Chuyên đề phương trình vô tỉ dùng ôn luyện HSG và luyện thi THPT

Các cách giải phơng trình vô tỷ
Trong chơng trình đại số 9
Trong chơng trình toán học phổ thông thì phơng trình nói chung và phơng
trình vô tỷ nói riêng là một trong những đơn vị kiến thức rất cơ bản và phổ biến.
Với bài viết này chỉ xin đợc trao đổi cùng các bạn về các cách giải phơng trình vô
tỷ 1 ẩn mà ở đó chỉ chứa các căn thức bậc hai cho phù hợp với chơng trình đại số
lớp 9.
Cách 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc 2 số học
x 0
x
2
= a
Ví dụ: Giải phơng trình
Ta có: x 0
x
2
= 3x + 4
Giải: x
2
= 3x + 4 ta đợc x = -1 ; x = 4
Đối chiếu với x 0 thì nghiệm của phơng trình là x = 4
Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức |A| để đa phơng trình vô tỷ về ph-
ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ: Giải phơng trình:
(2)
Với điều kiện x 4 ta có:
(2)


vì x 4
- Nếu x 8

thì ta có x = 8 (thoả mãn)
- Nếu x < 8
thì ta có
4 = 4
Vậy phơng trình có vô số nghiệm x thoả mãn 4 x 8
1
xa
=
xx
=+
43
xx
=+
43
=
2
A
44444
=++
xxxx
444444444
=++++
xxxx
( ) ( )
42424
22
=++
xx
42424
=++

xx
42424
=++
xx
024
>+
x
024

x
44.2
=
x
024
<
x
44224
=++
xx
Cách 3: Bình phơng 2 vế của phơng trình vô tỷ đã cho để có phơng trình
hữu tỷ:
Ví dụ: Giải phơng trình:
(3)
điều kiện 2x + 5 0

3x 5 0
Ta có (3)
(3)
Hai vế của (3) không âm, ta bình phơng 2 vế của (3) thì đợc

(3)
Với điều kiện 6 x 0 x 6
Hai vế của (3

) không âm nên ta bình phơng 2 vế của (3

) thì đợc
16(3x 5) = 36 + x
2
12x
x
2
60x + 116 = 0
x = 2 , x = 58
Đối chiếu với các điều kiện và x 6 thì nghiệm của phơng trình là x
= 2
Chú ý rằng: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho 2 vế của phơng
trình đều không âm (không dơng) thì sẽ dễ mắc sai lầm, bởi có sự xuất hiện của
nghiệm ngoại lai. Thật vậy ở trong ví dụ này nếu chỉ có điều kiện rồi bình
phơng 2 vế của (3) thì ta sẽ đợc

(3)
Bình phơng 2 vế của phơng trình (3

) ta đợc
x
2
60x + 116 = 0
x = 2 , x = 58
Đối chiếu với điều kiện thì phơng trình có 2 nghiệm x = 2 , x = 58.

Mà khi thử lại ta lại thấy:
- Khi x = 2 giá trị các vế trái là (VP)
- Khi x = 58 giá trị của vế phải là
(Vế phải)
Rõ ràng chỉ x = 2 là nghiệm của phơng trình đã cho mà thôi
2
25352
=+
xx
2
5

x
3
5

x
3
5

x
25352
+=+
xx
45345352
++=+
xxx
xx
=
6534

3
5

x
3
5

x
4)53)(52(25352
=+++
xxxx
45)53)(52(2
=+
xxx
3
5

x
21952.352.2
==+
221311169121558.3558.2
===+
Cách 4: Phân tích thành nhân tử để xuất hiện những phơng trình vô tỷ đơn
giản hơn:
Ví dụ: Giải phơng trình
(4)
Ta có (4)
(4)
Với điều kiện x 3 ta có
(4)

(loại)
(vô lý)
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
Cách 5: Đặt ẩn phụ
a) Đặt ẩn phụ để có phơng trình bậc 2
Ví dụ: Giải phơng trình 3x
2
+ 6x + 20 =
(5)
Ta có (5)
Vì x
2
+ 2x + 8 = (x + 1)
2
+ 7 TXĐ: x
Đặt t = t
Khi đó ta có: 3t
2
4 = t
3t
2
t 4 = 0
t = -1 < loại
t = < = (loại)
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
b) Đặt ẩn phụ để có phơng trình hữu tỷ bậc cao
Ví dụ: Giải phơng trình
Điều kiện: x + 1 0 x -1

Đặt t 0
x + 1 = t
2
x = t
2
1 x
2
= t
4
2t
2
+ 1
Khi đó ta có t
4
2t
2
+ 1 + t
2
1 + 12t 36 = 0
t
4
t
2
+ 12t 36 = 0
t
4
2t
3
+ 2t
3

4t
2
+ 3t
2
6t + 18t 36 = 0
t
3
(t 2) + 2t
2
(t 2) + 3t(t 2) + 18(t 2) = 0
3
323232
22
+++=++
xxxxxx
3)2)(1(2)3)(1(
+++=+++
xxxxxx
32.123.)1(
+++=+++
xxxxxx
( )( )
03211
=++
xxx
032
011
=+
=+
xx

x
32
11
=+
=+
xx
x
32
30
=
<=
x
82
2
++
xx
( )
824823
22
++=++
xxxx
82
2
++
xx
7
7
9
16
3

4
=
36112
2
=+++
xxx
tx
=+
1
9
63
7
(t 2) (t
3
+ 2t
2
+ 3t + 18) = 0
t = 2
t
3
+ 2t
2
+ 3t + 18 = 0 vô nghiệm vì t 0 t
3
+ 2t
2
+ 3t + 18 18 > 0
t = 2 x + 1 = 4 x = 3 > -1
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 3
c) Đặt ẩn phụ để có hệ phơng trình hữu tỷ đơn giản

Ví dụ 1: Giải phơng trình
Điều kiện x -2004
Đặt Theo phơng trình đã cho thì x
2
+ y = 2004
Từ phép đặt ta lại có y
2
= x + 2004
Vậy có hệ x
2
+ y = 2004
y
2
= x + 2004
Giải hệ này ta có: x = y
x = -y
- Khi x = y (thoả mãn)
- Khi x = -y (t/mãn)
Vậy nghiệm của phơng trình là
Ví dụ 2: Giải phơng trình
điều kiện:
đặt theo phơng trình ta có a b = 3
mà theo phép đặt ta có a
2
b
2

= (25 x
2
) (10 x

2
) = 15
vì thế ta có hệ: a b = 3 a b = 3 a = 4
a
2
b
2
= 15 a + b = 5 b = 1
Từ đây x = +3 (thoả mãn đ/k)
Vậy nghiệm của phơng trình là x = +3
4
20042004
2
=++
xx
2004
+=
xy
2004
+=
xx
2004
2
80171
>
+
=
x
2004
+=

xx
2
40091
2
80171
2

>

=
x
2
80171

=
x
31025
22
=
xx
1010

x
ax
=
2
25
bx
=
2

10
425
2
=
x
110
2
=
x
Cách 6: Nhẩm nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải phơng trình:
(6)
- Ta thấy với x = 0 thì giá trị vế trái =
và giá trị vế phải =
x = 0 là nghiệm
- Giả sử phơng trình có nghiệm x > 0. Tiến hành chia 2 vế của (6) cho ta
có:
(6)
mà
(6) vô nghiệm
phơng trình (6) không có nghiệm x > 0
- Giả sử phơng trình có nghiệm x < 0. Tiến hành chia 2 vế của (6) cho
ta có
(6)
mà
(6

) vô nghiệm
phơng trình (6) không có nghiệm x < 0
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho.

Cách 7: Sử dụng bất đẳng thức
a) Chứng tỏ tập giá trị của 2 vế không giao nhau, khi đó phơng trình vô nghiệm
Ví dụ: Giải phơng trình
điều kiện: x 0
x + 1 0 x 3
x 3 0
Khi đó ta có
giá trị của vế trái nhận giá trị âm.
Mà giá trị vế phải lại không âm
Do đó phơng trình đã cho vô nghiệm
b) Chứng tỏ tập giá trị của 2 vế giao nhau tại cùng một giá trị. Khi đó phơng
trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn.
Ví dụ: Giải phơng trình
Ta có: dấu = xảy ra x = -1
5
)3(2)2()1(
=+
xxxxxx
0)20(0)10(0
=+
0)30(2
=
x
3221
=+
xxx
3)1(
>
xx
3)2(

>
xx
32)2()1(
>+
xxx
x

xxx
=+
3221
xx
<
31
xx
<
32
xxx
<+
3221
31
=+
xxx
1
+<
xx
03

x
222
2276322 xxxxxx

=+++++
( )
11122
2
2
++=++
xxx
42
2
4
=+

x
x
42.
2
4
22
2
4
=

+

x
x
x
x
42
2

4
=+

x
x
2
2
4
=

x
x
( )
42
2
=
x
44)1(3763
22
++=++
xxx