Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn

Header Page 1 of 132.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HẰNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO NỬA NHÓM ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

Hà Nội - 2016

Footer Page 1 of 132.


Header Page 2 of 132.

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện
luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu
sắc nhất đối với thầy.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, gia đình
cùng các bạn học viên đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để
tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này!
Hà Nội, tháng 10 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Hằng

Footer Page 2 of 132.


Header Page 3 of 132.

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn Thạc sĩ Toán học "Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất
động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn " được hoàn thành do sự cố
gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận
tình của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với kết quả của tác giả
khác.
Hà Nội, tháng 10 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Hằng

Footer Page 3 of 132.

Header Page 4 of 132.

Mục lục

Danh mục kí hiệu
Mở đầu
1

5

Kiến thức cơ bản
1.1

1.2

4

8

Kiến thức cơ bản về hình học không gian Banach . . . . . .

8

1.1.1

Không gian Banach lồi đều, trơn đều . . . . . . . . .

8

1.1.2

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . 11

Một số kiến thức về ánh xạ giả co . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động

18

2.1

Một số phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2

Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh
xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3

Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh
xạ giả co chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44

Footer Page 4 of 132.


Header Page 5 of 132.

Danh mục kí hiệu

R

tập số thực;

R+

tập số thực không âm;

N

tập số tự nhiên;

lim sup

giới hạn trên;

lim inf

giới hạn dưới;

F (T )

tập điểm bất động của ánh xạ T ;

F (T (t)) tập điểm bất động chung của họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0};
t≥0

H

không gian Hilbert;

X

không gian Banach;

X∗

không gian liên hợp của không gian X ;

2X

tập tất cả các tập con của X ;

2X

∗

tập tất cả các tập con của X ∗ ;

D(T )

miền xác định của ánh xạ T ;

δ(ε)

môđun lồi của không gian Banach;

SX

mặt cầu đơn vị của không gian X ;

J

ánh xạ đối ngẫu của không gian X ;

., .

giá trị của cặp đối ngẫu hoặc tích vô hướng.

4

Footer Page 5 of 132.


Header Page 6 of 132.

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Một số định lý điểm bất động nổi tiếng xuất hiện từ đầu thế kỉ XX,
trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912 và
nguyên lý ánh xạ co Banach năm 1922. Các kết quả này được mở rộng
cho nhiều lớp ánh xạ khác nhau, chẳng hạn ánh xạ không giãn, ánh xạ giả

co .... Đây là một phần quan trọng của Giải tích phi tuyến, sâu sắc về lý
thuyết, phong phú trong ứng dụng, gắn liền với tên tuổi của các nhà Toán
học lớn như Picard, Brouwer, Banach, Ky Fan,. . .
Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động của lớp ánh xạ không
giãn là một trong những chủ đề được quan tâm rộng rãi của giải tích phi
tuyến. Điều này kết nối cấu trúc hình học của không gian Banach với lý
thuyết toán tử đơn điệu và toán tử accretive. Một trong những sự kiện
liên quan giữa toán tử đơn điệu và toán tử accretive là chúng trùng nhau
trong không gian Hilbert. Các tính chất của toán tử đơn điệu và toán tử
accretive là rất quan trọng trong các lĩnh vực như giải tích số, phương
trình đạo hàm riêng, giải tích lồi. Điều đặc biệt là dưới vi phân của một
hàm lồi là toán tử đơn điệu.
Trong lý thuyết điểm bất động, ngay sau vấn đề tồn tại điểm bất động
là vấn đề xây dựng thuật toán để tìm điểm bất động đó. Điều này đặc biệt
quan trọng trong ứng dụng. Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải bài
toán điểm bất động là vấn đề thời sự thu hút được sự quan tâm của nhiều
nhà toán học trong nước và trên thế giới. Với mong muốn tìm hiểu sâu
về vấn đề này, cùng sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của thầy GS. TSKH.
Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: " Phương pháp lặp
ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn " làm
luận văn Thạc sĩ.

5

Footer Page 6 of 132.


Header Page 7 of 132.

2. Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 2 chương:
1. Chương 1: Kiến thức cơ bản
1.1 Kiến thức cơ bản về hình học không gian Banach
1.2 Một số kiến thức về ánh xạ giả co
2. Chương 2: Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động
2.1 Một số phương pháp lặp
2.2 Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ
không giãn
2.3 Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ
giả co
3. Mục đích nghiên cứu
Thu thập tài liệu để viết một tổng quan về phương pháp lặp ẩn tìm điểm
bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn và ứng dụng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về hình học không gian Banach, một số thuật toán để tìm
điểm bất động của ánh xạ không giãn và phương pháp lặp ẩn tìm điểm
bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về phương pháp lặp ẩn tìm điểm
bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach
có cấu trúc hình học đặc biệt.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức về giải tích hàm qua các bài báo,
các cuốn sách và các tài liệu có liên quan đến phương pháp lặp ẩn
tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn.
6

Footer Page 7 of 132.


Header Page 8 of 132.

6. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu và tham gia các chuyên đề về lý thuyết điểm bất động và thuật
toán tìm điểm bất động qua việc sử dụng các kiến thức về hình học không
gian Banach và phương pháp lặp ẩn để tiếp cận vấn đề.
7. Đóng góp mới
Luận văn sẽ là một tổng quan khá chi tiết về phương pháp lặp tìm điểm
bất động cho ánh xạ và phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không
giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt.

7

Footer Page 8 of 132.


Header Page 9 of 132.

Chương 1
Kiến thức cơ bản
Chương này trình bày sơ lược về cấu trúc hình học của không gian Banach.
Các kiến thức này phục vụ cho việc xây dựng các dãy lặp và hội tụ của
chúng cho các bài toán trình bày ở chương sau. Các kiến thức của chương
được viết dựa trên các tài liệu [1], [4].

1.1

Kiến thức cơ bản về hình học không gian Banach

1.1.1

Không gian Banach lồi đều, trơn đều

Cho X là một không gian Banach thực với chuẩn . , X ∗ là không gian
liên hợp của X và x∗ , x là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X . Ký
hiệu mặt cầu đơn vị của X là SX , trong đó SX = {x ∈ X :

x = 1}.

Trước hết, ta nhắc lại rằng: Một không gian Banach X được gọi là
không gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ

8

Footer Page 9 of 132.


Header Page 10 of 132.

2 X ∗∗ của X , đều tồn tại phần tử x ∈ X sao cho

x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với ∀x∗ ∈ X ∗ .
Một tính chất quan trọng của không gian Banach phản xạ mà ta đã biết
là:
Cho X là một không gian Banach. Khi đó, X là không gian phản xạ
khi và chỉ khi mọi dãy bị chặn trong X đều có một dãy con hội tụ.
Tiếp theo, trong mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về cấu trúc
hình học của không gian Banach như: tính lồi, tính trơn, môđun lồi...
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với
x+y
∀x, y ∈ SX thỏa mãn

= 1, suy ra x = y hoặc ∀x, y ∈ SX và
2
x = y, ta có tx + (1 − t)y < 1 với ∀t ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.1 còn có thể phát biểu: Không gian Banach X được gọi là lồi
x+y
chặt nếu với ∀x, y ∈ SX , x = y mà x = y = 1, suy ra
< 1.
2
Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với mọi

ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y ∈ X thỏa mãn x = 1, y = 1, và
x+y
< 1 − δ.
x − y ≥ ε, suy ra tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho
2
Chú ý:
+ Không gian Banach lồi đều đều là không gian phản xạ.
+ Không gian Banach lồi đều thì nó là không gian Banach lồi chặt.
Để đo tính lồi của không gian Banach X, người ta đưa vào khái niệm
môđun lồi của không gian Banach X.
Giả sử X là không gian Banach thì môđun lồi của X là một hàm số được
xác định như sau:

x+y
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε .
2
Nhận thấy rằng δ là hàm số xác định, liên tục và tăng trên đoạn [0; 2].
δX (ε) = inf 1 −

9

Footer Page 10 of 132.


Header Page 11 of 132.

Định lý 1.1. Không gian Banach X là lồi chặt khi và chỉ khi δX (2) = 1.
Ngoài ra không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi δ(ε) > 0 với mọi

ε > 0.
Định lý 1.2. Giả sử X là không gian Banach lồi đều. Khi đó với mọi r và

ε, với r ≥ ε > 0 các bất đẳng thức x < r, y < r và x − y ≥ ε > 0
x+y
ε
ε
> 0 và
≤r 1−δ
, với δ là môđun lồi của X .
suy ra δ
r
2
r
Định lý 1.3. Cho X là không gian Banach lồi đều và δ là môđun lồi của
X. Nếu 0 < ε < r ≤ R, với mọi x, y ∈ X , x ≤ r, y ≤ r, x − y ≥ ε
ε
và λ ∈ [0; 1] thì khi đó δ
> 0 và
r
ε

λx + (1 − λ)y ≤ r 1 − 2λ(1 − λ)δ
.
r
Định nghĩa 1.3. Cho X là không gian định chuẩn.
i) Giả sử f, f1 , f2 , . . . ∈ X ∗ . Khi đó fn hội tụ

∗

yếu về f nếu và chỉ nếu

lim fn (x) = f (x) với mọi x ∈ X ;

n→+∞

ii) Giả sử x, x1 , x2 , . . . ∈ X . Khi đó xn hội tụ yếu về x nếu và chỉ nếu

lim f (xn ) = f (x) với mọi f ∈ X ∗ .

n→+∞

Định nghĩa 1.4. Nếu với mọi dãy {xn } trong không gian Banach X hội
tụ yếu đến x thì bất đẳng thức

lim inf xn − x < lim inf yn − y ,

n→∞

n→∞

luôn đúng với mọi y ∈ X, y = x. Khi đó X được gọi là thỏa mãn điều

kiện Opial.
Định nghĩa 1.5. Không gian Banach X được gọi là:
i) Có chuẩn khả vi Gâteaux (không gian trơn) nếu giới hạn
x + ty − x
tồn tại với mỗi x, y ∈ SX ;
lim
t→0
t
10

Footer Page 11 of 132.


Header Page 12 of 132.

ii) Có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu mỗi y ∈ SX giới hạn trên đạt được
đều với mọi x ∈ SX ;
iii) Có chuẩn khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ SX giới hạn trên là đều với
mọi y ∈ SX ;
iv) Khả vi Fréchet đều (không gian trơn đều) nếu giới hạn trên là đều với
mọi (x, y) ∈ SX × SX .
Định lý 1.4. Cho X là không gian Banach, khi đó ta có khẳng định sau:
i) Nếu X ∗ là không gian lồi chặt thì X là không gian trơn;
ii) Nếu X ∗ là không gian trơn thì X không gian lồi chặt.
Định lý 1.5. Cho X là không gian Banach, khi đó ta có khẳng định sau:
i) Nếu X là không gian trơn đều thì X ∗ là không gian lồi đều;
ii) Nếu X là không gian lồi đều thì X ∗ là không gian trơn đều.
Định lý 1.6. Cho X là không gian Banach. Khi đó, X có chuẩn khả vi
Fréchet đều khi và chỉ khi X ∗ lồi đều.

1.1.2

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.6. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach X
∗

là ánh xạ J : X → 2X xác định bởi

J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x . x∗ ,

x∗ = x },

với mọi x ∈ X .
Chú ý: Trong không gian Hibert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với
ánh xạ đồng nhất I .
Ký hiệu ánh xạ đơn trị là j . Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có một số tính
chất sau:
11

Footer Page 12 of 132.


Header Page 13 of 132.

Định lý 1.7. Giả sử X là không gian Banach. Khi đó,
i) J(x) là một tập lồi, J(λx) = λJ(x), với mọi λ > 0;
ii) J là ánh xạ đơn trị khi X ∗ là không gian lồi chặt.
Nếu X là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là
đơn trị. Nếu X là không gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn

tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của X . Một bất đẳng thức
thường được dùng để thiết lập mối quan hệ giữa ánh xạ đối ngẫu J và
chuẩn . trong không gian Banach X là bất đẳng thức Petryshyn.
∗

Định lý 1.8. Cho X là không gian Banach thực, J : X → 2X là ánh xạ
đối ngẫu của X . Khi đó,

x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, j(x + y) ,

với mọi x, y ∈ X và j(x + y) ∈ J(x + y).
Định nghĩa 1.7. Cho X là không gian Banach và K là một tập con lồi
khác rỗng của X . Khi đó ánh xạ ϕ : K → X được gọi là:

i) Nửa đóng tại điểm u nếu dãy {xn } ⊂ K hội tụ yếu đến x và ϕ(xn )
hội tụ yếu về u thì ϕ(x) = u;

ii) Liên tục yếu nếu dãy {xn } ⊂ K hội tụ yếu đến x thì ϕ(xn ) hội tụ
yếu đến ϕ(x).
Định nghĩa 1.8. Giả sử ánh xạ đối ngẫu J là đơn trị. Không gian Banach

X được gọi là có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy nếu J liên tục yếu

theo dãy.
Định lý 1.9. Ánh xạ đối ngẫu J của không gian Banach thực X là liên
tục yếu theo dãy thì X thỏa mãn điều kiện Opial.
Định lý 1.10. Cho J là ánh xạ đối ngẫu của không gian Banach X . Nếu

J là đơn trị thì J liên tục từ không gian Banach X với tôpô chuẩn và
không gian X ∗ với tôpô

∗

yếu.
12

Footer Page 13 of 132.


Header Page 14 of 132.

1.2

Một số kiến thức về ánh xạ giả co

Mục này giới thiệu một số lớp ánh xạ trong không gian Banach và một
số định lý điểm bất động để bảo đảm cho sự hội tụ của các thuật toán
trong chương sau. Đầu tiên nhắc lại một số vấn đề về ánh xạ không giãn.
Định nghĩa 1.9. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ với miền xác
định

D(T ) = {x ∈ X : T x = ∅}.
Ánh xạ T được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L sao cho với

mọi x, y ∈ D(T ), ta có

Tx − Ty ≤ L x − y ,
L được gọi là hằng số Lipschitz.
Nếu 0 < L < 1 thì ta có định nghĩa ánh xạ co, nếu L = 1 thì ta có định
nghĩa ánh xạ không giãn.
Định nghĩa 1.10. Cho K là một tập con lồi khác rỗng của không gian
định chuẩn X . Dãy {xn } ⊂ K được gọi là một dãy xấp xỉ điểm bất động
của T : K → X nếu lim xn − T xn = 0.
n→∞

Định lý 1.11. Cho K là một tập con khác rỗng, compắc yếu của không
gian Banach X thỏa mãn điều kiện Opial. Ánh xạ T : K → X là một ánh
xạ không giãn thì I − T là nửa đóng.
Nhận xét: Nếu K là tập con lồi khác rỗng của X và T : K → X là ánh
xạ không giãn thì I − T là nửa đóng.
Định nghĩa 1.11. Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Banach X được
gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu x = T x.
Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là F (T ). Chú ý rằng tập
điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Banach lồi chặt
13

Footer Page 14 of 132.


Header Page 15 of 132.

X nếu khác rỗng là một tập lồi và đóng. Bài toán điểm bất động được
phát biểu như sau:
Cho K là một tập con lồi của không gian Banach X , T : K → K là

một ánh xạ. Hãy tìm phần tử

x∗ ∈ K sao cho T x∗ = x∗ .

(1.1)

Định lý 1.12. Nếu K là tập con lồi đóng bị chặn khác rỗng của không
gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial X và T : K → K là ánh
xạ không giãn thì T có điểm bất động trong K .
Định lý 1.13. Nếu X là không gian Banach lồi đều, K là một tập con lồi
đóng bị chặn khác rỗng của X và T : K → K là ánh xạ không giãn thì T
có điểm bất động.
Định nghĩa 1.12. Cho K là tập con khác rỗng của không gian Banach

X . Họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} được gọi là nửa nhóm ánh xạ không giãn từ
K vào chính nó nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Với mỗi t ≥ 0, T (t) là ánh xạ không giãn trên K ;
ii) T (0)x = x, ∀x ∈ K và T (s + t)x = T (s)T (t)x, ∀s, t ≥ 0;
iii) Với x ∈ K, ánh xạ T (.)x : R+ → K là liên tục.
Tiếp theo trong mục này là một số vấn đề về ánh xạ giả co và một số
định lý về điểm bất động có liên quan tới ánh xạ giả co.
Định nghĩa 1.13. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ.
i) Ánh xạ T được gọi là giả co nếu với mọi x, y ∈ D(T ), tồn tại

j(x, y) ∈ J(x, y) sao cho
T x − T y, j(x, y) ≤ x − y 2 ;
14

Footer Page 15 of 132.

(1.2)


Header Page 16 of 132.

ii) Ánh xạ T được gọi là giả co mạnh nếu với mọi x, y ∈ D(T ), tồn tại

j(x, y) ∈ J(x, y) và hằng số l ∈ (0; 1) sao cho
T x − T y, j(x, y) ≤ l x − y 2 ;

(1.3)

iii) Ánh xạ T được gọi là giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ D(T ), tồn tại

j(x, y) ∈ J(x, y) và hằng số k > 0 sao cho
T x − T y, j(x, y) ≤ x − y

2

− k (Ix − Iy) − (T x − T y) 2 . (1.4)

Ở đây, I là ánh xạ đồng nhất của X .
Chú ý rằng, bất đẳng thức (1.4) được viết dưới dạng

(I − T )x − (I − T )y, j(x, y) ≥ k (I − T )x − (I − T )y 2 .

(1.5)

Trong không gian Hilbert, bất đẳng thức (1.4) và (1.5) tương đương với

Tx − Ty

2

≤ x−y

2

+ λ (I − T )x − (I − T )y 2 .

(1.6)

Với x, y ∈ D(T ) và λ = 1 − k < 1. Khi λ = 0 thì bất đẳng thức (1.6) có
dạng

Tx − Ty

2

≤ x − y 2,

∀x, y ∈ D(T ).

(1.7)

Như vậy lớp các ánh xạ giả co chặt chứa lớp các ánh xạ không giãn.
Năm 1974, Deimling [3] đã chứng minh định lý điểm bất động cho ánh
xạ liên tục giả co mạnh trong không gian Banach.
Định lý 1.14. Giả sử X là một không gian Banach, K là một tập con lồi
đóng khác rỗng của X và ánh xạ T : K → K là một ánh xạ liên tục, giả

co mạnh. Khi đó T có duy nhất điểm bất động trong K .
Dưới đây là hai nguyên lí nửa đóng cho ánh xạ giả co.
Định lý 1.15. Cho K là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Banach thực phản xạ X , X thỏa mãn điều kiện Opial. Ánh xạ T : K → K
là ánh xạ liên tục, giả co thì I − T là nửa đóng.
15

Footer Page 16 of 132.


Header Page 17 of 132.

Định lý 1.16. Cho K là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Banach lồi đều X , ánh xạ T : K → K là ánh xạ liên tục, giả co thì I − T
là nửa đóng.
Định nghĩa 1.14. Họ các ánh xạ tham số t {T (t) : t ≥ 0} : K → K gọi
là nửa nhóm ánh xạ Lipschitz giả co nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i) T (0)x = x, với mỗi x ∈ K và T (s + t)x = T (s)T (t)x, ∀s, t ∈ R+ ,

x ∈ K;
ii) Với x ∈ K, ánh xạ T (.)x : R+ → K là liên tục;
iii) ∀x, y ∈ K, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

T (t)x − T (t)y, j(x − y) ≤ x − y 2 ,
với mỗi t > 0;
iv) ∃L : (0, +∞) → [0, +∞) là hàm bị chặn thỏa mãn

∀x, y ∈ K,

T (t)x − T (t)y ≤ L(t) x − y ,

∀t > 0.

Định nghĩa 1.15. Họ các ánh xạ tham số t {T (t) : t ≥ 0} : K → K gọi
là nửa nhóm giả co mạnh trên K nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i) T (0)x = x, với mỗi x ∈ K và T (s + t)x = T (s)T (t)x, ∀s, t ∈ R+ ,

x ∈ K;
ii) Với x ∈ K, ánh xạ T (.)x : R+ → K là liên tục;
iii) ∃k : [0, +∞) → (0, 1) là hàm bị chặn với sup k(t) < 1 sao cho
t≥0

∀x, y ∈ K, ∃j(x − y) ∈ J(x − y);
thỏa mãn

T (t)x − T (t)y, j(x − y) ≤ k(t) x − y 2 ,
với mỗi t > 0.
16

Footer Page 17 of 132.


Header Page 18 of 132.

Định nghĩa 1.16. Họ các ánh xạ tham số t {T (t) : t ≥ 0} : K → K gọi
là nửa nhóm giả co chặt trên K nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i) T (0)x = x, với mỗi x ∈ K và T (s + t)x = T (s)T (t)x, ∀s, t ∈ R+ ,

x ∈ K;
ii) Với x ∈ K, ánh xạ T (.)x : R+ → K là liên tục;

1
iii) ∃λ : [0, +∞) → (0, ) là hàm bị chặn sao cho ∀x, y ∈ K,
2
∃j(x − y) ∈ J(x − y) thỏa mãn
T (t)x−T (t)y, j(x−y) ≤ x−y 2 −λ(t) [I −T (t)]x−[I −T (t)]y 2 ,
với mỗi t > 0.
Bây giờ, nếu {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ giả co chặt trên K thì
với mỗi t ≥ 0 tồn tại hàm L(t) sao cho

T (t) x − T (t) y ≤ L (t) x − y , ∀x, y ∈ K.
Ta kí hiệu
N := sup {L (t) : t ≥ 0} < ∞.

17

Footer Page 18 of 132.

(1.8)


Header Page 19 of 132.

Chương 2
Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất
động
Chương này trình bày những nghiên cứu về một số phương pháp lặp cơ
bản, dãy lặp ẩn để tìm điểm bất động chung cho một họ nửa nhóm ánh
xạ không giãn và tìm điểm bất động chung cho một họ nửa nhóm các ánh
xạ giả co chặt. Nội dung của chương được viết dựa trên các tài liệu số [2],

[5], [6], [7].

2.1

Một số phương pháp lặp

Phần này trình bày một số phương pháp lặp cơ bản để tìm điểm bất
động của ánh xạ giả co mạnh và ánh xạ không giãn trong không gian
Banach trên cở sở các dãy lặp kiểu Mann và Ishikawa. Các kết quả và
phần chứng minh trong mục này được viết dựa trên tài liệu số [2].
Thuật toán đơn giản nhất là thuật toán Picard xác định bởi xn+1 = T xn .
Định lý 2.1. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ co. Khi đó T có duy nhất điểm bất động p trong X và với mỗi

x0 ∈ X , dãy lặp {T n x0 } hội tụ tới p.
18

Footer Page 19 of 132.


Header Page 20 of 132.

Dãy lặp {T n x0 } là dãy lặp {xn } được định nghĩa bởi xn+1 = T xn .
Năm 1953, Mann đã đưa ra một dãy lặp hội tụ mạnh tới điểm bất động
của ánh xạ T .
Định lý 2.2. Cho T là một ánh xạ liên tục từ tập compact [a, b] vào chính
nó. Khi đó dãy {xn } trong [a, b] được xác định bởi:
n

x0 ∈ [a, b], xn+1 = T xn , xn =

k=1

xk
, n ≥ 0,
k

(2.1)

hội tụ tới một điểm bất động của T .
Các nghiên cứu về phép lặp Mann với dãy {xn } được xác định bởi:



x0 ∈ K;

(2.2)



xn+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ 0,
trong đó K là một tập lồi đóng của X và {αn } là dãy thực thỏa mãn:
i) α0 = 1;
ii) 0 < αn < 1, n ≥ 1;
∞

αn = ∞.

iii)
n=0

Định lý 2.3. Cho X là không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial, K
là tập compắc yếu của X và T : K → X là ánh xạ không giãn. Khi đó dãy

{xn } trong K xác định bởi (2.2) hội tụ yếu tới điểm bất động của T .
Năm 1974, Ishikawa đã nghiên cứu một phép lặp tổng quát hơn phép lặp
Mann và được gọi là dãy lặp Ishikawa.
Định lý 2.4. Cho K là tập compắc lồi của không gian Hilbert H và

T : K → K là ánh xạ giả co, liên tục Lipschitz. Khi đó, dãy lặp {xn }
19

Footer Page 20 of 132.


Header Page 21 of 132.

trong K xác định bởi:



x0 ∈ K;




yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥ 0;






x
n+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ 0,

(2.3)

hội tụ tới điểm bất động của T , trong đó {αn } và {βn } là dãy thực trong

[0, 1] thỏa mãn:
i) 0 ≤ αn ≤ βn ≤ 1, n ≥ 1;
ii) lim βn = 0;
n→+∞
∞

αn βn = ∞.

iii
n=0

Dãy lặp {xn } trong K xác định bởi (2.3) gọi là dãy lặp Ishikawa.
Cho K là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach X và
ánh xạ T : K → K . Đặt L ≥ 1, t > 1 lần lượt là hằng số Lipschitz và
1
hằng số giả co mạnh của ánh xạ T . Đặt k = 1 − và cho r là hằng số cố
t
định trong khoảng (0, k 2 ). Sự hội tụ mạnh của dãy lặp Ishikawa đến điểm
bất động của ánh xạ T được trình bày trong định lí sau:
Định lý 2.5. Cho X là không gian Banach thực bất kì và K là tập con
lồi đóng khác rỗng của X . Cho T : K → K là ánh xạ liên tục Lipschitz
và giả co mạnh. Giả sử {αn } và {βn } là dãy số thực trong [0, 1] thỏa mãn

các điều kiện sau:

i) βn ≤

k(1 − k)
, n ≥ 0.
L(1 + L)

ii) αn ≤

k2 − r
, n ≥ 0.
L(1 + L2 )

∞

αn = ∞.

iii)
n=0

20

Footer Page 21 of 132.


Header Page 22 of 132.

Khi đó dãy lặp Ishikawa được định nghĩa bởi (2.3) hội tụ mạnh tới điểm
bất động của ánh xạ T .

Chứng minh. Theo giả thiết T : K → K là ánh xạ liên tục Lipschitz và
giả co mạnh nên theo Định lí 1.14 ta suy ra T có duy nhất điểm bất động
trong K .
Gọi x∗ là điểm bất động của T , ta có:

xn+1 −x∗ = (1−αn )(xn −x∗ )+αn (T xn+1 −T x∗ )−α(T xn+1 −T yn ). (2.4)
Đặt Kn = L(1 + L2 )αn + L(1 + L)βn .
Do điều kiện kiện i) và ii) của định lí ta có Kn < k − r, ∀n > 0.
Sử dụng (2.3) ta có

T xn+1 − T yn ≤ L xn+1 − yn ≤ Kn xn − x∗ .

(2.5)

Tác động j(xn+1 − x∗ ) ∈ J(xn+1 − x∗ ) trong đẳng thức (2.4) ta nhận được:

xn+1 − x∗

2

≤ (1 − αn ) xn − x∗ , j(xn+1 − x∗ )
+ αn T xn+1 − x∗ , j(xn+1 − x∗ )
− αn T xn+1 − T yn , j(xn+1 − x∗ )
∗

(2.6)

∗

≤ (1 − αn ) xn − x . xn+1 − x

+ αn T xn+1 − T x∗ , j(xn+1 − x∗ )
+ αn T xn+1 − T yn . xn+1 − x∗ .
Ta thấy tồn tại j(xn+1 − x∗ ) ∈ J(xn+1 − x∗ ) sao cho:

T xn+1 − T x∗ , j(xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − k) xn+1 − x∗ 2 .

(2.7)

Thay (2.5) và (2.7) vào (2.6) ta được

xn+1 − x∗

2

≤ (1 − αn ) xn − x∗ . xn+1 − x∗
+ (1 − k)αn xn+1 − x∗

2

+ Kn αn xn − x∗ . xn+1 − x∗ .
21

Footer Page 22 of 132.

(2.8)


Header Page 23 of 132.

Từ đó suy ra:

xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ + (1 − k)αn xn+1 − x∗ + Kn αn xn − x∗ .
(2.9)
Do Kn ≤ k − r, ∀n > 0 và từ (2.9) ta suy ra:

1 − αn + Kn αn
xn − x∗
1 − (1 − k)αn
r
≤ 1−
αn xn − x∗
1 − (1 − k)αn

xn+1 − x∗ ≤

≤ (1 − rαn ) xn − x∗

(2.10)

n

≤ exp − r

αj

x0 − x∗ → 0,

j=0

khi n → ∞. Định lí được chứng minh.
Từ (2.3) nếu cho βn = 0, ∀n ≥ 0 thì dãy lặp Ishikawa trở thành dãy lăp
Mann trong (2.2). Vậy ta có một hệ quả được suy ra từ định lí 2.5 cho dãy
lặp Mann như sau:
Hệ quả: Cho X , K , T và {αn } như trong định lí 2.5 và dãy lặp Mann
được xác định ở (2.2). Khi đó dãy {xn } hội tụ mạnh tới điểm bất động duy
nhất của ánh xạ T .
Sự hội tụ mạnh của dãy lặp Ishikawa tới điểm bất động duy nhất của ánh
xạ liên tục đều và giả co mạnh được nghiên cứu trong định lí dưới đây.
Định lý 2.6. Cho X là không gian Banach thực và K là tập con lồi, đóng,
bị chặn, khác rỗng của X . Cho T : K → K là ánh xạ liên tục đều và giả
co mạnh. Giả sử {αn } và {βn } là dãy số thực thỏa mãn các điều kiện sau:
i) 0 ≤ βn , αn < 1, n ≥ 0;
ii) αn → 0, βn → 0 khi n → ∞;
∞

αn = ∞.

iii)
n=0

22

Footer Page 23 of 132.


Header Page 24 of 132.

Khi đó dãy lặp Ishikawa được định nghĩa bởi (2.3) hội tụ mạnh tới điểm
bất động duy nhất của ánh xạ T .

Để chứng minh định lí trên ta cần dùng đến bổ đề sau:
Bổ đề : Cho {an }, {bn } và {cn } là dãy các số thực không âm và thỏa mãn
điều kiện:

an+1 ≤ (1 − tn )an + bn + cn , n ≥ n0 ,
∞

trong đó n0 là số nguyên dương và {tn } là dãy trong [0; 1] sao cho

tn = ∞,
n=1

∞

cn < ∞. Khi đó an → 0 khi n → ∞.

bn = o(tn ),
n=1

Chứng minh. Vì {αn }, {T xn } và {T yn } là các dãy bị chặn trong K , ta
có:

yn − xn = (αn − βn )xn + βn T xn − αn T yn → 0 khi n → ∞.
Do T liên tục đều nên ta suy ra T xn − T yn → 0 khi n → ∞.
Từ đó, suy ra ta có:

1 − αn
xn − x∗ + o(αn )
1 − (1 − k)αn
k

1−
αn xn − x∗ + o(αn )
1 − (1 − k)αn

xn+1 − x∗ ≤

≤ (1 − k)αn xn − x∗ + o(αn ).
Với n đủ lớn. Từ bổ đề trên, ta suy ra xn → x∗ khi n → ∞.
Tương tự như trên từ (2.3), nếu cho βn = 0, ∀n ≥ 0 thì dãy lặp Ishikawa
trở thành dãy lăp Mann trong (2.2). Vậy ta có một hệ quả được suy ra từ
định lí 2.6 cho dãy lặp Mann như sau:
Hệ quả: Cho X , K , T và {αn } như trong định lí 2.6 và dãy lặp Mann
được xác định ở (2.2). Khi đó dãy hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất
của ánh xạ T .
23

Footer Page 24 of 132.


Header Page 25 of 132.

2.2

Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa
nhóm ánh xạ không giãn

Phương pháp lặp ẩn là một trong những phương pháp xấp xỉ tìm điểm
bất động chung cho một họ các ánh xạ không giãn được quan tâm gần
đây. Phương pháp này được Browder đề xuất cho một ánh xạ không giãn
trong không gian Hilbert cụ thể như sau :

Trong không gian Hilbert H , cho C là một tập con lồi đóng của H và
ánh xạ không giãn T : C → C . Dãy {xn } xác định bởi :



x0 ∈ C;

(2.11)



xn = αn x0 + (1 − αn )T xn , n ≥ 1,
trong đó {αn } ⊂ (0, 1), thỏa mãn αn → 0 khi n → +∞.
Với những điều kiện thích hợp của {αn } như trên, Browder đã chứng minh
được dãy {xn } được xác định bởi (2.11) hội tụ mạnh đến điểm bất động
của T mà gần x0 nhất.
Năm 2003, dựa trên những kết quả nghiên cứu của Browder, T. Suzuki
đưa ra phương pháp tìm điểm bất động chung cho một nửa nhóm liên tục
mạnh các ánh xạ không giãn {T (t) : t ≥ 0} với

F (T (t)) = ∅ trong
t≥0

không gian Hilbert H. Ông đã chỉ ra rằng với những điều kiện thích hợp
αn
= 0 thì dãy {xn } ∈ C
của dãy {αn } ∈ (0, 1), tn > 0 và lim tn = lim
n→∞
n→∞ tn

xác định bởi:



x0 ∈ C;
(2.12)


xn = αn x0 + (1 − αn )T (tn )xn ,
hội tụ mạnh tới một điểm x ∈

F (T (t)) gần x0 nhất.
t≥0

24

Footer Page 25 of 132.