Định nghĩa tích phân ( nhieu hình ảnh )

Chương III: Nguyên
hàm và tích phân.
Bài 2: Tích phân.
Người soạn :Lê Thị
Huyền
Lớp Toán 4A.


Nội dung bài học:

Diện tích hình thang cong
. Định nghĩa tích phân.
I.Các tính chất của tích phân.
V. Một số ví dụ.


I.Diện tích hình thang cong:

Làm sao tính được diện
tich của một số hình
Hình phẳng??
chữ nhật: tính diện tích là xem hình đó
chứa bao nhiêu đơn vị hình vng.
Chiều dài là 5

Chiều rộng là 3

Diện tích S=chiều dài *chiều rộng.


Hình bình hành:

Diện tích =chiều dài x chiều cao.

Diện tích hình tam giác=(đáy x cao)/2


Đa giác bất kì:

Diện tích =tổng các tam giác nhỏ.
Diện tích đường trịn:

Tính diện tích tam giác nội tiếp đường tròn


Tính diện tích lục giác đều
nội tiếp đường trịn

Tính diện tích hình
thập nhị giác
nội tiếp đường trịn

Tính diện tích n-đa giác đều
nội tiếp đường trịn.
Cho n tiến ra vơ cùng, ta
được diện tích hình trịn


Cịn những đường cong khác thì sao?
Ta sẽ tính diện tích hình phẳng giới hạn
2

bởi parabol cho bởi phương trình y  x
trục hoành, đường thẳng x=0 và x=1
(1,1)

(0;1)

0.2

S=?
0.2

O

x=1


Tính phân được tính như sau:
(1,1)

(0;1)

1 1
A1   
2 4

2

1
1
2

A2  1 
2
4

1/4
0.2
0.2
O

1

16

1/2

x=1

5
S  A1  A2 
8


2

1 1
1
A1     3
4 4
4



2

x^2

1 2
22
A2     3
4 4
4

A2

2

A3
0.2
A4

0.2
1/4
2/4

3/4

1

1 3
32

A3     3
4 4
4
1
1
2
A4   1 
4
4

15
S  A1  A2  A3  A4 
32


S n  A1  A2  ....  An  1  An 

0.2
A4

0.2
1/n 2/n

n-1/n n/n

1  12  2 2  ...  (n  1)2  n 2 
= 

n
n2


1 n  n  1  2n  1
=
n
6n 2
n  1  2n  1


6n 2

Suy ra

S lim S n
n 

2n  1  n  1

lim
n 

Vậy S=1/3

6n 2

1

3


Tương tự tính diện tích hình cong giới hạn bởi

hàm số y=1/(x+1), trục hoành, đường thẳng x=0, x=1
1

Tương tự ta cũng chia đoạn [0,1]
ra làm n phần. Mỗi đoạn có chiều
dài 1/n

1/(x+1)

0.2
0.2
1

Dựng các hình chữ nhật nội tiếp
Có chiều rộng là 1/n, chiều dài
lần lượt là
f(1/n), f(2/n),…,f(n/n)


Tương tự ta cũng tính được

Khi đó:

1
An 
nn

S lim S n  A!  A2  ...  An 
n 

1
1 
 1
= lim 

 ... 
ln 2

n  1  n
2n
nn 



Định lí:
Cho hàm số y=f(x) và f(x) ≥ 0liên tục trên
đoạn [a,b].
Khi đó diện tích của hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị của hàm số y=f(x) , trục Ox và
hai đường thẳng x=a, x=b là: S=F(b) -F(a)
Trong đó: F(x) là một nguyên hàm bất kì của
f(x) trên đoạn [a,b].
Chứng minh: (sgk)


II. Định nghĩa tích phân:
Cho f(x) là một hàm số liên tục trên [a,b],
F(x) là một nguyên hàm của f(x).
Khi đó: hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân
từ a đến b của hàm f(x)b

và được kí hiệu là
f ( x)dx


a

b

Ta cũng kí hiệu

F ( x) a

để chỉ hiệu số F(b)-F(a)

Vậy theo định nghĩa ta có:
b

b

a

a

 f ( x)dx F ( x)

F (b)  F (a )

 *



Dấu
là dấu tích phân, biểu thức f(x)dx là
biểu thức dưới dấu tích phân.Cơng thức (*)
được gọi là cơng thức Newton-Leibnitz.
b

Chú ý: Tích phân

 f ( x)dx

chỉ phụ thuộc
vào f,a,b mà khơng phụ thuộc vào cách kí hiệu
các biến số.Có nghĩa
a

b

b

b

a

a

a

 f ( x)dx  f (t )dt  f (u)du F (b)  F (a)

Ví dụ: Tính tích phân:
a.  x dx
b

2

a

1
b.  dx
a x
b


III. Các tính chất của tích phân:
a

1. f ( x)dx 0
a

b

a

2. f ( x)dx   f ( x)dx
a

b

b

b

a

a

3. kf ( x)dx k  f ( x)dx
b

b

b

a

a

a

4. f ( x) g ( x) dx  f ( x)  g ( x )dx
c

b

c

a

a

b

5. f ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx
6. f ( x) 0, x   a, b  

b

 f ( x)dx 0
a

7. f ( x)  g ( x), x   a, b  

b

b

a

a

 f ( x)dx  g ( x)dx


IV:Chú ý:
Ý nghĩa hình học của tích phân:
Cho hàm f(x) liên tục và khơng âm trên
b
đoạn [a,b] thì tích phân
f ( x )dx

a
là diên tích của hình thang
cong giới hạn
bởi đồ thị của hàm số
y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a,
x=b



**** Một vài bài tập về nhà:
5

a. x 3  5 x 2 dx
1





x3  3x
b.
dx
2
2
x

1
4
c. [
 tgx ]dx

2
0
cos x
3


ủng cố:

rong tiết này học, học sinh cần nhớ:

Công thức Newton_Leibnitz:
b

f
(
x
)
dx

F
(
b
)

F
(
a
)

a

2. Một số tính chất của tích phân (7 tính chất )
3. Ý nghĩa hình học của tích phân.