Luận văn thạc sĩ toán học: ĐIều kiện cần và đủ đối với định lý giới hạn trung tâm có điều kiện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
————————–o0o————————–

ĐỖ THỊ LAN

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỐI VỚI
ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CÓ ĐIỀU KIỆN

Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã số : 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
————————–o0o————————–

ĐỖ THỊ LAN
ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỐI VỚI
ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CÓ ĐIỀU KIỆN

Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã số : 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI - 2016


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn
"Điều kiện cần và đủ đối với định lý giới hạn trung tâm có điều
kiện" tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ và động viên của nhiều cá
nhân và tập thể, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới tất cả
các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi.
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo
khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng - Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội đã đem lại cho tôi những kiến thức bổ trợ, vô cùng
có ích trong những năm học vừa qua.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS. Nguyễn Văn Hùng - người
thầy đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá trình
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, những người đã
luôn bên tôi, động viên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện đề
tài nghiên cứu của mình.
Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô, bạn bè
và những người quan tâm để luận văn được hoàn thiện và phát triển hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Đỗ Thị Lan

1

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5

1.1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Vectơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
9

1.1.3. Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

1.3

Kì vọng điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quá trình Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
14

1.4
1.5

Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . .
Định nghĩa độ đo ergodic, quá trình dừng, độ đo dấu . . .

14
15

1.6

Một số kết quả cổ điển về định lý giới hạn trung tâm . . .

16

2 Định lý giới hạn trung tâm có điều kiện và ứng dụng
2.1

18

Định lý giới hạn trung tâm có điều kiện . . . . . . . . . . .
2.1.1. Điều kiện cần và đủ cho một dãy dừng tổng quát .

18
19

2.1.2. Điều kiện cần và đủ cho dãy các tam giác . . . . .
2.1.3. Phiên bản hàm của định lý giới hạn trung tâm có

29

điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ứng dụng của định lý giới hạn trung trâm có điều kiện . .

37
43

2.2.1. Chứng minh các mệnh đề và hệ quả . . . . . . . . .
2.2.2. Ước lượng hạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
50

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.2

Tài liệu tham khảo

62

2


Mở đầu
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Nghiên cứu mở rộng các định lý giới hạn trung tâm luôn rất cần thiết
đối với lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Đề tài của luận văn tập
trung vào tìm một số điều kiện cần và đủ cho định lý giới hạn trung tâm
có điều kiện. Theo hướng tiếp cận của Lindeberg, chúng ta thu được một
điều kiện mới cho một dãy dừng các biến ngẫu nhiên thực bình phương
khả tích thỏa mãn định lý giới hạn trung tâm (CLT). Trong trường hợp
thích nghi, điều kiện này yếu hơn mọi tiêu chuẩn hình chiếu bắt nguồn từ
định lý của Gordin [Dokl. Akad. Nauk SSSR 188 (1969) 739–741] về xấp
xỉ các martingale. Hơn nữa, tiêu chuẩn của chúng ta tương đương với định
lý giới hạn trung tâm có điều kiện (conditional central limit theorem), từ
đó suy ra hội tụ ổn định (theo nghĩa của Renyi) tới một phân phối trộn
của các phân phối chuẩn. Chúng ta cũng xây dựng các phiên bản hàm và
hình tam giác của định lý này. Từ các kết quả tổng quát này, chúng ta
đưa ra các điều kiện đủ dễ dàng được kiểm tra và có thể so sánh với các
kết quả khác đã biết. Cuối cùng, chúng ta giới thiệu một ứng dụng cho các
ước lượng mật độ hạch (kernel density) đối với một số lớp các quá trình
với thời gian rời rạc.
II. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
• Tìm một số điều kiện cần và đủ cho định lý giới hạn trung tâm có
điều kiện;
• Các ứng dụng của định lý giới hạn trung tâm có điều kiện.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
• Định lý giới hạn trung tâm cổ điển,
• Khái niệm hội tụ ổn định của các biến ngẫu nhiên của Rényi;

• Các biến ngẫu nhiên Rademacher ;
3


• Martingale, quá trình Wiener,các dãy trộn,. . .
• Phương sai có điều kiện;
• Quá trình dừng mạnh.
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
• Hội tụ ổn định của các biến ngẫu nhiên có tính dừng;
• Tìm các điều kiện đủ mạnh để đảm bảo các tổng riêng tiệm cận giống
như một martingale: sử dụng mixingale;
• Hội tụ trộn của quá trình tổng riêng tới một chuyển động Brown và
hội tụ này trùng với hội tụ ổn định,. . .
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Xấp xỉ các martingale;
• Hội tụ theo phân phối, hội tụ ổn định;
• Sử dụng các tính chất dừng.
VI. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị để thực hiện nội dung
của chương sau: không gian xác suất, kì vọng điều kiện, các dạng hội tụ
của dãy biến ngẫu nhiên và một số kết quả về định lí giới hạn trung tâm.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, đầu tiên nghiên cứu tìm
điều kiện cần và đủ đối với định lý giới hạn trung tâm có điều kiện. Tiếp
theo là nêu một số ứng dụng của các định lý đó.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian xác suất

1.1.1.

Một số khái niệm cơ bản

Xét một tập Ω khác rỗng.
Định nghĩa 1.1.1. Một σ-đại số trên Ω là tập hợp F các tập con của Ω
với các tính chất:
1. ∅, Ω ∈ F.
2. Nếu A ∈ F thì Ac ∈ F, trong đó Ac := Ω\A là phần bù của A.
3. Nếu A1 , A2 , ... ∈ F thì
∞

∞

Ak ∈ F,
k=1

Ak ∈ F.
k=1

Mỗi phần tử của F được gọi là một biến cố.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử F là σ-đại số các tập con của Ω. Ta gọi P :
F → [0, 1] là một độ đo xác suất nếu:

5


1. P(∅) = 0, P(Ω) = 1.
2. Nếu A1 , A2 , ...là các tập đôi một rời nhau trong F thì
∞

∞

Ak =

P
k=1

P(Ak ).
k=1

Điều này kéo theo rằng nếu A, B ∈ F
A ⊆ B thì P(A) ≤ P(B).
Định nghĩa 1.1.3. Một bộ ba (Ω, F, P) được gọi là một không gian xác
suất nếu Ω là tập bất kì, F là một σ -đại số của các tập con của Ω và P
là một độ đo xác suất trên F.
Giả sử A, B ∈ F là hai biến cố, với P(B) > 0, xác suất để biến cố A
xảy ra biết rằng biến cố B đã xảy ra là
P(A|B) :=

P(A ∩ B)
.
P(B)

Định nghĩa 1.1.4. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Định nghĩa 1.1.5. Cho Fi ⊆ F là một dãy các σ-đại số, với i = 1, 2, . . .
Ta nói các σ-đại số {Fi }∞
i=1 là độc lập nếu với mọi 1 ≤ k1 < ... < km và
các biến cố Aki ∈ Fki ta có:
P(Ak1 ∩ ... ∩ Akm ) = P(Ak1 )...P(Akm ).
Định nghĩa 1.1.6. Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất. Một ánh
xạ:
X:Ω→R
6


được gọi là một biến ngẫu nhiên nếu mỗi B ∈ B (với B là tập các tập con
Borel của R), ta có
X −1 (B) ∈ F.
Khi đó ta nói X là F-đo được.
Định nghĩa 1.1.7. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được
xác định theo công thức:
FX (x) = P{X ≤ x}, x ∈ R.
Nếu hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có đạo hàm f (x) =
F (x) với mọi x ∈ R thì ta gọi f (x) là hàm mật độ của X.
Với mỗi tập A ∈ F, ta định nghĩa hàm chỉ tiêu của tập A như sau



1 nếu w ∈ A
IA (w) =



0 nếu w ∈ A.
k

Giả sử Ai ∈ F, i = 1, ..., k là dãy các biến cố trong F. Khi đó X =

ai IAi
i=1

được gọi là một biến ngẫu nhiên đơn giản giá trị thực (ai ∈ R). Ta định
nghĩa:
k

XdP :=

ai P(Ai ).
i=1

Ω

Nếu X là một biến ngẫu nhiên không âm, ta định nghĩa:
XdP :=

sup

Y dP.

Y ≤X,Y đơn giản

Ω

Ω

Cuối cùng, nếu X : Ω → R là một biến ngẫu nhiên bất kì, ta viết:

Ω

X − dP

X + dP −

XdP :=
Ω

Ω

7


nếu ít nhất một trong các tích phân ở bên phải hữu hạn, trong đó
X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0), X = X + − X − .
Định nghĩa 1.1.8. Biến ngẫu nhiên X được gọi là khả tích nếu
|X|dP < ∞,
Ω

khi đó
E(X) :=

XdP
Ω

được gọi là giá trị trung bình hay kì vọng của X.
Định nghĩa 1.1.9. Nếu E[X 2 ] < ∞ thì ta gọi
|X − E(X)|2 dP

D(X) :=
Ω

là phương sai của X. Trường hợp biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là
f (x) thì kì vọng và phương sai được tính bằng công thức:
+∞

EX =

xf (x)dx.
−∞

D(X) = E(X − (EX)2 ) = EX 2 − (EX)2 .
Định nghĩa 1.1.10. Cho Xi : Ω → R là một dãy các biến ngẫu nhiên
(i = 1, 2, ...). Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ...được gọi là độc lập với nhau
nếu với mọi số nguyên k ≥ 2 và mọi tập Borel B1 , ..., Bk ∈ R ta có:
P(X1 ∈ B1 , ..., Xk ∈ Bk ) = P(X1 ∈ B1 )...P(Xk ∈ Bk ).
Định lí 1.1.11. Các biến ngẫu nhiên X1 , ..., Xm : Ω → R là độc lập khi
và chỉ khi:
FX1 ,...,Xm (x1 , ...xm ) = FX1 (x1 )...FXm (xm ),
8


với mọi xi ∈ R, i = 1, ..., m, trong đó
FX1 ,...,Xm (x1 , ..., xm ) := P[X1 ≤ x1 , . . . , Xm ≤ xm ]
là hàm phân phối đồng thời của X1 , . . . , Xm .

1.1.2.

Vectơ ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.12. X = (X1 , X2 , ..., Xn ) là một vectơ ngẫu nhiên n
chiều khi mỗi thành phần Xk (k = 1, ..., n) là một biến ngẫu nhiên xác
định trên (Ω, F, P).

1.1.3.

Hàm đặc trưng

Định nghĩa 1.1.13. Xét biến ngẫu nhiên X bất kì. Ta định nghĩa hàm
đặc trưng ϕX (t) của X như sau:
ϕX (t) := EeitX = E cos tX + iE sin tX,

t ∈ R.

Nhận xét 1.1.14. Nếu FX (x) là hàm phân phối của X thì
eitx dFX (x),

ϕX (t) =

t ∈ R.

R

Nếu f (x) là hàm mật độ của X thì
eitx f (x)dx,

ϕX (t) =

t ∈ R.

R

Nhận xét 1.1.15. Giả sử X = (X1 , X2 , ..., Xn ) là vectơ ngẫu nhiên nhận
giá trị trong Rn . Khi đó hàm đặc trưng của X là hàm số:
ϕX (t) = Eei(t,X) =

ei<t,x> dFX (x),
R

9

t ∈ Rn .


Các ví dụ về hàm đặc trưng
1. Giả sử X ∼ B(n, p). Ta có:
ϕX (t) =
=

n
itk k k
k=0 e Cn p (1

− p)n−k

n
k
it k
k=0 Cn (pe ) (1

− p)n−k = (peit + 1 − p)n

2. Giả sử X có phân phối Poisson tham số λ > 0. Ta có:
∞

ϕX (t) =

e

k −λ
itk λ e

k!

k=0

∞

=e

−λ
k=0

it
it

(λeit )k
= e−λ eλe = eλ(e −1) .
k!

3. Giả sử X ∼ U [−a, a],

f (x) =




0

x∈
/ [−a; a]
.


1


2a

x ∈ [−a; a]

Ta có:
a

1 itx
1

e dx =
eita − e−ita
2a
2ait

ϕX (t) = EeitX =
−a

1
[cos at + i sin at − cos(−at) − i sin(−at)]
2ait
sin at
1
=
.2i sin at =
.
2ait
at

=

4. Đặc biệt, giả sử X có phân phối chuẩn N (0; 1),
x2
1
f (x) = √ e− 2 .
2π

10

Ta có:
∞

∞
x2
1
1
√ e− 2 eitx dx = √
2π
2π

ϕX (t) = EeitX =
−∞

x2

e− 2 +itx dx
−∞

∞

1
=√
2π

∞

e

− 12

2

[(x−it)

+t

−∞
∞

t2

= e− 2

−∞

2

2
] dx = √1 e− t2
2π

1

2

e− 2 (x−it) dx
−∞

u2

t2
1
√ e− 2 du = e− 2 .
2π

Đẳng thức cuối xảy ra khi ta áp dụng phép đổi biến u = x − it.
Một số tính chất cơ bản của hàm đặc trưng
Giả sử X có hàm phân phối F và ϕX (t) là hàm đặc trưng của X. Khi
đó ta có các tính chất sau:
1. |ϕX (t)| ≤ 1;

ϕX (0) = 1.

2. ϕX (t) liên tục đều trên R.
3. ϕX (−t) = ϕX (t).
4. ϕaX+b (t) = eibt ϕX (at).
5. Nếu X, Y độc lập thì ϕX+Y (t) = ϕX (t).ϕY (t),

t ∈ R.

Tổng quát: Nếu X1 , X2 , ..., Xn độc lập thì
n

ϕ(X1 ,X2 ,...,Xn ) (t) =

ϕXk (t),

t ∈ R.

k=1

6. Nếu E|Xn | < ∞, ∀n ≥ 1 thì ϕX (t) khả vi cấp n tại mọi điểm và
(k)

(ix)k eitx dFX (x) = ik E(X k eitX )

ϕX (t) =
R

11


(k)

(k)
ϕX (0)

ϕ (0)
= i EX =⇒ EX = X k .
i

Ta có:

k

n

ϕX (t) =
k=0

k

k

(it)n
(it)k
EX k +
αn (t)
k!
n!

trong đó
|αn (t)| ≤ 2E|X n |,

t→0

αn (t) −−→ 0.

7. FX (x) = FY (x) ∀x ∈ D ⇐⇒ ϕX (t) = ϕY (t) ∀t ∈ R,
với D là một tập đếm được trù mật trong R.
Hơn nữa, Xn −→ X ⇐⇒ lim ϕXn (t) = ϕX (t) ∀t ∈ R.
n→∞

1.2

Kì vọng điều kiện

Định nghĩa 1.2.1. (1) Giả sử ξ là biến ngẫu nhiên khả tích xác định trên
không gian xác suất (Ω, F, P). Giả sử G là một σ - đại số con của F. Khi
đó tồn tại một biến ngẫu nhiên suy rộng, không âm, kí hiêu là E(ξ | G),

thỏa mãn:
(a)E(ξ | G) là G- đo được,
(b) Với mọi A ∈ G,
A ξdP

=

A E(ξ

| G)dP.

(2) Kì vọng điều kiện E(ξ | G) của biến ngẫu nhiên ξ bất kì đối với σđại số G là xác định nếu min (E(ξ + | G), E(ξ − | G)) < ∞ h.c.c, và cho bởi
công thức
E(ξ | G) = E(ξ + | G) − E(ξ − | G)

12


trong đó, trên tập có xác suất 0 mà E(ξ + | G) = E(ξ − | G) = ∞, ta có thể
gán cho hiệu
E(ξ + | G) − E(ξ − | G) một giá trị bất kì,
ví dụ bằng 0 chẳng hạn.
Tính chất cơ bản của kì vọng điều kiện
Giả sử ξ, η là các biến ngẫu nhiên khả tích xác định trên không gian
xác suất (Ω, F, P). Giả sử G là một σ− đại số con của F.
1. (Bảo toàn hằng số) Nếu c là hằng số thì E(c|G) = c h.c.c.
2. (Bảo toàn thứ tự) Nếu ξ ≥ η h.c.c. thì E(ξ|G) ≥ E(η|G) h.c.c.
3. (Tuyến tính) Nếu a, b là các hằng số thì
E(aξ + bη|G) = aE(ξ|G) + bE(η|G).
4. Nếu G = {∅, Ω} thì E(ξ|G) = E(ξ) h.c.c.

5. E(ξ|F) = ξ h.c.c.
6. E(E(ξ|G)) = E(ξ).
7. (Tính chất tháp) Nếu G1 ⊂ G2 là hai σ− đại số con của F thì
E(E(ξ|G1 )|G2 ) = E(E(ξ|G2 )|G1 ) = E(ξ|G1 ) h.c.c.
8. Nếu ξ độc lập với G thì E(ξ|G) = E(ξ) h.c.c.
9. Nếu H là một σ đại số con của F và độc lập với cả G và ξ thì
E(ξ|σ(G, H)) = E(ξ|G) h.c.c.
13


1.3

Quá trình Wiener

Định nghĩa 1.3.1. Quá trình ngẫu nhiên {Wt }t∈[0,∞) xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P) với lọc (Ft ) được gọi là quá trình Wiener hay là
một chuyển động Brown nếu
1. W0 = 0(h.c.c);
2. Wt là Ft đo được;
3. Wt − Ws là độc lập với σ-đại số Fs ;
4. Biến ngẫu nhiên Wt − Ws , 0 ≤ s ≤ t có phân phối chuẩn với kỳ vọng
0 và phương sai (t − s).
5. {Wt }t∈[0,∞) là quá trình liên tục, tức là hầu hết các quỹ đạo của
{Wt }t∈[0,∞) là liên tục.

1.4

Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Giả sử (ξn ) là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất

(Ω, F, P). Dãy (ξn ) được gọi là
• Hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên ξ nếu P[ lim ξn = ξ] = 1.
n→∞

h.c.c

Kí hiệu là ξn −→ ξ.
• Hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên ξ nếu lim P[|ξn −ξ| > ] = 0.
n→∞

P

Kí hiệu là ξn −→ ξ.
• Hội tụ theo trung bình bậc p, p > 0 đến biến ngẫu nhiên ξ nếu E|ξn |p <
Lp

∞ và lim E|ξn − ξ|p = 0. Kí hiệu là ξn −→ ξ. Khi p = 1, ta nói ξn hội tụ
n→∞

theo trung bình đến ξ.
14


• Hội tụ yếu hay còn gọi là hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên
ξ nếu với mọi hàm f : R → R liên tục và bị chặn, ta có
lim E(f (ξn )) = E(f (ξ)).

n→∞
d

Kí hiệu là ξn −→ ξ.

1.5

Định nghĩa độ đo ergodic, quá trình dừng, độ
đo dấu

Định nghĩa 1.5.1. (Độ đo ergodic)
Cho (X, β, µ) là một không gian xác suất và T : X → X là một phép
biến đổi bảo toàn độ đo. Ta nói rằng T là một phép biến đổi ergodic (hoặc
µ là một độ đo ergodic) nếu với B ∈ β, T −1 (B) = B thì µ(B) = 0 hoặc
µ(B) = 1.
Định nghĩa 1.5.2. (Quá trình dừng)
Cho quá trình X = {Xt , t ∈ T } với T là một khoảng thời gian trên
đường thẳng thực R. Giả sử I = (t1 , t2 , ..., tn ) là tập con hữu hạn của T .
Với mọi số thực h, ta đặt
θh I = (t1 + h, t2 + h, ..., tn + h)
Ta nói rằng X là quá trình dừng nếu PXI = PXθh I , tức là các vectơ ngẫu
nhiên
XI = (Xt1 , Xt2 , ..., Xtn ),

Xθh I = (Xt1 +h , Xt2 +h , ..., Xtn +h )

có cùng phân phối nếu t1 + h, t2 + h, ..., tn + h ∈ T .
15


Định nghĩa 1.5.3. (Độ đo có dấu)
Hàm tập µ xác định trên σ-đại số X và nhận giá trị trong tập số thực
mở rộng, µ được gọi là độ đo có dấu nếu:

• µ(∅) = 0.
• µ là cộng tính: nếu E1 , E2 , ... là các tập hợp con của σ-đại số X, đếm
∞

được, đôi một không giao nhau và nếu E =

∞

Ek thì µ(E) =
k=1

µ(Ek ).
k=1

• µ chỉ nhận một trong hai giá trị +∞ hoặc −∞.

1.6

Một số kết quả cổ điển về định lý giới hạn trung
tâm

Vào năm 1730, De Moivre đã tìm ra sự liên hệ giữa xác suất nhị thức
và hàm mật độ chuẩn. Nội dung được thể hiện dưới dạng định lý sau đây:
Định lí 1.6.1. Nếu xác suất P(A) = p để biến cố A xuất hiện trong mỗi
phép thử của dãy n phép thử Bernoulli thỏa mãn 0 < p < 1 thì với n đủ
lớn xác suất
Pn (k) = Cnk pk (1 − p)n−k xấp xỉ bằng √

1
ϕ(x).

npq

−x2
1
k − np
trong đó ϕ(x) = √ e 2 , x = √
.
npq
2π
Mãi đến năm 1783 Laplace P.S mới mở rộng kết quả của Moivre và
mang tên định lý giới hạn tích phân của Moivre-Laplace.
Định lí 1.6.2. (Định lý Moivre-Laplace). Gọi k là số lần xuất hiện biến
cố A trong dãy n phép thử Bernoulli, p là xác suất để biến cố A xuất hiện
trong mỗi phép thử và 0 < p < 1, k1 , k2 (k1 < k2 ) là hai số nguyên đã cho.
16


k − np
< x = F (x) và với n đủ lớn ta có công thức xấp
√
npq

Khi đó lim P
n→∞

xỉ:
P[k1 ≤ k < k2 ] ≈ F
trong đó F (x) =

k2 − np

√
npq

−F

k1 − np
,
√
npq

1 x −t2 /2
e
dt.
2π −∞

Định lý giới hạn trung tâm cổ điển được tiếp tục mở rông bởi Liapunốp
A.M năm 1901, tiếp theo là Linderberg năm 1922. Nội dung của định lý
của Linderberg được phát biểu như sau:
Định lí 1.6.3. Nếu dãy biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ..., Xn , ... độc lập có kỳ
vọng EXi và phương sai DXi , i = 1, n và thỏa mãn điều kiện Linderberg
thì
1
lim
n→∞ Bn

n

E(Xk − EXk )2 I[|Xk −EXk |>τ Bn ] = 0,
k=1

n

trong đó Bn2 =

DXk , τ là hằng số dương; IA (x) =
k=1




1

:



0

:

x∈A
thì
x∈
/A

tồn tại giới hạn
1
lim P
n→∞
Bn

n

k=1

x

1
(Xk − EXk ) < x = F (x) =
2π

e−u
−∞

đều với mọi x ∈ R.

17

2

/2

du


Chương 2
Định lý giới hạn trung tâm có điều
kiện và ứng dụng
2.1

Định lý giới hạn trung tâm có điều kiện

Năm 1963 Renyi giới thiệu các khái niệm về hội tụ ổn định của các biến
ngẫu nhiên. Khái niệm này chính xác hơn khái niệm hội tụ theo phân phối
và có thể hữu ích trong một số trường hợp, đặc biệt là đối với các biến
ngẫu nhiên chuẩn. Aldous và Eagleson (1978) đã làm rõ sự tương đương
giữa hội tụ ổn định và hội tụ yếu- L1 của một số hàm của các biến, và họ
đưa ra một số công cụ mạnh mẽ để xây dựng sự ổn định của định lý giới
hạn. Hơn nữa, một kết quả khác của McLeish (1974), họ đưa ra các điều
kiện đủ cho một dãy martingale hội tụ ổn định đến một phân phối trộn
của các phân phối chuẩn. Kết quả của họ và nhiều kết quả khác đã được
Hall và Heyde sử dụng và phát triển [(1980), Chương 3] để cung cấp một
đóng góp nhỏ và khá hoàn chỉnh cho định lý giới hạn trung tâm.
Một số các kết quả đã được mở rộng thành một dãy tổng quát bằng

18


cách cung cấp các điều kiện đủ mạnh để đảm bảo các tổng riêng tiệm cận
giống như một martingale. Trong bối cảnh này, McLeish (1975b, 1977) sử
dụng các khái niệm về mixingale, trong khi Peligrad (1981) lại theo cách
tiếp cận của Gordin. Điểm chung của những công trình nghiên cứu này
là ứng dụng của định lý 19.4 trong Billinglsey (1968). Họ có được hội tụ
trộn của quá trình tổng riêng tới một chuyển động Brown, mà hội tụ này
trùng với hội tụ ổn định với điều kiện phương sai có điều kiện của tổng
riêng theo σ - đại số là tiệm cận hằng.
Luận văn tập trung vào những vấn đề về giới hạn trung tâm cho dãy
dừng ngặt hệ số hóa bởi Z. Định lý 2.1.1 đề xuất một tiêu chuẩn đơn giản,
tiêu chuẩn này bao hàm hội tụ ổn định của các tổng riêng tới một phân
phối trộn của các phân phối chuẩn. Chính xác hơn, tiêu chuẩn này là cần

thiết và đủ để có được một kết quả mạnh hơn hội tụ ổn định.
Trước khi nêu định lý 2.1.1, chúng ta cần một số ký hiệu sơ bộ.
Ký hiệu 1. Cho (Ω, A, P) là một không gian xác suất, và T : Ω → Ω là
song ánh bảo toàn xác suất P. Một thành phần A được gọi là bất biến nếu
T (A) = A. Ký hiệu σ - đại số
là ergodic nếu mỗi phần tử của

là tập hợp tất cả các bất biến. Xác suất P
có độ đo 0 hoặc 1. Cuối cùng, cho H là

không gian của các hàm liên tục thực bị chặn ϕ: x → |(1 + x2 )−1 ϕ(x)|.

2.1.1.

Điều kiện cần và đủ cho một dãy dừng tổng quát

Định lí 2.1.1. Cho M0 là một σ - đại số của A thỏa mãn M0 ⊆ T −1 (M0 )
và lọc không giảm (Mi )i∈Z cho bởi Mi = T−1 (M0 ). Cho X0 là một biến
ngẫu nhiên M0 -đo được, bình phương khả tích và quy tâm. Định nghĩa dãy

19


(Xi )i∈Z bởi Xi = X0 ◦ T, và Sn = X1 + ... + Xn . Khi đó các khẳng định
sau đây là tương đương:
s1. Tồn tại một độ đo không âm M0 của biến ngẫu nhiên η sao cho,
đối với mọi ϕ thuộc H và bất kỳ số nguyên dương k, ta có:
lim

n→∞

E(ϕ(n−1/2 Sn ) −

√
ϕ(x η)g(x)dx|Mk )

1=

0

trong đó g có phân phối chuẩn.
s2.(a) Dãy (n−1 Sn2 )n>0 là khả tích đều;
(b) Dãy

E(n−1/2 Sn |M0 )

1

tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng;

(c) Tồn tại một độ đo không âm M0 của biến ngẫu nhiên η sao cho
E(n−1 Sn2 − η|M0 )

1

tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng.

Hơn nữa các biến ngẫu nhiên η thỏa mãn η = η ◦ T hầu chắc chắn.
Một dãy dừng của các biến ngẫu nhiên được gọi là thỏa mãn định lý
giới hạn trung tâm có điều kiện (viết tắt CCLT) nếu nó thỏa mãn s1.

Bây giờ chúng tôi đưa ra điều kiện để CCLT đúng. Lưu ý đầu tiên
là tiêu chuẩn s2 thỏa mãn dãy dừng của các martingale: thực sự, trong
trường hợp đó, s2(a) suy ra từ bất đẳng thức Doob cực đại, s2(b) là đơn
giản và s2(c) là một hệ quả của định lý L1 -ergodic . Bây giờ, khi nhận
thấy đầu tiên của Gordin (1969), nó có thể xấp xỉ tổng riêng của một quá
trình dừng bởi một martingale liên quan một cách tự nhiên với quá trình
dừng. Một xấp xỉ như vậy cung cấp một phương pháp để có thể có được
điều kiện đủ cho CCLT, cụ thể được thể hiện bởi mệnh đề 2.1.2:
Mệnh đề 2.1.2. Cho (Mi )i∈Z và (Xi )i∈Z như trong định lý 2.1.1. Cho Hi
là không gian Hilbert của các hàm Mi - đo được, quy tâm và bình phương
20


khả tích. Đối với mọi số nguyên j nhỏ hơi i, ký hiệu Hi

Hj là trực giao

của Hj vào Hi . Gọi Q là tập hợp của tất cả các hàm từ Hi

Hj , trong

đó −∞ < j ≤ i < ∞. Nếu:
(2.1)

1
inf lim sup √
f ∈Q n→∞
n

n

X0 ◦T i −f ◦T i

2=

0,

i=1

thì s2 đúng.
Chứng minh. Theo định lý 1 trong Volny (1993), (2.1) tương đương với
tồn tại biến ngẫu nhiên m thuộc H0 H−1 sao cho
n
1
(2.2)
lim √
X0 ◦ T i − m ◦ T i 2 = 0.
n→∞
n i=1
Đặt Wn = m ◦ T + ... + m ◦ T n . Do (m ◦ T i )i∈Z là một dãy dừng của
các martingale đối với lọc (Mi )i∈Z nên nó thỏa mãn s2. Chính xác hơn,
n−1 E(Wn2 |M0 ) hội tụ đến η = E(m2 | ) trong L1 . Bây giờ, sử dụng (2.2)
để chứng minh dãy (Xi )i∈Z cũng thỏa mãn s2.
• Chứng minh s2(b).
Từ (2.2) suy ra n−1/2 E(Sn |M0 ) tiến đến 0 khi n tiến đến vô cùng.
• Chứng minh s2(c).
Để chứng minh n−1 E(Sn |M0 ) hội tụ đến η trong L1 ,
1
1
(2.3)

E(Sn2 − Wn2 |M0 ) 1 ≤
Sn2 − Wn2 1
n
n
Sn + Wn 2 Sn − Wn 2
√
√
.
≤
n
n
Từ (2.2) suy ra vế phải tiến đến 0 khi n tiến đến vô cùng. Do đó (Xi )i∈Z
thỏa mãn s2(c) với η = E(m2 | ).
• Chứng minh s2(a).
Sử dụng n−1 Wn2 là khả tích đều và hàm x → (1 ∧ |x|) là 1-Lipschitz, ta
có với mọi số thực dương M
|Sn |
W2
(2.4)
lim | n 1 ∧ √
n→∞
n
M n
21

− 1∧

|Wn |
√
|

M n

= 0.


Do |x2 (1 ∧ |y|) − z 2 (1 ∧ |t|) ≤ |x2 − z 2 | + z 2 |(1 ∧ |y|) − (1 ∧ |t|) nên từ
(2.3) và (2.4) suy ra
Sn2
|
n

lim

n→∞

|Sn |
1∧ √
M n

Wn2
−
n

1∧

|Wn |
√
M n

1=

0.

Lại có n−1 Wn2 khả tích đều nên
Sn2
lim lim sup E
M →∞ n→∞
n

1∧

|Sn |
√
M n

= 0.

điều này có nghĩa là n−1 Sn2 khả tích đều.
Tiếp theo từ mệnh đề 2.1.2 ta thấy rằng bất kỳ tiêu chuẩn nào bắt
nguồn từ (2.1) đều dẫn đến CCLT. Ví dụ, Điều kiện (1) và (2) của Định
lý 1 trong Heyde (1974) trình bày (2.1), và Điều kiện (3.15) trong Durr và
Goldstein (1986). Từ Định lý 2 trong Heyde (1974), suy ra (2.1) là thỏa
mãn khi
n

P0 (Xi ) hội tụ đến g trong L2 và lim n−1/2

(2.5)

n→∞

i=0

trong đó P0 là toán tử chiếu lên H0

Sn

2=

g

2

H−1 . Volny [(1993), Định lý 5 và

6] đưa ra điều kiện đủ dựa trên dãy (P0 (Xi ))i≥0 để (2.5) đúng. Từ những
điều kiện này, chúng ta dễ dàng suy ra (2.5) thỏa mãn khi tồn tại dãy các
số dương (Lk )k>0 sao cho
i

(2.6)

(

Lk )−1 < ∞ và

i>0 k=1

Lk

E(Xk |M0 )

2
2<

∞

k>0

Theo định nghĩa của McLeish (1975a), (2.6) là một dạng mixingale điều
kiện. Lưu ý rằng nó là gần tối ưu, trừ khi lựa chọn là không đủ mạnh để
suy ra sự hội tụ yếu của n−1/2 Sn .
Tiếp theo, chúng ta chuyển sang phiên bản hàm của định lý 2.1.1. Với

22


điều kiện

s2∗




 (b) và (c) của s2 đúng, và (a) được thay bởi
1


(a∗ ) : ( max |Si |)2 khả tích đều
n 1≤i≤n

chúng ta có được phiên bản hàm của CCLT được trình bày trong phần sau.
Lưu ý rằng nếu η là hằng số thì phiên bản hàm của định lý giới hạn trung
tâm được suy ra từ s2∗ bằng cách áp dụng định lý 19.4 trong Billingsley
(1968). Cũng lưu ý rằng nếu tốc độ hội tụ đến không trong s2(c) là n−η
với θ là một số dương và biến hữu hạn (2 + δ) -moments, theo Định lý 2.1
trong Serfling (1968) s2(a∗ ) là tự động thỏa mãn. Giả sử rằng cùng một
tỷ lệ đúng đối với s2(b), Eberlein (1986a) đã thu được nguyên lý bất biến
mạnh với thứ tự của xấp xỉ O(t1/2 − κ) cho một số dương κ.
Như vậy, tồn tại một lớp các dãy dừng thỏa mãn s2∗ được trình bày
bởi mệnh đề 2.1.3 và 2.1.4.
Mệnh đề 2.1.3. Cho (Mi )i∈Z và (Xi )i∈Z như trong định lý 2.1.1. Khi đó
điều kiện (2.6) suy ra s2∗ .
Chìa khóa của mệnh đề 2.1.3 là thiết lập một bất đẳng thức cực đại mà
cùng với (2.6) suy ra s2(a∗ ) . Điều này có thể được thực hiện bằng cách
làm theo phương pháp tiếp cận của McLeish cho mixingales bất tĩnh [cf.
McLeish (1975b), Bổ đề (6.3)]. Trong trường hợp cụ thể của các dãy dừng
và thích nghi, mệnh đề 2.1.3 cải thiện kết quả của Mcleish trong ba cách:
Thứ nhất, điều kiện (2.6) thỏa mãn nếu một trong hai Điều kiện (2.5)
trong McLeish (1977) đúng hoặc (Xn , Mn ) là một mixingale kích thước
1/2 [cf. McLeish (1975b), Định nghĩa (2.1) và (2.4)]. Thứ hai, điều kiện
23