ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN LÀ GÌ

Tích phân

1

Tích phân
Tích phân (Integral (Anh), 積 分 (Trung)) là một khái
niệm toán học,và cùng với nghịch đảo của nó vi phân
(differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và
chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Có thể hiểu
đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng
quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng
được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó
thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính
diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang,
hình chữ nhật... Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn
mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta
cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ
kết quả có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta
tính được diện tích của hình thang cong đó.
Hoặc giải thích bằng toán học như sau: Cho một hàm f
của một biến thực x và một miền giá trị thực [a, b], khi
đó một tích phân xác định (definite integral)

Tích phân xác định được định nghĩa như diện tích S được giới hạn
bởi đường cong y=f(x) và trục hoành, với x chạy từ a đến b

được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng xy được bao bởi đồ thị của hàm f, trục hoành, và
các đường thẳng x = a và x = b, sao cho các vùng trên trung hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn dưới trục
hoành sẽ bị trừ vào tổng diện tích.
Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b). Khi đó, tích phân bất định (indefinite integral) được viết như sau:

Mọi định nghĩa tích phân đều phụ thuộc vào lý thuyết độ đo (measure). Ví dụ, tích phân Riemann dựa trên độ đo
Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue. Tích phân Riemann là định nghĩa đơn giản nhất của tích
phân và thường xuyên được sử dụng trong vật lý và giải tích cơ bản.

Lược sử tích phân
Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000 năm bởi Archimedes (287–212 trước Công
nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón.
Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách
viết số dạng thập phân.
Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích, đã chính thức được khám phá bởi Leibniz
(1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của
nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan
trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học.
J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu
diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến
đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và
ngôn ngữ học.


Tích phân
Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác
ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số
phức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho
định nghĩa của tích phân.
Liouville (1809–1882) xây dựng một phương pháp để tìm xem khi nào tích phân vô định của hàm cơ bản lại là một
hàm cơ bản. Hermite (1822–1901) tìm thấy một thuật toán để tính tích phân cho các hàm phân thức. Phương pháp
này đã được mở rộng cho các phân thức chứa lô-ga-rít vào những năm 1940 bởi A. M. Ostrowski.
Vào những năm trước thời đại máy tính của thế kỷ 20, nhiều lý thuyết giúp tính các tích phân khác nhau đã không
ngừng được phát triển và ứng dụng để lập các bảng tra cứu tích phân và biến đổi tích phân. Một số những nhà toán
học đóng góp cho công việc này là G. N. Watson, E. C. Titchmarsh, E. W. Barnes, H. Mellin, C. S. Meijer, W.

Grobner, N. Hofreiter, A. Erdelyi, L. Lewin, Y. L. Luke, W. Magnus, A. Apelblat, F. Oberhettinger, I. S.
Gradshteyn, H. Exton, H. M. Srivastava, A. P. Prudnikov, Ya. A. Brychkov, và O. I. Marichev.
Vào năm 1969, R. H. Risch đã đóng góp một phát triển vượt bậc cho các thuật toán tính tích phân vô định bằng công
trình của ông về lý thuyết tổng quát và ứng dụng trong tích phân các hàm cơ bản. Phương pháp đã chưa thể được ứng
dụng ngay cho mọi hàm cơ bản vì cốt lõi của phương pháp là giải một phương trình vi phân khá khó. Những phát
triển tiếp nối của nhiều nhà toán học khác đã giúp giải được phương trình vi phân này cho nhiều dạng hàm cơ bản
khác nhau, ngày càng hoàn thiện phương pháp của Risch. Trong những năm 1980 đã có những tiến bộ mở rộng
phương pháp này cho cả các hàm không cơ bản đặc biệt.
Từ thập niên 1990 trở lại đây, các thuật toán để tính biểu thức tích phân vô định được chuyển giao sang và tối ưu hoá
cho tính toán bằng máy tính điện tử. Máy tính đã giúp loại bỏ sai sót con người, tạo nên khả năng tính hàng nghìn
tích phân mới chưa bao giờ xuất hiện trong các bảng tra cứu. Một số phần mềm máy tính thương mại có khả năng
tính biểu thức tích phân hiện nay là Mathematica, Maple,...

Thuật ngữ và kí pháp
Đối với trường hợp đơn giản nhất, tích phân của một hàm số thực f(x) trên x, được viết là:

Với:
• ∫ là "sự tích phân"
• f(x) gọi là biểu thức dưới dấu tích phân
• dx biểu diễn việc tích phân trên x. dx được gọi là biến của tích phân. Trong topo toán học, việc biểu diễn chính
xác là dx được tách ra khỏi hàm được tích phân (integrand) bằng một dấu cách.
• Ta có thể thay đổi biểu thức f(x)dx bằng biểu thức f(t)dt hoặc bất kỳ một đối số nào như f(y)dy, f(u)du dưới dấu
tích phân.

2


Tích phân

3

Phân loại tích phân
Tích phân Riemann
Có hai dạng tích phân Riemann, tích phân xác định (có cận trên và cận dưới) và tích phân bất định. Tích phân
Riemannxác định của hàm f(x) với x chạy trong khoảng từ a (cận dưới) đến b (cận trên) được viết là:

Dạng bất định (không có cận) được viết là:

Theo định luật cơ bản thứ nhất của giải tích, nếu F(x) là tích phân bất định của f(x) thìf(x) là vi phân của F(x). Tích
phân xác định được tính từ tích phân bất định như sau:

Còn đối với tích phân bất định, tồn tại cùng lúc nhiều hàm số sai khác nhau bằng hằng số tích phân C thoả mãn điều
kiện cùng có chung vi phân, bởi vì vi phân của hằng số bằng 0:

Ngày nay biểu thức toán học của tích phân bất định có thể được tính cho nhiều hàm số tự động bằng máy tính. Giá trị
số của tích phân xác định có thể được tìm bằng các phương pháp số, ngay cả khi biểu thức toán học của tích phân bất
định tương ứng không tồn tại.
Định luật cơ bản thứ nhất của giải tích được thể hiện ở đẳng thức sau:
và
Tồn tại những hàm số mà tích phân bất định của chúng không thể biểu diễn bằng các hàm toán học cơ bản. Dưới đây
là một vài ví dụ:
,

,

,

Các loại tích phân khác
Ngoài tích phân Riemann và Lebesgue được sử dụng rộng rãi, còn có một số loại tích phân khác như:
• Tích phân Riemann-Stieltjes, một mở rộng của tích phân Riemann.

• Tích phân Lebesgue-Stieltjes, tổng quát hóa tích phân Riemann-Stieltjes và Lebesgue, được phát triển bởi Johann
Radon.
• Tích phân Daniell
• Tích phân Haar
• Tích phân Henstock-Kurzweil
• Tích phân Itō và Stratonovich
• Tích phân Young


Tích phân

4

Tham khảo
• Havil, J. (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. (1988), Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge, England:
Cambridge University Press, p. 29.
• Kaplan, W. (1992), Advanced Calculus, 4th ed., Reading, MA: Addison-Wesley.
• Toán học là gì?

Liên kết ngoài
•
•
•
•
•
•
•
•

Tích phân suy rộng [1]
Tích phân bội [2]
Tích phân Lơbe Lebesgue [3]
Tích phân đường [4]
Tích phân mặt [5]
Tích phân Stieltjes [6]
The Integrator [7] by Wolfram Research
Function Calculator [8] from WIMS [9]

• P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation [10] (1972) - a cookbook of definite
integral techniques

Sách trực tuyến
• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals [11], University of Wisconsin
• Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus [12], University of Iowa
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book [13], CIT, an online textbook that includes a complete introduction to
calculus
• Crowell, Benjamin, Calculus [14], Fullerton College, an online textbook
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus [15]
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus [16], an online textbook
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations [17], an introduction to calculus
• Wikibook of Calculus [18]
• Numerical Methods of Integration [19] at Holistic Numerical Methods Institute
Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng
|
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê


Tích phân

5

Chú thích

[1] http:/ / dictionary. bachkhoatoanthu. gov. vn/ default.
aspx?param=2557aWQ9NzM4NiZncm91cGlkPSZraW5kPWV4YWN0JmtleXdvcmQ9VCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTitTVVkrUiVlMSViYiU5OE5H&
page=1
[2] http:/ / dictionary. bachkhoatoanthu. gov. vn/ default.
aspx?param=2387aWQ9NzM4MSZncm91cGlkPSZraW5kPWV4YWN0JmtleXdvcmQ9VCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTitCJWUxJWJiJTk4SQ==&
page=1
[3] http:/ / dictionary. bachkhoatoanthu. gov. vn/ default.
aspx?param=23B7aWQ9MTQ5ODgmZ3JvdXBpZD0ma2luZD1leGFjdCZrZXl3b3JkPUwlYzYlYTBCRSsoVCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTik=&
page=1
[4] http:/ / dictionary. bachkhoatoanthu. gov. vn/ default.
aspx?param=29F5aWQ9NzM4MiZncm91cGlkPSZraW5kPWV4YWN0JmtleXdvcmQ9VCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTislYzQlOTAlYzYlYWYlZTElYmIlO
page=1
[5] http:/ / dictionary. bachkhoatoanthu. gov. vn/ default.
aspx?param=2354aWQ9NzM4NCZncm91cGlkPSZraW5kPWV4YWN0JmtleXdvcmQ9VCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTitNJWUxJWJhJWI2VA==&
page=1
[6] http:/ / dictionary. bachkhoatoanthu. gov. vn/ default.
aspx?param=2563aWQ9NzM4NSZncm91cGlkPSZraW5kPWV4YWN0JmtleXdvcmQ9VCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTitTVElFTlRJRVglYzYlYTA=&
page=1
[7] http:/ / integrals. wolfram. com/
[8] http:/ / wims. unice. fr/ wims/ wims. cgi?module=tool/ analysis/ function. en
[9] http:/ / wims. unice. fr
[10] http:/ / www. lcs. mit. edu/ publications/ specpub. php?id=660
[11] http:/ / www. math. wisc. edu/ ~keisler/ calc. html
[12] http:/ / www. math. uiowa. edu/ ~stroyan/ InfsmlCalculus/ InfsmlCalc. htm
[13] http:/ / www. its. caltech. edu/ ~sean/ book/ unabridged. html

[14] http:/ / www. lightandmatter. com/ calc/
[15] http:/ / www. math. umn. edu/ ~garrett/ calculus/
[16] http:/ / www. understandingcalculus. com
[17] http:/ / math. furman. edu/ ~dcs/ book
[18] http:/ / en. wikibooks. org/ wiki/ Calculus
[19] http:/ / numericalmethods. eng. usf. edu/ topics/ integration. html


Nguồn và người đóng góp vào bài

Nguồn và người đóng góp vào bài
Tích phân  Nguồn:  Người đóng góp: CNBH, DHN, Jaselg, Minhtuanht, Mxn, Newone, Tranletuhan, Tttrung, 24 sửa đổi vô danh

Nguồn, giấy phép, và người đóng góp vào hình
Tập tin: Integral_example.svg  Nguồn:  Giấy phép: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported  Người
đóng góp: KSmrq

Giấy phép
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

6