Bài toán nhiều lời giải

Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Số 04 - 2006
Một bài toán có nhiều cách giải
***************************
Trong việc giảng dạy toán đặc biệt là bồi dỡng học sinh giỏi khi giảng dạy
việc tìm tòi các cách giải khác nhau của một bài toán là cần thiết vì thông qua đó
giáo viên có thể đánh giá học sinh về độ rộng, sâu, chắc kiến thức, khả năng
nhanh nhạy của học sinh mà việc đó rất cần với học sinh giỏi. Đây là vấn đề khó
xong nếu ngời làm toán mà đam mê, ham học hỏi mà thành công đợc thì tự nhiên
nó trở thành một nhu cầu cần thiết.
Tôi xin đa ra một ví dụ về một bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn giản
mà có nhiều cách giải để các bạn yêu toán tham khảo.
Bài toán : Cho a , b , c là ba số dơng thoã mãn : a > c , b > c. Chứng minh
rằng :
( ) ( )
c a c c b c ab +
. (1)
Lời giải 1 : ( Sử dụng phép biến đổi tơng đơng)
(1)


( ) ( )
c a c ab c b c
.
Do a > c , b > c nên hai vế cùng dơng, ta bình phơng hai vế :

( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2

2
2 0
2 0
0
c a c ab c b c abc b c
ab bc ac abc b c
bc a b c abc b c
bc a b c
+
+
+

Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh.
Lời giải 2 : ( Sử dụng phếp biến đổi tơng đơng).
ở cách này ta không chuyển vế nh cách trên mà ta thấy hai vế cùng dơng
nên bình phơng luôn.
(1)
( ) ( ) ( ) ( )
2
2c a c c b c c a c b c ab + +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
2

2
2
2 0
2 0
2 0
0
ac c bc c c a c b c ab
ab ac c bc c c a c b c
a b c c b c c a c b c c
a c b c c a c b c c
a c b c c
+ +
+ +
+
+

Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh.
GV : Nguyễn Thanh Hải Tr ờng THCS Lê
Đình Kiên
1
Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Số 04 - 2006
Lời giải 3 : (Đặt ẩn phụ).
Ta thấy dới dấu căn của vế trái các nhân tử có quan hệ đặc biệt nh sau :
( )
a a c a+ =
;
( )
b b c b+ =
.
Do đó ta có thể đặt ẩn phụ nh sau :

0
0
0
c c
a c a
b c b



= > =


= > = +


= > = +

Thay vào bất đẳng thức đã cho và biển đổi tơng đơng :
(1)
( ) ( )

+ + +
Hai vế cùng dơng bình phơng hai vế ta có :
(1)
( ) ( ) ( )
2

+ + + +

( ) ( )

( )
2
2
2
2
2 0
0



+ + + + +
+ +

Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh.
Lời giải 4 : (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki)
Đặt :
c
b c


=
=

a c x
c y
=
=
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 4 số x , y ,
,

:

2 2 2 2
.x y x y x y

+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
. . .
( ) ( ) ( ). ( )
( ) ( ) .
c a c b c c c b c c a c
c a c c b c c a c c b c
c a c c b c b a ab
+ + +
+ + +
+ =
Đây chính là điều phải chứng minh.
Lời giải 5 : (Phơng pháp hình học).
Theo giả thiết bài toán tồn
tại một tam giác ABC nh sau :
AB =
a
; AC =
b
; AH =
c

(Hình vẽ : AH là đờng cao hạ xuống BC).
áp dụng định lý Pitago vào các

tam giác vuông ABH, ACH ta
GV : Nguyễn Thanh Hải Tr ờng THCS Lê
Đình Kiên
2
h
c
a
b
a
b
c
a c
b c
Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Số 04 - 2006
tính ngay đợc :
BH =
a c
; CH =
b c
Ta có :
2. 2. 2.
ABC ABH ACH
S S S= +
V V V
Hay :
( ) ( )
c a c c b c ab +
.
ã
sin BAC

.
Vậy :
( ) ( )
c a c c b c ab +
(Do
ã
sin BAC


1 ).
Dấu = xẩy ra khi
ã
BAC
= 1V. Khi đó :
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
.
ab
c
a b
c a b
= + =
+
Lời giải 6 : (Phơng pháp lợng giác)
Do
ab
> 0 nên chia hai vế của (1) cho
ab
ta có :

( ) ( )
1
c a c c b c
ab ab

+

. . 1
.(1 ) .(1 ) 1
c a c c b c
b a a b
c c c c
b a a b

+
+
Nhận thấy :
0
c
a
>
;
1
c
b
<
.
Do vậy đặt :
2
2

cos
cos
c
b
c
t
a


=




=


(Có thể chọn 0 <

; t <
2

)
Khi đó :
2 2
2 2
1 1 cos sin
1 1 cos sin
c
b

c
t t
a


= =




= =


Vậy:
2 2 2 2
cos .sin cos .sin 1t t

+

cos .sin cos .sin 1
sin( ) 1.
t t
t


+
+
Bất đẳng thức này đúng.(đpcm)
Đây là bài toán không khó mà Tôi đã tìm hiểu và su tầm. Chúc các bạn
thành công trong việc tìm kiếm các lời giải khác nhau cho một bài toán trong bồi

dỡng học sinh giỏi.
GV : Nguyễn Thanh Hải Tr ờng THCS Lê
Đình Kiên
3
C©u l¹c bé to¸n häc HuyÖn Yªn §Þnh Sè 04 - 2006
GV : NguyÔn Thanh H¶i Tr êng THCS Lª
§×nh Kiªn
4