Các bất đẳng thức về giá trị trung bình

Header Page 1 of 126.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ BÍCH HUY

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2011

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Cao Văn Nuôi

Phản biện 1:..........................................................................
Phản biện 2:..........................................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng
vào ngày... tháng... năm 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng.
Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.

1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Có thể nói bất đẳng thức đóng một vai trò khá quan trọng trong việc học
và giảng dạy bộ môn toán. Trong chương trình toán ở bậc phổ thông trung
học thì phần kiến thức về bất đẳng thức cũng chiếm một tỷ lệ lớn. Trong
quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát hiện ra rằng thông thường
các học sinh đều cảm thấy lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức.
Chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu một phần của bất đẳng thức nhằm góp
phần phục vụ cho công việc giảng dạy ở trường phổ thông và tôi chọn đề
tài để làm luận văn tốt nghiệp của mình là: Các bất đẳng thức về giá trị
trung bình.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là các bất đẳng thức về giá
trị trung bình và sự ứng dụng của chúng để giải toán ở bậc phổ thông trung

học. Ngoài ra chúng tôi có mở rộng một vài trường hợp để chứng tỏ lĩnh
vực này có thể phát triển xa hơn về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng.
2.2. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong phạm vi về một
số bất đẳng thức có liên quan đến các giá trị trung bình. Sau đó chúng tôi
đưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối để minh họa cho việc ứng
dụng của chúng đến việc giải toán ở bậc trung học.
3. Mục đích nghiên cứu
Nội dung của đề tài này là nghiên cứu một số bất đẳng thức về giá trị trung
bình. Ngoài việc nhắc lại bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc mà
chúng ta đã biết đó là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân, đề tài còn trình bày về hai bất đẳng thức hiện đại mà việc ứng dụng
nó trong việc giải toán là khá rộng là bất đẳng thức Schur và bất đẳng thức
Muirhead.
Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.

2

4. Tên đề tài
Đề tài "Các bất đẳng thức về giá trị trung bình".
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi dựa vào sự ứng dụng sau này của đề tài nên chúng tôi sử dụng
các phương pháp giải quyết vấn đề thiên về cách chứng minh của toán sơ
cấp. Mặc dù thế trong một vài tình huống đặc biệt chúng tôi cũng mạnh
dạn mở rộng vấn đề theo hướng toán học hiện đại. Phương pháp chủ yếu
được sử dụng trong luận văn này là kết hợp các kết quả đã có trong các tài
liệu chuyên khảo có liên quan đến đề tài và sự liên hệ đến các ứng dụng của

nó trong chương trình toán phổ thông.
6. Nội dung nghiên cứu
Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong phạm vi về
những bất đẳng thức có liên quan đến các giá trị trung bình. Sau đó chúng
tôi có đưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối để minh họa cho việc
ứng dụng của chúng đến việc giải toán ở bậc trung học.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1: Luận văn trình bày các kiến thức đại cương về bất đẳng thức
và các đại lượng trung bình mà các chương sau đề cập đến.
Chương 2: Luận văn trình bày một số bất đẳng thức về giá trị trung bình
có nhiều ứng dụng khi giải toán ở trường phổ thông như: bất đẳng thức
giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức giữa trung bình
nhân và trung bình điều hòa; bất đẳng thức Schur và các hệ quả; đặc biệt
luận văn trình bày bất đẳng thức Muirhead, qua đó cho ta thấy được mối
quan hệ giữa bất đẳng thức Muirhead với bất đẳng thức giữa trung bình
cộng và trung bình nhân, giữa bất đẳng thức Muirhead với bất đẳng thức
Schur.
Chương 3: Trong phần này, luận văn trình bày một số ứng dụng của bất
đẳng thức về giá trị trung bình trong việc giải toán phổ thông.

Footer Page 4 of 126.


Header Page 5 of 126.

3

Chương 1

Đại cương về bất đẳng thức
1.1

Quan hệ thứ tự trên một tập hợp

1.1.1

Tích Descartes

Định nghĩa 1.1.[1] Cho các tập X1 , X2 , . . . , Xn . Ta gọi tập hợp {(x1 , x2 , . . . , xn ) :
xi ∈ Xi , i = 1, n} là tích Descartes của các tập X1 , X2 , . . . , Xn và kí hiệu
n

X1 × X2 × · · · × Xn hay

Xi .
i=1

1.1.2

Quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự

1.1.2.1. Quan hệ
Cho tập X = ∅. Một tập con R của tích Descartes R× R được gọi là một
quan hệ hai ngôi trên tập X nếu (x, y ) ∈ R thì ta viết xRy.
Tính chất 1.1. [1] (Các tính chất của quan hệ)
* Tính chất phản xạ
Một quan hệ R trên X được gọi là có tính chất phản xạ nếu với mọi
x ∈ X thì xRx.
* Tính chất đối xứng

Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính đối xứng nếu với mọi
a, b ∈ X sao cho aRb kéo theo bRa.
* Tính chất phản đối xứng
Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính phản đối xứng nếu với
mọi a, b ∈ X sao cho aRb và bRa kéo theo a = b.
* Tính chất bắc cầu
Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính bắc cầu nếu với mọi
a, b, c ∈ X sao cho aRb và bRc kéo theo aRc.
1.1.2.2. Quan hệ tương đương.
Định nghĩa 1.2.[1] Một quan hệ trên tập hợp A được gọi là quan hệ
tương đương nếu nó có các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
Định nghĩa 1.3.[1] Cho R là một quan hệ tương đương trên tập A và
a∈
A.5 of
Tập
Footer
Page
126.hợp

{x ∈ A | xRa} được gọi là lớp tương đương của phần tử


Header Page 6 of 126.

4

a, kí hiệu a hoặc [a] hoặc C (a).
Mệnh đề 1.1. [7] Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A
và a, b ∈ A. Khi đó ta có:
1. a = ∅.

2. a = b khi và chỉ khi aRb.
a = b hoặc a ∩ b = ∅.
3.
Định nghĩa 1.4.[1] Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A.
Khi đó A được chia thành các lớp tương đương khác rỗng, rời nhau đôi
một. Tập hợp các lớp tương đương đó gọi là tập thương của A theo quan
hệ tương đương R và kí hiệu là A/R. Như vậy
A/R = {a | a ∈ A}.
Định nghĩa 1.5.[1] Một quan hệ trên tập hợp A được gọi là quan hệ thứ
tự nếu nó có các tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Người ta
thường kí hiệu một quan hệ thứ tự bởi kí hiệu ≤.
Nếu tập hợp A có một quan hệ thứ tự ≤ thì ta nói A là một tập hợp được
sắp thứ tự.
Với hai phần tử a, b ∈ A (trong đó A được sắp thứ tự bởi quan hệ thứ tự
≤), nếu ta có a ≤ b thì ta còn viết b ≥ a.
Khi có quan hệ thứ tự ≤ trên A ta có thể xác định quan hệ < như sau:
∀a, b ∈ A, a < b ⇔ a ≤ b và a = b.
Nếu a < b, ta còn viết b > a.
Định nghĩa 1.6.[1] Cho A là tập hợp sắp thứ tự (bởi quan hệ ≤). Với
hai phần tử a, b ∈ A, nếu ta có a ≤ b hoặc b ≤ a thì ta nói a và b so sánh
được với nhau, còn nếu không có cả a ≤ b lẫn b ≤ a thì ta nói a và b không
so sánh được với nhau.
Tập hợp được sắp thứ tự A gọi là tập hợp được sắp thứ tự toàn phần nếu
hai phần tử a , b bất kì luôn có thể so sánh được với nhau. Khi đó quan hệ
thứ tự ≤ là một quan hệ thứ tự toàn phần.
Trong trường hợp ngược lại, nếu tồn tại hai phần tử a và b không so sánh
được với nhau thì ta gọi A là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận và quan
Footer
of 126.
hệPage

thứ6 tự
≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận.


Header Page 7 of 126.

5

Định nghĩa 1.7.[1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X
là một tập con khác rỗng của A. Phần tử a ∈ A được gọi là phần tử lớn
nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X nếu ∀x ∈ X ta có x ≤ a (tương ứng
x ≥ a).
Nhận xét 1.1. Phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X nếu tồn
tại là duy nhất.
Định nghĩa 1.8.[1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và
X là tập con khác rỗng của A. Phần tử c ∈ A được gọi là một chặn trên
(tương ứng chặn dưới) của X nếu ∀x ∈ X ta có x ≤ c (tương ứng x ≥ c).
Nếu X có ít nhất một chặn trên (tương ứng chặn dưới) thì ta gọi X là tập
con bị chặn trên (tương ứng chặn dưới).
Nhận xét 1.2. 1. Một tập con X của tập được sắp thứ tự A có thể
không có chặn trên (tương ứng chặn dưới), cũng có thể có một hay
nhiều chặn trên (tương ứng chặn dưới).
2. Với X là tập hợp con của tập được sắp thứ tự A và a ∈ A. Phần tử
a là phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X khi và chỉ khi a là
một chặn trên (tương ứng chặn dưới).
Định nghĩa 1.9.[1] Một tập hợp A được sắp thứ tự bởi quan hệ ≤ và
X ⊂ A, X = ∅. Phần tử nhỏ nhất (tương ứng lớn nhất) của tập hợp các
chặn trên (tương ứng chặn dưới) của X gọi là cận trên (tương ứng cận dưới)
của X trong A, kí hiệu sup X (tương ứng inf X).
A

A

Nhận xét 1.3. 1. Phần tử a ∈ A là một cận trên (tương ứng cận
dưới)của tập con X của A khi và chỉ khi a là một chặn trên (tương ứng
chặn dưới) của A và a ≤ c (tương ứng a ≥ c) với mọi chặn trên (tương
ứng chặn dưới) c của X.
2. Cận trên (tương ứng cận dưới) của mỗi tập con X của tập hợp được
sắp thứ tự A nếu tồn tại là duy nhất. Ngoài ra, cận trên (tương ứng cận
dưới) của X là thuộc X khi và chỉ khi nó là phần tử lớn nhất (tương
ứng nhỏ nhất) của X.
Định nghĩa 1.10.[7] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và
X là một tập con khác rỗng của A. Phần tử m ∈ X được gọi là phần tử
Footer
of 126. ứng tối tiểu) của X nếu ∀x ∈ X, ta có m ≤ x ⇒ x = m
tốiPage
đại7 (tương


Header Page 8 of 126.

6

(tương ứng x ≤ m ⇒ x = m) tức là không tồn tại phần tử x nào của X
sao cho x > m (tương ứng x < m).
Rõ ràng rằng phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) m của A sao cho m ∈ X
cũng là phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của X. Tuy nhiên, nếu m là
phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của X thì chưa chắc m là phần tử tối
đại (tương ứng tối tiểu) của A.
Phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của một tập hợp có thể không có và

nếu tồn tại có thể có hơn 1.
Mệnh đề 1.2. [1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X
là một tập con khác rỗng của A. Khi đó:
1. Nếu X có phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) là a thì a là phần
tử tối đại (tương ứng tối tiểu) duy nhất của X.
2. Nếu X được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ ≤ thì phần tử a ∈ X là
phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X khi và chỉ khi a là phần
tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của X.
Định nghĩa 1.11.[1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤. Ta
nói A được sắp thứ tự tốt bởi quan hệ này nếu mọi tập con khác rỗng của
A đều có phần tử nhỏ nhất.
Hệ quả 1.1. [1] Nếu một tập hợp được sắp thứ tự tốt bởi một quan hệ
nào đó thì nó được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ đó.
Định nghĩa 1.12.[1] Tập hợp được sắp thứ tự A được gọi là một dàn nếu
với 2 phần tử bất kỳ a, b ∈ A, tập hợp {a, b} luôn có cận trên, cận dưới.
Cận trên và cận dưới của {a, b} được ký hiệu lần lượt là a ∨ b và a ∧ b.
Tính chất 1.2. [1] Cho A là một dàn. Khi đó ∀a, b, c ∈ A, ta có:
1. Luật lũy đẵng: a ∨ a = a, a ∧ a = a.
2. Luật giao hoán: a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a.
3. Luật kết hợp: (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c), (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c).
4. Luật hấp thụ: a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a.

Footer Page 8 of 126.


Header Page 9 of 126.

7

1.2

Bất đẳng thức trên tập số thực

1.2.1

Các định nghĩa

Định nghĩa 1.13.[1] Một bất đẳng thức trên tập số thực là một mệnh đề
toán học dạng f (x1 , x2 , ..., xn ) R g (x1 , x2 , ..., xn ) trong đó R là một quan
hệ trên R và f, g là các hàm thực n biến.
Định nghĩa 1.14.[1]
*/ Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, kí hiệu a > b, nếu a − b là một số
dương, tức là a − b > 0. Khi đó ta cũng viết b < a. Ta có:
a > b ⇔ a − b > 0.
*/ Nếu a > b hoặc a = b, ta viết a ≥ b. Ta có:
a ≥ b ⇔ a − b ≥ 0.
Định nghĩa 1.15.[1] Các quan hệ thứ tự a > b, a < b, a ≥ b, a ≤ b với
a, b ∈ R được gọi là các bất đẳng thức trên tập số thực.
*/ Trong các bất đẳng thức trên, a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất
đẳng thức.
*/ Các bất đẳng thức a > b và c > d (hoặc a < b và c < d) được gọi là hai
bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức a > b và c < d được gọi là
hai bất đẳng thức trái chiều.
*/ Xét hai bất đẳng thức a > b và c > d
Nếu ta có a > b ⇒ c > d, ta nói bất đẳng thức c > d là bất đẳng thức hệ
quả của bất đẳng thức a > b.
Nếu ta có a > b ⇔ c > d, ta nói hai bất đẳng thức a > b và c > d là hai
bất đẳng thức tương đương.
1.2.2

Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Trong mục này, ta chứng minh một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức
dạng a > b. Các dạng bất đẳng thức khác (a < b, a ≥ b, a ≤ b) cũng có
tính chất tương tự.
Footer
Page
of 126.
Các
số9 a,
b, c, d dưới đây là các số thực bất kỳ.


Header Page 10 of 126.

8

Tính chất 1.3. [4]

(a > b và b > c) ⇒ a > c

(tính chất bắc cầu)

.
Tính chất 1.4. [4]
a > b ⇔ a + c > b + c.
Hệ quả 1.2. [4]
a > b + c ⇔ a − c > b (quy tắc chuyển vế).
Tính chất 1.5. [4]
a>b ⇒a+c>b+d

c>d
Tính chất 1.6. [4]
ac > bc nếu c > 0
ac < bc nếu c < 0
Tính chất 1.7. [4]
a > b > 0 ⇒ ac > bd.
c>d>0
Tính chất 1.8. [4]
a > b > 0 ⇒ an > bn (n nguyên dương).
Tính chất 1.9. [4]
a>b>0 ⇒

√
n

a>

√
n

b (n nguyên dương.)

Trong trường hợp n là số chẵn, kết hợp tính chất 1.8. và 1.9. ta có:
Hệ quả 1.3. [4] Nếu a, b là hai số dương thì a > b ⇔ an > bn .
Tổng quát hơn ta có: Nếu a, b là hai số không âm thì: a ≥ b ⇔ an ≥ bn .

1.3

Chứng minh bất đẳng thức

Muốn chứng minh một bất đẳng thức ta có thể sử dụng một trong các
nguyên lý sau:
1.3.1

Chứng minh bằng định nghĩa

Footer
10 ofminh
126.
ĐểPage
chứng

bất đẳng thức a > b ta chứng minh bất đẳng thức a−b > 0.


Header Page 11 of 126.

9

1.3.2

Sử dụng tính chất của bất đẳng thức biến đổi bất
đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất
đẳng đúng hoặc từ một bất đẳng thức đúng để suy
ra bất đẳng thức cần chứng minh.

1.3.3

Nguyên lý quy nạp

1.3.3.1. Hệ tiên đề peano xây dựng tập hợp các số tự nhiên
1.3.3.2. Phương pháp quy nạp toán học
1.3.4

Nguyên lý phản chứng

Với A, B là hai mệnh đề, ta có:

”A ⇒ B ⇔ B ⇒ A”.
1.4

Đại cương về các loại giá trị trung bình

1.4.1

Giá trị trung bình thông thường

Cho dãy gồm n số không âm:
a1 , a2 , ..., ai , ...an

(ai ≥ 0)

(1.23)

và tham số thực r, tạm thời giả sử r khác không. Ta ký hiệu dãy (1.23) là
(a). Khi nói (a) tỉ lệ với (b) có nghĩa là trong hai số λ và µ có ít nhất một
số khác không sao cho
λai = µbi (i = 1, 2, ..., n)

(1.24)

Chú ý rằng dãy không, tức là dãy (a) toàn số không, tỷ lệ với dãy (b). Tính
tỉ lệ như đã định nghĩa, là một quan hệ đối xứng giữa các dãy nhưng không
phải là một quan hệ bắc cầu; nó sẽ là quan hệ bắc cầu nếu khi khảo sát ta
bỏ đi dãy không. Nếu hai dãy (a) và (b) tỷ lệ và cả hai khác dãy không thì
bi = 0 nếu ai = 0, còn đối với những giá trị khác của chỉ số i, tỷ số ai /bi
không phụ thuộc i. Ta đặt
M r = M r (a ) = (

1
n

ar )1/r = (

1
n

n

ari )1/r

(1.25)

i=1

trừ các trường hợp (i) r = 0 hay (ii) r < 0 và một hoặc một số các ai bằng
không. Trong trường hợp đặc biệt (ii), khi (1.25) vô nghĩa, ta đặt Mr bằng
Footer
Page 11 of 126.
không.

Header Page 12 of 126.

10

Ở đây và sau này, ta sẽ bỏ qua các chỉ số và cận của phép lấy tổng, nếu
việc này không gây ra sự hiểu lầm nào.
Đặc biệt, ta đặt:
A = A(a) = M1 (a) =
H = H(a) = M−1 (a) = n

1

G = G (a) =

√
n

n

ai .
i=1

(với giả thiết ai > 0, ∀i).

n
i=1

n

1

1
ai
n

a1 a2 ...an =

a.

Như vậy, A(a) là trung bình cộng thông thường, H(a) là trung bình điều
hòa và G (a) là trung bình nhân.
1.4.2

Trung bình trọng lượng

Giả sử pi > 0 (i = 1, 2, ..., n), đặt p = (p1 , p2 , . . . , pn ), a = (a1 , a2 , . . . , an ),
ar = (ar1 , ar2 , . . . , arn ). Ta ký hiệu:
n

par =

n

pi ari ,

p=

i=1

pi .
i=1

par /

Mr = Mr (a) = Mr (a, p) = (

p)1/r .

Mr = 0 (r < 0 và một số a = 0).
ap )1/

G = G (a) = G (a, p) = (

p

.

Ta có:
A(a, p) = M1 (a, p) =

p.
p
H(a, p) = M−1 (a, p) =
p/
.
a
Trung bình trọng lượng trở thành trung bình thông thường khi pi = 1, ∀i.
Vì trung bình là hàm thuần nhất bậc không đối với p, ta có thể giả sử

p = 1. Lúc đó, ta có thể viết q thay cho p, chẳng hạn:
Mr (a, q ) = (
Footer Page 12 of 126.

G (a, q ) =

qar )1/r
aq

(

pa/

(

q = 1).
q = 1).


Header Page 13 of 126.

11

Ta thường xuyên sử dụng các công thức hiển nhiên sau:
Mr (a, q ) = {A(ar , q )}1/r .
G (a, q ) = eA(log a,q)

(với a > 0, log a = (log a1, · · · , log an)).
1
1

1
1
M−r (a, q ) =
(với = ( , · · · , )).
a
a1
an
Mr (1/a, q )
Mrs (a, q ) = {Ms (ar , q )}1/r .

Hơn nữa:

A(a + b, q ) = A(a, q ) + A(b, q ).
G (a · b, q ) = G (a, q ) · G (b, q ).
Mr (b, q ) = kMr (a, q )

nếu (b) = k (a).

(tức là nếu bi = kai trong đó k là một hằng số).
G (b, q ) = kG (a, q ) nếu (b) = k (a).
Mr (a, q ) ≤ Mr (b, q ) nếu ai < bi , ∀i.
1.4.3

Trường hợp giới hạn của Mr (a)

Ta ký hiệu giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của {ai , 1, n} là min a và

max a.

Mệnh đề 1.3. [2] Ta có min a < Mr (a) < max a, trừ các trường hợp

hoặc tất cả ai bằng nhau, hoặc r < 0 và có ít nhất một ai bằng không.
Mệnh đề 1.4. [2] Ta có: min(a) < G (a, q ) < max a trừ các trường hợp
tất cả ai bằng nhau hoặc có ít nhất một ai bằng không.
Mệnh đề 1.5. [2] Ta luôn có

lim Mr (a, q ) = G (a, q ).
r→0

Mệnh đề 1.6. [2] Ta luôn có:

lim Mr (a) = max a,

r→+∞

lim Mr (a) = min a.

r→−∞

Bây giờ ta quy ước:
M0 (a) = G (a), M∞ (a) = max a, M−∞ (a) = min a.
Footer Page 13 of 126.


Header Page 14 of 126.

Chương 2

12

Các bất đẳng thức liên quan đến các

giá trị trung bình
2.1

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân

Định lý 2.1. [2] (Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân hay viết tắt bất đẳng thức AG)
Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương x1 , x2 , . . . , xn ; p1 , p2 , . . . , pn . Khi
đó:
x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn p1 +p2 +···+pn
)
xp11 .xp22 . . . xpnn ≤ (
p1 + p2 + · · · + pn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .
Hay
G (x, p) ≤ A(x, p)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .
Trường hợp đăc biệt với p1 + p2 + · · · + pn = n, ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 2.1. [5] Bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân trường
hợp n số không âm x1 , x2 , ..., xn :
x1 + x2 + · · · + xn √
≥ n x1 .x2 . . . xn .
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .
Hệ quả 2.2. [6] (Bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bình
điều hòa hay viết tắt bất đẳng thức GH)
Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương a1 , a2 , ..., an ; p1 , p2 , ..., pn . Khi
đó
p1 + p2 + · · · + pn

ap11 .ap22 ...apnn ≥ (
)p1+p2+···+pn .
a1 p1 + a2 p2 + · · · + an pn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .
Ví dụ 2.1. (Liên Xô cũ 1962). Cho các số thực dương a, b, c, d sao cho
abcd = 1. Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 + d2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd ≥ 10.
Footer Page 14 of 126.


Header Page 15 of 126.

13

Ví dụ 2.2. Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a2 + b2 + c2 = 3.
Chứng minh rằng

1
1
1
+
+
≥ 1.
1 + 2ab 1 + 2bc 1 + 2ca
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Ví dụ 2.3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a3
a + 2b

+

b3
b + 2c

+

c3
c + 2a

1
3

≥ (a2 + b2 + c2 ).

Ví dụ 2.4. (Chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 2001) Xét bộ 3 số dương
a, b, c thõa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 12ca ≤ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất
của
1 2 3
P = + + .
a b c

2.2

Bất đẳng thức Schur

Định lý 2.2. [7] Cho x, y, z là các số không âm bất kỳ. Với mọi số
r > 0, ta có:
xr (x − y )(x − z ) ≥ 0

(2.7)

cyclic

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, hay hai trong ba số bằng
nhau còn số hạng thứ ba bằng không.
Bất đẳng thức (2.7) được gọi là bất đẳng thức Schur.
Hệ quả 2.3. [7] Trường hợp r = 1, ta có
1)
x(x − y )(x − z ) ≥ 0

(2.8)

cyclic

x3 + 3xyz ≥

2) (2.8) ⇔

3

x2 y

x ≥2

xyz +
sym

(2.9)

sym

cyclic

3) (2.9) ⇔

x2 y

sym

(2.10)

cyclic

4) (2.10) ⇔ xyz ≥ (x + y − z )(y + z − x)(z + x − y )
5) (2.11) ⇔ 4(x + y + z )(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z )3 + 9xyz

(2.11)
(2.12)

Ví dụ 2.5. (Olympic BaLan 2005) Cho 3 số dương a, b, c thỏa điều kiện
ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng
Footer Page 15 of 126.

a3 + b3 + c3 + 6abc ≥ 9.


Header Page 16 of 126.

14

Ví dụ 2.6. (Châu Á -TBD 2004) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng

(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca).
Ví dụ 2.7. Cho a, b, c là các số là các số thực dương thỏa mãn abc = 1.
Chứng minh

1
a+b+1

+

1
b+c+1

+

2.3

Bất đẳng thức Muirhead

2.3.1

Các định nghĩa và ký hiệu

1
c+a+1

≤ 1.

Giả sử các biến số a1 , a2 , . . . , an và bộ số mũ α1 , α2 , ..., αn ∈ R.

Ký hiệu: Tập biến số X = {a1 , a2 , . . . , an }, tập số mũ α = {α1 , α2 , ..., αn }.
Định nghĩa 2.16.[7] Đa thức đối xứng S với các biến số của tập X và
tập số mũ α là
α\{α }

α\{α }

α
,...,αn
SX
= Saα11,a,α22,...,a
= aα1 1 · SX\{a11} + · · · + aαn1 · SX\{a1n}.
n

Nhận xét 2.1. Nếu nhân khai triển mà không ước lược các số hạng
α
có n! số hạng. Nếu
đồng dạng thì trong biểu thức khai triển của SX
α
giao hoán bộ (α1 , α2 , ..., αn ) hoặc bộ (a1 , a2 , . . . , an ) thì các SX
nhận
được đều bằng nhau.
Với a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗+ , và α1 , α2 , ..., αn ∈ R, với α1 ≥ α2 ≥ · · · ≥ αn .
Khi đó kí hiệu
aα1 1 aα2 2 · · · aαnn , d(α1 , α2 , ..., αn ) =

α
SX
=
sym

1
α
· SX
.
n!

Định nghĩa 2.17.[7] Cho a1 , a2 , . . . , an là các số thực dương và α =
(α1, α2, ..., αn) là n số thực bất kỳ. Ta gọi "trung bình kiểu α" là số thực

1
α
· SX
với n ∈ {1, 2, . . . , n}
n!
(n − 1)!(a1 + a2 + · · · + an) a1 + a2 + · · · + an
Đặt biệt [1, 0, . . . , 0] =
=
n!
n
[α] = [α1, α2, ..., αn] =

là trung bình cộng của các số thực a1 , a2 , . . . , an ,
và
1/n
1/n
1/n
1 1
1
n! · a1 · a2 · · · an

,··· , ] =
= a11/n · a12/n · · · a1n/n
Footer Page 16[ of,126.
n n
n
n!


Header Page 17 of 126.

15

là trung bình nhân của n số thực a1 , a2 , . . . , an .
Định nghĩa 2.18.[7] Xét 2 bộ n số thực (α) và (β ). Ta nói β bị làm trội
bởi α hay bộ (α) trội hơn bộ (β), viết là (β ) ≺ (α) nếu (α) và (β ) có thể
sắp xếp lại thỏa mãn ba điều kiện sau:
β1 + β2 + · · · + βn = α1 + α2 + · · · + αn
(2.13)
β1 ≥ β2 ≥ · · · ≥ βn , α1 ≥ α2 ≥ · · · ≥ αn
(2.14)
β1 + β2 + · · · + βi ≤ α1 + α2 + · · · + αi (1 ≤ i < n)
(2.15)
Với điều kiện (2.13), ta nói 2 bộ số (α) và (β ) là đồng bậc.
2.3.2

Định lý Muirhead

Định lý 2.3. [7] Xét các biến số a1 , a2 , · · · , an ∈ R+
∗ , và 2 bộ số thực
(α) = (α1, α2, · · · , αn), (β ) = (β1, β2, · · · , βn). Giả sử (α) và (β ) là 2 bộ

số mũ đồng bậc. Khi đó điều kiện cần và đủ để [β ] ≤ [α] là (β ) ≺ (α).
Đẳng thức xảy ra khi (β ) và (α) đồng nhất hay tất cả các ai , i = 1; n
bằng nhau.
Trường hợp đặc biệt ta có (1, 0, 0, ..., 0)

1
1 1
( , , · · · , ), ta có bất đẳng
n n

n

thức AG với trọng lượng đơn vị
a1 + a2 + · · · + an √
≥ n a1 · a2 · · · an .
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .
2.3.3

Các ví dụ

Ví dụ 2.9. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a3 a3 b3 b3 c3 c3
a 2 b2
c2 ab bc ca
+ + + + + ≥ + + + 2 + 2 + 2.
b3 c3 c3 a3 a3 b3
bc ca ab c
a
b

Ví dụ 2.10. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a2 + 1 b2 + 1
c2 + 1
+
+
≥ 3.
bc + 1 ca + 1 ab + 1
Ví dụ 2.11. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn
xy + yz + zx = 1
. Chứng minh rằng
Footer Page 17 of 126.

1
1
1
5
+
+
≥ .
x+y y+z z+x 2


Header Page 18 of 126.

2.3.4

16

Biểu diễn bất đẳng thức Schur dưới dạng Muirhead

Với các số thực dương a, b, c và r bất kỳ ta luôn có:
ar (a − b)(a − c) + br (b − a)(b − c) + cr (c − a)(c − b) ≥ 0.
⇔ ar+2 + br+2 + cr+2 + ar bc + br ac + cr ab − (ar+1 c + ar+1 b + br+1 a + br+1 c+
+ cr+1a + cr+1b) ≥ 0.
⇔

1
2

ar+2 +
sym

1
2

ar bc −
sym

ar+2 +

⇔
sym

ar+1 b ≥ 0.
sym

ar bc ≥ 2
sym

ar+1 b.

sym

hay d(r + 2, 0, 0) + d(r, 1, 1) ≥ 2d(r + 1, 1, 0) (dạng Muirhead của định
lý Schur).
Ví dụ 2.12. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng
x2 + y 2 + z 2 + x + y + z ≥ 2(xy + yz + zx).
Ví dụ 2.13. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a
a2 + 2bc

+

b
b2 + 2ac

+

c
c2 + 2ab

≤

a+b+c
.
ab + bc + ca

Ví dụ 2.14. Cho x, y, z ≥ 0, x + y + z = 1. Chứng minh
xy + yz + zx − 2xyz ≤

Footer Page 18 of 126.

7
.
27


Header Page 19 of 126.

17

Chương 3

Ứng dụng của các bất đẳng thức về giá
trị trung bình trong dạy toán phổ
thông trung học
Trong chương này, chúng tôi khảo sát và thảo luận về việc áp dụng một
số bất đẳng thức đã biết như bất đẳng thức AG, bất đẳng thức Schur,...để
giải một số bài toán về bất đẳng thức ở trường phổ thông trung học. Sau
đó chúng tôi áp dụng chúng ở mức độ cao hơn để giải một số bài toán ở cấp
thi học sinh giỏi quốc gia, hay thi olympiad trong và ngoài nước. Làm việc
này để tạo niềm tin tốt cho học sinh và cảm nhận về sự hữu hiệu của các
bất đẳng thức cổ điển trong việc giải toán.

3.1

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và các bất đẳng thức
khác giải một số bài toán ở chương trình học phổ
thông

3.1.1

Áp dụng bất đẳng thức một biến

Bài toán 3.1. Với 0 ≤ x ≤ 1, ta có:
n
√
x(1 − xn ) ≤
(n ≥ 1).
n
(n + 1) n + 1
Ví dụ 3.1. Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh trong 3 bất đẳng thức

1
4

1
4

a(1 − b) > , b(1 − c) > , c(1 − a) >

1
4

ít nhất có một bất đẳng thức sai.
Ví dụ 3.2. Cho a, b, c dương thoả điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh
rằng
√
a
b
c

3 3
+
+
≥
.
b2 + c2 a2 + c2 b2 + a2
2
Bài toán 3.2. Với x > 0, ta có:
xn (1 − nx) ≤
Footer Page 19 of 126.

1
,
(n + 1)n+1

(n ≥ 2).


Header Page 20 of 126.

18

1
và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
1
1
1
P =
+

+
.
a(2b + 2c − 1) b(2c + 2a − 1) c(2b + 2a − 1)

Ví dụ 3.3. Với 0 < a, b, c <

n
nx − (n − 1)
n−1
Bài toán 3.3. Với x ≥
, ta có:
≤ 1.
n
x
1
Ví dụ 3.4. Cho a, b, c > và a + b + c = 3. Chứng minh rằng

2

P =

3.1.2

a2

5 − 2(b + c)

b2

+

5 − 2(c + a)

c2

+

5 − 2(a + b)

3.

Áp dụng bất đẳng thức nhiều biến

Mục này đưa ra một số bài toán cơ bản về các bất đẳng thức nhiều biến
thường gặp trong chương trình toán ở trường phổ thông trung học hiện nay
và từ đó áp dụng nó cho việc giải lớp các bài toán có độ khó cao hơn.
Bài toán 3.4. Cho x, y là hai số dương, ta có:

1
x

+

1

≥

y

4

x+y

(3.11)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Ví dụ 3.5. Cho x, y, z, t > 0 thoả x + y + z + t = 1. Chứng minh rằng

1
x

+

1
y

+

1
z

+

1
t

≥ 16.

Ví dụ 3.6. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh
rằng

1

1
1 1 1
≥ + + .
a + b − c a − b + c −a + b + c a b c
*/ Cũng với với bất đẳng thức (3.11) ta viết lại
+

1

+

1
1
≤
x+y
4
Ta áp dụng để giải một vài ví dụ sau:
Footer Page 20 of 126.

1
x

+

1
y

.

Header Page 21 of 126.

19

Ví dụ 3.7. (Câu V đề tuyển sinh ĐH năm 2005)
Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn

1
x

+

1

+

y

1
z

= 4. Chứng minh rằng

1
1
1
+
+

≤ 1.
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
Bài toán 3.5. Với xi > 0 (i = 1, 2, 3, · · · , n) thoả mãn điều kiện
n

xi

i=1

Chứng minh rằng

1 + xi

= 1.

n

xi ≤
i=1

1
(n − 1)n

.

Ví dụ 3.9. Với a, b, c là các số thực dương thoả điều kiện
a

1+a

+

b

1+b

+

c

1+c

= 1.

Chứng minh rằng

1
8

abc ≤ .
Ví dụ 3.10. Với a, b > 0 thoả điều kiện

2a
3b
+
= 1. Chứng minh
1+a 1+b

rằng
a2 b3 ≤

1
.
1024

*/Trường hợp 6 biến thì lại được bài toán đẹp hơn.
Ví dụ 3.11. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn

a

1+a

+

1. Chứng minh rằng

2b
3c
+
=
1+b 1+c

1
.
56
* Ta có thể đi theo hướng khác, từ ví dụ 3.9 ta chia tử và mẫu của phân
ab2 c3 ≤

thức

b

,

c

1+b 1+c

.

lần lượt cho b và c thì lúc này ta lại được bài toán khác.
Footer Page 21 of 126.


Header Page 22 of 126.

20

Ví dụ 3.12. Với a, b, c là các số thực dương thoả điều kiện
a

1+a

+

1
1
+
= 1.
1+b 1+c

Chứng minh rằng
a
1
≤ .
bc 8
3.1.3

Sử dụng hằng số trong chứng minh bất đẳng thức

Thuật toán.
Ta có thể xây dựng phương pháp này như sau:
Bước 1 : Cho các biến bằng nhau thay vào điều kiện để xác định các biến
đó bằng bao nhiêu?
Bước 2 : Sử dụng bất đẳng thức AG với n = 2, 3, 4, 5, . . . thích hợp cùng
với các số hạng hằng số xác định ở bước 1 để mô tả điều kiện hoặc biểu
thức trong bất đẳng thức.
Ví dụ 3.13. Với a, b, c dương thỏa a4 + b4 + c4 = 48. Tìm giá trị lớn nhất
của
P = ab2 + bc2 + ca2 .
Ví dụ 3.14. Với a, b, c dương thỏa a + b + c = 3abc. Chứng minh rằng

1
a5
3.1.4

+

1
b5

+

1
c5

≥ 3.

Sử dụng các hằng đẳng thức

Ví dụ 3.15. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a3
b3
c3
a+b+c
+
+
≥
.
a2 + b2 + ab b2 + c2 + bc c2 + a2 + ca
3
Ví dụ 3.16. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a4

(a2 + b2) (a + b)
3.1.5

+

b4

(b2 + c2) (b + c)

+

c4

(c2 + a2) (c + a)

≥

a+b+c

4

.

Thay đổi bậc của bất đẳng thức

Ví dụ 3.17. Với a, b, c > 0 thoả mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng
√
√
√
a + 3 + b + 3 + c + 3 ≤ 2(a2 + b2 + c2 ).

Footer Page 22 of 126.


Header Page 23 of 126.

21

Ví dụ 3.18. Cho a, b, c > 0 thoả mãn
√
√
√
a+b+2+ b+c+2+ c+a+2=6
. Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 ≥ 3.
Ví dụ 3.19. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a
b+c

b

+

c+a

c

+

a+b

> 2.

Ví dụ 3.20. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng
3

a
b+c

3.2

+

3

b
c+a

+

c

3

a+b

> 2.

Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung
bình nhân đánh giá các đại lượng trong hình học

Bài toán 3.6. Trong tất cả các hình chữ nhật có độ dài đường chéo đã
cho d. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Bài toán 3.7. Trên đường kính của nửa đường tròn đường kính AB=2R
lấy điểm C; lấy điểm D trên nửa đường tròn sao cho AB ⊥ CD. Hãy
tìm vị trí của điểm C sao cho tích AC.CD lớn nhất.

Bài toán 3.8. Chứng minh rằng trong tam giác ABC vuông tại C có
c
√ .
r≤

2(1 + 2)

Bài toán 3.9. Chứng minh rằng trong tam giác vuông ta luôn có
r
0, 4 < < 0, 5,
h
trong đó h là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông.
Bài toán 3.10. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có
a2 + b2 + c2
√
S≤
.

4 3

Bài toán 3.11. Cho hình chóp S.ABC có góc ở đỉnh S là tam diện
vuông. Gọi S1 , S2 , S3 là diện tích ba mặt bên và h là chiều cao của hình
Footer
Page 23 of 126.
chóp.


Header Page 24 of 126.

22

Bài toán 3.12. Đường chéo hình hộp chữ nhật tạo với ba kích thước
a, b, c các góc α, β, γ. Chứng minh rằng
a6

cos12 α

+

b6

cos12 β

+

c6

cos12 γ

≥ 2178V 2 ,

với V là thể tích hình hộp.

3.3

Sử dụng các bất đẳng thức về giá trị trung bình để
giải một số bài toán thi quốc gia và quốc tế

Bài toán 3.13. (Áo 2000) Cho 2 số thực a và b, trong đó a = 0. Chứng
minh

1 b √
a2 + b2 + 2 + ≥ 3.
a
a
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài toán 3.14. (Trung Quốc 1990) Cho các số thực dương a1 , a2 , . . . , an
thỏa mãn a1 · a2 · · · an = 1. Chứng minh rằng

(2 + a1)(2 + a2) · · · (2 + an) ≥ 3n.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài toán 3.15. (IMO 1993) Cho các số dương a, b, c, d bất kỳ. Chứng
minh rằng
b
d
2
a
+
+
≥ .
b + 2c + 3d c + 2d + 3a a + 2b + 3c 3
Bài toán 3.16. (IMO 1995). Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh

1
1
1
3
+
+
≥
.

a3 (b + c) b3 (c + a) c3 (a + b) 2
Bài toán 3.17. (Việt Nam 1998) Cho n số thực dương x1 , x2 , ..., xn (n ≥
2) thỏa mãn

1
1
1
1
+
+ ··· +
=
.
x1 + 1998 x2 + 1998
xn + 1998 1998
Chứng minh
Footer Page 24 of 126.

√
n

x1 x2 ...xn
≥ 1998.
n−1


Header Page 25 of 126.

23

Bài toán 3.18. (IMO 2001) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng

minh
a
b
c
√
√
√
+
+
≥ 1.
a2 + 8bc
b2 + 8ac
c2 + 8ab
Bài toán 3.19. (IMO 1984). Cho x, y, z là các số thực không âm thõa
mãn
x+y+z =1
. Chứng minh rằng

0 ≤ xy + yz + zx − 2xyz ≤

7
.
27

Bài toán 3.20. (IMO 2000). Với a, b, c là ba số thực dương sao cho
abc = 1. Chứng minh rằng

1
1
1

(a − 1 + )(b − 1 + )(c − 1 + ) ≤ 1.
b

c

a

Bài toán 3.21. (Việt Nam 2006-Bảng B). Tìm số thực k lớn nhất sao
cho với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1, ta luôn
có

1
a2

+

1
b2

+

1
c2

+ 3k ≥ (k + 1)(a + b + c)

(3.35)

Bài toán 3.22. (IMO 1983). Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một
tam giác. Chứng minh rằng

a2 b(a − b) + b2 c(b − c) + c2 a(c − a) ≥ 0.
Bài toán 3.23. (IMO 1995). Cho a, b, c là các số thực dương sao cho
abc = 1. Chứng minh

1
1
1
3
+
+
≥
.
a3 (b + c) b3 (c + a) c3 (a + b) 2

Footer Page 25 of 126.