Bài giảng trị riêng. Vectơ riêng chéo hóa ma trận

CHƯƠNG 4
TRỊ RIÊNG. VECTƠ RIÊNG.
CHÉO HÓA MA TRẬN
-----


 Chương 4

Nội dung
1.

Trị riêng. Vectơ riêng.

2. Không gian đặc trưng.
3. Vấn đề chéo hóa một ma trận vuông.


 Chương 4
1. Trị riêng. Vectơ riêng:


 Chương 4


 Chương 4


 Chương 4


 Chương 4

Ví dụ: 12/197
Bước 1: Lập phương trình đặc trưng

A- l I = 0
1- l
Û - 2
- 6

2
5- l
6

- 2
3- l
- 2 = 3- l
- 3- l
0

2
5- l
6

- 2
- 2
- 3- l

3- l
= 0
0

2
3- l
6

- 2
3- l
0 = ( 3- l )
6
- 3- l

0
- 3- l

= ( 3- l

2

) ( - 3- l ) = 0


 Chương 4
Bước 2: Giải pt đặc trưng:
a) Phương trình đặc trưng:
2

( 3- l ) ( - 3- l ) = 0
b) Trị riêng, vectơ riêng tương ứng:
Bước 3:
Trị riêng:

l =3

Vectơ riêng ứng với trị riêng l

=3

é- 2 2 - 2ù
ê
ú
ú® é- 2 2 - 2ùÛ - 2x + 2x - 2x = 0
Û ê
2
2
2
ê
ú ê
1
2
3
ú
ë
û
ê- 6 6 - 6ú
ê
ú
ë
û
T
T
T

T
ù =é
ù = a é- 1,0,1ù + b é1,1,0ù " a,b Î R
Þ v= é
x
,
x
,
x
b
a
,
b
,
a
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
1
2
3
ë
û ë
û
ë

û
ë
û
Chọn a=1 và b=1 ta được 2
vectơ riêng ứng với trị riêng

T

T

é- 1,0,1ù Ù é1,1,0ù
ê
ú
ú
ë
û ê
ë
û


 Chương 4
Trị riêng:

l =- 3

Vectơ riêng ứng với trị riêngl

=- 3

é4 2 - 2ù

é4 2 - 2ù
ê
ú d3- 3d2
ê
ú é4 2 - 2ù
d
+
d
/
2
ú¾¾
ê0 9 - 3ú® ê
2
1
ú
Û ê
2
8
2
¾
¾
®
ê
ú
ê
ú ê0 9 - 3ú
ê- 6 6 0 ú
ê0 - 18 6 ú ê
ú
ë

û
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
T
T
T
ù = éa,a,3aù = a é1,1,3ù
Þ v=é
x
,
x
,
x
"
a
Î
R
ê
ú
ê
ú
ê
ú
1

2
3
ë
û ë
û
ë
û
Chọn a=1 ta được vectơ riêng ứng với trị riêng

T

é1,1,3ù
ê
ú
ë
û


 Chương 4

Nội dung
1.

Trị riêng. Vectơ riêng.

2. Không gian đặc trưng.
3. Vấn đề chéo hóa một ma trận vuông.


 Chương 4

2. Không gian đặc trưng:


 Chương 4


 Chương 4

Ví dụ: 12/197
Không gian riêng ứng với trị riêng l

{

}

{

=3
T

T

ù + b é1,1,0ù
E ( 3) = v Î R | Av = 3v = v Î R | a é
1
,0
,1
ê
ú
ê

ú
ë
û
ë
û
= v Î R 3 | av1T + bv2T
3

{

3

}

Các vec tơ v1 và v2 độc lập tuyến tính với nhau, tạo thành một cơ
sở của không gian riêng E(3). Do đó số chiều của E(3) bằng 2
hay dim(E(3))=2.

}


 Chương 4
Không gian riêng ứng với trị riêng

{

l =- 3

}

{

T

ù
E ( - 3) = v Î R | Av = - 3v = v Î R | a é
1
,1
,3
ê
ú
ë
û
= v Î R 3 | av3T
3

{

3

}

}

Các vec tơ v3 độc lập tuyến tính với nhau, tạo thành một cơ sở
của không gian riêng E(-3). Do đó số chiều của E(-3) bằng 1 hay
dim(E(-3))=1.
Có thể thấy rằng các vectơ v1, v2, v3 độc lập tuyến tính với nhau.
Vì vậy bộ ba vectơ riêng của A tạo nên một cơ sở của KGVT R3.

 Chương 4

Nội dung
1.

Trị riêng. Vectơ riêng.

2. Không gian đặc trưng.
3. Vấn đề chéo hóa một ma trận vuông.


 Chương 4
3. Vấn đề chéo hóa một ma trận vuông:


 Chương 4


 Chương 4


 Chương 4


 Chương 4


 Chương 4
Ví dụ: 12/197

Các không gian đặc trưng:

{

E ( 3) = v Î R 3 | av1T + bv2T
có:

dimE ( 3) = 2

và

{

E ( - 3) = v Î R 3 | av3T
có:

Theo định lý 7:

}

dimE ( - 3) = 1
dimE ( 3) + dimE ( - 3) = 3

suy ra ma trận A chéo hóa được.

}


 Chương 4
 Chéo hóa ma trận A:

Vì A chéo hóa được, tức là A đồng dạng với một ma trận chéo D, nên
tồn tại ma trận P khả nghịch, sao cho

P- 1AP = D
trong đó:

é- 1 1 1ù
ê
ú
ù= ê0 1 1ú
P=é
v
,
v
,
v
ú
ê
ë1 2 3ú
û ê
ê1 0 3ú
ê
ú
ë
û
é3 0 0 ù
ê
ú
ù= ê0 3 0 ú
D = diag é

lê
,
l
,
l
ú
ë 1 1 2ú
û ê
ê0 0 - 3ú
ê
ú
ë
û


 Chương 4
 Tính Ak:

(

)

P- 1AP P- 1APK P- 1AP = Dk
1444444444442444444444443
k

- 1
- 1
- 1
- 1 k

VT = P- 1A PP
A
PP
K
PP
AP
=
P
AP
{
{
{

(

I

I

k
VP = diag l 1k, l 2k,K , l m

I

)
(

)

k

Þ Ak = PDkP- 1 = Pdiag l 1k, l 2k,K , l m
P- 1


Đề cương ôn tập thi cuối học kỳ môn
Đại Số C
• Nội dung: Gồm 3 chương
Chương 2: Định thức và hệ phương trình ĐSTT
• Hạng ma trận
• Hệ phương trình thuần nhất: Tìm nghiệm tổng quát, nghiệm cơ sở.

Chương 3: Không gian vectơ
• Tổ hợp tuyến tính. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính.
• Không gian con, cơ sở, số chiều của không gian con sinh bởi một
hệ các vectơ.
• Tọa độ vectơ trong cơ sở. Ma trận chuyển cơ sở. Hệ thức liên hệ
tọa độ vectơ giữa hai cơ sở.

Chương 4: Trị riêng. Vectơ riêng. Vấn đề chéo hóa ma trận
• Trị riêng. Vectơ riêng. Không gian đặc trưng.
• Sự chéo hóa ma trận. Tìm ma trận chéo trong trường hợp chéo
hóa được.


• Hình thức thi:
 Tự luận.
 Thi phần bài tập. Cần nắm lý thuyết để giải bài tập.