệm GTLN, GTNN của một biểu thức.
* Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có:

( )f x m³
; tồn tại
0
x DÎ
để
0
( )f x m=
thì m được gọi là GTNN của biểu thức
f(x).
Kí hiệu Min f(x) = m, đạt được khi
0
x x=
.
*Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có:
( )f x m£
; tồn tại
0
x DÎ
để
0
( )f x m=
thì m được gọi là GTLN của biểu thức
f(x).
Kí hiệu Max f(x) = m, đạt được khi

0
x x=
.
B. BĐT côsi.
1) Cho hai số
0; 0a b³ ³
ta luôn có
.
2
a b
a b
+
³
; hay
2
.
2
a b
a b
æ ö
+
÷
ç
£
÷
ç
÷
ç
è ø
Dấu “=” xảy ra khi a = b.

2) Cho ba số x,y,z không âm, ta luôn có
3
. .
3
x y z
x y z
+ +
³
hay
3
3
x y z
xyz
æ ö
+ +
÷
ç
£
÷
ç
÷
ç
è ø
dấu “=” xảy ra khi x = y = z.
3) Mở rộng cho n số không âm
1 2 3
, , , ,
n
a a a a
ta luôn có:

1 2 3 1 2 3
. .
n
n n
a a a a n a a a a+ + + + ³
dấu “=” xảy ra khi
1 2

n
a a a= = =
4) Bài toán mở đầu.
Cho hai số
, 0a b ³
a) Nếu a+b = k ( k là hằng số). Tìm GTLN của a.b.
b) Nếu a.b = k ( k là hằng số). Tìm GTNN của a + b.
Giải:
a. Theo BĐT côsi ta có:
2
2
.
2 4
a b k
a b
æ ö
+
÷
ç
=£
÷
ç

÷
ç
è ø
dấu “=” xảy ra khi
2
a b
k
a b
a b k
ì
=
ï
ï
= =Û
í
ï
+ =
ï
î
vậy GTLN của a.b là
2
4
k
, đạt được khi
2
k
a b= =
b. theo BĐT côsi ta có:
2 . 2a b a b k+ =³
dấu “=” xảy ra khi

.
a b
a b k
a b k
ì
=
ï
ï
= =Û
í
ï
=
ï
î
.Vậy GTNN của a.b là
2 k
, đạt được khi
a b k= =
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
1
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
Nhận xét: Qua bài toán trên ta thấy.
- Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích đạt GTLN khi hai số
bằng nhau.
- Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng đạt GTNN khi hai số
băng nhau.
II. Các dạng toán cơ bản:
1. Dạng toán tìm GTNN.
* Ví dụ 1: Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức
12

3
x
y
x
= +
.
Giải: Do x > 0 nên
12
0; 0
3
x
x
> >
, áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
12 12
2 . 4
3 3
x x
y
x x
= + =³
, dấu “=” xảy ra khi
2
12
36 6
3
x
x x
x
= = =Û Û

(do x > 0). Vậy y
min
= 4, đạt được khi x = 6.
*Ví dụ 2: Cho x,y,z > 0. Tìm GTNN của biểu thức A =
x y z
y z x
+ +
.
Giải: Do x,y,z > 0 nên
0; 0; 0
x y z
y z x
> > >
. áp dụng BĐT côsi cho ba số
dương ta có. A =
3
3 . . 3
x y z x y z
y z x y z x
+ + =³
, dấu “=” xảy ra khi
x y z
y z x
= =
hay
x = y = z. Vậy Min A = 3, đạt được khi x = y = z.
Nhận xét: Trong hai ví dụ trên ta đã áp dụng trực tiếp BĐT côsi cho các
số có tích không đổi để tìm GTNN của một biểu thức, tuy nhiên trong
nhiều trường hợp ta phải áp dụng nhiều lần BĐT côsi hoặc phải áp dụng
cả hai chiều của BĐT côsi để giải, ta xét các ví dụ sau.

*Ví dụ 3: Cho a, b > 0. Tìm GTNN của biểu thức B =
1 1
( )( )a b
a b
+ +
.
Giải: Do a, b > 0 nên
1 1
0; 0
a b
> >
, áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta
có.
2 .a b a b+ ³
;
1 1 1 1 2
2 .
.
a b a b
a b
+ =³
suy ra
B =
1 1 2
( )( ) 2 . . 4
.
a b a b
a b
a b
+ + =³

. Dấu “=” xảy ra khi
1 1
a b
a b
a b
ì
=
ï
ï
ï
=Û
í
ï
=
ï
ï
î
. Vậy
Min B = 4; đạt được khi a = b.
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
2
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
*Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức A =
xy yz xz
z x y
+ +
với x, y, z là các số
dương và
x + y + z = 1.
Giải: áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có.

2 . 2
xy yz xy yz
y
z x z x
+ =³
(1)
Tương tự ta có:
2 . 2
yz xz yz xz
z
x y x y
+ =³
(2)

2 . 2
xz xy xz xy
x
y z y z
+ =³
(3)
Cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta được 2A
2( ) 2x y z+ + =³
Vậy Min A = 1, đạt dược khi
1
1
3
x y z
x y z
xy yz zx

z x y
ì
+ + =
ï
ï
ï
ï
= = =Û
í
ï
= =
ï
ï
ï
î
*Ví dụ 5: Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn
1 1 1
2x y
+ =
. Tìm GTNN của
A =
x y+
.
Giải: Do x > 0; y > 0 nên
;x y
xác định và
1 1
0; 0
x y
> >

, áp dụng BĐT
côsi đối với hai số dương
1 1
;
x y
ta có.
1 1 1 1 1
. ( )
2x y x y
+£
suy ra
1 1
4
4
.
xy
x y
£ Þ ³
áp dụng BĐT côsi đối với hai số dương
;x y
ta được.
A =
2 . 2. 4 4x y x y+ = =³
. Dấu “=” xảy ra khi
4
1 1 1
2
x y
x y
x y

ì
ï
=
ï
ï
ï
= =Û
í
ï
+ =
ï
ï
ï
î
. Vậy GTNN Min A = 4; đạt được khi x = y = 4.
*Ví dụ 6: Cho x > 0; y > 0 và x + y = 2a (a > 0).
Tìm GTNN của C =
1 1
x y
+
.
Giải: áp dụng BĐT côsi cho hai số ta có.
2
2
2 1 1
2 2
x y a
xy a xy a
xy a
+

= =£ Þ £ Þ ³
. Nên C =
2
1 1 2 2x y a
x y xy a a
+
+ = =³
. Dấu
“=” xảy ra khi
2x y a
x y a
x y
ì
+ =
ï
ï
= =Û
í
ï
=
ï
î
. Vậy Min C =
2
a
,
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
3
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
đạt được khi x = y = a.

2. Dạng toán tìm GTLN.
*Ví dụ 7: Tìm GTLN của biểu thức y = (x + 2)(3 – x) với
2 3x- ££
.
Giải: Do
2 3x- ££
nên
2 0;3 0x x+ -³ ³
. áp dụng BĐT côsi cho hai số
không âm ta có: y = (x + 2)(3 – x)
2
2 3 25
2 4
x x
æ ö
+ + -
÷
ç
=£
÷
ç
÷
ç
è ø
. Dấu “=” xảy ra khi
1
2 3
2
x x x+ = - =Û
. Vậy Max y =

25
4
; đạt được khi
1
2
x =
.
*Ví dụ 8: Tìm GTLN của biểu thức D = (2x + 1)(2 – 3x) với
1 2
2 3
x
-
£ £
.
Nhận xét. Ta chưa thể áp dụng ngay BĐT côsi cho hai số 2x + 1 và 2 –
3x vì tổng của chúng chưa là hằng số, ta sẽ giải như sau.
Giải: Ta có D = (2x + 1)(2 – 3x) =
1 2
2( ).3( )
2 3
x x+ -
, Do
1 2
2 3
x
-
£ £
nên
1 2
0; 0

2 3
x x+ -³ ³
, áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có.
D =
2
1 2
1 2 49
2 3
6( )( ) 6
2 3 2 24
x x
x x
æ ö
÷
ç
+ + -
÷
ç
÷
ç
÷
ç
+ - =£
÷
ç
÷
ç
÷
ç ÷
÷

ç
÷
ç
è ø
, dấu “=” xảy ra khi
1 2 1
2 3 12
x x x+ = - =Û
. Vậy Max D =
49
24
; đạt được khi
1
12
x =
.
3. Dạng toán tìm GTLN và GTNN.
*Ví dụ 9: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A =
5 1x x- + -
.
Giải: ĐKXĐ của biểu thức là
1 5x£ £
.
Do A > 0, ta có
A
2
= 5 – x + x – 1 + 2
(5 )( 1)x x- -
= 4 + 2
(5 )( 1)x x- -

Mà 2
(5 )( 1)x x- -
0³
, nên A
2

4 2A³ Û ³
dấu “=” xảy ra khi x = 5 hoặc
x = 1. Vậy Min A = 2, đạt được khi x = 5 hoặc x = 1
Mặt khác áp dụng BĐT côsi cho hai số ta có.
A
2
= 4 + 2
(5 )( 1)x x- -
£
4 + 5 – x + x – 1 = 8 suy ra A
2 2£
. Dấu “=”
xảy ra khi 5 – x = x – 1 hay x = 3. Vậy Max A =
2 2
, đạt dược khi x = 3.
*Ví dụ 10: Cho
0; 0x y³ ³
và
6x y+ £
. Tìm GTLN và GTNN của biểu
thức
A = x
2
y(4 – x – y )

Giải.
a. Tìm GTLN.
+ Với
4 6x y< + £
thì A
0<
.
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
4
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
+ Với
0 4x y+£ £
, áp dụng BĐT côsi cho bốn số không âm ta có.
A =
4
4
2 2
4. . . (4 ) 4 4
2 2 4
x x
y x y
x x
y x y
æ ö
÷
ç
+ + + - -
÷
ç
÷

ç
÷
ç
- - =£
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
. Dấu “=” xảy ra khi

4
2
0 4
x
y x y
x y
ì
ï
ï
= = - -
ï
Û
í
ï

ï
+£ £
ï
î
2
1
x
y
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
. Vậy Max A = 4, đạt được khi
2
1
x
y
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï

î
b. Tìm GTNN.
+ Với
0 4x y+ <£
thì A > 0.
+Với
4 6x y+£ £
thì - A = x
2
y( x + y – 4) =
4 . . .( 4)
2 2
x x
y x y+ -
- A
4
4 4
4
6
2 2
4 4 1 4 1 64
4 2 2
x x
y x y
x y
æ ö
÷
ç
+ + + + -
÷

ç
æ ö æ ö
÷
+
ç
÷
÷ ÷
ç ç
ç
= - - =£ £
÷
÷ ÷
ç ç
ç
÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
Suy ra A
64-³
. Dấu “=” xảy ra khi
4
4

2
2
6
x
x
y x y
y
x y
ì
ï
ì
ï
=
= = + -
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=
ï
î
ï
+ =
ï
î
Vậy Min A = -64, đạt được khi
4
2

x
y
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
III. Một số phương pháp rèn luyện kĩ năng
vận dụng BĐT côsi để giải toán tìm cực trị.
1. Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao
cho tích của chúng là một hằng số.
*Ví dụ 11: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức: y =
2
1
2x
x
+
.
Giải: áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
y =
2
1
2x
x
+
=

3
2 2
1 1
3 . . 3x x x x
x x
+ + =³
.
Dấu “=” xảy ra khi
3
2
1
1 1x x x
x
= = =Û Û
.Vậy Min y= 3, đạt được khi x =1
*Ví dụ 12: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức. N =
3
2000x
x
+
.
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
5
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
Giải: áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
N =
2 2 2
3
2000 1000 1000 1000 1000
3 . . 300x x x

x x x x x
+ = + + =³
. Dấu “=” xảy ra khi
2 3
1000
1000 10x x x
x
= = =Û Û
. Vậy Min N = 300, đạt được khi x = 10.
*Ví dụ 13: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức E =
3
2
3
x
x
+
.
Giải: áp dụng BĐT côsi cho năm số dương ta có
E =
3 3 3 3
3
5
2 2 2 2 2 2 2
5
3 1 1 1 1 1 1 5
5 . . . .
2 2 2 2
4
x x x x
x

x x x x x x x
+ = + + + + =³

Dấu “=” xảy ra khi
3
5
5
2
1
2 2
2
x
x x
x
= = =Û Û
. Vậy Min E =
5
5
4
, đạt được
khi
5
2x =
*Ví dụ 14: Cho a, b, x là những số dương. Tìm GTNN của biểu thức.
P =
( )( )x a x b
x
+ +
Giải: Ta có. P =
2

( )( ) ( )x a x b x a b x ab ab
x a b
x x x
+ + + + +
= = + + +
P =
2
2 . ( )
ab ab
x a b x a b a b
x x
+ + + + + = +³
. Dấu “=” xảy ra khi
ab
x x ab
x
= =Û
. Vậy Min P =
2
( )a b+
, đạt được khi
x ab=
2. Biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu thức sao
cho tổng của chúng là một hằng số.
*Ví dụ 15: Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm
GTLN của biểu thức Q = x
2
y
3
.

Giải: áp dụng BĐT côsi cho năm số dương ta có.
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
6
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
1 = x + y =
5
2 3 2 3 2 3
2 3
5 5
2 3
1 108
5 1 5
2 2 3 3 3 2 .3 108 108 5 3125
x x y y y x y x y x y
x y
æö
÷
ç
+ + + + ³Þ³Û£Þ£
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Dấu “=” xảy ra khi
2
1
5
3

2 3
5
x y
x
x y
y
ì
ï
ì
ï
+ =
=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=
ï ï
=
ï ï
î
ï
ï
î
Vậy Max Q =

108
3125
, đạt được khi
2
5
3
5
x
y
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
*Ví dụ 16: Tìm GTLN của biểu thức. y = x(1 – x)
3
với
0 1x£ £
.
Giải: Do

0 1x£ £
, nên 1 – x
0³
. Ta có y =
3
1 1
.3 (1 ) .3 .(1 )(1 )(1 )
3 3
x x x x x x- = - - -
.
áp dụng BĐT côsi cho bốn số không âm ta có
4
3
4
1 3 1 1 1 3
.
3 4 4
x x x x
y
æ ö
+ - + - + -
÷
ç
=£
÷
ç
÷
ç
è ø
. Dấu “=” xảy ra khi 3x = 1 – x hay

1
4
x =
.
Vậy Max y =
3
4
3
4
, đạt được khi
1
4
x =
.
*Ví dụ 17: Tìm GTLN của biểu thức y = x
2
(3 – x), với
0 3x£ £
Giải: Do
0 3x£ £
, nên
3 0x- ³
ta có y =
3
3
2 2
4. . (3 ) 4. 4
2 2 3
x x
x

x x
x
æ ö
÷
ç
+ + -
÷
ç
÷
ç
÷
ç
- =£
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
.
Dấu “=” xảy ra khi
3 2
2
x
x x= - =Û
. Vậy Max y = 4, đạt được khi x = 2

*Ví dụ 18: Tìm GTLN của biểu thức Z = x
3
(2 – x)
5
. với
0x ³
Giải:
+) Xét x > 2 thì 2 – x < 0 do đó Z < 0.
+) Xét
0 2x£ £
thì
2 0x- ³
.
Ta có Z =
27 5 5 5
. . . (2 )(2 )(2 )(2 )(2 )
125 3 3 3
x x x
x x x x x- - - - -
.
áp dụng BĐT côsi cho tám số không âm ta được.
8
3 8 3 5
3 8 8
5 5 5
2 2 2 2 2
27 3 5 3 .5
3 3 3
.
125 8 5 4 4

x x x
x x x x x
Z
æ ö
÷
ç
+ + + - + - + - + - + -
÷
ç
÷
ç
÷
ç
= =£
÷
ç
÷
ç
÷
ç ÷
÷
ç
÷
ç
è ø
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
7
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
Dấu “=” xảy ra khi
5 3

2 5 6 3
3 4
x
x x x x= - = - =Û Û
. Vậy Max Z =
3 5
8
3 5
4
, đạt
được khi
3
4
x =
3. Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực tri của bình phương biểu
thức đó.
*Ví dụ 19: Tìm GTNN của biểu thức A =
3 5 7 3x x- + -
, với
5 7
3 3
x£ £
.
Giải: Do
5 7
3 3
x£ £
, nên
3 5 0;7 3 0x x- -³ ³
. Ta có

2
2
(3 5) (7 3 ) 2 (3 5)(7 3 )
2 (3 5 7 3 ) 4
A x x x x
A x x
= - + - + - -
+ - + - =£
Dấu “=” xảy ra khi 3x – 5 = 7 – 3x hay x = 2. Vậy Max A
2
= 4 suy ra
Max A = 2, đạt được khi x = 2.
*Ví dụ 20: Cho x + y = 15. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
4 3B x y= - + -
Giải: Điều kiện
4; 3x y³ ³
. Ta có
2
4 3 2 ( 4)( 3) 8 2 ( 4)( 3) 8 2 2B x y x y x y B= - + - + - - = + - - ³Þ³
. Dấu “=” xảy
ra khi
15
( 4)( 3) 0
x y
x y
ì
+ =
ï
ï
Û

í
ï
- - =
ï
î
x = 4; y =11 hoặc x =12; y = 3. Vậy Min B =
2 2
,
đạt được khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12; y = 3.
Mặt khác ta có
2
8 ( 4 3) 16 4B x y B+ - + - =£ Þ £
. Dấu “=” xảy ra khi
15 15 8
4 3 1 7
x y x y x
x y x y y
ì ì ì
+ = + = =
ï ï ï
ï ï ï
Û Û
í í í
ï ï ï
- = - - = =
ï ï ï
î î î
. Vậy Max B = 4, đạt được khi
8
7

x
y
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
*Ví dụ 21: Tìm GTNN của biểu thức A =
xy yz xz
z x y
+ +
với x, y, z là các số
dương thỏa mãn
2 2 2
1x y z+ + =
Giải: ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2( )
x y y z z x
A x y z
z x y
= + + + + +
Lại có
2 2 2 2 2 2

2 2 2
1
x y y z z x
z x y
+ + ³
( chứng minh tương tự ví dụ 4)
3
1 2 3 3A A+ =Þ ³ Þ ³
, dấu “=” xảy ra khi
2 2 2
1
3
3
x y z
x y z
x y z
ì
ï
+ + =
ï
= = =Û
í
ï
= =
ï
î
.
Vậy Min A =
3
, đạt được khi

3
3
x y z= = =
4. Thêm, bớt một hằng số.
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
8
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
*Ví dụ 22: Cho 0 < x < 2. Tìm GTNN của biểu thức P =
9 2
2
x
x x
+
-
.
Giải: ta có 0 < x < 2 nên 2 – x > 0
P =
9 2 9 2 9 2 9 2
1 1 1 2 . 1 7
2 2 2 2
x x x x x x
x x x x x x x x
- -
+ = + - + = + + + =³
- - - -
.
Dấu “=” xảy ra khi
9 2 1
2 2
x x

x
x x
-
= =Û
-
. Vậy Min P = 7, đạt được khi
1
2
x =
Nhận xét. Trong ví dụ trên ta đã bớt 1 và thêm 1 để xuất hiện hạng tử
2 x
x
-
có dạng nghịch đảo của
9
2
x
x-
để khi vận dụng BĐT côsi ta được tích
của chúng là một hằng số.
*Ví dụ 23: Cho 0 < x < 1. tìm GTNN của biểu thức Q =
3 4
1 x x
+
-
.
Nhận xét. Theo ví dụ trên ta cần làm xuất hiện các hạng tử có dạng
3
1
x

x-

và
4(1 )x
x
-
để khi nhân vào ta được tích là một hằng số. Vậy cần phải
thêm và bớt bao nhiêu?
- Cách làm: Đặt
3 4 3 4 (1 )
1 1
ax b x
c
x x x x
-
+ = + +
- -
sau đó dùng phương pháp
đồng nhất hệ số, ta được a = b = 1; c = 7. vậy ta có thể giải như sau.
Giải: Q =
3 4 3 4(1 ) 3 4(1 )
7 2 . 7 7 4 3
1 1 1
x x x x
x x x x x x
- -
+ = + + + = +³
- - -
. Dấu “=”
xảy ra khi

3
1
x
x-
=
2
4(1 )
( 3 1)
x
x
x
-
= -Û
. Vậy Min Q =
7 4 3+
, đạt được khi
2
( 3 1)x = -
*Ví dụ 24: Cho x > y > 0 và x.y = 1.
Tìm GTNN của biểu thức A =
2 2
x y
x y
+
-
.
Giải: ta có
A =
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 ( ) 2 2

( )
x y x y x y xy x y
x y
x y x y x y x y x y
+ + - + + - + - +
= = = = - +
- - - - -
. Do
x > y nên x – y > 0 áp dụng BĐT côsi ta có
2 2A ³
, dấu “=” xảy ra khi
2
6 2
. 1
. 1
. 1
2
.
2
( ) 2
2
6 2
2
x y
x
x y
x y
x y
x y
x y

x y
y
ì
ï
+
ï
ì
=
ï
=
ï
ì
ï
ì
=
=
ï
ï
ï
ï
ï ï ï ï
Û Û Û
í í í í
ï ï ï ï
- =
- =
- =
-
ï ï ï ï
î

î
-
ï ï
=
ï
î
ï
ï
î
Nhận xét. Trong ví dụ trên ở tử thức ta đã thêm và bớt 2, và sử dụng giả
thiết tích x.y = 1 để làm xuất hiện hằng đẳng thức (x – y )
2
sau đó tách
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
9
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
biểu thức đã cho thành hai biểu thức có tích không đổi, từ đó có thể sử
dụng BĐT côsi.
*Ví dụ 25: Cho ba số dương a, b, c tìm GTNN của biểu thức.B =
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Giải: Thêm, bớt 3 vào biểu thức đã cho ta được.
( 1) ( 1) ( 1) 3
a b c a b c
b c a c a b b c a c a b
+ + = + + + + + -
+ + + + + +
1 1 1

( )( ) 3a b c
b c a c a b
= + + + + -
+ + +
[ ]
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 3
2
a b b c c a
b c a c a b
= + + + + + + + -
+ + +
B
3
3
1 1 9 3
.3 ( )( )( ).3 3 3
2 ( )( )( ) 2 2
a b b c c a
a b b c c a
+ + + - = - =³
+ + +
Vậy
3
2
B ³
, dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Suy ra Min B =
3
2

, đạt được khi a = b = c.
5. Nhân, chia với cùng một số khác không.
*Ví dụ 26: Tìm GTLN của biểu thức M =
9
5
x
x
-
.
Giải: ĐKXĐ.
9x ³
. Ta có M =
9
1 9 9 9
.3
( 3)
9 1
3
2 3 3
5 5 5 10 30
x
x x
x
x x x x
-
- - +
+
-
= = =£
Dấu “=” xảy ra khi

9
3 18
3
x
x
-
= =Û
. Vậy Max M =
1
30
, đạt được khi x =
18.
Nhận xét. Trong cách giải trên, x – 9 được biểu diễn thành
9
.3
3
x -
, khi vận
dụng
BĐT côsi tích
9
.3
3
x -
được làm “trội” thành nửa tổng
9 1
3
3 3
x
x

-
+ =
có
dạng kx, có
thể rút gọn x ở mẫu, kết quả là một hằng số.
*Ví dụ 27: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1.
Tìm GTLN của.
A a b b c c a= + + + + +
Nhận xét. BĐT côsi cho phép ta làm “giảm” một tổng thành một tích,
nhưng ở đây ta cần làm “trội” một tổng? Vì vậy ta coi mỗi hạng tử chẳng
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
10
NGUYN TIN O THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN
hn
a b+
nh mt tớch
( ).a b
a
+
lm tri thnh mt tng, vn l tỡm
a
nh th no?( phn ny s gii thớch trong phn V. k thut chn im
ri trong BT cụsi). Vi bi ny ta s gii nh sau.
Gii:
3 2 2 2
( ( ). ( ). ( ). )
2 3 3 3
2 2 2
3 3
3 3 3

( 1) 6
2 2 2 2 2
A a b b c c a a b b c c a
a b b c c a
A a b c
= + + + + + = + + + + +
ổ ử
ữ
ỗ
+ + + + + +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+ + = + + + =Ê
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Du = xy ra khi
1

1
2
3
3
a b c
a b c
a b b c c a
ỡ
+ + =
ù
ù
ù
= = =
ớ
ù
+ = + = + =
ù
ù
ợ
. Vy max A =
6
, t
c khi a = b = c =
1
3
.
*Vớ d 28: Tỡm GTLN ca biu thc
2 2 2
1 2( 2) 3(7 )y x x x= + + - + -
v cỏc

giỏ tr tng ng ca x trong khong xỏc nh.
Nhn xột. Ta vn cn lm tri mt tng vỡ vy cn coi mi hng t nh l
mt tớch.
Gii: KX
7 2x- -ÊÊ
v
2 7xÊ Ê
, ta cú
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 2( 2) 3(7 )
1
( ( 1).6 2( 2).6 3(7 ).6)
6
1 1 6 2( 2) 6 3(7 ) 6
2 2 2
6
1 1 6 2 4 6 21 3 6 1
. .18 3 6
2
6 6
y x x x
y x x x
x x x
y
x x x
y
= + + - + -

= + + - + -
ộ ự
+ + - + - +
ờ ỳ
+ +Ê
ờ ỳ
ở ỷ
+ + + - + + - +
= =Ê
Du = xy ra khi
2
2
2
1 6
2( 2) 6 5
3(7 ) 6
x
x x
x
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ù
- = =
ớ
ù
ù
ù

- =
ù
ợ
. Vy Max y =
3 6
,
t c khi x =
5
6. Thờm hng t vo biu thc ó cho.
*Vớ d 29: Cho ba s dng x, y, z tha món iu kin x + y + z = 2.
Tỡm GTNN ca biu thc. P =
2 2 2
x y z
y z x z x y
+ +
+ + +
.
Sỏng kin kinh nghim 2008 - 2009
11
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
Giải: áp dụng BĐT côsi đối với hai số dương
2
x
y z+
và
4
y z+
ta được.

2 2

2 . 2
4 4 2
x y z x y z x
x
y z y z
+ +
+ = =³
+ +
(1)
Tương tự
2 2
(2) (3)
; ;
4 4
y z x z x y
y z
z x x y
+ +
+ +³ ³
+ +
. Cộng vế với vế các BĐT
(1),(2),(3) ta được
2 2 2
2
x y z x y z
x y z
x y z x x y
æ ö
+ +
÷

ç
÷
+ + + + +³
ç
÷
ç
÷
ç
+ + +
è ø

( ) 1
2
x y z
P x y z
+ +
+ + - =³
. Dấu “=” xảy ra khi
2
3
x y z= = =
.
Vậy Min P = 1, đạt được khi
2
3
x y z= = =
.
Nhận xét. Trong cách giải trên ta đã thêm
4
y z+

vào hạng tử thứ nhất
2
x
y z+
có
trong đề bài, để khi vận dụng BĐT côsi có thể khử được (y + z). Cũng
tương tự như vậy đối với các hạng tử thứ hai và thứ ba. Dấu đẳng thức xảy
ra đồng thời ở cả (1),(2),(3) khi và chỉ khi
2
3
x y z= = =
.
7. Đặt ẩn phụ để biến đổi biểu thức đã cho thành biểu thức có chứa các
hạng tử có tích không đổi.
*Ví dụ 30: Cho ba số dương a, b, c tìm GTNN của biểu thức.
B =
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Giải: Đặt
x b c
y c a
z a b
ì
= +
ï
ï
ï
ï

= +
í
ï
ï
= +
ï
ï
î
Do đó x, y, z > 0 và
2
2
2
x y z
a
x y z
b
x y z
c
ì
- + +
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
ï
- +
ï

=
í
ï
ï
ï
ï
+ -
ï
=
ï
ï
ï
î
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có.
B =
2 2 2
a b c x y z x y z x y z
b c a c a b x y z
- + + - + + -
+ + = + +
+ + +
B =
3 1 1 1 3 1 1 1
.2 . .2 . .2 .
2 2 2 2 2 2 2 2
x y x z y z x y x z y z
y x z x z y y x z x z y
æ ö æ ö
æ ö
- -

÷ ÷
ç ç
÷
ç
+ + ÷+ + + + ÷ + + +³
÷
ç ç
ç
÷ ÷
÷
ç
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø
è ø è ø
B
3 3
1 1 1
2 2
-
+ + + =³
. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z hay b +c = c + a = a + b
hay
a = b = c
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
12
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
*Ví dụ 31: Cho a > 1; b > 1. Tìm GTNN của
2 2

1 1
a b
A
a b
= +
- -
Giải: Đặt a – 1 = x > 0; b – 1 = y > 0 ta có.

2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 2 1 2 1 1 1
( ) ( ) 4
1 1
1 1
2 . 2 . 4 8
a b x y x x y y
A x y
a b x y x y x y
A x y
x y
+ + + + + +
= + = + = + = + + + +
- -
+ + =³
Dấu “=” xảy ra khi
1
1 1 1
1
2
1 1 1
0; 0

x
x
x a
y a b
y b
y
x y
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
ì ì
= - =
ï
ï ï
ï ï ï
= = =ÛÛÛ
í í í
ï ï ï
= - =
ï ï
î î
ï
ï
ï
> >

ï
ï
ï
ï
î
.
Vậy Min A = 8, khi a=b=2.
IV. Một số sai lầm thường gặp
kĩ thuật chọn “điểm rơi ” trong BĐT côsi
Bài 1: Cho
3x ³
. Tìm GTNN của biểu thức
1
S x
x
= +
.
*Sai lầm thường gặp
1 1
2 . 2S x x
x x
= + =³
suy ra Min S = 2.
*Nguyên nhân sai lầm Min S = 2
1
1x
x
= =Û
mâu thuẫn với
3x ³

*Phân tích tìm lời giải:
Xét bảng biến thiên các giá tri của x; 1/x và S để dự đoán Min S
x 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1
x
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
1
11
S
1
3
3
1
4
4

1
5
5
1
6
6
1
7
7
1
8
8
1
9
9
1
10
10
1
11
11
*Nhận xét. Khi x càng tăng thì S càng lớn, dự đoán khi x = 3 thì S đạt
GTNN. Để tạo ấn tượng ta nói Min S =
10
3
, tại “điểm rơi” x = 3.
Do BĐT côsi xảy ra dấu “=” tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau,
nên tại “điểm rơi” x = 3 ta không thể sử dụng BĐT côsi trực tiếp cho hai số
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
13

NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
x và
1
x
vì
1
3
3
¹
. Lúc này ta giả sử sử dụng BĐT côsi cho cặp số
1
;
x
x
a
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
sao
cho tại “điểm rơi” x = 3 thì
1x
x
a
=
tức là ta có lược đồ “điểm rơi” sau đây.

3
3 1
3 9
1 1
3
3
x
x
x
a a
a
a
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
= = =ÞÞ Þ
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
. Từ đó ta biến đổi S theo sơ đồ “điểm rơi”.
*Lời giải đúng:

1 1 8 1 8 2 8.3 10
2 .
9 9 9 9 3 9 3
x x x x
S x
x x x
= + = + + + + =³ ³
. Dấu “=” xảy ra
khi
1
3
9
3
x
x
x
x
ì
ï
ï
=
ï
=Û
í
ï
ï
=
ï
î
. Vậy Min S =

10
3
, đạt được khi x = 3.
Bài 2: Cho
2x ³
. Tìm GTNN của biểu thức
2
1
A x
x
= +
.
*Sai lầm thứ nhất.
3
2 2 2
3
1 1 1 3
3 . .
2 2 2 2
4
x x x x
A x
x x x
= + = + + =³
. suy ra
Min A =
3
3
3
2 2

4
x = <Û
.
*Sơ đồ “điểm rơi”.
2
2
2 1
2 8
1 1
4
4
x
x
x
a a
a
a
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
= = =ÞÞ Þ
í
ï
ï
=
ï

ï
ï
î
*Sai lầm thứ hai
2 2 2
1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 9
2 . 2
8 8 8 8 8 8 4
8 8.2
x x x x x
A x x
x x x
x
= + = + + + = + + = =³ ³ Þ
thì
Min A =
9
4
*Nguyên nhân sai lầm. Mặc dù đã biến đổi theo sơ đồ “điểm rơi” và đáp số
Min A =
9
4
là đúng nhưng sai lầm ở chỗ đánh giá mẫu số “
2 2 2
2
4
8 8.2
x
x
=³ Þ ³

” là sai.
*Lời giải đúng.
3
2 2 2
1 1 6 1 6 3 6.2 9
3 . .
8 8 8 8 8 8 4 8 4
x x x x x x
A x
x x x
= + = + + + + + =³ ³
. Vậy
Min A =
9
4
, đạt được khi x = 2.
Bài 3: Cho
6x ³
. Tìm GTNN của biểu thức
2
4
B x
x
= +
.
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
14
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
*Lời giải sai
2 2 2

5
4 1 1 1 1 1 1 1 1
5 . . . . 5B x x x
x x x x x x x x x
= + = + + + + =³
;
Min B =5
*Nguyên nhân sai lầm, Min B = 5 khi
2 2
1
. 1 1 6x x x x
x
= = = <Û Û
*Sơ đồ “điểm rơi”
2
36
36 4
6 9 6
4 4
6
6
x
x
x
a a
a
a
ì
ï
ï

=
ï
ï
ï
= = =ÞÛ Û
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
*Lời giải đúng.
2 2
2 2 2
4 4 1 4 1
(1 ) 2 . (1 )
9 6 9 6 9 6 9 6
x x
B x x x
x x x
= + = + + - + -³

2
9 6 1 6 6 4(9 6 1) 4 6 4 6(9 6 1)
2.2 6 ( ) 2.2
3 6
9 6 9 6 9 6 6
x x

B
- - -
+ + = +³ ³


8 6 36.6 4 6 108 2 6
6 3
B
+ - -
=³

Dấu “=” xảy ra khi
2
2
4
36 6 6
9 6
x
x x x
x
= = =Û Û
. Vậy Min B =
108 2 6
3
-
khi
x = 6
Bài 4. Cho
1
0

2
x< £
. Tìm GTNN của biểu thức
2
1
2C x
x
= +
.
*Sai lầm thường gặp.
3
2 2 2
1 1 1
2 3 . . 3C x x x x x
x x x
= + = + + =³
suy ra Min C = 3
*Nguyên nhân sai lầm: Min C = 3, đạt được khi x = 1 mâu thuẫn với giả
thiết.
*Lời giải đúng.
*Sơ đồ “điểm rơi”
2
1
1
2
8
1 4
2
x
x

x
a
a a
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
= =ÞÞ
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
. Ta có

3
2 2 2 2 2
1 1 7 1 7 3 7.4
2 3 . . 5
8 8 8 8 2 8
C x x x x x
x x x x x
= + = + + + + + =³ ³
. Dấu “=” xảy ra khi

2
1
1
8
1
2
2
x
x
x
x
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
=Û
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
. Vậy Min C = 5, đạt được khi
1
2

x =

V. Bài tập áp dụng.
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
15
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
Bài 1: a. Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức.
2
2 6 5
2
x x
A
x
- +
=
.
b. Cho x
³
0. Tìm GTNN của biểu thức.
2
2 17
2( 1)
x x
B
x
+ +
=
+
.
c. Cho x

³
0. Tìm GTNN của biểu thức.
6 34
3
x x
C
x
- +
=
+
.
d. Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức.
( 4)( 9)x x
A
x
+ +
=

Bài 2: a. Cho x > y và x.y = 5. Tìm GTNN của
2 2
1,2x x y
Q
x y
+ +
=
-
.
b. Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn
12x y z+ + ³
.

c. Tìm GTNN của biểu thức
x y z
P
y z x
= + +
Bài 3: a. Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của biểu thức
2 1
1
E
x x
= +
-
.
b. Cho x > 1. Tìm GTLN của biểu thức
25
4
1
A x
x
= +
-
.
Bài 4: Cho x, y cùng dấu. Tìm GTNN của
2 2
2
A x y
xy
= + +
.
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức

2 2
1 1y x x x x= + + + - +
.
Bài 6: Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của
2 2
a b
E
x y
= +
.
(a, b là những số dương cho trước).
Bài 7: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức
6
6
6
3
3
3
1 1
2
1 1
x x
x x
D
x x
x x
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - + -

÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
=
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ + +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 8: a. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z =1.
Tìm GTNN của
x y
A
xyz
+
=
b. Cho x, y, z, t > 0 và x + y + z + t = 2.
Tìm GTNN của biểu thức
( )( )x y z x y
B
xyzt
+ + +
=

Bài 9: a. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2.
Tìm GTNN của biểu thức
(1 )(1 )(1 )
(1 )(1 )(1 )
a b c
A
a b c
+ + +
=
- - -
.
b. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = k (k là hằng số).
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
16
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
Tìm GTNN của biểu thức
1 1 1
k k k
Q
a b c
æ öæ öæ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= + + +
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è øè øè ø
.

Bài 10: Tìm GTLN của biểu thức A = xyz(x + y)(y + z)(z + x).
Với
, , 0x y z ³
và x + y + z = 1.
Bài 11: Tìm GTLN của biểu thức
2
1
y
x
B
x y
-
-
= +
, với
1; 2x y³ ³
.
Bài 12: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = a (a là hằng số).
Tìm GTLN của biểu thức P = xy + yz + zx.
Bài 13: Cho x, y là các số dương thỏa mãn
6x y+ ³
.
Tìm GTNN của biểu thức
6 8
3 2P x y
x y
= + + +
.
Bài 14: Cho x > 0; y > 0 và
6x y+ ³

. Tìm GTNN của biểu thức.

12 16
5 3P x y
x y
= + + +
Người thực hiện
Nguyễn Tiến Đào.
GV THCS – Hải Đông
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
17