Luận văn Về số giá trị riêng âm của toán tử Schrodinger hai chiều có từ trường

LỜI CẢM ƠN

Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa
Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và các thầy cô ở
bộ môn Giải tích nói riêng đã dạy bảo và dìu dắt tác giả trong suốt thời
gian qua. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc
tới TS. Dương Anh Tuấn, thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ
tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Cảm ơn bạn bè, gia đình, đồng
nghiệp và tất cả mọi người đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tác giả
có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn
chế nên bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả
rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để luận văn này
được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Học viên

Nguyễn Kim Hưng
i


Mục lục

PHẦN MỞ ĐẦU
1.1

1.2

1.3

1

Một số toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Toán tử bị chặn và toán tử không bị chặn. . . . . . .

4

1.1.2

Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp. . . . . . . . .

5

1.1.3

Toán tử dương, toán tử unita. . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Toán tử compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.5

Toán tử khả đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Phổ của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Phổ điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Phổ cốt yếu, phổ rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . 10

Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1

Không gian C0∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2

Phép chiếu trực giao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3

Vô cùng bé của một hàm. . . . . . . . . . . . . . . . 12

ii


MỤC LỤC

iii

1.3.4

Không gian Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.5

Nửa nhóm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1

Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2

Chứng minh Định lý 2.3

2.3

Bất đẳng thức Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4

Chứng minh Định lý 2.4 và Định lý 2.5 . . . . . . . . . . . 23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.1

Chứng minh Định lý 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2

Chứng minh Định lý 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . 29


PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Quỹ đạo chuyển động của một hạt lượng tử tích điện trong R2 tương
tác với một từ trường B = curl A được cho bởi công thức toán tử vi phân

HB = (i∇ + A)2 , trong L2 (R2 ).

(0.1)

Bất đẳng thức nổi tiếng Cwikel-Lieb-Rozenblum [5, 12, 14] nói rằng với số
chiều d ≥ 3, số giá trị riêng âm của H0 − V được ước lượng bởi

V+ (x)d/2 dx,

N (H0 − V, 0) = N (−∆ − V, 0) ≤ Cd

(0.2)

Rd

trong đó, V+ = max(V, 0) và Cd là một hằng số độc lập đối với V . Hơn
nữa, kết quả trong [2] chỉ ra rằng bất đẳng thức (0.2) vẫn đúng với giả
thiết trên V tương đối tổng quát và −∆ được thay bởi HB .
Tuy nhiên, trong trường hợp hai chiều, người ta đã chỉ ra rằng bất đẳng
thức (0.2) không còn đúng nữa. Thật vậy, toán tử −∆ − V trong trường
hợp hai chiều luôn có các giá trị riêng ngắt yếu, cụ thể nếu

R2

V dx ≥ 0,

V ≡ 0 thì toán tử −∆ − λV luôn có ít nhất một giá trị riêng âm với mọi
λ > 0.
1


Đối với toán tử Schr¨odinger hai có từ trường, người ta đã chỉ ra rằng,
nói chung, nó không có các giá trị riêng yếu, (xem [21]). Do đó, người ta
hy vọng rằng, đối với toán tử Schr¨odinger có từ trường, chúng ta có thể
thiết lập được một bất đẳng thức kiểu (0.2) cho số các giá trị riêng âm.
Vì vậy, trong luận văn này, chúng tôi chọn đề tài " Về số giá trị riêng âm
của toán tử Schr¨odinger hai chiều có từ trường" dựa trên kết quả nghiên
cứu của H.Kovarik (xem [16]).

2. Mục đích nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu cận trên của N (HB − V, 0).
3. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp được sử dụng ở đây dựa trên phương pháp được phát triển
bởi Lieb kết hợp với một số bất đẳng thức kiểu Hardy.
4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm các
chương sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trình bày một số kết quả cơ bản về toán tử compact, toán tử dương,
toán tử unita.
Chương 2: Về số giá trị riêng âm của toán tử Schr¨
odinger.

2


MỘT SỐ KÍ HIỆU
R+

Tập tất cả các số thực không âm.

Rn

Không gian Euclide n−chiều với tích vô hướng.
T

x, y = x y và chuẩn vectơ x =
∂f
∂f ∂f
∂x1 , ∂x2 , . . . , ∂xn

∇f

=

Bs

={x ∈ R2 : x < s}, với s > 0.

λ(A)

Tập tất cả các giá trị riêng của A.

S1

={x ∈ R2 / x = 1}.

C0∞

Tập các hàm khả vi vô hạn.

Lp (R2 )

={u : R2 → R :

L∞ (Ω)

={u : Ω → R/∃M > 0, |u(x)|

Lploc (U )

={f : U → R : ∀K

R2

n
2
i=1 xi

1
2

.

.

|u(x)|p dx < +∞}, với p ≥ 1.

U,
T
0

Lp (0, T ; X) ={u : (0, T ) → X/

3

K

u(t)

M hầu khắp nơi trong Ω}.

|f |p dV < +∞}, với p ≥ 1.
p
X dt

< ∞}, với p ≥ 1.


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và các kết quả về
lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính.

1.1.

Một số toán tử trong không gian Hilbert

1.1.1.

Toán tử bị chặn và toán tử không bị chặn.

Toán tử tuyến tính (nói chung là không bị chặn) trên H là ánh xạ tuyến
tính T : D(T ) ⊂ H −→ H, ở đó D(T ) trù mật trong H.
Ví dụ 1.1.
1. Toán tử tích phân A : L2 (R) −→ L2 (R) cho bởi

Af (x) =

K(x, y)f (y)dy,

K ∈ L2 (R2 ),

R

D(A) = L2 (R2 ),
là toán tử bị chặn với chuẩn
2

|K(x, y)| dxdy

A =
R

1
2

< ∞.

R

2. Xét toán tử T : L2 [0, 1] −→ L2 [0, 1] cho bởi

f ∈ L2 [0, 1],

T f (x) = f (x),

D(T ) = {f ∈ L2 [0, 1] : f ∈ L2 [0, 1]},
4

T là toán tử không bị chặn.
Thật vậy
Lấy fn (x) = xn bị chặn trong L2 [0, 1] ta có
1
2n

fn (x) =

x dx

1
2

=√

0
1
n−1 2

T fn (x) =

(nx

) dx

0

1

2

1
,
2n + 1

=n

1
.
2n − 1

Do đó,

T ≥

1.1.2.

T fn
=n
fn

2n + 1
−→ ∞ khi n → ∞.
2n − 1

Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp.

Định nghĩa 1.1. Giả sử H là không gian Hilbert tách được và T : D(T ) ⊂

H −→ H là toán tử không bị chặn với miền xác định trù mật D(T ). Khi
đó tồn tại toán tử không bị chặn T ∗ : D(T ∗ ) ⊂ H −→ H cho bởi

D(T ∗ ) = {v ∈ H : tồn tại C(v) ≥ 0 sao cho | T u, v | ≤ C(v) u , u ∈
D(T )}.
T u, v = u, T ∗ v ,

với mọi u ∈ D(T ),

với mọi v ∈ D(T ∗ ).

Toán tử T ∗ gọi là toán tử liên hợp của T .
Định nghĩa 1.2. Giả sử A, B : H −→ H là các toán tử không bị chặn,
ta nói A ⊂ B nếu D(A) ⊂ D(B) và Bu = Au với mọi u ∈ D(A).
Ta nói A = B nếu D(A) = D(B) và Au = Bu với mọi u ∈ D(A).
Định nghĩa 1.3. Giả sử T : H −→ H là toán tử không bị chặn có miền
xác định trù mật, ta nói T là toán tử đối xứng nếu T ⊂ T ∗ và T là toán
tử tự liên hợp nếu T = T ∗ .
Như vậy, nếu T là toán tử tự liên hợp thì T u, v = u, T v ,
5

u, v ∈ D(T ).


Định nghĩa 1.4. Toán tử đối xứng T gọi là tự liên hợp cốt yếu nếu T là
toán tử tự liên hợp.
Ví dụ 1.2. Cho J là khoảng và J ⊂ R. Giả sử V (x) là hàm đo được giá
trị thực hữu hạn và A là toán tử nhân xác định bởi

Af (x) = V (x)f (x),

D(A) = {f ∈ L2 (J) : V f ∈ L2 (J)}.
Khi đó A là toán tử tự liên hợp.

1.1.3.

Toán tử dương, toán tử unita.

Định nghĩa 1.5. Giả sử H là không gian Hilbert và A ∈ L(H). Ta nói A
là toán tử dương và viết A ≥ 0 nếu (Ax, x) ≥ 0,

với mọi x ∈ H.

Ví dụ 1.3. Phép chiếu trực giao P lên không gian đóng M của không
gian Hilbert H là một toán tử dương.
Chứng minh. Ta có P là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác, với mỗi

x ∈ H thì x = x1 + x2 . Với x1 ∈ M, x2 ∈ M ⊥ , khi đó
P x, x = x1 , x1 + x2 = x1

2

≥ 0. Suy ra P là toán tử dương.

Định nghĩa 1.6. Giả sử H là không gian Hilbert, toán tử U ∈ L(H) là
toán tử unita nếu nó giữ nguyên tích vô hướng

U x, U y = x, y ,

∀x, y ∈ H.

Định lí 1.1. Giả sử H là không gian Hilbert và U ∈ L(H) khi đó các
khẳng định sau là tương đương
6


(i) U là đẳng cấu unita.
(ii) U ∗ U = U U ∗ = 1E .
(iii) U là song ánh tuyến tính liên tục và U ∗ = U −1 .
Nhận xét 1.1. Nếu U là toán tử unita thì U = 1.
Ví dụ 1.4.

(i) Toán tử đồng nhất trên không gian Hilbert H là toán tử

unita.
(ii) Toán tử A : l2 (N) −→ l2 (N) xác định bởi

A(x) = (λ1 x1 , λ2 x2 , . . . , λn xn , . . .), x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .), λk ∈
C, k = 1, 2, . . . là toán tử unita khi và chỉ khi |λk | = 1 với mọi k .
(iii) Toán tử U : f (t) −→ eit f (t) trên L2 [0, 2π] là toán tử unita.

1.1.4.

Toán tử compact.

Định nghĩa 1.7. Giả sử E và F là các không gian Hilbert, toán tử tuyến
tính T : E −→ F được gọi là compact nếu T ({x ∈ E : x ≤ 1}) compact
tương đối trong F , nghĩa là bao đóng của nó compact trong F .
Ta ký hiệu S∞ là lớp các toán tử compact.
Định lí 1.2. Nếu fn ∈ L(E, F ) là dãy các toán tử compact giữa các không
gian Hilbert hội tụ tới f trong L(E, F ) thì f cũng là toán tử compact.

Ví dụ 1.5.

(i) Mọi toán tử tuyến tính hữu hạn chiều đều là toán tử

compact.
Chứng minh. Giả sử f : E −→ F là toán tử tuyến tính hữu hạn
chiều, khi đó Imf là không gian hữu hạn chiều của F .
7


Đặt n = dim(imf ).
Ta có: Imf ∼
= Kn (do mọi không gian định chuẩn đều đẳng cấu với
không gian Euclid hữu hạn chiều).
Với x ∈ BE := {x ∈ E : x ≤ 1} ta có

f (x) ≤ f . x = f .
⇒ f (BE ) ⊂ BF (0, f ) ⇒ f (BE ) ⊂ Imf là tập bị chặn.
Do đó f (BE ) compact tương đối trong F (Định lý Reisz).
(ii) Giả sử H là không gian Hilbert {en }n≥1 là hệ trực chuẩn trong H, λi
là dãy số bị chặn. Toán tử A ∈ L(H) cho bởi
∞

λn x, en en ,

Ax =

x ∈ H,

n=1

là toán tử compact khi và chỉ khi λn −→ 0 khi n → ∞.

1.1.5.

Toán tử khả đóng.

Định nghĩa 1.8. Giả sử T là toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert

H, D(T ) ⊂ H là miền xác định của T .Khi đó T là khả đóng nếu tùy ý
x ∈ H là điểm giới hạn của D, với mọi dãy xấp xỉ {xn }∞
n=1 trong D của
x ∈ H sao cho T xn → T x.
Định nghĩa 1.9. Nếu T là khả đóng, tập đóng của T là toán tử T mà
(i) D(T ) := {x ∈ H\ tồn tại y ∈ H sao cho, bất kỳ dãy {xn }∞
n=1 trong

D(T ) với xn → x, T xn → y}.
(ii) T x := y với bất kỳ x ∈ D(T ).

8


Định nghĩa 1.10. T là đóng nếu T = T . Hơn nữa T là đóng khi điều kiện
sau là đúng: Nếu x ∈ H là điểm giới hạn của D(T ) sao cho D(T )

xn → x

và T xn → y cho mọi y ∈ H. Khi đó, x ∈ D(T ) và T x = y .

1.2.

Phổ của toán tử

Định nghĩa 1.11. Giả sử H là không gian Hilbert, T là toán tử tuyến
tính trên H và I là toán tử đồng nhất trên H. Ta nói λ ∈ C là giá trị
chính quy của T nếu (T − λI) là khả nghịch. Trong trường hợp ngược lại,

(T − λI) không khả nghịch ta gọi λ là giá trị phổ của T .
Kí hiệu ρ(T ) là tập các giá trị chính quy của T còn σ(T )là tập các giá trị
phổ của T , ta có: σ(T ) = C\ρ(T ).
Định nghĩa 1.12. Giả sử H là không gian Hilbert và T là toán tử tuyến
tính trên H. Số λ ∈ C được gọi là giá trị riêng của T nếu tồn tại x ∈

H, x = 0 để Ax = λx. Vectơ x như vậy gọi là vectơ riêng của T ứng với
giá trị riêng λ. Không gian Nλ = Ker(T − λ) được gọi là không gian riêng
ứng với giá trị riêng λ.

1.2.1.

Phổ điểm.

Định nghĩa 1.13. Tập các giá trị λ ∈ C sao cho (T − λI) không là đơn
ánh được gọi là phổ điểm của T .
Như vậy phổ điểm của T bao gồm các giá trị riêng của T .
Ví dụ 1.6. Toán tử dịch chuyển phải và trái trên l2 cho bởi

L(x) = (x2 , x3 , . . .),

x = (x1 , x2 , . . .)

9

R(x) = (0, x1 , x2 , . . .).


Nhận xét 1.2. L = R = 1 và σ(L) = σ(R).
phổ điểm của L và R:

λ ∈ C là giá trị riêng của L ⇔ tồn tại x ∈ l2 sao cho L(x) = λx
⇔ (x2 , x3 , . . .) = λ(x1 , x2 , . . .)
⇔ xi+1 = λxi ,

∀i ∈ N

⇔ (x1 , x2 , . . .) = x1 (1, λ, λ2 , λ3 , . . .).
Mặt khác, (1, λ, λ2 , . . .) ∈ l2 ⇔ |λ| < 1. Vậy σ(L) = {λ ∈ C\|λ| < 1}.

λ ∈ C là giá trị riêng của L ⇔ tồn tại x ∈ l2 sao cho Rx = λx
⇔ (0, x1 , x2 , . . .) = λ(x1 , x2 , . . .)
⇔ (x1 , x2 , . . .) = (0, 0, . . .) ⇒ không có giá trị riêng.
⇒ σp (R) = ø. phổ của L và R :
Ta có

σ(R) ⊂ {x ∈ C : |x| ≤ R } = {x ∈ C : |x| ≤ 1}
= {x ∈ C : |x| ≤ 1}.
Vì mọi giá trị riêng đều là giá trị phổ nên

{z ∈ C : |z| < 1} ⊂ σ(L) = σ(R).
Hơn nữa, σ(R) là tập đóng nên {z ∈ C : |x| ≤ 1} ⊂ σ(R).
Vậy σ(R) = σ(L) = {z ∈ C : |x| ≤ 1}.

1.2.2.

Phổ cốt yếu, phổ rời rạc.

Định nghĩa 1.14. Giả sử H là không gian Hilbert và T là toán tử tuyến
tính, tự liên hợp. Phổ rời rạc σd (T ) của T là tập các giá trị λ ∈ σ(T ) sao
10


cho λ là giá trị riêng có bội hữu hạn.

σd (T ) = {λ ∈ σp (T )|0 < dimKer(T − λI) < +∞}.
Phổ cốt yếu σess (T ) của T là tập

σess (T ) := σ(T )\σd (T ).
Ví dụ 1.7. Toán tử A : L2 (R) −→ L2 (R) cho bởi

Af (x) = −

d2 f
.
dx2

Ta có σ(A) = σess (A) = [0, ∞).

1.3.

Một số định nghĩa

1.3.1.

Không gian C0∞ .

Định nghĩa 1.15. Giá của một hàm.
Cho f là hàm liên tục trên Rn . Giá của hàm f , ký hiệu suppf là bao đóng
của tập {x : f (x) = 0}.
Giả sử Ω là một tập mở trong Rn . Ký hiệu

C0 (Ω): Tập các hàm liên tục có giá compact trên Ω.
C ∞ (Ω): Tập các hàm khả vi vô hạn lần trên Ω.
C0∞ = C0 (Ω) ∩ C ∞ (Ω): Tập các hàm khả vi vô hạn có giá compact trên
Ω.

1.3.2.

Phép chiếu trực giao.

Định nghĩa 1.16. Giả sử H là không gian Hilbert toán tử tuyến tính liên
tục p : H −→ H gọi là toán tử chiếu trực giao nếu thỏa mãn
11


(i) p2 = p.
(ii) px ⊥ y − py,

1.3.3.

∀x, y ∈ H.

Vô cùng bé của một hàm.

Định nghĩa 1.17. Ta nói f (x) = O(g(x)) khi x → a nếu tồn tại một
hằng số M sao cho |f (x)| ≤ M |g(x)| trong lân cận của a.
f (x)
x→a g(x)

Ta nói f (x) = o(g(x)) khi x → a nếu lim

= 0.

Ví dụ 1.8. |x|4 = O(x3 ) = o(x2 ) khi x → 0.
Nhận xét 1.3. O(f (x))O(g(x)) = O(f (x)g(x)).
Định nghĩa 1.18. Cho Ω ⊂ Rn là tập mở và 0 ≤ α ≤ 1. Hàm số

u : Ω −→ Rn gọi là liên tục H¨older bậc α nếu tồn tại hằng số C > 0 sao
cho

|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|α ,

x, y ∈ Ω.

Khi α = 1 hàm số u gọi là liên tục Lipschitz.

1.3.4.

Không gian Sobolev.

Cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và cho k là một số nguyên không âm. Bây giờ ta định
nghĩa các không gian hàm mà thành phần của nó có đạo hàm yếu nằm

trong không gian Lp .
Định nghĩa 1.19. Không gian Sobolev Wpk (Ω) là tập gồm tất cả những
hàm khả tổng địa phương u : U −→ R sao cho với mỗi đa chỉ số α, |α| ≤ k ,
đạo hàm yếu Dα u tồn tại và thuộc Lp (Ω).
12


Nếu p = 2 ta có: H k (Ω) = W2k (Ω),

(k = 0, 1, . . .)

là không gian Hilbert. Chú ý rằng H 0 (Ω) = L2 (Ω).
Định nghĩa 1.20. Nếu u ∈ Wpk (Ω), ta định nghĩa chuẩn của nó là

1/p



α p

nếu (1 ≤ p < ∞)

Ω |D u| dx
|α|≤k
(1.3)
u Wpk (Ω) :=





ess supΩ |Dα u|
nếu p = ∞.

|α|≤k

1.3.5.

Nửa nhóm.

Định nghĩa 1.21. Giả sử X - không gian Banach. Họ {S(t)}t≥0 ⊂ L(X)
gọi là một nửa nhóm trên X nếu

 S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ≥ 0
 S(0) = I.

{S(t)}t≥0 gọi là C0 - nửa nhóm nếu có thêm tính chất
lim S(t)x = x,

t→0+

∀x ∈ X.

Ví dụ 1.9. X = Cb (0, +∞) với S(t)f (s) = f (t + s) là nửa nhóm thật
vậy

S(0)f (s) = f (0 + s) = f (s) =⇒ S(0)f = f =⇒ S(0) = I.
Ta có

S(t)S(r)f (s) = S(t)[S(r)f ](s)
= S(r)f (t + s)

= f (t + s + r).
=⇒ S(t + r)f = S(t)S(r)f =⇒ S(t + r) = S(t)S(r).
13


Định nghĩa 1.22. Ta gọi toán tử sinh của một nửa nhóm {S(t)}t≥0 là
một toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X −→ X định nghĩa bởi

D(A) = {x ∈ X, tồn tại lim+
h→0

Ax = lim+
h→0

S(h)x − x
,
h

S(h)x − x
},
h
x ∈ D(A).

Ví dụ 1.10. X = R, S(t) = eat , S(t)x = eat .x.

Ax = lim (e
h→0

ah

−1)x
h

= ax.

⇒ A = a.
Định nghĩa 1.23. Cho (X, d) là một không gian metric. Ánh xạ f :

X −→ X gọi là ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho
d f (x), f (y) ≤ qd(x, y),

∀x, y ∈ X.

Định nghĩa 1.24. Một biến đổi tích phân là biến đổi T có dạng
t2

K(t, u)f (t)dt.

(T f )(u) =
t1

Ở đó, hàm K gọi là nhân. Một số nhân có nghịch đảo tương ứng K −1 (u, t)
có nghĩa là tồn tại phép biến đổi ngược
u2

K −1 (u, t)(T f )(u)du.

f (t) =
u1

14


Chương 2

Về số giá trị riêng âm của
toán tử Schr¨
odinger
Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả chính về ước lượng số
giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger hai chiều có từ trường.

2.1.

Kết quả chính

Ta xét

HB = (i∇ + A)2 , trong L2 (R2 ).

(2.1)

Chúng tôi nghiên cứu cận trên của N (HB − V, 0). Không mất tính tổng
quát, giả sử V là không âm. Hơn nữa, chúng tôi luôn giả sử A ∈ L2loc (R2 )
và V ∈ L1loc (R2 ). Với kí hiệu HB − V , ta hiểu là mở rộng Friedrichs của
toán tử sinh bởi dạng toàn phương

R2

|(i∇ + A)u|2 − V |u|2 dx, u ∈ C0∞ (R2 ).

(2.2)

Định lí 2.3. Giả sử A ∈ L2loc (R2 ) sinh ra từ trường B = 0 và 0 ≤ V ∈

L1loc (R2 ) sao cho vế phải của (2.3) hữu hạn với a > 0 nào đó. Khi đó dạng
toàn phương (2.2) là khả đóng và tồn tại hằng số C(B, a) không phụ thuộc
vào V sao cho

V (x)(1 + | log |x|)1+a dx+

N (HB − V, 0) ≤ C
R2

V (x) log(1 + V (x))dx
R2

15

(2.3)


Kí hiệu Bs = {x ∈ R2 ; |x| < s}, Φ(r) =

1
2π

|x|≤r

B(x)dx và Φ =

lim Φ(r). Ta xét giả thiết sau

r→+∞

Giả thiết H: B ∈ L1 (R+ , (1 + r)dr) là hàm thực thỏa B(x) = B(|x|).
Định lí 2.4. Giả sử B thỏa mãn giả thiết (H) và Φ ∈ Z. Giả sử thêm
rằng V ∈ L1loc (R2 , | log |x||dx) và V ∈ L1 (R+ , L∞ (S1 )). Khi đó dạng toàn
phương (2.2) là khả đóng và tồn tại C1 (B) không phụ thuộc V sao cho

N (HB − V, 0) ≤ C1

V log |x|

L1 (B1 )

+ V

L1 (R+ ,L∞ (S1 ))

.

(2.4)

Định lí 2.5. Giả sử B thỏa mãn giả thiết (H) và Φ ∈ Z. Giả sử thêm
rằng V ∈ L1loc (R2 , | log |x||dx) và V ∈ L1 (R+ , L∞ (S1 )). Khi đó dạng toàn
phương (2.2) là khả đóng và tồn tại C2 (B) không phụ thuộc V sao cho

N (HB − V, 0) ≤ C2

2.2.

V log |x|

L1 (R2 )

+ V

L1 (R+ ,L∞ (S1 ))

.

(2.5)

Chứng minh Định lý 2.3

Trước tiên, ta chứng minh cận trên trên N (HB − V, 0). Từ đó kéo theo
tính đóng của (2.2). Ta bắt đầu cùng một bổ đề xấp xỉ trên nhân nhiệt
lượng của toán tử Schr¨odinger với thế năng dương. Giả sử 0 ≤ ρ ≤ 1, ρ = 0
là một hàm xuyên tâm từ C 1 (R2 ) với giá trong B1 . Một họ của hàm thế
năng Uβ cho bởi

Uβ (x) = Uβ (|x|) =




β 2

nếu |x| ≤ 1



β 2 |x|−2

nếu |x| > 1

β > 0,

U0 (x) = U0 (|x|) = ρ(|x|).
16

(2.6)


Tiếp theo ta định nghĩa toán tử Schr¨odinger

Aβ (x) = −∆ + Uβ

trong L2 (R2 ).

Theo tiêu chuẩn Beurling- Deny, toán tử Aβ sinh ra nửa nhóm co e−tAβ trên

L2 (R2 ) với nhân tích phân dương hầu khắp nơi e−tAβ (x, y) =: kβ (t, x, y).
Bổ đề 2.1. Với mọi x ∈ R2 và t > 0 ta có

kβ (t, x, x) = e−tAβ (x, x) ≤ Cmin{t−1 , (1 + |x|)2β t−1−β }

β > 0, (2.7)

và

k0 (t, x, x) = e−tA0 (x, x)



t−1
≤C


min{t−1 , (1 + |log|x )2 t−1 (logt)−2 }

nếu t ≤ e
(2.8)
nếu t > e

cho mọi hằng số C .
Chứng minh. Phổ của Aβ trùng nhau, cho mọi β ≥ 0. Bởi định lý
Allegretto-Piepenbrink, xem [13], nên tồn tại một nghiệm dương uβ từ
phương trình Aβ uβ = 0.
Do thế năng Uβ là liên tục H¨older, từ tính chính quy elliptic nên ta có

uβ ∈ C 2 (R2 ). Hàm xuyên tâm hβ cho bởi
2π

hβ (|x|) =

uβ (|x|, θ)dθ,
0

thỏa mãn Aβ hβ = 0. Do đó toán tử trọng lượng

− ∆β = h−1
β Aβ hβ

trong L2 (R2 , h2β dx),
17

(2.9)


sinh ra bởi dạng toàn phương

R2

|∇u|2 h2β (x)dx,

u ∈ H 1 (R2 , h2β dx),

là unita tương đương tới Aβ và nhân nhiệt lượng của nó thỏa mãn

e−tAβ (x, y) = hβ (x)hβ (y)et∆β (x, y),

x, y ∈ R2 .

(2.10)

Ký hiệu r = |x| và ta có

(rhβ (r)) = hβ (r)rUβ (r),
suy ra hβ là tăng và r > 1 đúng

hβ (r) = a1 rβ + b1 r−β ,

β>0

(2.11)

h0 (r) = a2 + b2 |logr|,

β = 0.

(2.12)

Vì hβ là dương và tăng =⇒ a1 > 0, b2 > 0. Do đó, bất kỳ β ≥ 0 thì tồn
tại một hằng số Mβ sao cho

hβ (2r) ≤ Mβ hβ (r),

∀r ∈ R+ .

(2.13)

Ký hiệu Vβ (x, s) là thể tích của hình cầu tâm x bán kính s trong độ đo

h2β dx. Từ (2.11) và (2.12) ta dễ dàng thấy đa tạp (R2 , h2β dx) thỏa mãn
tính chất nhân đôi thể tích

Vβ (x, 2s) ≤ cVβ (x, s).
Từ (2.13) và theo [7] kéo theo đa tạp (R2 , h2β dx) thỏa mãn ước lượng Li-Yau
cho nhân nhiệt lượng của nó:

|x−y|2

et∆β (x, y)

Ce−c t
√
√ ,
Vβ (x, t) Vβ (x, t)
18

(2.14)


ở đó c và C là hằng số dương. Do (2.11) và (2.12) ta có

Vβ (x,

√

th2β (|x| +

t)

√

t).

Do đó
−tAβ

e

(x, y)

2
hβ (|x|)hβ (|y|)
−c |x−y|
t
√
√ e
C
.
thβ (|x| + t)hβ (|y| + t)

(2.15)

Từ hβ là tăng cùng với(2.10) và ước lượng

e−tAβ (x, y) ≤ et∆ (x, y) =

1 − |x−y|2
e 4t
4πt

x, y ∈ R2 ,

bởi công thức tích Trotter kéo theo bất đẳng thức (2.7) và (2.8).
Chứng minh Định lý 2.3. Đặt χ1 là hàm đặc trưng của B1 . Từ [21] ta
biết rằng bất đẳng thức kiểu Hardy

HB ≥ γχ1

(2.16)

đúng, cho một vài hằng số γ > 0, theo nghĩa của dạng toàn phương trên

C0∞ (R2 ).
Giả sử a > 0, bất đẳng thức (2.16) và nguyên lý biến phân kéo theo cho
bất kỳ ε ∈ (0, 1) ta có

N (HB − V, 0) ≤ N (εHB + (1 − ε)cχ1 − V, 0)
≤ N HB +

c1 (1 − ε)
χ1 − ε−1 V, 0 ,
ε

tiếp theo ta chọn ε sao cho

c1 (1 − ε)
χ1 ≥ U0 ,
ε
ta có

N (HB − V, 0) ≤ N (HB + U0 − ε−1 V, 0).
19

(2.17)

Với mỗi β ≥ 0 toán tử HB + Uβ sinh ra nửa nhóm co e−s(HB +Uβ ) trong

L2 (R2 ). Giả sử
Kβ (s, x, y) := e−s(HB +Uβ ) (x, y)

x, y ∈ R2 ,

là nhân tích phân của nó. Bởi bất đẳng thức nghịch từ, xem [9, 15], ta có

|Kβ (s, x, y)| ≤ kβ (s, x, y),

x, y ∈ R2 ,

β ≥ 0,

s > 0,

(2.18)

ta sử dụng bất đẳng thức Lieb [12], xem [17] hoặc [2, 6] và do đó ta thu
được cận trên
∞
0

1
t

R2

1/V (x)

−1

N (HB + U0 − ε V, 0) ≤ Cε

k0 (t, x, x)(tV (x) − 1)+ dxdt.
∞

R2

≤ Cε
Tiếp theo, ta đặt t0 (x) = e +

c
k0 (t, x, x) ≤ ,
t

k0 (t, x, x)V (x)dtdx.

1
V (x)

(2.19)

và sử dụng đánh giá ta có

c(1 + |log|x )1+a
,
0 < t < t0 (x), k0 (t, x, x) ≤
t(logt)1+a

t0 (x) ≤ t,

từ đó ta có (2.3). Hơn nữa, toán tử HB − V chỉ có hữu hạn các giá trị
riêng do đó dạng toàn phương (2.2) là bị chặn và khả đóng.

2.3.

Bất đẳng thức Hardy

Trong mục này, ta sẽ chứng minh những bất đẳng thức kiểu Hardy cho
toán tử HB . Những bất đẳng thức này sẽ được sử dụng trong chứng minh
của Định lý 2.4 và 2.5.
Bổ đề 2.2. Giả sử rằng A ∈ L2loc (R2 ) sinh ra một từ trường khác không.
Khi đó tồn tại một hằng số C(A) > 0 sao cho

|u(x)|2
|(∇ + iA)u(x)| dx ≥ C(A)
dx,
2
2
R2
R2 1 + |x| log |x|
2

20

(2.20)

∀u ∈ C0∞ (R2 ).
Chứng minh. Giả sử u ∈ C0∞ (R2 ). Bởi [21] ta có

|(∇ + iA)u(x)|2 dx ≥ c0
R2

|u(x)|2 dx,
|x|≤3

Với 0 < c0 < 1. Bởi bất đẳng thức Kato

∇|u|

2

u ∈ C0∞ (R2 ),

≤ (∇ + iA)u 2 ,

(2.21)

xem [8, 15] và bất đẳng thức
∞

∞

3
2

2

|f (r)| rdr + c0

|f (r)| rdr ≥ C

0

0

3

|f (r)|2
dr
r(logr)2

(2.22)

đúng cho mọi f ∈ C0∞ (R+ ) và hằng số C > 0. Định nghĩa hàm φ như sau:






c0
c0 (r − 2) nếu 2 < r ≤ 3
nếu 0 < r ≤ 1
φ(r) =
, φ(r) =
.





c0 (2 − r) nếu 1 < r ≤ 2
c0
nếu 3 < r
Tích phân từng phần ta thu được
∞

3

|(φf ) (r)|2 rdr + c0 (1 − c0 )
0

|f (r)|2 rdr
0

∞

3

|f (r)|2 rdr + c0

≤
0

|f (r)|2 rdr.
0

Mặt khác, từ φ(2) = 0, tích phân từng phần ta được
∞
2

(φf )(r)
(φf ) (r) −
2rlogr

∞

2

∞
2

|(φf ) (r)| rdr −

rdr =
2

2

|(φf )(r)|2
dr.
4r(logr)2

Cùng với hai đẳng thức cuối chứng minh được (2.22) và do đó chứng minh
được (2.20).

21

Bổ đề 2.3. Giả sử từ trường thỏa mãn điều kiện của Định lý 2.4. Khi đó
tồn tại một hằng số κ > 0 sao cho bất kỳ u ∈ C0∞ (R2 ) ta có
2π

∀r > 0

u(r, θ)dθ = 0,
0

2

⇒
R2

|(∇ + iA)u(x)| dx ≥ κ

R2

|u(x)|2
dx.
|x|2

(2.23)

Chứng minh. Giả sử u ∈ C0∞ (R2 ) thỏa mãn giả thiết trong (2.23). Khi đó
ta có thể phân tích u thành chuỗi Fourier

eimθ

um (r) √ ,
u(r, θ) =
2π
m=0

1
um (r) = √
u(r, .), eimθ
2π

L2 (0,2π)

.

Cho từ trường xuyên tâm ta có
∞
2

|(∇+iA)u| =
R2

(Φ(r) + m)2
|um (r)| +
|um (r)|2 rdr, (2.24)
2
r
2

m=0

0

xem (2.31). Từ Φ(r) là bị chặn, tồn tại c > 0 và M0 ∈ N sao cho

(Φ(r) + m)2 ≥ c > 0

∀r > 0,

∀m : |m| ≥ M0 .

(2.25)

Mặt khác, Φ(r) → 0 khi r → 0 và Φ ∈
/ Z, cho bất kỳ m = 0 ta tìm được

0 < rm < Rm và một hằng số cm > 0 sao cho
(Φ(r) + m)2 ≥ cm

trên (0, rm ) ∪ (Rm , ∞).

Bởi "mở rộng" có trọng Hardy trên khoảng (rm , Rm ) như trong Bổ đề 2.2
ta được
∞

∀m = 0, |m| < M0

(Φ(r) + m)2
|um (r)| +
∃cm > 0 :
|um (r)|2 rdr

2
r
0
∞
|um (r)|2
≥ cm
dr.
r
0
2

Từ (2.24), (2.25) và đồng nhất thức của Paraseval tồn tại một κ > 0 sao
cho
2

R2

|(∇ + iA)u| ≥ κ
22

R2

|u(x)|2
dx.
|x|2