Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 12 trường THPT Nguyễn Chí Thanh, TP. Hồ Chí Minh năm học 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TP. HỒ CHÍ MINH
THPT NGUYỄN CHÍ THANH

ĐỀ KIỂM TRA HK2 – NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN – Khối 12
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1. (2,5đ) Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 − 3 .
a) Khảo sát và vễ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục Ox.
Bài 2. (2đ) Tính các tích phân sau:
π

a) I = ∫ sin 3 x cos 4 x dx
0

e

b) J = ∫ 2x ln x dx
1

Bài 3. (0,5đ) Giải phương trình sau trên tập số phức: z 2 − 3z + 3 = 0 .
Bài 4. (1đ) Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa:
z − 2 + 5i = 1 .
Bài 5. (4đ) Trong hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(3; 1; 1) , B(4; 3; 4) ; đường thẳng
x −7 y−3 z−9
và mặt cầu (S) : x 2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 9 .
(d) :

=
=
1
−2
1
a) Viết phương trình đường thẳng AB. Chứng minh AB ⊥ (d).
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với (d).
c) Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Xác định
tâm và tính bán kính của đường tròn (C).
d) Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho (MA + MB) nhỏ nhất.


Bài
1a. (1.5đ)

ĐÁP ÁN TOÁN 12
Nội dung
4

Điểm

2

y = x − 2x − 3
Tập xác định: D = \
y ' = 4x 3 − 4x

0.25

⎡ x = 0; y = −3

y' = 0 ⇔ ⎢
⎣ x = ±1; y = −4
lim y = +∞

0.25

x→ ± ∞

x –∞
–1
y’
– 0 +
y +∞

0
0

+∞

1
0

–

+

0.25
+∞

–3

–4
–4
Hàm đồng biến trên (–1; 0), (1;+ ∞); nghịch biến trên (–∞;–1), (0; 1)
Hàm đạt cực đại tại x = 0, y CÑ = −3 ; đạt cực tiểu tại x = ±1 , y CT = −4

1b. (1đ)

⎡x = − 3
y=0⇔⎢
⎢⎣ x = 3
Đồ thị (Vẽ đồ thị bằng bút chì: không cho điểm phần đồ thị.)
Dựa vào đồ thị ,ta có:
3

∫

S=

− 3

3

=
3

π

π

0

0

(x

4

)

− 2x 2 − 3 dx

32 3
(đvdt)
5

0.50

0.25 + 0.25

0.25 + 0.25

I = ∫ sin 3 x cos 4 x dx = ∫ (1 − cos 2 x)cos 4 x.sin x dx

0.25

Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx
x 0 π
t 1 –1

0.25

−1

(

⇒ I = − ∫ 1− t
1

2b. (1đ)

∫

− 3

⎛ x 5 2x 3
⎞
= −⎜
−
− 3x ⎟
⎜ 5
⎟
3
⎝
⎠−

2a. (1đ)

3

x 4 − 2x 2 − 3 dx = −

0.25

2

)

1

⎛ t5 t7 ⎞
4
t dt = ⎜ − ⎟ =
⎜5 7⎟
⎝
⎠ −1 35
4

0.25 + 0.25

e

J = ∫ 2x ln x dx
1

1
⎧
⎪u = ln x ⇒ du = dx
x
Đặt ⎨

⎪dv = 2xdx ⇒ choïn v = x 2
⎩
⇒ J = x 2 ln x
x2
= e −
2

e
1

0.25

e

− ∫ xdx

0.25

1

e

2

=
1

e2 + 1
2

0.25 + 0.25


3. (0.5đ)

z 2 − 3z + 3 = 0
∆ = –3 = 3i 2

0.25

⎡
3+i 3
⎢z =
2
Phương trình có 2 nghiệm phức: ⎢
⎢
3−i 3
⎢z =
⎣
2
4. (1đ)

0.25

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x, y ∈ \) ⇒ z = x − yi

0.25

z − 2 + 5i = (x − 2) − (y − 5)i

0.25

2

2

z − 2 + 5i = 1 ⇔ (x − 2) + (y − 5) = 1

5a. (1đ)

5b. (0.5đ)

5c. (1.5đ)

0.25

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(2; 5), bán kính R = 1.
A(3; 1; 1) ; B(4; 3; 4)
⎪⎧qua A(3;1;1)
JJJG
AB ⎨
⎪⎩ vtcp AB = (1; 2; 3)
⎧x = 3 + t
⎪
AB : ⎨ y = 1 + 2t
⎪ z = 1 + 3t
⎩
JJG
x −7 y−3 z −9
(d) :

=
=
; vtcp u d = (1; −2;1)
1
1
−2
JJJG JJG
AB.u d = 0 ⇒ AB ⊥ (d)

0.25
0.25

0.25
0.25

⎧⎪qua A(3;1;1)
JJG
(P) ⎨
⎪⎩ ⊥ (d) ⇒ vtpt n P = (1; −2;1)
(P) : x − 2y + z − 2 = 0

⎧ taâm I(0;1; −2)
(S) : x 2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 9 ⎨
⎩ baùn kính R = 3
d ( I;(P) ) = 6 ⇒ d ( I;(P) ) < R

0.25
0.25
0.25
(d)

⎧⎪ taâm H
M
⇒ (P) cắt (S) theo đường tròn (C) ⎨
⎪⎩ baùn kính r = 3
Ta có H là hình chiếu của I trên mp(P).
⎧x = t
K
⎧⎪qua I(0;1; −2)
⎪
G
(IH) ⎨
⇒ IH : ⎨ y = 1 − 2t
⎪⎩ ⊥ (P) ⇒ vtcp u = (1; −2;1)
⎪
⎩ z = −2 + t
P
⎧ H(t;1 − 2t; −2 + t)
⎧t = 1
H = IH ∩ (P) ⇒ ⎨
⇒ ⎨
⎩ t − 2 + 4t − 2 + t − 2 = 0
⎩H(1; −1; −1)

5d. (1đ)

0.25

0.25
0.25

B

0.25

A

0.25 + 0.25

⎧qua A
⎧qua A
và (P) ⎨
⇒ AB ⊂ (P)
AB ⎨
⎩ ⊥ (d)
⎩ ⊥ (d)

4
⎧
⎪⎪ t = − 3
⎧ K(7 + t; 3 − 2t; 9 + t)
Gọi K = (d) ∩ (P) ⇒ ⎨
⇒ ⎨
⎩7 + t − 6 + 4t + 9 + t − 2 = 0
⎪ K ⎛ 17 ; 17 ; 23 ⎞
⎪⎩ ⎜⎝ 3 3 3 ⎟⎠
⇒ MA + MB ≥ KA + KB không đổi
⇒ (MA + MB) nhỏ nhất bằng (KA + KB) khi M ≡ K.

0.50

0.50