LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: MỘT LỚP IĐÊAN ĐƠN THỨC COHEN MACAULAY

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
———————o0o——————–

TRẦN VĂN TRƯỞNG

MỘT LỚP IĐÊAN ĐƠN THỨC
COHEN-MACAULAY
Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số : 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Công Minh

HÀ NỘI - 2013


Mục lục

Lời cảm ơn

ii

Lời nói đầu

iii

1 Một số kiến thức mở đầu

1

1.1

Iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Vành Cohen - Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay

12

2.1

Phức Cohen - Macaulay không chu trình ở đối chiều 1 . . . 12

2.2

Tính Cohen - Macaulay của phức đơn hình không chu trình
ở đối chiều 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36

i


Lời cảm ơn
Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đã
nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ của các thầy cô, gia đình và bạn bè.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Công Minh, người
đã trực tiếp truyền thụ kiến thức và tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành
luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, Ban
giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, giúp đỡ, động viên
tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Do thời gian và trình độ còn nhiều hạn chế, luận văn chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của các thầy cô và các bạn để bản luận văn hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng .... năm .....
Tác giả
Trần Văn Trưởng
ii


Lời nói đầu
1. Lí do chọn đề tài
Iđêan đơn thức là một trong những đối tượng đang được nghiên cứu
rộng rãi trong Đại số giao hoán tổ hợp. Các phép toán cộng, giao, thương...
đối với những iđêan đơn thức có thể thực hiện tính toán bằng máy tính
với tốc độ cao và có thể tiếp cận bằng một số công cụ lí thuyết trong hình
học, tổ hợp.
Lớp vành Cohen-Macaulay là một lớp vành quan trọng nhất trong Đại
số giao hoán. Tuy nhiên, việc xác định một vành cho trước có là CohenMacaulay hay không là một vấn đề khó. Có nhiều cách kiểm tra về mặt
lí thuyết một vành là Cohen-Macaulay, trong luận văn này chúng tôi sử
dụng cách tiếp cận tổ hợp.
Mục tiêu của luận văn là trình bày một cách chi tiết bài báo "CohenMacaulayness of generically complete intersection monomial ideals" của
L. D. Nam và M. Varbaro được công bố gần đây.
2. Định hướng và phương pháp nghiên cứu
Dựa trên tài liệu tham khảo chính như trên, tác giả sẽ đọc và trình bày
chi tiết, có hệ thống nội dung đề tài trên.

iii

Đề tài nghiên cứu chủ yếu dựa vào phương pháp nghiên cứu lí luận với
các hình thức chính là :
+ Phân tích tài liệu lí luận;
+ Đọc, hiểu và chứng minh các định lí và bài tập.
+ Xây dựng các ví dụ minh họa.
3. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn
được chia làm 2 chương như sau:
Chương 1 trình bày một số khái niệm cần thiết như: Iđêan đơn thức,
phức đơn hình, vành Cohen-Macaulay và một số tính chất quan trọng của
chúng.
Chương 2 trình bày các chứng minh chi tiết bài báo trên và một số ví
dụ minh họa.

Hà Nội, tháng .... năm .....
Tác giả
Trần Văn Trưởng

iv


Chương 1
Một số kiến thức mở đầu
1.1

Iđêan đơn thức

Cho k là một trường và S = k[x1 , x2 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến
trên trường k (viết ngắn gọn là k[x]). m = (x1 , x2 , . . . , xn ) là iđêan phân
bậc cực đại của S .

Định nghĩa 1.1.1. Một đơn thức trong S là tích xa = xa11 xa22 . . . xann ,
trong đó vectơ a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Nn . Một iđêan I ⊂ [x] được gọi là
iđêan đơn thức nếu nó có một tập sinh gồm các đơn thức.
Một đơn thức xa trong S được gọi là không chứa mũ nếu a ∈ {0; 1}n .
Một iđêan được gọi là iđêan đơn thức không chứa mũ nếu nó được sinh bởi
các đơn thức không chứa mũ.
Ví dụ 1.1.2. Cho k = R, n = 3, S = R[x, y, z]. Khi đó xy, xy 3 z 5 , xyz, xz
là các đơn thức và I = (x, y 2 , xy 3 ) là một iđêan đơn thức.
Bổ đề 1.1.3. (Dickson) Mọi iđêan đơn thức đều có một tập sinh đơn thức
tối tiểu duy nhất và tập sinh đó là hữu hạn.
Chứng

minh.

Giả

sử

I

là

1

một

iđêan

đơn

thức

trong


Chương 1. Một số kiến thức mở đầu

S = K[x1 , x2 , . . . , xn ]. Khi đó tồn tại tập A ⊂ Nn sao cho (xa | a ∈ A) là
một tập sinh tối tiểu của I . Ta có

I = (xa | a ∈ A).
Trước hết ta chỉ ra rằng tập sinh đơn thức trên hữu hạn. Thật vậy, giả sử

A chứa vô hạn phần tử.
Lấy a1 ∈ A. Do (xa | a ∈ A) là một tập sinh tối tiểu của I nên tồn tại

a2 ∈ A sao cho (xa1 ) = (xa1 , xa2 ).
Cũng do tính tối tiểu của hệ sinh nên tồn tại a3 ∈ A sao cho

(xa1 , xa2 ) = (xa1 , xa2 , xa3 ).
Tiếp tục quá trình trên ta được dãy vô hạn, tăng thực sự các iđêan

(xa1 )

(xa1 , xa2 )

(xa1 , xa2 , xa3 )

...

Theo định lý cơ sở Hilbert thì S = K[x] là một vành Noether. Do đó, mọi
dãy tăng thực sự các iđêan trong S đều dừng. Điều này mẫu thuẫn với kết
quả trên. Do vậy I có một tập sinh đơn thức tối tiểu hữu hạn.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra tập sinh đó là duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại
hai tập hữu hạn A, B ⊂ Nn sao cho (xa | a ∈ A) và (xb | b ∈ B) là hai hệ
sinh đơn thức tối tiểu của I . Khi đó ta có

I = (xa | a ∈ A) = (xb | b ∈ B).
.
Với mỗi a ∈ A, vì xa ∈ (xb | b ∈ B) nên tồn tại b ∈ B sao cho xa .. xb . Vì
.
.
xb ∈ (xa | a ∈ A) nên tồn tại a ∈ A sao cho xb .. xa , suy ra xa .. xa . Mà

(xa | a ∈ A) là hệ sinh đơn thức tối tiểu của I nên a = a . Do vậy ta có
.
.
xa .. xb và xb .. xa
2


Chương 1. Một số kiến thức mở đầu

Suy ra a = b.
Chứng minh tương tự ta có với mỗi b ∈ B đều tồn tại a ∈ A sao cho

b = a. Do đó A = B , tức là hệ sinh đơn thức tối tiểu của I là duy nhất.
Ta có điều phải chứng minh.

1.2

Phức đơn hình

Định nghĩa 1.2.1. Cho tập hữu hạn V = {v1 , v2 , . . . , vn }. Một phức
đơn hình ∆ trên V là họ các tập con của V đóng với phép lấy tập con,
nghĩa là với mọi F ∈ ∆ và G ⊂ F thì G ∈ ∆, đồng thời {vi } ∈ V, ∀i ∈

{1, 2, . . . , n}.
Mỗi phần tử F của ∆ được gọi là một mặt. Cho F ∈ ∆, đặt

dim F := |F | − 1 thì dim F được gọi là số chiều của F . Nếu F có số
chiều bằng i ta gọi F là một i − mặt. Số chiều của ∆, ký hiệu là dim ∆
và được xác định như sau:


max{dim F | F ∈ ∆} nếu ∆ = ∅
dim ∆ =

−∞ nếu ∆ = ∅
Chú ý rằng nếu ∆ = ∅ thì ∅ là (−1) − mặt của ∆. Mặt có số chiều

0, 1 tương ứng gọi là đỉnh và cạnh của ∆. Mặt lớn nhất (theo nghĩa tập
hợp) được gọi là mặt cực đại của ∆. Ký hiệu F(∆) là tập hợp tất cả mặt
cực đại của ∆. Một phức đơn hình hoàn toàn được xác định bởi tập các
mặt cực đại của nó, nghĩa là nếu F(∆) = {F1 , F2 , . . . , Fm } thì ta viết

∆ = F1 , F2 , . . . , Fm .
Phức đơn hình ∆ được gọi là thuần túy nếu các mặt cực đại của nó có
cùng số chiều.
3

Chương 1. Một số kiến thức mở đầu

Phức đơn hình ∆ được gọi là liên thông nếu với mọi F, G ∈ F(∆)
đều tồn tại dãy các mặt cực đại F = F0 , F1 , . . . , Fq−1 , Fq = G thỏa mãn

Fi ∩ Fi+1 = ∅.
Phức đơn hình ∆ được gọi là liên thông mạnh nếu với mỗi cặp

F, G ∈ F(∆) ta đều có thể kết nối bởi một dãy liên thông mạnh, nghĩa
là: Có một dãy các mặt cực đại F = F0 , F1 , . . . , Fk = G thỏa mãn

|Fi ∩ Fi+1 | = d − 1 ∀i = 0, . . . , k − 1, ở đó dim ∆ = d − 1.
Nhận xét 1.2.2. Nếu ∆ liên thông mạnh thì ∆ liên thông và thuần túy.
Ví dụ 1.2.3. Xét phức đơn hình ∆ bao gồm tất cả các tập con
của các tập hợp {1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {2, 4}, {6} được mô tả bằng hình vẽ
dưới đây: Ta thấy rằng F(∆) = {{1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {2, 4}, {6}}, tức là

4

2

6

1

3

5

Hình 1.1:

{{1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {2, 4}, {6}} là các mặt cực đại của ∆ với số chiều lần
lượt tương ứng là 2, 2, 1, 0. Như vậy ∆ không thuần túy và do đó không
liên thông mạnh, dim ∆ = 2.
Ví dụ 1.2.4. Xét phức đơn hình ∆ cho bởi hình vẽ dưới đây: Ta nhận
thấy F(∆) = {F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 , F7 , F8 , F9 }, ở đó: F1 = {1, 2, 3}, F2 =

4


Chương 1. Một số kiến thức mở đầu

1

F1
2

3
F2
F3

5

4

F5

F4

6
F6

F7

F9

F8

7

10

9

8

Hình 1.2:

{2, 3, 4}, F3 = {2, 4, 5}, F4 = {3, 4, 6},F5 = {4, 5, 8}, F6 = {4, 6, 9}, F7 =
{5, 7, 8}, F8 = {4, 8, 9}, F9 = {6, 9, 10}. Dễ thấy dim Fi = dim Fj = 2,
∀i, j = 1, . . . , 9, do đó ∆ là phức đơn hình thuần túy và dim ∆ = 2. Hơn
nữa, ∆ liên thông mạnh.
Định nghĩa 1.2.5. Cho S = k[x1 , x2 , . . . , xn ] là vành đa thức trên trường

k và ∆ là một phức đơn hình trên V = {v1 , v2 , . . . , vn }. Iđêan Stanley Reisner của phức đơn hình ∆ là iđêan được xác định bởi

(xi : vi ∈
/ F ),

I∆ =
F ∈F(∆)

ở đó F(∆) là tập các mặt cực đại của ∆.
Định lí 1.2.6. Tương ứng ∆

I∆ là một song ánh từ tập các phức đơn

hình trên tập đỉnh V = {v1 , . . . , vn } tới tập các iđêan đơn thức không chứa
mũ trong S . Hơn nữa: dim k[∆] = dim ∆ + 1.
Chứng minh. Dễ thấy tương ứng ∆
5

I∆ là một đơn ánh, do vậy ta


Chương 1. Một số kiến thức mở đầu

cần chứng minh nó là một toàn ánh là đủ. Giả sử I là một iđêan đơn thức
không chứa mũ, khi đó I có một tập sinh đơn thức tối tiểu, tức là tồn tại
tập J hữu hạn sao cho:

I = (xa | a ∈ J).
Đặt ∆I := {σ ⊆ V | xσ ∈
/ I}, thì

I∆I = (xτ | τ ∈
/ ∆I ) = (xτ | xτ ∈ I) = I.
Vậy tương ứng trên là một toàn ánh và do đó là một song ánh.

(xi | vi ∈
/ F) =

Mặt khác, ta có I∆ =
F ∈F(∆)

BF là một phân tích
F ∈F(∆)

nguyên sơ tối tiểu của I∆ , ở đó BF = (xi | vi ∈
/ F ). Khi đó

dim(S/I∆ ) =
=
=

max dim(S/BF )

F ∈F(∆)

max {n − [n − (dim F + 1)]}

F ∈F(∆)

max {dim F + 1}

F ∈F(∆)

= dim ∆ + 1.
Do đó dim k[∆] = dim ∆ + 1.

Ví dụ 1.2.7.
a) Xét phức đơn hình trong ví dụ 1.2.3 , ta được iđêan Stanley - Reisner
là:

I∆ = (x4 , x5 , x6 ) ∩ (x1 , x2 , x6 ) ∩ (x1 , x3 , x5 , x6 ) ∩ (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )
b) Xét phức đơn hình trong ví dụ 1.2.4, ta được iđêan Stanley - Reisner
là:

I∆ = (x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 ) ∩ (x1 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 )
6


Chương 1. Một số kiến thức mở đầu

∩ (x1 , x3 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 ) ∩ (x1 , x2 , x5 , x7 , x8 , x9 , x10 )
∩ (x1 , x2 , x3 , x6 , x7 , x9 , x10 ) ∩ (x1 , x2 , x3 , x5 , x7 , x8 , x10 )
∩ (x1 , x2 , x3 , x4 , x6 , x9 , x10 ) ∩ (x1 , x2 , x3 , x5 , x6 , x7 , x10 )
∩ (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x7 , x8 ).

1.3

Đồ thị

Định nghĩa 1.3.1. Đồ thị G trên tập đỉnh V là một cặp sắp thứ tự

G = (V, E), trong đó V = {v1 , v2 , . . . , vn } là tập các đỉnh và E =
{vi , vj } ∈ V 2 , i = j là tập các cạnh của G.
Các phần tử của V được gọi là đỉnh của đồ thị G, các phần tử của E
được gọi là cạnh của đồ thị G. Nếu e = {vi , vj } là một cạnh của đồ thị G

thì vi , vj được gọi là các đỉnh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộc
với e.
Ví dụ 1.3.2. Cho đồ thị G = (V, E) với tập đỉnh V = {v1 , v2 , . . . , v6 }
và tập cạnh E = {{v1 , v2 } , {v1 , v3 } , {v2 , v4 } , {v3 , v4 } , {v5 , v6 }}. Khi đó

G được biểu diễn bởi hình vẽ:

7


Chương 1. Một số kiến thức mở đầu

v5
v1

v6
v2
v4
v3

Hình 1.3:

Định nghĩa 1.3.3. Đồ thị G = (V , E ) được gọi là đồ thị con của đồ
thị G = (V, E) nếu V ⊂ V và E ⊂ E . Nếu E chứa tất cả các cạnh của

G mà hai đỉnh liên thuộc với nó đều thuộc V thì G = (V , E ) được gọi
là đồ thị con của G cảm sinh trên tập đỉnh V hay cũng được gọi là đồ thị
con cảm sinh bởi G = (V, E) trên tập đỉnh V . Khi đó G được kí hiệu là

G = G[V ].

Định nghĩa 1.3.4. Giả sử G = (V, E) là một đồ thị. Một đường có độ
dài n trong G là một đồ thị con của G gồm các cạnh {vi−1 , vi } với mọi

i = 1, 2, . . . , n, trong đó v0 , v1 , . . . , vn ∈ V . Khi đó v0 được gọi là đỉnh đầu
và vn được gọi là đỉnh cuối của đường trên.
Nếu v0 ≡ vn và n ≥ 3 thì đường trên được gọi là một chu trình có độ
dài n.
Ví dụ 1.3.5. Xét đồ thị G trong ví dụ 1.3.2 thì:
(i) {{v1 , v2 } , {v2 , v4 } , {v4 , v3 }} là một đường có độ dài 3.
(ii) {{v1 , v2 } , {v2 , v4 } , {v4 , v3 } , {v3 , v1 }} là một chu trình có độ dài 4.

8


Chương 1. Một số kiến thức mở đầu

Định nghĩa 1.3.6. Đồ thị G = (V, E) được gọi là liên thông nếu với hai
đỉnh vi , vj khác nhau bất kì của G đều tồn tại một đường trong G với đỉnh
đầu là vi , đỉnh cuối là vj . Trong trường hợp ngược lại thì đồ thị G được
gọi là không liên thông.
Đồ thị con liên thông G = (V , E ) của đồ thị G = (V, E) được gọi là
một thành phần liên thông của G nếu G = G[V ] và với mọi V ∈ V mà
chứa thực sự V thì đồ thị G[V ] không liên thông.
r

Gi ,

Khi G không liên thông thì ta có thể viết G dưới dạng G =
i=1

trong đó G1 , G2 , . . . , Gr là các thành phân liên thông của G.
Một rừng là một đồ thị hữu hạn không có chu trình.
Một cây là một rừng liên thông.
Ví dụ 1.3.7. Xét đồ thị G như trong ví dụ 1.3.2. Khi đó :
(i) G không liên thông vì với hai đỉnh v1 và v5 không có đường giữa
chúng.
(ii) Các đồ thị con cảm sinh G1 = G[v1 , v2 , v3 , v4 ] và G2 = G[v5 , v6 ] là
các thành phần liên thông của G.
(iii) Đồ thị G không là một rừng vì có một chu trình , do đó không là
cây.
Ví dụ 1.3.8. Xét đồ thị G cho bởi hình vẽ dưới đây:

9


Chương 1. Một số kiến thức mở đầu

v2
v1

v3
v12
v4

v13
v11

v5

v6

v7

v14

v8

v9

v10

Hình 1.4:

Ta nhận được G là một rừng. Tuy nhiên, nếu ta chỉ xét đồ thị G chỉ
gồm các đỉnh {v1 , v2 , . . . , v10 } hoặc {v11 , v12 , v13 , v14 } thì G là một cây.

1.4

Vành Cohen - Macaulay

Định nghĩa 1.4.1. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1.
Một xích các iđêan nguyên tố của R là một dãy hữu hạn, tăng thực
sự các iđêan nguyên tố của R có dạng P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn , trong đó

Pi−1 = Pi với mọi i = 1, 2, . . . , n. Số nguyên n được gọi là độ dài của xích.
Chiều Krull của vành R là cận trên đúng của tất cả các độ dài của các
mắt xích các iđêan nguyên tố trong R. Chiều Krull của R được kí hiệu là

dim R.
Ví dụ 1.4.2.
i) Nếu R là một vành Artin thì dim R = 0, vì mỗi iđêan nguyên tố của

10


Chương 1. Một số kiến thức mở đầu

R đều là một iđêan cực đại.
ii) Với

K

là

một

trường,

vành

đa

thức

vô

hạn

biến

R = K[x1 , x2 , . . . , xn , . . . ] có dim R = ∞, vì xích các iđêan
nguyên tố

(x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ · · · ⊂ (x1 , x2 , . . . , xn ) ⊂ . . .
có độ dài tùy ý.
Định nghĩa 1.4.3. Cho S = k[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên
trường k và I là một iđêan của S . Khi đó S/I được gọi là vành Cohen −

M acaulay nếu
Hmi (S/I) = 0, ∀i < dim(S/I),
ở đó Hmi (S/I) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của S/I đối với
iđêan cực đại m.
Cho S = k[x1 , . . . , xn ] là một vành đa thức trên trường k và I là một
iđêan đơn thức trong S . Kí hiệu G(I) là tập sinh đơn thức tối tiểu của I
và ∆ là phức đơn hình tương ứng với iđêan căn của I , tức là

∆ = {i1 , i2 , . . . , in } ⊂ V = {v1 , . . . , vn } | xi1 xi2 . · · · .xin ∈
/

√
I .

Với a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Zn , đặt Ga := {i | ai < 0} và

∆a := {F \Ga | Ga ⊆ F ⊆ V,
∀xb = xb11 · · · xbnn ∈ G(I) đều tồn tại j ∈ F sao cho bj > aj ≥ 0}.
Định lí 1.4.4. (Takayama) Cho m là iđêan phân bậc cực đại của S . Khi
đó với mọi a∈ Zn , ta có

dimk Hmi (S/I)a =




dimk Hi−|G |−1 (∆a ; k), nếu Ga ∈ ∆
a

0,

trường hợp khác.

11


Chương 2
Một lớp iđêan đơn thức Cohen Macaulay
2.1

Phức Cohen - Macaulay không chu trình ở đối
chiều 1

Định nghĩa 2.1.1. Cho ∆ là một phức đơn hình.
Ta nói ∆ là shellable nếu ∆ thuần túy và nó có thể được đưa ra bởi một
trật tự tuyến tính F1 , F2 , . . . , Fm các mặt cực đại của ∆, nói cách khác
phức đơn hình Fi ∩ F1 , . . . , Fi−1 được sinh bởi một tập khác rỗng các
mặt cực đại của Fi , ∀i = 2, . . . , m. Một trật tự tuyến tính như vậy được
gọi là một shelling của ∆.
Cho F ∈ ∆, đặt lk∆ (F ) = {G : F ∪ G ∈ ∆, F ∩ G = ∅}.
Phức đơn hình ∆ được gọi là phức Cohen - Macaulay nếu vành Stanley
- Reisner k[∆] = k[x1 , . . . , xn ]/I∆ là vành Cohen - Macaulay.
Chú ý: Ta nói dãy F1 ; . . . ; Fm là trật tự shelling của ∆ tương đương
với cách nói : Với mọi i và với mọi j < i đều tồn tại l ∈ Fi \Fj và k < i
sao cho Fi \Fk = {l}.

12


Chương 2. Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay

Ví dụ 2.1.2. a) Xét phức đơn hình ∆ trong hình dưới đây:
Ta nhận thấy ∆ là shellable vì ta chỉ ra được một shelling của ∆ là:

F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 .

1

3

2
F3

F1
F2

5

4
F4
F5
6

F6
8

7

Hình 2.1:

b) Xét hai phức đơn hình trong hình dưới đây:
1
4

F2

F1
3
2

5
Phức đơn hình

1

2
5
F1

3
F3

1
F2

6
4
Phức đơn hình

Hình 2.2:

13

2


Chương 2. Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay

Ta thấy rằng ∆1 và ∆2 đều không là shellable vì chúng không có shelling
nào . Chẳng hạn, ta xét phức đơn hình ∆2 . Nếu ∆2 có một shelling thì chỉ
có thể là một trong sáu dãy sau: F1 ; F2 ; F3 hoặc F1 ; F3 ; F2 hoặc F2 ; F1 ; F3
hoặc F2 ; F3 ; F1 hoặc F3 ; F1 ; F2 hoặc F3 ; F2 ; F1 .
Với dãy 1; dãy 3: Ta cố định F3 , ta có F3 \F1 = F3 \F2 = {5; 6}. Rõ
ràng không tồn tại Fi , ∀i = 1; 2 để F3 \Fi = {5} hoặc F3 \Fi = {6} .
Với dãy 2; dãy 4: Ta cố định F3 , ta có F3 \F1 = F3 \F2 = {5; 6}. Rõ
ràng dãy này cũng không là shelling .
Với dãy 5: Ta cố định F1 , ta có F1 \F3 = {1; 2}. Như vậy dãy này cũng
không là shelling.
Với dãy 6: Ta cố định F2 , ta có F2 \F3 = {1; 4}. Như vậy dãy này cũng
không là shelling.
Như vậy cả 6 dãy trên không là shelling, do đó ∆2 không là shellable.
Dưới đây là một số kết quả :
i) ∆ là shellable =⇒ ∆ là Cohen - Macaulay =⇒ ∆ là thuần túy.
ii) Nếu ∆ là Cohen - Macaulay thì ∆ và lk∆ (F ) là liên thông mạnh

∀F ∈ ∆.
Bổ đề 2.1.3. Cho ∆ là một phức đơn hình Cohen - Macaulay (d − 1) chiều. F, G ∈ F(∆) thỏa mãn |F ∩ G| < d − 1. Khi đó, tồn tại H ∈ F(∆)
sao cho (F ∩ G) ⊂ (H ∩ G) và |H ∩ G| = d − 1.
Chứng minh. Vì F ∩ G ∈ ∆ và ∆ là phức Cohen - Macaulay nên theo
kết quả (ii) ở trên thì lk∆ (F ∩ G) liên thông mạnh.
Đặt G

=

G\(F ∩ G), F

=

F \(F ∩ G), ta thấy ngay

F , G ∈ lk∆ (F ∩ G). Bây giờ giả sử có H ∈ lk∆ (F ∩ G) sao cho F ⊂ H ,
14


Chương 2. Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay

ta suy ra F ⊂ H ∪ (F ∩ G) ∈ ∆. Vì F ∈ F(∆) nên F = H ∪ (F ∩ G),
hay ta được F = H , điều này có nghĩa là F ∈ F(lk∆ (F ∩ G)). Tương tự
ta cũng được G ∈ F(lk∆ (F ∩ G)).
Như vậy ta được lk∆ (F ∩G) liên thông mạnh và F , G ∈ F(lk∆ (F ∩G)).
Do đó tồn tại dãy liên thông mạnh F = F0 ; F1 ; . . . ; Fk−1 , Fk = G . Ta chỉ
việc chọn H = Fk−1 ∪ (F ∩ G) thì H là tập thỏa mãn bổ đề, thật vậy:
Rõ ràng với H như thế thì F ∩ G ⊂ H ∩ G.
Vì Fk−1 ∩ (F ∩ G) = ∅ và |Fk−1 | = |G | nên ta được

|H| = |Fk−1 | + |F ∩ G| = |G | + |F ∩ G| = |G| = d.
Lại do H ∈ ∆ nên H ∈ F(∆). Bây giờ giả sử |F ∩ G| = x, theo nhận xét
1.2.2 thì lk∆ (F ∩ G) thuần túy, do đó |Fk−1 ∩ G | = |G | − 1. Ta suy ra

|Fk−1 ∩ (G\(F ∩ G))| = |G\(F ∩ G)| − 1
= |G| − |F ∩ G| − 1
= d−x−1
Hay ta được:

|(Fk−1 ∩ G)\(Fk−1 ∩ F ∩ G)| = d − x − 1
⇐⇒ |Fk−1 ∩ G| − |Fk−1 ∩ F ∩ G| = d − x − 1.
Như vậy :

|H ∩ G| = |[Fk−1 ∪ (F ∩ G)] ∩ G|
= |(Fk−1 ∩ G) ∪ (F ∩ G)|
= |Fk−1 ∩ G| + |F ∩ G| − |Fk−1 ∩ F ∩ G|
15


Chương 2. Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay

= d−x−1+x
= d−1

Cho F ∈ ∆, ta kí hiệu BF là iđêan (xi : vi ∈
/ F ). Bằng việc sử dụng bổ
đề 2.1.3 ta được hệ quả sau:
Hệ quả 2.1.4. Cho ∆ là một phức đơn hình Cohen - Macaulay (d − 1) chiều có F(∆) = F1 , . . . , Fm . Khi đó, với mọi i = 1, . . . , m, ta có:

BFj + BFi =

j=i

BFj ∩Fi .
j=i
|FJ ∩Fi |=d−1

Chứng minh. Trước hết với i = 1, . . . , m, ta có
(1)

(2)

BFj + BFi =
j=i

(BFj + BFi ) =
j=i

(BFj ∩Fi ).
j=i

Chứng minh đẳng thức (1):
Lấy a ∈

BFj + BFi =⇒ a = x + y , với x ∈ BFj , ∀j = i và y ∈ BFi .
j=i

Ta suy ra

a ∈ BFj + BFi , ∀j = i, hay a ∈

(BFj + BFi ).
j=i

Ngược lại, lấy a ∈

(BFj + BFi ), ta được a ∈ BFj + BFi , ∀j = i. Ta có
j=i

2 trường hợp:

• Nếu a ∈ BFi thì rõ ràng a ∈

BFj + BFi
j=i

• Nếu a
∈
/
BFi thì a
∈
BFj , ∀j
=
i, ta
.
a .. lcm xjk : j = i, xjk ∈ BFj , xjk ∈
/ BFi , suy ra a ∈

được

j=i

Do đó, a ∈

BFj + BFi .
j=i

16

BFj .


Chương 2. Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay

Chứng minh đẳng thức (2):
Để chứng minh (2) ta chỉ cần chứng minh BFj +BFi = BFj ∩BFi , ∀j = i,
thật vậy:



Fj ∩ Fi ⊂ Fi
Do


Fj ∩ Fi ⊂ Fj

=⇒





BFj ∩Fi ⊃ BFi

=⇒ BFj + BFi ⊂ BFj ∩Fi .



BFj ∩Fi ⊃ BFj

Ngược lại, giả sử G(BFj ∩Fi )

{x1 , . . . , xk }. Khi đó với

=

xt ∈ {x1 , . . . , xk } thì vt ∈
/ Fj ∩ Fi . Ta có 3 trường hợp:
• Nếu vt ∈ Fi \(Fj ∩ Fi ) thì vt ∈
/ Fj , do đó xt ∈ BFj
• Nếu vt ∈ Fj \(Fj ∩ Fi ) thì vt ∈
/ Fi , do đó xt ∈ BFi
• Nếu vt ∈ {v1 , v2 , . . . , vn } \(Fj ∪ Fi ) thì vt ∈
/ (Fj ∪ Fi ), do đó
xt ∈ BFj ∪ BFi
Tóm lại ta luôn được xt

∈

BFj + BFi , ∀t

BFj ∩Fi ⊂ BFj + BFi .

Để kết thúc chứng minh ta chứng minh

(BFj ∩Fi ) =
j=i

(BFj ∩Fi ).
j=i
|Fj ∩Fi |=d−1

Trước hết, rõ ràng

(BFj ∩Fi ) ⊂
j=i

(BFj ∩Fi ).
j=i
|Fj ∩Fi |=d−1

Lấy

a∈

(BFj ∩Fi ),
j=i
|Fj ∩Fi |=d−1

17

=

1, . . . , k , hay


Chương 2. Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay

ta được a ∈ BFj ∩Fi , ∀j = i và |Fj ∩ Fi | = d − 1.
Với trường hợp |Fj ∩Fi | < d−1, theo bổ đề 2.1.3 sẽ tồn tại Fk ∈ F(∆) :



Fj ∩ Fi ⊂ Fk ∩ Fi
=⇒ BFk ∩Fi ⊂ BFj ∩Fi =⇒ a ∈ BFj ∩Fi .


|Fk ∩ Fi | = d − 1
Hay a ∈ BFj ∩Fi , ∀j = i và |Fj ∩ Fi | < d − 1.
Tóm lại ta được a ∈ BFj ∩Fi , ∀j = i, hay

(BFj ∩Fi ) ⊂
j=i
|Fj ∩Fi |=d−1

(BFj ∩Fi )
j=i

Vậy

BFj + BFi =
j=i

(BFj ∩Fi ).
j=i
|Fj ∩Fi |=d−1

Định nghĩa 2.1.5. Cho ∆ là một phức đơn hình thuần túy (d − 1) chiều. Ta gọi đồ thị các mặt cực đại của ∆, kí hiệu bởi G(∆), xác định
như sau:
1. Tập các đỉnh V (G(∆)) = F(∆).
2. Tập các cạnh E(G(∆)) = {F, G} : F, G ∈ F(∆) và |F ∩ G| = d − 1 .
Phức đơn hình ∆ được gọi là phức đơn hình Cohen - Macaulay không
chu trình ở đối chiều 1 nếu ∆ là phức Cohen - Macaulay và G(∆) là một
cây.
Nhận xét 2.1.6. Phức đơn hình thuần túy ∆ liên thông mạnh khi và chỉ
khi G(∆) liên thông.
18


Chương 2. Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay

Ví dụ 2.1.7.
1) Phức đơn hình ∆ xét trong ví dụ 2.1.2a là một phức đơn hình Cohen
- Macaulay không chu trình ở đối chiều 1. Đồ thị G(∆) của ∆ như trong
hình vẽ dưới:
2) Phức đơn hình ∆ trong ví dụ 1.2.4 không phải là phức đơn hình
Cohen - Macaulay không chu trình ở đối chiều 1 vì đồ thị G(∆) không
phải là cây như trong hình vẽ:

2

1

3

F1

F1

F3

F2

F3
F2
5

4
F4

F6

F5
6

F4
F5

8

7

F6

Phức

Đồ thị G( )

là phức Cohen - Macaulay không chu trình ở đối chiều 1
F1

1
F1

2
5
F7
7

F2

3

F3
F5
8

F2
4
F8

F4
F6

9

F4

F3
6

F6

F5

F9
10

F7

Phức

F8

F9

Đồ thị G( )

không là phức Cohen - Macaulay không chu trình ở đối chiều 1.

Hình 2.3:

Bổ đề 2.1.8. Cho ∆ là phức Cohen - Macaulay (d − 1) - chiều không chu
19

Chương 2. Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay

trình ở đối chiều 1 và F1 , . . . , Fk là một dãy liên thông mạnh với k ≥ 2.
Khi đó ta có: (Fk ∩ F1 ) ⊂ (F2 ∩ F1 ).
Chứng

minh.

Ta

có

thể

giả

sử

F1

=

{v1 , . . . , vd },

F2 = {v2 , . . . , vd+1 }, k > 2. Vì ∆ là phức Cohen - Macaulay không
chu trình ở đối chiều 1 nên G(∆) là cây, từ đây ta được |F1 ∩ Fk | < d − 1
(vì nếu |F1 ∩ Fk | = d − 1 thì dãy F1 , . . . , Fk sẽ có chu trình). Để chứng
minh (Fk ∩ F1 ) ⊂ (F2 ∩ F1 ) ta sẽ chứng minh bằng phản chứng, thật vậy:

Giả sử (Fk ∩ F1 )

(F2 ∩ F1 ), ta được ngay v1 ∈ Fk .

Do ∆ là phức Cohen - Macaulay nên lk∆ (v1 ) liên thông mạnh.
Đặt F1 = F1 \ {v1 } , Fk = Fk \ {v1 } thì ta được F1 , Fk ∈ F(lk∆ (v1 ))
(xem chứng minh bổ đề 2.1.3). Do đó, tồn tại dãy liên thông mạnh trong

lk∆ (v1 ) , cụ thể là tồn tại dãy F1 , Ft1 , . . . , Fth , Fk trong F(lk∆ (v1 )) sao cho
|F1 ∩ Ft1 | = · · · = |Fth ∩ Fk | = d − 2.
Đặt Ftj = {v1 } ∪ Ftj , j = 1, . . . , h, ta được dãy F1 , Ft1 , . . . , Fth , Fk
liên thông mạnh trong ∆. Do G(∆) là cây nên dãy F1 , F2 , . . . , Fk và dãy

F1 , Ft1 , . . . , Fth , Fk trùng nhau. Từ đó suy ra F2 = Ft1 = {v1 } ∪ Ft1 , do đó
v1 ∈ F2 (điều này vô lý).
Vậy (Fk ∩ F1 ) ⊂ (F2 ∩ F1 ).

Hệ quả 2.1.9. Một phức đơn hình Cohen - Macaulay không chu trình ở
đối chiều 1 là shellable.
Chứng minh. Giả sử ∆ là phức Cohen - Macaulay không chu trình ở đối
chiều 1, ta được G(∆) là cây, do đó ta có thể chọn một trật tự tuyến tính
20