Chuyên đề Phương Trình Vô Tỉ - HOT

Phần I
Một số kiến thức liên quan

1/ Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm. Khi giải
các phơng trình ta thờng phải dùng các phép biến đổi tơng đơng.
2/ Một phơng trình đợc gọi là phơng trình hệ quả của phơng trình cho trớc nếu tập
nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phơng trình đã cho. Khi giải phơng trình, nếu
ta dùng phép biến đổi đa phơng trình đã cho về một phơng trình hệ quả thì ta phải
thử lại.
3/Môt số bài toán cơ bản liên quan đến định lý đảo về dâu tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax
2
+bx+c (a khác 0), f(x) có hai nghiệm x
1
;x
2
thoả
mãn:
x
1
<

<x
2
khi và chỉ khi af(

)<0.

<
>

<


2
0)(
0
21
s
afxx









>
>

<

2
0)(
0
21
s
afxx

f(x) có hai nghiệm trong khoảng
( )

;
khi và chỉ khi :









<<
>
>




2

0)(
0)(
0
S
af
af
1
f(x) có một nghiệm nằm trong
( )

;
, nghiệm còn lại nằm ngoài
[ ]

;
khi
và chỉ khi
0)().(
<

ff
.
4/ Một số kiến thức trong lý thuyết hàm số :
Hàm số y=f(x) xác định trên D. Khi đó phơng trình f(x)=g(m) có nghiệm
trên D khi và chỉ khi g(m) thuộc vào tập giá trị của f(x) trên D.
Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D, x
0
thuộc D sao cho f(x
0
)=m ( trong đó

m là hằng số ) thì phơng trình f(x) =m có nghiệm duy nhất trên D.
Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D , x
0
thuộc D sao cho
f(x
0
)= g(x
0
) thì phơng trình f(x) =g(x) có nghiệm duy nhất trên D.
5/ Nội dung phơng pháp cần và đủ :
Bài toán đặt ra là : tìm điều kiện của tham số m để phơng trình f(x,m)=0 thoả
mãn tính chất (P) nào đó.Khi giải bài toán này bằng phơng pháp điều kiện cần và
đủ ta tiến hành theo các bớc sau :
Bớc 1 : (tìm điều kiện cần)
Giả sử phơng trình đã cho đã thoả mãn tính chất (P).Ta đi tìm điều kiện ràng
buộc của m. Giả sử điều kiên ràng buộc của m là m
m
D

.
Bớc2 : (tìm điều kiện đủ) :
Với m
m
D

ta kiểm tra lại xem khi đó phơng trình f(x,m)=0 đã thoả mãn
tính chất (P) cha.ở bớc này nói chung ta thờng thay các giá trị cụ thể của m vào
để xét, những giá trị của m
m
D

mà làm cho phơng trình f(x,m)=0 thoả mãn tính
chất (P) là đáp số bài toán.
2
Phần II
Một số dạng phơng trình
vô tỉ thờng gặp.
I. Dạng 1 : dùng phép biến đổi tơng đơng




=

=



=

=
)()(
0)(
(**))()(
)()(
0)(
(*))()(
2
2
22

xgxf
xg
xgxf
xgxf
xf
xgxf
n
n
nn
.
Thực tế ta hay gặp trờng hợp n=1.ở dạng (**) học sinh yếu thờng hay mắc
sai lầm nh sau: đặt điều kiện f(x)
0

sau đó luỹ thừa 2n hai vế của phơng trình
để khử căn rồi giải phơng trình này , sau đó kiểm tra điều kiện f(x)
0

thấy
thoả mãn, kết luận đó là nghiệm phơng trinh. ở (*) cũng vậy , mặc dù đơn
giản nhng học sinh cũng hay quên điều kiện f(x) hoặc g(x) không âm.
Bài tập áp dụng: giải phơng trình:
1.
xxx
=++
242
2
.
2.
2193

2
=+
xxx
.
3.
xxx 224
2
=++
.
4.
xx
x
x
=

123
23
2
.
3
II. Dạng 2 :

)()()( xhxgxf
=+
Ph ơng pháp giải dạng này là : tìm tập xác định của phơng trình đã cho rồi
bình phơng hai vế ,thu gọn để quy về dạng I. Khi gặp phơng trình dang:
)()()( xhxgxf
=
học sinh thờng mắc sai lầm là: sau khi tìm tập
xác định của phơng trình đã cho đem bình phơng hai vế , thu gọn để

quy về dạng I. Trờng hợp này rất nhiều khi ta thu đợc phơng trình hệ
quả( Do cha chắc đã có:
0)()(

xgxf
với mọi x thuộc tập xác
định của phơng trình). Giáo viên cần lu ý học sinh điều này. Ta nên hớng
dẫn học sinh chuyển
)(xg
sang vế phải để quy về dạng 2.
Ví dụ: giải phơng trình:
xxx 2114
=+
HD:
Pt có tập xác định là: D=







2
1
;4
Ta có:
xxx 2114
=+

( )
0
)21)(1(12
2
1
)21)(1(12
)21)(1(2324
2114
2
=





=+



=+
+=+
+=+
x
xxx
x
xxx
xxxx
xxx
Vậy nghiệm phơng trình là x=0.
Bài tập áp dụng: giải phơng trình:

1.
2173
=++
xx
2.
94343
+=++
xxx
4
xxx
=+
7823

III/ Dạng 3: Dùng tính chất của hàm số:
Cơ sở lý thuyết:
Cho f xác định trên D = (a ;b)
f tăng (đồng biến) khi
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )x x D x x f x f x < <
f giảm (nghịch biến) khi
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )x x D x x f x f x < >
Định lý: Nếu f có đạo hàm trên D = (a , b) và f không phải là hằng số thì:

,
( ) 0,f x x D

f tăng trên D.

,

( ) 0,f x x D
f giảm trên D.
Tính chất: Nếu f đơn điệu thì phơng trình f(x0 = 0 có tối đa một nghiệm
và nếu chỉ ra đợc nghiệm thì đó chính là nghiệm duy nhất.
Từ đó ta có ứng dụng để giải phơng trình hoặc chứng minh sự tồn tại nghiệm.
Cách giải:
Các vế của phơng trình thờng chứa các hàm số một biến. Tính chất của hàm
số không thể không ảnh hởng tới cách giải các bài toán đặt ra. Trong nhiều
trờng hợp, việc sử dụng các tính chất của hàm số giúp ta tìm đợc cách giải
hợp lý và hiệu quả.
*Chú ý:
-Trong nhiều trờng hợp HS sau khi nhẩm đợc nghiệm thì vội vàng
kết luận tính duy nhất của nghiệm, mà quên đi cơ sở kết luận nghiệm
phải dựa vào tính chất của hàm số có mặt trong bài toán đó.
-Ta có thể lập bảng biến thiên để giải quyết bài toán dễ dàng hơn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2 2
15 3 2 8x x x+ = + +
Giải: Ta viết lại phơng trình:
Và
2 2
15 8x x+ > +
nên
2
3 2 0
3
x x > >
Phơng trình:
2 2

15 8 3 2 0x x x+ + + =
(*)
Xét
2 2
2
( ) 15 8 3 2,
3
f x x x x x= + + + >
2 2
,
2 2 2 2
15 8
( ) 3 . 3 0
15 8 15. 8
x x x x
f x x
x x x x
+ +
= = <
+ + + +
nên f nghịch biến. Hơn nữa f(1) = 0
Do đó (*)
( ) (1) 1f x f x = =
5
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 1
Ví dụ 2: Tìm a để phơng trình có nghiệm:

2 2
1 1x x x x a+ + + =
Giải: Xét y = f(x) =

2 2
1 1x x x x+ + +
, D = R thì f là hàm lẻ.
Ta có :
,
2
2
1
2 1
2
1 3
2. 1
( )
2 4
x
x
y
x x
x

+
=
+ +
+
Đặt
2
,
3
2
2

( ) , 0
3
4
3
4
( ) 0
3
( )
4
t
g t t
t
g t
t
=
+
= >
+

nên g đồng biến.
Mà
,
1 1 1 1
( ) ( ) 0
2 2 2 2
x x g x g x y+ > + > >

Bảng biến thiên:
x

0
+
,
y
+
y 1
-1

Vậy điều kiện để PT có nghiệm là
1a <

Ví dụ 3: Giải phơng trình:

11 3 2 9 7 2x x x x+ = +
HD: Với phơng trình vô tỷ này ta có thể chuyển vế, bình phơng rồi khử dấu
căn nh cách thông thờng. Tuy nhiên, nếu ta chú ý đến miền xác định của các
hàm số
2y x=
và
2y x=
ta thấy ngay phơng trình đã cho chỉ xác định
với x = 2. Hơn nữa, x = 2 thoả mãn PT.
Vậy nghiệm của PT là x = 2.
6
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
3 3
2 2 1x x+ + =
HD: Đây là một ví dụ về phơng trình vô tỉ mà có thể dùng cách giải thông
thờng là bình phơng 2 vế để khử căn. Tuy nhiên ta không vội làm điều đó mà
để ý rằng: để PT có nghĩa thì

3 3 3 3
3 3
2 0 2 2 4 2 2
2 2 2 1
x x x x
x x
+ +
+ + >
Vậy PT vô nghiệm.
Ví dụ 5: giải phơng trình
2
12 1 36x x x+ + + =
Giải. Nếu ta bình phơng để khử căn thức thì sẽ đợc một phơng trình bậc 4 đầy
đủ, việc giải nó rất phức tạp, nên ta tìm cách giải khác.
Trớc hết ta để ý rằng x = 3 nghiệm đúng phơng trình. Nhng khác với
các ví dụ trớc, hàm số ở vế trái
2
12 1x x x+ + + không phải là hàm đơn điệu
trong miền xác định của nó:
[
)
1;
. Tuy nhiên nếu ta xét khoảng
( )
0;+
Thì vế trái là hàm số đơn điệu tăng do đó x= 3 là nghiệm duy nhất của phơng
trình đã cho trong khoảng
( )
0;+
. Bây giờ ta xét đoạn

[ ]
1;0
. Ta có với
x
[ ]
1;0
thì
2
0x x+ < , 12 1 12x + vế trái
2
12 1 12 36x x x+ + + < < nên phơng
trình không có nghiệm trong đoạn
[ ]
1;0
.
Đáp số: x=3.
Ví dụ 6: giải phơng trình:
a)
3123
=+
xx
b)
xxx 2114
=+
HD:
a) Pt đã cho có tập xác định là: D=
[
)
+
;1

. Ta dễ kiểm tra hàm
123)(
+=
xxxf
đồng biến trên D. Mà f(2)=3. Do vậy pt đã
cho có nghiệm duy nhất x=2.
b) Pt đã cho có tập xác định là: D=







2
1
;4
. Ta dễ kiểm tra hàm
xxxf
+=
14)(
đồng biến trên D, hàm g(x)=
x21

nghịch
biến trên D . Mà f(0)=g(0). Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất
x=0.
Bài tập áp dụng: giải phơng trình:
7
1.

444
=++
xx
.
2.
52314
=++
xx
.
3.
xxx 2532
=+
IV.Dạng 4: đặt ẩn phụ quy về phơng trình bậc hai
Ví dụ: giải phơng trình:
a.
( )
732233
2
2
+=+
xxxx
.
b.
253294123
2
++=+
xxxxx
.
c.
1)3(13

22
++=++
xxxx
.
HD:
a. Đặt y=
)0(73
2
+
yxx
.Ta đợc pt: y
2
-y-20 = 0
Nghiệm y = -4 bị loại.Với y = 5 ta tìm đợc các nghiệm x = 6 ; x = -3.
b. Đặt y=
123
+
xx
(y > 0). Ta thấy y
2
=4x-3+2
253
2
+
xx
Ta đợc phơng trình : y
2
-y-6=0

=
=

2
3
y
y
Nghiệm y=-2 bị loại.
Với y=3 ta đợc
3123
=+
xx
.Trong phần dùng tính đơn điệu của
hàm số ta đã tìm đợc nghiệm duy nhất của pt này là x = 2. Vậy pt ban
đầu có nghiệm duy nhất x = 2.
c. Phần này phép đặt ẩn phụ ở phần này đợc gọi là không hoàn toàn.Cụ
thể nh sau :
Đặt y=
)1(1
2
+
yx
. Ta đợc phơng trình : y
2
-(x+3)y+3x=0

=
=

xy
y 3
Với y=3 ta đợc :




=
=
=+
22
22
31
2
x
x
x
8
Với y=x ta đợc :



=+

=+
22
2

1
0
1
xx
x
xx
. PT vô nghiệm.
Vậy nghiệm của pt đã cho là :




=
=
22
22
x
x
Bài tập áp dụng: giải phơng trình:
1. (x+5)(2-x)=3
xx 3
2
+
.
2.
431132
22
+=++
xxxx
.

3.
211
4
2
4
2
=++
xxxx
.
4.
2
221)2)(1( xxxx
+=+
.
5.
16212244
2
+=++
xxxx
.
6.
xxxx
+=+
1
3
2
1
2
.
7.

3522163132
2
+++=+++
xxxxx
.
8. x+
22
4324 xxx
+=
.
9. (4x-1)
1221
22
++=+
xxx
.
10. 2(1-x)
1212
22
=+
xxxx
.
V. Dạng 5: các pt vô tỉ quy về pt chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: giải phơng trình:
21212
=++
xxxx
.
HD:
Nhân cả hai vế của phơng trình với

2
ta đợc:

1
2
1
0112121112
21121122112112
2)112()112(212221222
22
=
=++=++
=++=++
xxxx
xxxx
xxxxxx
Bài tập áp dụng: giải phơng trình:
1.
275232522
=++++
xxxx
.
2.
11
4
5
1
4
5
2222

+=++
xxxxx
.
9