xu ly so tin hieu

2.2 các tính chất của biến đổi z
Khi phân tích hệ xử lý số qua biến đổi Z, vận dụng các tính chất của biến đổi Z sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán
được dễ dàng hơn.
2.2.1 Các tính chất của biến đổi Z hai phía
2.2.1a Tính chất tuyến tính : Hàm ảnh Z của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ảnh Z thành
phần.
Nếu :
)()]([ znxZT
ii
X
=
với
+−
<<
iii
RRXRC
zz ||:)](
[
Thì :
)(.)(.)()( zAnxAnyZTz
i
i
i
i
ii
XY
∑∑
=







==
[2.2-1]
Với
+−
<<
yy
RRYRC
zz ||:)](
[
, trong đó
]max[
−−
=
iy
RR
và
]min[
++
=
iy
RR
Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao miền hội tụ của các hàm X
i
(z).
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có :
)(.).().(.)(.)( zAznxAznxAnxAZTz
i

i
i
n
n
i
i
i
n i
n
ii
i
ii
XY
∑∑∑∑∑∑
===






=
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
Tính chất tuyến
tính được sử dụng để tìm biến đổi Z thuận hoặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi Z của chúng.

Ví dụ 2.4 : Hãy tìm biến đổi Z của các dãy sau :
a.
)cos().()(
01
nnunx
ω
=
b.
)sin().()(
02
nnunx
ω
=
Giải : a. Theo công thức Euler có :
)()()(.)cos().()(
00
00
2
1
2
1
2
01
nuenuenu
ee
nnunx
njnj
njnj
ωω
ωω

ω
−
−
+=
+
==
Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Z nhận được :
[ ] [ ]
)()()]([)(
00
2
1
2
1
11
nueZTnueZTnxZTz
njnj
X
ωω
−
+==
Sử dụng biểu thức [2.1-18] với
0
ω
j
ea
=
và
0
ω

j
ea
−
=
thì :
[ ]
)(
)(
0
0
ω
ω
j
nj
ez
z
nueZT
−
=
và
[ ]
)(
)(
0
0
ω
ω
j
nj
ez

z
nueZT
−
−
−
=
với
1
||:
>
z
RC
Do đó :
)()(
)(
00
2
1
2
1
1
ωω
jj
ez
z
ez
z
z
X
−

−
+
−
=
với
1
||:
>
z
RC
])([
)](.[
))((
).(
)(
1.2
2
.2
00
00
00
00
2
1
++−
+−
=
−−
−+−
=

−
−
−
−
ωω
ωω
ωω
ωω
jj
jj
jj
jj
eezz
eezz
ezez
ezezz
z
X
Vậy :
)cos(
)cos.(
)]cos().([
12
0
2
0
0
+−
−
=

ω
ω
ω
zz
zz
nnuZT
với
1
||:
>
z
RC
[2.2-2]
b. Theo công thức Euler có :
)()()(.)sin().()(
00
00
2
1
2
1
2
02
nuenuenu
ee
nnunx
njnj
njnj
jjj
ωω

ωω
ω
−
−
−=
−
==
Do đó :
)()(
)(
00
2
1
2
1
2
ωω
jj
ez
z
j
ez
z
j
z
X
−
−
−
−

=
với
1
||:
>
z
RC
])(.[
).(
))(.(
).(
)(
122
00
00
00
00
2
2
++−
−
=
−−
+−−
=
−
−
−
−
ωω

ωω
ωω
ωω
jj
jj
jj
jj
eezzj
eez
ezezj
ezezz
z
X
Vậy :
)cos(
sin.
)]sin().([
12
0
2
0
0
+−
=
ω
ω
ω
zz
z
nnuZT

với
1
||:
>
z
RC
[2.2-3]
Trong một số trường hợp, tổ hợp tuyến tính của các X
i
(z) tạo cho Y(z) các không điểm trùng với cực điểm của X
i
(z),
làm cho các cực điểm đó bị loại trừ, khi đó miền hội tụ của Y(z) sẽ được mở rộng.
Ví dụ 2.5 : Có :
az
z
nuaZTz
n
X
−
==
)]([)(
1
với
||||:)](
1
[
azz
XRC
>

và :
)(
)]([)(
2
2
2
azz
a
nuaZTz
n
X
−
=−=
với
||||:)](
2
[
azz
XRC
>
75
Hãy tính
)]()()([)(
2
−−==
nuanuanyZTz
nn
Y

Giải : Theo tính chất tuyến tính có :

)(
)()()(
2
21
azz
a
az
z
zzz
XXY
−
−
−
=−=

1
22
.1
)(
)(
−
+=
+
=
−
−
=
za
z
az

azz
az
z
Y
với
0[
||:)](
>
zz
YRC
Tổ hợp tuyến tính của X
1
(z) và X
2
(z) đã tạo cho Y(z) không điểm z
0
= a để loại trừ cực điểm z
p
= a của cả X
1
(z) và
X
2
(z), do đó miền hội tụ của Y(z) được mở rộng.
2.2.1b Tính chất trễ : Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì hàm ảnh Z của nó được nhân thêm thừa số
k
z
−
.
Nếu :

)()]([ znxZT
X
=
với
+−
<<
xx
RRXRC
zz ||:)](
[
Thì :
[ ]
)()()()( zzknxnyZTz
XY
k
−
=−==
[2.2-4]
với
)]()](
[[
zz
XRCYRC
=
, trừ điểm z = 0 nếu k > 0 và điểm z = ∞ nếu k < 0
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có :
)().().()(
)(
zzzknxzzknxz
XY

k
n
knk
n
n
−
∞
−∞=
−−−
∞
−∞=
−
=−=−=
∑∑
Tính chất trễ thường được sử dụng để tìm biến đổi Z của các dãy trễ.
Ví dụ 2.6 : Tìm :
)]([)( nrectZTz
N
X
=

Giải :
)()()(
N
nununrect
N
−−=
Theo [2.1-7] có :
)(
)]([

1
−
=
z
z
nuZT
với
1
||:
>
z
RC
Sử dụng tính chất tuyến tính và tính chất trễ nhận được :
)()(
)]([)]([)]([
11
−
−
−
=−−=
−
z
z
z
z
z
nuZTnuZTnrectZT
N
N
N

Vậy :
)1
1
(
)(
)]([
)1(
−
−
=
−
zz
z
nrectZT
N
N
N
với
1
||:
>
z
RC
[2.2-5]
2.2.1c Tính chất tỷ lệ : Khi nhân dãy x(n) với thừa số a
n
thì hàm ảnh Z của nó bị thay đổi tỷ lệ (bị nén nếu a > 0, dãn
nếu a < 0).
Nếu :
)()]([ znxZT

X
=
với
+−
<<
xx
RRXRC
zz ||:)](
[
Thì :
)(
1
)]()([)( zanxanyZTz
XY
n
−
===
[2.2-6]
với
+−
<<
xx
RRYRC
azaz .||||.||:)](
[
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có :
[ ]
)(
11
))(()()()( zazanxznxanxaZTz

XY
n
n
n
nnn
−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−
====
∑∑
với
⇒<<
+
−
−
xx
RRYRC
zaz |.|:)](
1
[
+−
<<
xx
RRYRC
azaz .||||.||:)](
[

Tổng quát a là số phức :
0
.||
ω
j
eaa
=
, khi đó véc tơ X(z) trên mặt phẳng phức bị thay đổi tỷ lệ và bị quay một
góc
ω
0
. Nếu a nằm trên vòng tròn đơn vị thì |a| = 1 , nên hàm X(z) không bị thay đổi tỷ lệ nhưng véc tơ X(z) trên mặt phẳng
phức bị quay một góc
ω
0
.
Ví dụ 2.7 : Hãy tìm biến đổi Z của các dãy sau :
a.
)cos().()(
01
nnuanx
n
ω
=
b.
)sin().()(
02
nnuanx
n
ω

=
Giải : a. Sử dụng tính chất tỷ lệ đối với biểu thức [2.2-2] nhận được :
)cos(
)cos.(
)]cos().([
12
0
122
0
11
0
+−
−
=
−−
−−
ω
ω
ω
zaza
zaza
nnuaZT
n
với
||||: az
RC
>
Hay :
2
0

2
0
0
cos.
)cos.(
)]cos().([
2
azaz
azz
nnuaZT
n
+−
−
=
ω
ω
ω
[2.2-7]
với
||||: az
RC
>
b. Sử dụng tính chất tỷ lệ đối với biểu thức [2.2-3] nhận được :
)cos(
sin.
)]sin().([
12
0
122
0

1
0
+−
=
−−
−
ω
ω
ω
zaza
za
nnuaZT
n
với
||||: az
RC
>
76
Hay :
2
0
2
0
0
cos.
sin.
)]sin().([
2
azaz
za

nnuaZT
n
+−
=
ω
ω
ω
[2.2-8]
với
||||: az
RC
>
2.2.1d Tính chất biến đảo : Hàm ảnh Z của dãy biến đảo x(-n) có biến là z
-1

Nếu :
)()]([ znxZT
X
=
với
+−
<<
xx
RRXRC
zz ||:)](
[
Thì :
[ ]
)()()()(
1

−
=−==
znxnyZTz
XY
[2.2-9]
với
−+
<<
xx
RR
YRC
zz
11
[
||:)](
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có :
[ ]
∑
∞
−∞=
−
−=−=
n
n
znxnxZTz
Y
).()()(
Đổi biến, đặt
⇒=−
mn

khi
∞=
±
n
thì
∞=
m
, nhận được :
[ ]
))).(().()()(
11
(
−
∞
−∞=
−−
−∞
∞=
====
∑∑
zzmxzmxmxZTz
XY
m
m
m
m
với
⇒<<
+−
xx

RRYRC
z
z
||
:)](
1
[

−+
<<
xx
RR
YRC
zz
11
[
||:)](
Tính chất biến đảo cho phép tìm biến đổi Z của dãy phản nhân quả theo biến đổi Z của dãy nhân quả tương ứng.
Ví dụ 2.8 : Hãy tìm biến đổi Z của dãy phản nhân quả
)()( nuanx
n
−=
−
Giải : Theo [2.1-18] có
)(
)]([
az
z
nuaZT
n

−
=
với
||
||:
aRC
z
>
Sử dụng tính chất biến đảo nhận được :

).(
)(
)]([
1
1
1
1
za
az
z
nuaZT
n
−
=
−
=−
−
−
−
với

||
||:
1
a
z
RC
<
[2.2-10]
2.2.1e Tính chất đạo hàm
Nếu :
)()]([ znxZT
X
=
với
+−
<<
xx
RRXRC
zz ||:)](
[
Thì :
[ ]
dz
zd
znxnnyZTz
X
Y
)(
.)(.)()(
−===

[2.2-11]
với
+−
<<
xx
RRYRC
zz ||:)](
[
Chứng minh : Từ biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1]:
[ ]
∑
∞
−∞=
−
==
n
n
znxnxZTz
X
).()()(
Lấy đạo hàm cả hai vế theo z nhận được :
)(
)(
1111
).()].(.[)).(( zzznyzznxnzznnx
dz
zd
Y
X
n

n
n
n
n
n
−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−−
−=−=−=−=
∑∑∑
Nhân cả hai vế
với -z :
[ ]
dz
zd
znxnnyZTz
X
Y
)(
.)(.)()(
−===
Tính chất đạo hàm của hàm ảnh được sử dụng để tìm biến đổi Z của các dãy dạng
)(nxn

k
theo biến đổi Z của
dãy x(n).
Ví dụ 2.9 : Hãy tìm biến đổi Z của các dãy sau :
a.
)(.)(
1
nunnx
=
b.
)(.)(
2
nuannx
n
=
Giải : a. Sử dụng tính chất đạo hàm đối với biểu thức [2.1-7] , nhận được :
2
)1
1
(
.)](.[
−
=






−

−=
z
z
z
z
dz
d
znunZT
với
1
||:
>
z
RC
[2.2-12]
b. Sử dụng tính chất đạo hàm đối với biểu thức [2.1-18] , nhận được :
2
)
(
.
)(
.)](.[
az
za
az
z
dz
d
znuanZT
n

−
=






−
−=
với
||||: az
RC
>
[2.2-13]
2.2.1f Tính chất tích chập : Hàm ảnh Z của tích chập hai dãy bằng tích hai hàm ảnh thành phần.
Nếu :
)()]([
11
znxZT
X
=
với
+−
<<
111
||:)](
[ RRXRC
zz
và :

)()]([
22
znxZT
X
=
với
+−
<<
222
||:)](
[ RRXRC
zz
Thì :
[ ]
)().()(*)()()(
2121
zznxnxnyZTz
XXY
===
[2.2-14]
77
với
]min[||]max[:)](
[
+−
<<
ii
RRYRC
zz
Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của các hàm X

i
(z).
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có :
[ ] [ ]
∑
∞
−∞=
−
===
n
n
znxnxnxnxnyZTz
Y
.)(*)()(*)()()(
2121
∑ ∑∑ ∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
∞
−∞=
−=







−=
n
kk
k
nn
n k
zzzknxkxzknxkxz
Y
..)().(.)().()(
2121
Hay :
)().()().()(
21
)(
21
zzzknxzkxz
XXY
k n
knk
=−=
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−−−
Tính chất tích chập được sử dụng để tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số bằng cách tính tích chập qua biến đổi Z .

Ví dụ 2.10 : Tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ có đặc tính xung
)()(
12
2
−=
nrectnh
n
với tác động là
)()( nunx
=
.
Giải : Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có :
[ ]
∑∑
=
−
∞
−∞=
−
=−==
2
1
3
212
).()()(
n
nn
n
nn
zznrectnhZTz

H
Hay :
[ ]
2211
22
)()(
−−
+==
zznhZTz
H
Theo [2.1-7] có :
)(
)]([)(
1
−
==
z
z
nuZTz
X
Do đó :
)(
)(
)().()(
2211
21
22
1
−−
+

−
==
zz
z
z
zzz
XXY
)()(
)(
1
4
1
2
21
−
+
−
=
−−
z
z
z
z
z
zz
Y
Theo [2.1-7] và các tính chất trễ, tuyến tính nhận được :
)]([)]([)(
2412
−+−=

nuZTnuZTz
Y
Lấy biến đổi Z ngược tìm được phản ứng y(n) :
)()()]([)(
2412
−+−==
nunuzIZTny
Y
Hay :





≥
=
≤
=
26
12
00
)(
nKhi
nKhi
nKhi
ny
Kết quả đúng như tính trực tiếp tích chập ở ví dụ 1-19 chương một. So với tính trực tiếp, tính tích chập qua biến đổi
Z không những dễ thực hiện hơn, mà còn luôn luôn nhận được biểu thức toán học của y(n).
2.2.1g Hàm ảnh Z của tích hai dãy
Nếu :

)()]([
11
znxZT
X
=
với
+−
<<
111
||:)](
[ RRXRC
zz
và :
)()]([
22
znxZT
X
=
với
+−
<<
222
||:)](
[ RRXRC
zz
Thì :
[ ]
∫
−







===
C
d
z
j
nxnxnyZTz
XXY
υυυ
υπ
1
2121
).()().()()(
2
1
[2.2-15]
với
]min[||]max[:)](
[
+−
<<
ii
RRYRC
zz
Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của X
1

(z) và X
2
(z). Đường cong kín C của tích phân [2.2-15] phải
bao quanh gốc tọa độ và thuộc miền hội tụ của cả X
1
(z) và X
2
(z) trong mặt phẳng phức.
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có :
[ ] [ ]
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
===
n
n
n
n
znxnxznyznyZT
Y
.)().().()()(
21
Thay x
2
(n) bằng biểu thức biến đổi Z ngược của nó :

∫
−
=
C
n
d
j
nx
X
υυυ
π
.).()(
)1(
22
2
1
78
Nhận được :
n
n
n
C
zd
j
nxz
XY
−
∞
−∞=
−

∑
∫








=
.).()()()(
1
21
2
1
υυυυ
π
Hay :
∫
∑
−
∞
−∞=
−















=
C
n
n
d
z
nx
j
z
XY
υυυ
υπ
1
21
)()()(
2
1
Từ đó có :
∫
−







=
C
d
z
j
z
XXY
υυυ
υπ
1
21
)(.)(
2
1
2.2.1h Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả : Nếu x(n) là dãy nhân quả và
)]([)( nxZTz
X
=
thì :
)()(lim
0
xz
X
Z
=

∞→
.
Chứng minh : Vì x(n) là dãy nhân quả nên x(n) = 0 với mọi n < 0 , do đó :
...
)()(
)()()()(
2
0
21
0
+++===
∑∑
∞
=
−
∞
−∞=
−
z
x
z
x
xznxznxz
n
n
n
n
X
Vậy :
)()(lim

0
xz
X
z
=
∞→
2.2.1i Hàm ảnh Z của dãy liên hợp phức
Nếu :
)()]([ znxZT
X
=
với
+−
<<
xx
RRXRC
zz ||:)](
[
Thì :
)(
***
)]([ znxZT
X
=
với
+−
<<
xx
RRYRC
zz ||:)](

[
[2.2-16]
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có :
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxnxZT ).()]([
**
và
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxz
X
)).(()(
**
Vậy :
[ ]
)]([).()().()(
*******
nxZTznxznxz
n

n
n
n
X
===
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
2.2.1k Biến đổi Z của hàm tương quan r
xy
(m)
Nếu :
)()]([ znxZT
X
=
và
)()]([ znyZT
Y
=
Thì :
)().()]([)(
1
−
==
zzmrZTz
YXR

xyxy
[2.2-17]
Chứng minh : Hàm tương quan
)(mr
xy
được xác định theo [1.8-1] ở chương một :
∑
∞
−∞=
−=
n
xy
mnynxmr )().()(

Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có :
∑ ∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=






−==
m
m

n
xyxy
zmnynxmrZTz
R
.)().()]([)(
Đổi biến, đặt l = (n - m) => m = (n - l) :
∑∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
==
l
ln
n
xyxy
zlynxmrZTz
R
)(
).().()]([)(
Hay :
)().()).(().()]([)(
11
−
∞
−∞=
∞
−∞=
−−−

===
∑ ∑
zzzlyznxmrZTz
YXR
n l
ln
xyxy
Sử dụng tính chất trên để tìm hàm tương quan
)(mr
xy
qua biến đổi Z sẽ đơn giản và dễ dàng hơn tính trực tiếp.
Ví dụ 2.11 : Cho các tín hiệu số
)()(
5,0
nunx
n
=
và
)()(
2
−
=
nny
δ
, hãy tìm hàm tương quan
)(mr
xy
.
Giải : Sử dụng biểu thức [2.1-5] với k = 2 và biểu thức [2.1-18] nhận được :
2

)(
−
=
zz
Y
và
5,0
)(
−
=
z
z
z
X
Theo [2.2-17] :
)]([.)().()(
25,0
5,0
)2(21
+=
−
=
+−
=
muIZTz
z
z
zzz
m
xy

YXR
Lấy biến đổi Z ngược , tìm được :
)()(
25,0
)2(
+=
+
mumr
m
xy
2.2.1m Biến đổi Z của hàm tự tương quan r
x
(m)
Nếu :
)()]([ znxZT
X
=
Thì :
)().()]([)(
1
−
==
zzmrZTz
XXR
xx
[2.2-18]
Chứng minh : Theo biểu thức [2.2-17], thay y(n) = x(n) và
)()(
11
−−

=
zz
XY
Sử dụng tính chất trên để tìm hàm tự tương quan
)(mr
x
qua biến đổi Z sẽ đơn giản và dễ dàng hơn tính trực tiếp.
79