Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỷ

Lê Thanh Lam momom15
Một số bài toán hay và thú vị

I. Phơng pháp ẩn phụ
Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau:
1) x 2 3x + 1 = 3 x 4 + x 2 + 1
3

2) 2 x + 5 x 1 = 7 x 3 1
2

Hớng dẫn:
1) Ta có :
x 4 + x 2 + 1 = ( x 2 + 1) 2 x 2 = ( x 2 + x + 1)( x 2 x + 1) > 0 , với mọi x.
x 2 3 x + 1 = 2( x 2 x + 1) ( x 2 + x + 1).
Đặt y =


x2 x +1 3
,
y 3 , ta đợc :
2
x + x +1 3


3
(t / m)
3
3
2
2

2y 1 =
y 6 y + 3x 3 = 0
=> x = 1
3
3
y=
(loai )
2
2) K: x 1
Ta cú: (1) 2( x 2 + x + 1) + 3( x 1) = 7 ( x 1)( x 2 + x + 1) (2)
y=

Vỡ x = 1 khụng phi l nghim ca (2) nờn chia hai v ca (2) cho x 1 ta c:
x2 + x + 1
x2 + x + 1
2
+3= 7
x 1
x 1

(3)

x2 + x + 1
4
2
2
2
t: t =
0 x + (1 t ) x + 1 + t = 0 cú: x = t 6t 3 . Nờn cú iu kin
x 1

ca t l:
t 0
t 3 + 2 3 (4)

x 0
t = 3
Khi ú (3) tr thnh: 2t 2 7t + 3 = 0 1 . Kt hp vi iu kin ca t ta cú: t = 3
t=
2
Vi t = 3 ta cú: x 2 8 x + 10 = 0 x = 4 6 tho món iu kin ca x .
Vy phng trỡnh cú nghim: x = 4 6

Chỳ ý : cỏc ng thc sau cú th sỏng to ra cỏc bi toỏn dng ny:
x 4 + x 2 + 1 = ( x 4 + 2 x 2 + 1) x 2 = ( x 2 x + 1)( x 2 + x + 1)

1


Lª Thanh Lam – momom15
x 4 + 1 = ( x 2 − 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1)
4 x 4 + 1 = (2 x 2 − 2 x + 1)(2 x 2 + 2 x + 1)

Ví dụ 2 : Giải phương trình 4 17 − x 8 − 3 2 x 8 − 1 = 1
Hướng dẫn :
Đặt : 4 17 − x 8 = a, a ≥ 0 và 3 2 x 8 − 1 = b
a − b = 1

b = a − 1
b = a − 1
⇔

⇔


4
3
4
3
3
2
2a +b = 33
2a + (a − 1) = 33
(a − 2)(2a + 5a + 7 a + 17) = 0
=> a = 2

Pt ⇔ 

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1
Ví dụ 3 : Giải phương trình : 4 x 2 + 5 − 13 x + 3 x + 1 = 0
Hướng dẫn :
Đặt : α y + β = 3x + 1 , chọn α , β sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng
hoặc gần đối xứng )
2 2
2
( α y + β ) 2 = 3x + 1
α y + 2αβ y − 3x + β − 1 = 0 (1)
⇔ 2
(*)
Ta có hệ :  2
(2)
4 x − 13 x + 5 = −α y − β

4 x − 13 x + α y + 5 + β = 0
Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là
có nghiệm x = y

α 2 2αβ − 3 β 2 − 1
=
=
Nên ta phải có :
, ta chọn được ngay α = −2; β = 3
4
α − 13
5+ β
=> Lời giải sau :
1
Điều kiện: x ≥ − ,
3
3
Đặt 3 x + 1 = −(2 y − 3), ( y ≤ )
2
(2 x − 3) 2 = 2 y + x + 1
⇒ ( x − y )(2 x + 2 y − 5) = 0
Ta có hệ phương trình sau: 
2
(2 y − 3) = 3 x + 1
15 − 97
Với x = y ⇒ x =
8
11 + 73
Với 2 x + 2 y − 5 = 0 ⇒ x =
8

15 − 97 11 + 73 
;
Vậy nghiệm của phương trình là: 

8
8



2


Lª Thanh Lam – momom15
* Bài tập tương ứng :
1)

3

81x − 8 = x3 − 2 x 2 +

2)

3

6 x + 1 = 8 x3 − 4 x − 1

4
x − 2 ( Đặt : 3 81x − 8 = 3 y − 2 => hệ đối xứng)
3

3) 7 x 2 + 7 x = 4 x + 9 , x > 0 ( Đặt :
28

4x + 9
1
= y+ )
28
2

Ví dụ 4 : Giải phương trình : 3 x 2 − 2 = 2 − x 3
Hướng dẫn :
ĐK : x ≤ − 2
Đặt 3 x 2 − 2 = 2 − x 3 = y, y ≥ 0
 x 2 = y 3 + 2
x = −3 x 2 − 2
2
2
⇔
(
x
+
y
)(
x
+
y
−
xy
−
x

+
y
)
=
0
⇔
(VN )
=>  3
 x = 2 − y 2
( y − x)(1 − x) + y 2 > 0

Vậy phương trình vô nghiệm
Ví dụ 5 : Giải phương trình : ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 = x 2 + 1
Hướng dẫn :
Đặt : t = x 2 − 2 x + 3, t ≥ 2

2
2
Khi đó phương trình trở thành : ( x + 1) t = x + 1 ⇔ x + 1 − ( x + 1) t = 0
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có ∆ chẵn :
t = 2
x 2 − 2 x + 3 − ( x + 1) t + 2 ( x − 1) = 0 ⇔ t 2 − ( x + 1) t + 2 ( x − 1) = 0 ⇔ 
t = x − 1

Ví dụ 6 : Giải các phương trình
1) x 2 − 4 x − 3 = x + 5 ( Hd : Đặt
2) 2 x 2 + 4 x =

x+5 = y−2)

x+3
, x ≥ 1 (Hd : Đặt
2

x+3
= y +1)
2

Ví dụ 7 : Giải các phương trình:
1) 3 7 x + 1 − 3 x 2 − x − 8 + 3 x 2 − 8 x + 1 = 2
2) x = 2 − x . 3 − x + 3 − x . 5 − x + 5 − x . 2 − x
3) 2 x 2 − 1 + x 2 − 3 x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2

3


Lª Thanh Lam – momom15
Hướng dẫn :
1) Đặt a = 3 7 x + 1; b = 3 8 + x − x 2 ; c = 3 x 2 − 8 x + 1
(a + b + c ) 3 = 8
a + b + c = 2
→ 3
⇔
⇒ (a + b)(b + c)(c + a) = 0
 3
3
3
a + b 3 + c 3 = 8
a + b + c = 8
a = −b ⇔

x = −1
x=9

⇔ b = −c ⇔ x = 1
c = −a ⇔

x=0
x =1

Vậy phương trình có nghiệm x = {-1 ; 0 ; 1; 9}
u = 2 − x
( u + v ) ( u + w ) = 2
2 − u 2 = uv + vw + wu



2
2) v = 3 − x , ta có : 3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = 3 ,
5 − w2 = uv + vw + wu



( v + w ) ( u + w ) = 5
 w = 5 − x
30
239
giải hệ ta được: u =
⇔x=
60

120
a =

b =
3) Đặt : 
c =

d =

2x2 − 1
a + b = c + d
⇔ x = −2
, khi đó ta có :  2
2
2
2
2
a
−
b
=
c
−
d

2x + 2x + 3
x 2 − 3x − 2
x2 − x + 2

* Bài tập tương ứng :

3

3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0

Ví dụ 7 : Giải phương trình
1)

x3 + 1 2
=
x2 + 2 5

2) 2 x 2 − 5 x + 2 = 4 2( x 3 − 21x − 20)
Hướng dẫn :
1) pt ⇔ 5 ( x + 1)( x 2 − x + 1) = 2( x 2 − x + 1) + 2( x + 1)
Đặt

x + 1 = a, a ≥ 0 và

x 2 − x + 1 = b, b ≥ 0 , ta được

4


Lª Thanh Lam – momom15
a
=2
5a
a
b

2
2
5ab = 2a + 2b ⇔
= 2  + 2 ⇔
a 1
b
b
=
b 2
x ≥ 1
a
= 2 ⇔ x +1 = x2 − x +1 ⇔  2
•
( Vô nghiệm )
b
4 x − 5 x + 3 = 0
x ≥ 1
a 1

2
= ⇔ 2 x +1 = x − x +1 ⇔ 
•
5+ 37
b 2
(t / m)
x =
2

2

Vậy phương trình có nghiệm x =

2) Đk :

5+ 37
2

− 4 ≤ x ≤ −1
x≥5

Đặt x + 4 = a, a ≥ 0 và 2 x 2 − 8 x − 10 = b; b ≥ 0
Tương tự ⇒ ( a − b)(a − 3b) = 0

II. Phương pháp đánh giá

 A ≥ f ( x )
Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : 
khi đó :
 B ≤ f ( x)
 A = f ( x )
A=B⇔
 B = f ( x )
Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có
nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để
đánh giá được
Một số bài toán
Ví dụ 1 : Giải phương trình

x 2 − x + 19 + 7 x 2 + 8 x + 13 + 13 x 2 + 17 x + 7 = 3 3 ( x + 2)

Hướng dẫn :
Đk : x ≥ −2
1
2

Pt ⇔ ( x − ) 2 +
≥

75
1
3
+ (2 x − 1) 2 + 3( x + 2) 2 +
(2 x − 1) 2 + ( 4 x + 3) 2
4
4
4

75
3
5
3
+ 3 ( x + 2) +
(4 x + 3) ≥
3 + 3 ( x + 2) +
( 4 x + 3) ≥ 3 3 ( x + 2)
4
2
2
2

5


Lª Thanh Lam – momom15
Dấu " = " xảy ra ⇔ x =

1
2

Vậy phương trình có nghiệm x =

1
2

2 2
+ x = x+9
x +1

Ví dụ 2 : Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):
Hướng dẫn :
Đk x ≥ 0
2

2
 1

x  

 = x+9
+ x +1 

+
  x + 1  x + 1 ÷ 

 

1
1
⇔x=
7
x +1

 2 2

+ x÷ ≤  2 2
Ta có : 

 x +1
 
Dấu bằng ⇔

2 2
=
x +1

(

)

Vậy phương trình có nghiệm x =

2

1
7

Ví dụ 3 : Giải phương trình : 13 x 2 − x 4 + 9 x 2 + x 4 = 16
Hướng dẫn :
Đk: −1 ≤ x ≤ 1

(

Biến đổi pt ta có : x 2 13 1 − x 2 + 9 1 + x 2

)

2

= 256

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

(

13. 13. 1 − x 2 + 3. 3. 3 1 + x 2

)

2

≤ ( 13 + 27 ) ( 13 − 13 x 2 + 3 + 3 x 2 ) = 40 ( 16 − 10 x 2 )

Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x ( 16 − 10 x
2

2

)

2

 16 
≤  ÷ = 64
 2

2


x=
1 + x2
2

5
 1− x =
⇔
Dấu bằng ⇔ 
3
2

10 x 2 = 16 − 10 x 2
x

=
−


5
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = +

2
5

Ví dụ 4 : Giải phương trình: x 3` − 3x 2 − 8 x + 40 − 8 4 4 x + 4 = 0

6


Lª Thanh Lam – momom15
Ta chứng minh : 8 4 4 x + 4 ≤ x + 13 và
x 3 − 3x 2 − 8 x + 40 ≥ 0 ⇔ ( x − 3)

2

( x + 3) ≥ x + 13

III. Phương pháp hàm số
Sử dụng : Nếu y = f ( t ) là hàm đơn điệu thì f ( x ) = f ( t ) ⇔ x = t
Một số bài toán

)

(

)

(

2
2
Ví dụ 1 : . Giải phương trình : ( 2 x + 1) 2 + 4 x + 4 x + 4 + 3 x 2 + 9 x + 3 = 0

Hướng dẫn :

(

⇔ ( 2 x + 1) 2 +

( 2 x + 1)

(

2

)

(

+ 3 = ( −3 x ) 2 +

)

( −3x )

2

)

+ 3 ⇔ f ( 2 x + 1) = f ( −3 x )

2
Xét hàm số f ( t ) = t 2 + t + 3 , là hàm đồng biến trên R, ta có x = −

Vậy phương trình có nghiệm x = −

1
5

1
5

Ví dụ 2 : Giải phương trình x 3 − 4 x 2 − 5 x + 6 = 3 7 x 2 + 9 x − 4
Hướng dẫn :
3
2
3
 x − 4 x − 5 x + 6 = y
3
3
2
⇒
y
+

y
=
x
+
1
+ ( x + 1)
(
)
Đặt y = 7 x + 9 x − 4 , ta có :  2
3
7 x + 9 x − 4 = y
3
Xét hàm số : f ( t ) = t + t , là hàm số đồng biến. =>
x = 5
3
2
f ( y ) = f ( x + 1)  ⇔ y = x + 1 ⇔ ( x + 1) = 7 x + 9 x − 4 ⇔ 
 x = −1 ± 5

2
Vậy phương trình có 2 nghiệm
* Bài tập tương ứng : 1, 3 6 x + 1 = 8 x 3 − 4 x − 1

7