Tìm điểm rơi trong bài toán Max, Min

Đề tài nguyên cứu khoa học và nghiệp vụ s phạm
A/ Phần mở đầu:
I/ Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lý luận:
Bất đẳng thức là một trong những đề tài thuộc về mảng kiến thức khó
của toán học phổ thông và là một chủ đề thờng có trong các kỳ thi học sinh
giỏi các cấp, phần lý thuyết ngắn gọn nhng phạm vi áp dụng khá rộng đòi hỏi
học sinh không những phải nắm chắc kiến thức lý thuyết mà còn phải có nhiều
kinh nghiệm trong quá trình giải . Việc dạy lý thuyết thông qua các bài tập về
bất đẳng thức giúp ngời học toán hiểu kĩ và sâu sắc hơn về các mối quan hệ
giữa bất đẳng thức và dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức .
Đối với học sinh khi cha đợc làm quen với dạng toán này thì thờng không tìm
ra định hớng để giải, một số em giải đợc thì không tránh khỏi những sai lầm
khi giải loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức . Việc truyền
thụ kiến thức và kinh nghiệm bằng cách đa ra những sai lầm thờng gặp cũng
nh phơng pháp giải một số dạng cơ bản về toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của một biểu thức là hết sức cần thiết
2. Cơ sở thức tiễn :
Trong nhiều năm giảng dạy, bồi dỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy: Hầu
hết các đề thi học sinh giỏi các cấp và các đề thi vào các lớp chuyên chọn
đều có bài tập thuộc dạng chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của một bất đẳng thức. Hầu hết các em học sinh đều nhận định đây là
dạng toán khó. ở chơng trình THCS ( Phần nâng cao) học sinh đã đợc làm
quen với một số bất đẳng thức nh bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức
Bunhiacopski,Nhng việc vận dụng các bất đẳng thức này vào giải toán thì
các em còn bị hạn chế và thiếu kinh nghiệm rất nhiều do đó dẫn tới không giải
đợc hoặc nếu giải đợc thì có những sai lầm đáng tiếc. Để giúp các em học sinh
khá giỏi có điều kiện để giải các bài toán dạng này mà không bị sai sót để các
Ngời viết : Phan Đình Lơng - THCS Bắc Hồng
1
Đề tài nguyên cứu khoa học và nghiệp vụ s phạm

em vơn lên đạt những thành tích cao trong học tập, với những tích lũy trong
giảng dạy của bản thân và xuất phát từ cơ sở thực tiễn nh đã nêu trên tôi đã
nghiên cứu và viết đề tài này.
II/ Nhiệm vụ nghiên cứu:
1. Nghiên cứu lý luận:
Xuất phát từ cơ sỏ lý luận và cơ sỏ thực tiễn trên tôi xin trình bày một số kinh
nghiệm nhỏ : Tổng kết các sai lầm cơ bản mà học sinh thờng gặp phải trong
việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đồng thời đa ra một số
dạng thờng gặp về bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức và một
số chú ý quan trọng.
2. Khảo sát thực tiễn của đề tài:
a/ Số liệu thông kê:
Khi cha áp dụng đề tài này giáo viên ra bài tập chứng minh bất đẳng thức,
tìm giá trị Max, Min của biểu thức thì có:
Số học sinh không giải
đợc
Số học sinh có kết quả
sai
Số học sinh giải đúng
80% 12% 8%
b/ Phân tích nguyên nhân:
* Học sinh không giải đợc :
- Do cha nắm đợc các tích chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức phụ
thờng dùng
- Do cha đợc trang bị các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
* Học sinh giải có kết quả sai:
- Do mắc một số sai lầm khi vận dụng các tính chất của bất đẳng thức vào giải
toán
- Cha nắm vững các cánh áp dụng bất đẳng thức, điều kiện trong bất đẳng thức
Ngời viết : Phan Đình Lơng - THCS Bắc Hồng

2
Đề tài nguyên cứu khoa học và nghiệp vụ s phạm
3. Đề xuất giải pháp:
Để giải các bài toán về bất đẳng thức giáo viên cần cung cấp cho học
sinh nắm vững kiến thức về bất đẳng thức Côsi, cách phân tích trong kỷ thuật
chọn điểm rơi, chú ý điều kiện để dấu = xẩy ra. Cung cấp cho học những
dạng thờng gặp và hớng giải quyết đồng thời nhấn mạnh các chú ý trong khi
tìm lời giải, có nh thế học sinh mới có đợc định hớng giải và tránh đợc những
sai lầm khi giải loại toán này.
Chơng IV: những chú ý quan trọng khi tìm giá trị Max,
Min của một biểu thức
Chú ý 1: Khi tìm giá trị Max, Min của biểu thức ta cần chú ý tới việc biến đổi
biểu thức đã cho.
Chú ý 2: Khi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức nhiều khi ta thay điều
kiện để biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất( lớn nhất) bởi điều kiện tơng đơng là
biểu thức khác.
Chú ý 3: Nhiều khi ta cần tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu
thức trong từng khoảng của biến sau đó so sánh các giá trị đó để tìm giá trị
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trong toàn bộ tập xác định của biểu thức.
Chú ý 4: Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ta thờng sử dụng các bất đẳng thức
đã biết và một số bất đẳng thức phụ.
Chú ý 5: Trong các hằng đẳng thức cần chú ý đến hai mệnh đề sau cho giá trị
lớn nhất của tích. Giá trị nhỏ nhất của tổng:
+ Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và
chỉ khi hai số đó bằng nhau.
+ Nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất
khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Chú ý 6: Trong các ví dụ trên ta chỉ ta tất cả các giá trị của biến để xẩy ra dấu
đẳng thức . Tuy nhiên yêu cầu của bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
Ngời viết : Phan Đình Lơng - THCS Bắc Hồng

3
Đề tài nguyên cứu khoa học và nghiệp vụ s phạm
nhất không đòi hỏi nh vậy. Chỉ cần chứng tỏ rằng tồn tại của biến để xẩy ra
dấu đẳng thức.
Chú ý 7: Nếu việc tìm giá trị Max của một biểu thức mà phức tạp thì ta
chuyển thành việc tìm Min của nghịch đảo biểu thức đó
Chơng V: Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho





++
>
2
3
0;;
cba
cba
Tìm Min của biểu thức: S = abc +
abc
1
Bài 2: Cho



+
>
4

0;
ba
ba
Tìm Min của biểu thức : S = 2a + 3b +
ba
106
+
Bài 3: Cho a; b; c; d > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S =
d
cba
c
bad
b
adc
a
dcb
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
++
+
++
+
++

+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
Bài 4: Cho



=++
>
1
0;;
cba
cba
Tìm Max của S =
333
accbba
+++++
Bài 5: Cho




>

16
0,,,
dcba
dcba
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S =
)
12
)(
12
)(
12
)(
12
(
ba
d
ad
c
dc
b
cb
a
++++++++
Bài 6: Cho :



+
>

1
0;
ba
ba
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ngời viết : Phan Đình Lơng - THCS Bắc Hồng
4
Đề tài nguyên cứu khoa học và nghiệp vụ s phạm
S =
ab
ab
ba
4
11
22
++
+
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2
2
14
x
xx
+
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
a)
9
1227
2
+

x
x
b)
14
38
2
+
+
x
x
c)
2
12
2
+
+
x
x
Bài 9: Cho x; y > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : S =
2
3
.
)(
yx
yx
+
Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức cho ba số dơng 4x; 2y; 2y
Max S =
4

27
Bài 10: Cho (x + y)
2
+ 6(x + y) + y
2
+ 6 = 0
Tìm Max, Min của S = x + y
(Trích đề thi vào THPT năm 2008 của Hà Tĩnh)
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số, mẫu
số là tổng các chữ số của mẫu số.
Bài 12: Cho các số tự nhiên a, b, c, d với c, d lớn hơn 0 thỏa mãn bất đẳng
thức a + b = c + d = 1000. Tìm giá trị lớn nhất của S =
d
b
c
a
+
Bài 13 : Tìm giá trị lớn nhất của C =
z
z
y
y
x
x
+
+
++
11
.
1

Biết x + y + z = 1
Bài 14 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F
(x)
=
xx

+
1
11
Với 0 < x <
1
Bài 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của P
(a,b)
=
ab
ba
ba
ab
22
22
+
+
+
Với a, b > 0
Bài 16 : Tìm giá trị lớn nhất của A = x
2
y
2
z
2

t biết x, y, z, t > 0
Ngời viết : Phan Đình Lơng - THCS Bắc Hồng
5