Điểm osculation của sóng rayleigh trong một số mô hình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (931.92 KB, 41 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------
DOÃN THU HƢƠNG
ĐIỂM OSCULATION CỦA SÓNG RAYLEIGH
TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------
DOÃN THU HƢƠNG
ĐIỂM OSCULATION CỦA SÓNG RAYLEIGH
TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH
Mã số: 60 44 01 07
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN THANH TUẤN
Hà Nội - 2015
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo hướng dẫn
TS. Trần Thanh Tuấn, người đã giao đề tài và quan tâm, tận tình hướng dẫn em
trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar tại bộ môn Cơ
học do PGS. TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa
Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà
Nội đãdạy bảo, cung cấp kiến thức bổ ích cho em trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu tại khoa.
Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên - Đại Học QuốcGia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong
quá trình thực hiện luận văn.
Nhân dịp này, em cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, tạo điều kiện
cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015
Học viên
Doãn Thu Hƣơng
Mục Lục
Mục Lục ...................................................................................................................... 4
Lời mở đầu .................................................................................................................. 5
Chương 1: Phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm đàn hồi
trực hướng ................................................................................................................... 7
1.1. Các phương trình truyền sóng cơ bản .............................................................. 7
1.2. Trường hợp tấm có hai mặt tự do ..................................................................... 9
1.3. Trường hợp tấm có mặt trên tự do, mặt dưới bị ngàm ................................... 10
Chương 2. Các công thức xác định điểm tiếp xúc .................................................... 13
2.1. Trường hợp tấm có hai mặt tự do ................................................................... 13
2.2. Trường hợp tấm có mặt đáy bị ngàm.............................................................. 15
Trường hợp: C 2
Trường hợp
C
2
A
2
0 C
1 A
2
2
A
2
................................................................ 17
..................................................................................... 20
2.3. Tính trơn của đường cong phổ vận tốc tại điểm tiếp xúc ............................... 23
Chương 3. Trường hợp đẳng hướng và ví dụ minh họa số ....................................... 31
3.1. Tấm có hai biên tự do ..................................................................................... 31
3.2. Trường hợp tấm có mặt trên tự do, mặt đáy ngàm ......................................... 33
3.3. Ví dụ minh họa số các tập nghiệm điểm tiếp xúc
S1 , S 2
và
S3
...................... 35
Kết luận ..................................................................................................................... 39
Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 40
Các công trình khoa học đã công bố ......................................................................... 41
Lời mở đầu
Phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh trong các mô hình khác nhau
thường dẫn về một phương trình siêu việt dạng ẩn phụ thuộc vào hai biến là vận tốc
truyền sóng và tần số sóng cùng với các tham số vật liệu của mô hình. Trong việc
giải số tìm nghiệm của phương trình tán sắc này, tần số sóng thường được cho trước
và vận tốc truyền sóng sẽ được tìm bằng các phương pháp số khác nhau. Nói chung,
với một giá trị tần số sóng, sẽ có nhiều nghiệm của vận tốc và các nghiệm vận tốc
này sẽ ứng với các mode truyền sóng khác nhau của sóng mặt Rayleigh. Khi các
nghiệm vận tốc truyền sóng được tìm với các giá trị khác nhau của tần số sóng thì
bức tranh miêu tả sự phụ thuộc của chúng được gọi là các đường cong phổ của các
mode truyền sóng. Thông thường các đường cong phổ này nằm xen kẽ nhau. Tuy
nhiên trong một số trường hợp đặc biệt của giá trị tham số mô hình, tồn tại các cặp
đường cong (ứng với các mode khác nhau) có vẻ như là tiến gần về nhau và “tiếp
xúc” với nhau. Các điểm tiếp xúc này là những điểm thuộc hai mode khác nhau của
bài toán truyền sóng Rayleigh và chúng là những điểm tương ứng với các nghiệm
bội của phương trình tán sắc. Có nhiều thuật ngữ tiếng Anh cho điểm đặc biệt này
như là “osculation points” hay “avoided crossing points” và luận văn sẽ sử dụng
thuật ngữ “điểm tiếp xúc”.
Những điểm tiếp xúc như trên không những chỉ xuất hiện trong bài toán
truyền sóng Rayleigh mà còn xuất hiện trong nhiều bài toán thuộc các lĩnh vực khác
nhau như trong vật lý lượng tử, vật lý chất rắn, cơ học,... cùng với nhiều thuật ngữ
khác nhau (xem Kausel cùng các cộng sự, 2015, cùng với các tài liệu tham khảo của
bài báo). Nói chung những điểm tiếp xúc này là những nghiệm bội của bài toán giá
trị riêng tương ứng với các lĩnh vực ở trên, do đó chúng có một số tính chất đặc biệt.
Trong lĩnh vực địa chấn, cụ thể là trong phương pháp tỷ số H/V-là một phương
pháp liên quan đến sóng mặt Rayleigh, một tính chất đặc biệt của đường cong tỷ số
H/V được phát hiện tại điểm tiếp xúc này. Đó là tại điểm tiếp xúc, đường cong này
sẽ có một điểm cực đại chuyển thành một điểm không (xem Trần Thanh Tuấn,
2009). Do điểm cực đại và điểm không là hai điểm quan trọng trong phương pháp
tỷ số H/V nên điểm tiếp xúc của tập đường cong phổ vận tốc của sóng mặt Rayleigh
cần được nghiên cứu.
Trong lĩnh vực địa chấn, mặc dù điểm tiếp xúc đã được quan sát thấy từ khá
lâu (ví dụ như trong Sezawa và Kanai, 1935) nhưng những công trình nghiên cứu lý
thuyết về các điểm này vẫn còn khá ít. Theo Kausel và các cộng sự (2015) thì có thể
nói rằng điểm tiếp xúc trong lĩnh vực địa chấn được đề cập rõ ràng đầu tiên trong
một cuốn sách của Levshin (1973) và sau đó được đề cập và nhắc đến trong một số
công trình như của Forbriger (2006) và của Liu và các cộng sự (2009). Gần đây,
một số kết quả giải tích về điểm tiếp xúc của sóng Rayleigh trong một tấm đàn hồi,
cụ thể là các công thức xác định điểm tiếp xúc, đã được công bố trong Trần Thanh
Tuấn (2009) và được bổ sung trong Kausel và các cộng sự (2015). Tuy nhiên các
công thức này mới chỉ được tìm cho trường hợp tấm đàn hồi là đẳng hướng. Nội
dung chính của luận văn cao học này là đi tìm các công thức của điểm tiếp xúc của
sóng Rayleigh trong tấm với các điều kiện biên khác nhau khi tấm được làm từ vật
liệu trực hướng. Hơn nữa, tính chất trơn của phổ đường cong vận tốc tại các điểm
tiếp xúc cũng được khảo sát.
Luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận thì có 3 chương. Nội dung của
chương 1 là đi tìm phương trình tán sắc của sóng Rayleigh truyền trong tấm trong
trường hợp tấm có hai biên tự do và trường hợp tấm có một biên tự do và một biên
ngàm. Chương 2 sẽ khảo sát các phương trình tán sắc tìm được để đi tìm các công
thức xác định điểm tiếp xúc và khảo sát tính trơn của phổ đường cong vận tốc tại
các điểm tiếp xúc. Chương 3 sẽ trình bày các kết quả nhận được trong trường hợp
đẳng hướng và minh họa một vài kết quả ví dụ số.
Chƣơng 1: Phƣơng trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền
trong tấm đàn hồi trực hƣớng
Chương này sẽ sử dụng phương pháp truyền thống để đi tìm phương trình tán sắc
của sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm trực hướng. Đầu tiên, các phương trình
trạng thái và các phương trình chuyển động được trình bày lại theo các sách chuyên
khảo. Sau đó, tùy vào điều kiện biên của tấm, các phương trình tán sắc của sóng
Rayleigh sẽ được thiết lập. Các phương trình tán sắc này sẽ được sử dụng trong việc
nghiên cứu điểm tiếp xúc trong chương tiếp theo.
1.1. Các phƣơng trình truyền sóng cơ bản
Xét bài toán một tấm trực hướng có độ dày là h và các thông số vật liệu là
c 1 1 , c 1 2 , c 2 2 , c 6 6 . Sóng mặt Rayleigh được truyền trong mặt phẳng của tấm theo trục
0 x1
trùng với một hướng chính của tấm và tắt dần theo trục
phẳng tấm. Trục
O x 1 nằm
tấm có phương trình x 2
ở đáy tấm có phương trình
h
0 x2
x2 0
vuông góc với mặt
và do đó mặt trên của
. Do bài toán truyền sóng Rayleigh là biến dạng phẳng
nên trường chuyển dịch có dạng
u i u i ( x1 , x 2 , t ) ,
( i 1, 2 ) , u 3 ( x 1 , x 2 , t ) 0 ,
(1.1)
trong đó t là thời gian. Mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển dịch được cho bởi (ví
dụ xem Ting, 1996)
1 1 c 1 1 u 1 ,1 c 1 2 u 2 , 2
22
c 1 2 u 1 ,1 c 2 2 u 2 , 2
(1.2)
1 2 c 6 6 ( u 1 , 2 u 2 ,1 )
trong đó dấu phẩy chỉ đạo hàm theo biến không gian. Trong trường hợp không xét
đến trọng lực thì phương trình chuyển động của sóng Rayleigh có dạng
1 1 ,1 1 2 , 2 u1 ,
1 2 ,1
Giả sử sóng lan truyền theo phương
22 ,2
0 x1
(1.3)
u2 .
với vận tốc
c
và số sóng
k
, khi đó
các hàm chuyển dịch có thể được biểu diễn dưới dạng
ui U i x2 e
ik ( x1 c t )
, ( i 1, 2 ).
(1.4)
Thay dạng của các hàm chuyển dịch này vào phương trình chuyển động (1.3) sau
khi đã sử dụng phương trình trạng thái (1.2), ta thu được một hệ phương trình vi
phân chuyển động đối với U i ( x 2 ) . Giải hệ này ta có nghiệm tổng quát của các hàm
chuyển dịch có dạng (xem Phạm Chí Vĩnh và Ogden, 2004)
u 1 B1e
u 2 1 B1e
trong đó
B2e
k b1 x 2
k b1 x 2
B 3e
1B2e
k b1 x 2
k b1 x 2
B4e
3 B3e
là các hằng số tích phân và
B i ( i 1, 4 )
k b3 x 2
k b3 x 2
k b3 x 2
3B4e
(1.5)
k b3 x 2
là nghiệm của phương trình
b1 , b 3
c 2 2 c 6 6 b ( c 1 2 c 6 6 ) c 2 2 ( X c 1 1 ) c 6 6 ( X c 6 6 ) b ( c 1 1 X )( c 6 6 X ) 0
4
với
X c
2
2
2
. Chú ý rằng đây là một phương trình trùng phương của
chung là nó có bốn nghiệm phức
b1 , b 3
b1
và
và
2
b 3 . b1
thực dương và nếu
2
bi
là số thực âm,
bi
2
bi
và nói
có thể thực hoặc phức và
2
b3
là các căn chính của chúng. Nghĩa là, trong trường hợp
được chọn là số phức có phần thực dương. Nếu
b
(1.6)
b i ( i 1, 3)
2
là số thực dương,
là phức,
bi
bi
cũng là số
là các số thuần ảo có phần ảo dương. Trong
phương trình (1.5), ta ký hiệu
k i k (U
2
(1.7)
/ U 1)k
với
k
b k ( c1 2 c 6 6 )
c1 1 X c 6 6 b k
2
c 22bk c 66 X
2
( c1 2 c 6 6 ) b k
, ( k 1, 3 ).
(1.8)
Sử dụng các đại lượng không thứ nguyên
e1
c1 1
c 66
, e2
c 22
c 66
, e3
c1 2
, x
c 66
X
(1.9)
c 66
khi đó phương trình (1.6) có dạng
e 2 b ( e 3 1) e 2 ( x e1 ) ( x 1) b ( e1 x )(1 x ) 0
4
2
2
(1.10)
, ( k 1, 2 ).
(1.11)
và (1.8) có dạng
k
b k ( e 3 1)
e2bk 1 x
2
e1 x b k
2
( e 3 1) b k
Theo công thức Viet ta có:
( e 3 1) e 2 ( x e1 ) ( x 1)
2
S ( x ) b1 b 3
2
2
P ( x ) b1 b 3
2
2
,
e2
( e1 x )(1 x )
(1.12)
.
e2
Các số hạng trong công thức của các hàm chuyển dịch trong (1.5) tương ứng
với bốn thành phần của sóng gồm hai sóng đi lên và hai sóng đi xuống của sóng qP
và qSV trong tấm.
Phương trình tán sắc để xác định vận tốc truyền sóng c phụ thuộc vào tần số sẽ
được xác định từ các điều kiện biên. Trong phần tiếp theo của chương này, hai
trường hợp biên của tấm sẽ được xem xét. Đó là trường hợp tấm có hai mặt biên tự
do và trường hợp tấm có mặt trên tự do và mặt dưới bị ngàm. Hai trường hợp này là
các trường hợp tới hạn của mô hình tấm đặt trên bán không gian. Trường hợp đầu là
trường hợp tới hạn khi bán không gian có độ cứng rất nhỏ, và trường hợp sau là
trường hợp khi bán không gian có độ cứng rất lớn so với độ cứng của tấm.
1.2. Trƣờng hợp tấm có hai mặt tự do
Từ điều kiện tự do ứng suất tại mặt trên và mặt dưới của tấm ta có
12 ( 0 )
22
12 ( h )
(h) 0
22
(0 ) 0
(1.13)
Sử dụng các công thức của chuyển dịch (1.5) và ứng suất (1.2) vào các điều kiện
biên trên chúng ta thu được một hệ các phương trình đại số đối với các hằng số tích
phân B 1 , B 2 , B 3 , B 4 dưới dạng ma trận như sau:
M 1 [ B1 , B 2 , B 3 , B 4 ] 0
T
trong đó ma trận
M
M
1
1
(1.14)
có dạng
c 6 6 b1
c 2 2 1 b1
b
c 6 6 b1 e 1
b1
c 2 2 1 b1 e
c 6 6 b1
c 6 6 b3
c 6 6 b3
c 2 2 1 b1
c 2 2 3 b3
c 2 2 3 b3
c 6 6 b1 e
b1
c 2 2 1 b1 e
b1
c 6 6 b3 e
b3
c 2 2 3 b3 e
b3
c 6 6 b3 e
b3
c 2 2 3 b3 e
b3
(1.15)
với k h . Để hệ phương trình trên có nghiệm không tầm thường thì định thức
tương ứng của ma trận phải bằng 0. Từ đó ta thu được phương trình tán sắc của
sóng mặt Rayleigh như sau
B0 B0
2
c o s h ( b1 ) c o s h ( b 3 )
2 B0 B0
2
s in h ( b1 ) s in h ( b 3 ) 1
(1.16)
trong đó
B 0 b 3 ( S e 2 2 e 3 x )(1 x ) e 2 x b1
2
(1.17)
B 0 b1 ( S e 2 2 e 3 x )(1 x ) e 2 x b 3
2
với S được biểu diễn trong (1.12).
Khi được biểu diễn thông qua các tham số của tấm, phương trình tán sắc (1.16) có
dạng
c o s h ( b1 ) c o s h ( b 3 ) B
s in h ( b1 ) s in h ( b 3 )
b1
1
(1.18)
b3
với
( S e 2 2 e 3 x ) (1 x ) S e 2 x P S 4 e 2 x ( S e 2 2 e 3 x )(1 x ) P
2
B
trong đó
P
và
2
2
2
( S e 2 2 e 3 x ) (1 x ) e 2 x P e 2 x S ( S e 2 2 e 3 x )(1 x )
2
S
2
2
2
(1.19)
được cho bởi phương trình (1.12).
1.3. Trƣờng hợp tấm có mặt trên tự do, mặt dƣới bị ngàm
Từ điều kiện tự do ứng suất tại mặt trên của tấm và điều kiện ngàm của mặt
dưới tấm ta có
u1 (0 ) u 2 (0 ) 0 ,
12 ( h )
(h) 0.
22
(1.20)
Tương tự như trường hợp hai biên tự do, sử dụng các công thức của chuyển dịch
(1.5) và ứng suất (1.2) vào các điều kiện biên trên chúng ta thu được một hệ các
phương trình đại số đối với các hằng số tích phân B 1 , B 2 , B 3 , B 4 dưới dạng ma trận
như sau:
M 2 [ B1 , B 2 , B 3 , B 4 ] 0
T
trong đó ma trận
M
M
2
2
(1.21)
có dạng
1
1
b
c 6 6 b1 e 1
b1
c 2 2 1 b1 e
1
1
1
1
3
3
c 6 6 b1 e
b1
c 2 2 1 b1 e
c 6 6 b3 e
b1
b3
c 2 2 3 b3 e
c 6 6 b3 e
b3
b3
c 2 2 3 b3 e
b3
.
(1.22)
Khi đó phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh trong trường hợp tấm có
đáy ngàm có dạng
A c o s h ( b1 ) c o s h ( b 3 ) C s in h ( b1 ) s in h ( b 3 ) 1
(1.23)
trong đó ta sử dụng các ký hiệu
A0 A0
2
A
2
C0 C0
2
,C
2 A0 A0
2
(1.24)
2C 0 C 0
Với
A0 b3 e 2 e3 x ,
C 0 b 3 b1 e 2 e 3 e 3 x ,
A 0 b1 e 2 e 3 x ,
C 0 b1 b 3 e 2 e 3 e 3 x .
2
2
2
2
(1.25)
Khi biểu diễn thông qua các tham số vật liệu của tấm, phương trình tán sắc
(1.23) có dạng
A c o s h ( b1 ) c o s h ( b 3 ) C
s in h ( b1 ) s in h ( b 3 )
b1
b3
1
(1.26)
với
2
A A
e2 ( S
2
2 P ) 2 e2 (e3 x ) S 2 (e3 x )
2 e2 P e2 S (e3 x ) (e3 x )
2
C C b1 b 3
2
e 2 P S e 3 (1 x ) S 4 e 2 e 3 (1 x ) P
2
2
2
2
(1.27)
2 e 2 P e 2 e 3 (1 x ) S e 3 (1 x )
2
2
2
trong đó P và S được biểu diễn bởi (1.12).
Chú ý rằng, khi được biểu diễn dưới dạng (1.26), vế trái của phương trình tán
sắc sẽ luôn luôn có giá trị thực.
Chƣơng 2. Các công thức xác định điểm tiếp xúc
Phương trình tán sắc (1.16) và (1.23) của sóng Rayleigh truyền trong tấm là
phương trình dạng ẩn để xác định vận tốc như là một hàm của tần số. Về nguyên
tắc, để đi xác định điểm tiếp xúc ta cần tìm các giá trị của tần số sao cho các
phương trình trên có nghiệm kép. Trong luận văn này, một phương pháp tìm điểm
tiếp xúc dựa theo lý thuyết tia được trình bày trong bài báo của Tolstoy và Usdin
(1953) sẽ được áp dụng. Đầu tiên, các phương trình tán sắc (1.16) và (1.23) sẽ được
tách thành hai phương trình con biểu diễn các mode đối xứng và phản đối xứng
(theo thuật ngữ dùng trong bài báo của Tolstoy và Usdin, 1953) bằng một phép đổi
biến. Các điểm tiếp xúc sẽ được tìm bằng cách cho hai loại mode này có điểm
chung.
2.1. Trƣờng hợp tấm có hai mặt tự do
Đặt
t1 ta n h (
b1
2
b3
) v à t 3 ta n h (
(2.1)
).
2
Ta có các đẳng thức liên hệ của các hàm lượng giác sau
1 t1
1 t3
2
2
c o s h ( b1 )
1 t1
2
, c o s h ( b3 )
1 t3
2
s in h ( b1 )
,
2 t1
1 t1
2
,
s in h ( b 3 )
2 t3
1 t3
2
. (2.2)
Thay các biểu thức này vào phương trình tán sắc (1.16) ta có
1 t1 1 t 3
2
2
1 t1 1 t 3
2
2
B
4 t1 t 3
(1 t1 )(1 t 3 )
2
2
1
(2.3)
trong đó ta ký hiệu
B0 B0
2
B
2
(2.4)
.
2 B0 B0
Từ (2.3) ta có
(1 t1 )(1 t 3 ) 4 B t 1 t 3 (1 t 1 )(1 t 3 )
2
2
2
2
t1 (1 t 3 ) (1 t 3 ) 4 B t1 t 3 (1 t 3 ) (1 t 3 ) 0
2
2
2
t1 ( 2 B t 3 ) t1 t 3 0 .
2
2
2
2
(2.5)
Đây là một phương trình bậc hai đối với biến
và hai nghiệm của phương trình là
t1
t1 B t 3
'
(2.6)
với
B t 3 t 3 ( B 1) t 3 .
'
2 2
2
2
2
(2.7)
Dấu (+) trong phương trình (2.6)tương ứng với mode đối xứng, dấu (–) tương ứng
với mode phản đối xứng. Hai thuật ngữ này bắt nguồn từ thực tế rằng nghiệm của
nhánh (+) có chuyển dịch của chất điểm tại hai bề mặt của tấm đối xứng nhau, và
nghiệm của nhánh (-) có chuyển dịch phản đối xứng.
Những điểm tiếp xúc là những điểm mà tại đó hai mode đối xứng và phản đối
xứng gặp nhau. Từ điều kiện này và từ cách đặt ở trên ta có phương trình xác định
điểm tiếp xúc là
B 1
0
2
t 3 0
2
'
Với trường hợp
t3 0
2
(2.8)
. Đây là một trường hợp không có ý nghĩa vật lý nên ta
không xét đến.
2
Ta xét trường hợp B 1 . Nghĩa là, hoặc
Xét trường hợp B
1,
B 1
hoặc
B 1 .
ta có
B0 B0
2
2
2 B0 B0 B0 B0.
(2.9)
Điều này dẫn đến phương trình tán sắc (1.16) có dạng
c o s h ( b1 ) c o s h ( b 3 ) s in h ( b1 ) s in h ( b 3 ) 1 .
Từ đó suy ra
b1 b 3
(2.10)
. Điều này không có ý nghĩa vật lý do phương trình đặc trưng
của sóng truyền trong môi trường tấm bị suy biến.
Xét trường hợp B
1 ,
tương tự như trên ta có :
B0 B0
2
2
2 B0 B0 B0 B0 .
(2.11)
Từ đó suy ra
(1 x ) e 3 e 2 ( e1 x ) x
2
(1 x )( e1 x ) 0 .
e2
(2.12)
Đây chính là phương trình tán sắc sóng Rayleigh truyền trong bán không gian có
tính chất vật liệu giống như của tấm (xem Pham Chi Vinh và Ogden, 2004).Phương
trình này luôn có một nghiệm thực của x R và đó là vận tốc sóng Rayleigh truyền
trong bán không gian và
xR 1 .
trong tấm luôn luôn lớn hơn
nghiệm thực khác
xR
Tuy nhiên, vận tốc truyền sóng của sóng Rayleigh
. Do đó nếu điểm tiếp xúc tồn tại thì nó sẽ là một
của phương trình (2.12), nếu tồn tại. Điều kiện của các tham
xR
số của tấm để phương trình Rayleigh (2.12) tồn tại nhiều hơn một nghiệm thực là
phức tạp và có thể xem trong Phạm Chí Vĩnh và Ogden (2004).
Giả sử ta đã tìm được vận tốc truyền sóng
của điểm tiếp xúc (nếu tồn tại).
xa
Để tìm tần số tại điểm tiếp xúc ta sử dụng phương trình (2.6) và có
t1 t 3 .
Điều
này dẫn đến
ta n (
i b1
) ta n (
2
với
b1 b 2
i b 2
) 0
i b1
2
S 2
i b 2
2
2
và được lấy giá trị
P
phương trình trên ta đã sử dụng đẳng thức
k
x xa
2k
i ( b1 b 2 )
(k Z )
(2.13)
. Chú ý rằng để nhận được
ta n h ( x ) i ta n ( ix ).
2.2. Trƣờng hợp tấm có mặt đáy bị ngàm
Sử dụng các biểu thức trong (2.1) và (2.2), phương trình tán sắc (1.23) khi đó
được biểu diễn dưới dạng
A (1 t1 )(1 t 3 ) C ( 2 t1 )( 2 t 3 ) (1 t 1 )(1 t 3 )
2
2
2
2
t1 A (1 t 3 ) (1 t 3 ) 2 ( 2 C t 3 ) t 1 A (1 t 3 ) (1 t 3 ) 0 .
2
2
2
2
Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với
t1
2
(2.14)
'
. Biệt thức của phương trình
này là
4 C t 3 A (1 t 3 ) (1 t 3 ) = t 3 1 A
'
2 2
2
2
2
2
2
4
2
2t 2C
2
3
2
A 1 1 A
2
2
. (2.15)
Hai nghiệm
t1
của phương trình tán sắc này ứng với hai nhánh đối xứng và phản đối
xứng.
Phương trình tán sắc của nhánh đối xứng là:
t1
2 C t3
'
(2.16)
A (1 t 3 ) (1 t 3 )
2
2
hoặc dưới dạng ẩn nó có dạng
A (1 t 3 ) (1 t 3 ) 2 C t 3
2
2
0
'
(2.17)
hay
F ( x, )
( x, ) 0,
'
(2.18)
trong đó
F ( x , ) A ( x )(1 t 3 ) (1 t 3 ) t1 2 C ( x ) t 3 .
2
Chú ý rằng các hàm
t1
và
t3
2
(2.19)
là các hàm phụ thuộc vào cả biến x và .
Phương trình tán sắc của nhánh phản đối xứng là
t1
2 C t3
'
A (1 t 3 ) (1 t 3 )
2
2
(2.20)
hoặc được biểu diễn dưới dạng ẩn có dạng:
F ( , x )
( , x ) 0 .
(2.21)
Đối với các tham số vật liệu của tấm (ei) được cho trước, các đường cong
nghiệm x ( ) của phương trình tán sắc (1.23) là hợp của các đường cong nghiệm của
phương trình của hai nhánh đối xứng và phản đối xứng. Thông thường các đường
cong nghiệm của hai nhánh là không giao nhau. Trong một số giá trị đặc biệt của
tham số vật liệu của tấm, chúng có thể giao nhau và điều kiện cần để chúng gặp
nhau là
( , x ) 0
(2.22)
với
( , x )
được xác định từ (2.15). Đây là phương trình bậc hai đối với
2
t3
có biệt
thức
1
2C
Tùy thuộc vào giá trị của
2
A 1 1 A
2
2
2
2
4 C
2
1 C
2
A
2
.
(2.23)
và mà biệt thức trên có giá trị dương, âm hay bằng
x , ei
không tương ứng với các trường hợp sau đây.
Trường hợp1: phương trình (2.22) không có nghiệm.
Trong trường hợp này, không có điểm giao nhau giữa hai mode đối xứng và
mode phản đối xứng với mọi giá trị của tần số sóng. Nghĩa là, điểm tiếp xúc không
tồn tại.
Trường hợp 2: phương trình (2.22) có nghiệm kép.
Trong trường hợp này biệt thức
C
1
2
của phương trình (2.23) bằng 0. Nghĩa là
1 C
A
2
2
0.
(2.24)
Ta xét các trường hợp sau:
Trƣờng hợp: C 2 A 2 0 C 2 A 2
Khi đó phương trình xác định điểm tiếp xúc (2.22) trở thành:
( , x ) 1 A
Do
t3 1 0 ( , x )
2
nên ta có
A
2
1 C
2
2
t
2
3
1 0.
2
. Từ biểu thức của
(2.25)
A
trong (1.24), điều
kiện này trở thành
A0 A0
2
2 2
2
2
2
2
( A0 A0 ) 4 A0 A0 A0 A0 0
A 0 A 0
1. Ta xét
A0 A0
Từ đó suy ra
suy ra
b1 b 2
2
2
b1 e 2 e 3 x b 2 e 2 e 3 x
2
2
( b1 b 2 ) e 2 0 .
2
2
. Đây là kết quả trong trường hợp phương trình đặc
trưng (1.10) bị suy biến, do đó không có ý nghĩa vật lý.
2. Ta xét trường hợp
hay
(2.26)
A0 A0
, khi đó ta có
S e2 2 e3 2 x 0 .
(2.27)
Từ biểu thức của S trong (1.12), ta có công thức xác định vận tốc truyền
sóng tại điểm tiếp xúc có dạng
e1 e 2 e 3
2
xa
e2 1
1
Do
xa
ta có
(2.28)
.
phải lớn hơn không và từ điều kiện năng lượng đàn hồi xác định dương nên
1
e 2 1 . Từ
. Do đó
điều kiện C2=1 , thay
x xa
1
1 e1 e 2 e 3
vào ta có e 2
2
e
e3 1 .
Như vậy ta đã tìm được tập hợp điểm tiếp xúc thứ nhất xảy ra khi
xa
e1 e 2 1
e2 1
1
1 0
2
3
e3 1
tại
. Tiếp theo ta sẽ đi tìm giá trị của tần số sóng tại tập điểm tiếp xúc thứ
nhất này.
Từ phương trình (2.16) hay (2.20) với
t1
0
ta có
2 C t3
A 1 t 3
2
1 t
2
(2.29)
.
3
Do
2
A0 A0 A
Do
C
t1
và
và
b3
2
t3
1
nên
t1 t 3
2 A0
2 A0
2
1 t1
C
t3
t1 t 3 C .
(2.30).
chỉ có thể nhận giá trị là 1 hoặc -1. Do định nghĩa của các biến
trong phương trình (2.1), chúng chỉ có thể nhận giá trị thuần ảo. Vì vậy, b1
cũng phải nhận các giá trị thuần ảo. Và do quy ước chọn giá trị của
bày trong Chương 1, ta có
b1 b 3 0
. Vì vậy, với
b1 b 3
P ( xa )
Trong luận văn này ta chỉ xét trường hợp
1
e1 1
e3 1
và
e1 1
e2 1
x xa
b1
,
b3
trình
, ta có
1
2
(2.31)
do nếu ngược lại vật liệu có thể sẽ
có những tính chất đặc biệt như là hệ số Poisson âm trong trường hợp đẳng hướng.
Do đó
b1 b 3
P ( xa )
1
e1 1
e2 1
. Thay giá trị
x xa
vào biểu thức của
1
C x
trong
phương trình (1.24) ta có
C xa
1
e2 1
e1 1
P ( xa ) 1.
(2.32)
1
Như vậy từ (2.30) ta có
t1 t 3 1 .
Do ta n h ( x )
(2.33)
từ phương trình (2.33)
i ta n ( ix ) ,
ta n
i b1
ta n
i b 3
2
i b1
1
2
i b 3
2
2
(2.34)
m , m Z
2
hay
Từ (1.12) và thay
x xa
2 m
i ( b1 b 3 )
, m Z.
(2.35)
ta có
1
b1 b 3
b1 2 b 1 b 3 b 3
2
2
4
1 e1 e 2
e 2 ( e 2 1)
2i
xa
1
.
(2.36)
e2
Do đó
a
2 m
1
2
xc
e2
( m ) ( m 0 ,1, 2 , ...).
xc 2
(2.37)
e2
Như vậy tập hợp nghiệm
S 1 của
S 1 : e 3 1, a
1
điểm tiếp xúc là
e2
e e 1
( m ) ( m 0 ,1, 2 , ...), x a 1 2
.
1
xc 2
e2 1
(2.38)
Trƣờng hợp C 2 1 A 2
Khi đó phương trình xác định điểm tiếp xúc (2.22) trở thành
1
1 ,nên
Do A 2
A
2
1 t 0 .
2
3
(2.39)
t3 1
(2.40)
từ phương trình trên ta có
2
vì vậy
b3
là số thuần ảo. Từ phương trình (2.16) ta có
2 C t3
t1
Như vậy
b1 b 3 0
2
C t 3 t1 C t 3 t1 t 3 1 .
2
2
cũng là số thuần ảo. Do quy ước chọn
b1
.Từ điều kiện
C
2
2
Thay biểu thức
C0
và
C0
b3
2
2
1
P e
2
2
2
x 1
2
e1 e 2 e 3 x e 2 e 3
2
2
2
0
x 1
b
2
1
b3
2
(2.43)
0.
.
thay vào các biểu thức của P và S trong phương trình (1.12) ta có
b1 b 3 0 , b1 b 3
2
Từ đó suy ra
Với
(2.42)
2
1 x e1 x e 2 e 3
1,
trong Chương 1, nên
b3
0.
2
2
hoặc
và
e 3 ( x 1) 0
1 x e1 x e 2 e 3
x 1
b1
(2.41)
vào ta có
b
Từ đó suy ra
2
ta có
1
C0 C0
Với x
2
x 1 ta
b1
hoặc
b3
2
2
2
e 2 e1 1 1 e 3
2
.
(2.44)
e2
bằng không. Điều này không có ý nghĩa vật lý.
có vận tốc truyền sóng tại lớp các điểm tiếp xúc thứ hai bằng
e 2 e1 e 3
2
xa
2
e 2 e3
2
.
(2.45)
Do
e1 e 2 e 3 0
2
nên điều kiện
xa 0
suy ra
2
e 2 e3 0 .
2
Để tìm tần số tại các điểm tiếp xúc này ta sử dụng đẳng thức ta n h ( x )
phương trình (2.41) ta có
2
ta n (
ib1
) ta n (
2
2
ib 3
i ta n ( ix ) .
Từ
) 1.
2
Với điều kiện này, tần số tại điểm tiếp xúc được tìm từ một trong bốn điều kiện sau
ib1
k
2
4
ib 3 l
2
4
ib1
k
2
4
ib 3 l
4
2
(k ,l Z )
ib1
k
2
4
(k , l Z )
ib 3 l
2
4
(k ,l Z )
(k , l Z )
(2.46)
và
ib1
k
2
4
ib 3 l
4
2
(2.47)
Cả hai phương trình trong (2.46) đều cho ta
i b1 b 3
p (p Z )
2
i b1 b 3
q
(q Z )
2
2
(2.48)
và hai phương trình trong (2.47) đều cho ta
i b1 b 3
r (r Z )
2
i b1 b 3
s
(s Z )
2
2
(2.49)
Từ đó suy ra
hoặc
2 p
i ( b1 b 3 )
2 q
i ( b1 b 3 )
, p 1, 2 , 3 , q 0 ,1, 2
(2.50)
2 r
i ( b1 b 3 )
2 s
, r 1, 2 , 3 , s 0 ,1, 2
i ( b1 b 3 )
(2.51)
Từ (1.12) ta có
b1 b 3
xa
b1 2 b1 b 3 b 3 i (1 e 3 )
2
2
(2.52)
2
e2
và
( e 3 1) x a
4 e 3 e1 1 x a
2
b1 b 3
b1 2 b1 b 3 b 3 i
2
2
2
e1 e 2 e 3
2
e2
2
.
(2.53)
Do đó, từ (2.50) và (2.51) ta có thêm hai tập nghiệm của điểm tiếp xúc nữa, đó là
e 2 e1 e 3
2
xa
S2 :
2
a
2
e2 e3
2
,
e2 2 q
xa
( e 3 1)
2
2 p
xa
2
e2
(2.54)
4 e 2 e 3 e1 1
( e 3 1)
2
e1 e 2 e 3
2
( q 0 ,1, 2 ... v à q 1, 2 , ...)
và
e 2 e1 e 3
2
S3 :
xa xa
3
a
3
2
e2 e3
2
e2
2 r
xa
( e 3 1)
3
,
2 s
xa
3
e2
( e 3 1)
2
(2.55)
4 e 2 e 3 e1 1
e1 e 2 e 3
2
( s 0 ,1, 2 ... v à r 1, 2 , ...)
Từ các biểu diễn tập nghiệm (2.54) và (2.55) các thông số phải chịu thêm một ràng
buộc. Đối với tập S 2 ta có
2p
( e 3 1)
2
4 e 2 e 3 e1 1
e1 e 2 e 3
2
1 2q
(1 e 3 )
1
1
4 e 2 e 3 e1 1
e e
1
e 3 ( e 3 1)
2
2
1 2q
2p
2
hay
2
4 e 2 e 3 e1 1
R2 :
e e
1
e 3 ( e 3 1)
2
2
2p
1
.
1
2
q
2
Tương tự như vậy, ta có ràng buộc của tập nghiệm
4 e 2 e 3 e1 1
R3 :
e e
1
2
e 3 ( e 3 1)
2
2
S3
2
1 2s
1
.
2r
(2.57)
Ngoài ra các thông số tự do p , q và r , s cũng phải thỏa mãn thêm điều kiện từ các
điều kiện áp lên các tham số vật liệu, ví dụ như điều kiện thế năng đàn hồi xác định
dương do đó dẫn đến vế phải của (2.56) và (2.57) phải dương, tức là
2p
1 2q
1,
1 2s
1.
(2.58)
2r
Các điều kiện này cũng cần được lưu ý khi tính toán số điểm tiếp xúc.
Trường hợp 3: phương trình (2.22) có hai nghiệm phân biệt
Trong trường hợp này, phương trình (2.22) có thể được phân tích thành
( , x ) T ( , x )( t 3 t 3 1 )( t 3 t 3 2 )
2
2
2
2
(2.59)
trong đó T ( , x ) là một hàm hệ số nào đó. Khi đó, đường cong của mode đối xứng
sẽ gặp đường cong của mode phản đối xứng tại hai điểm phân biệt được xác định từ
việc giải phương trình t 32 t 321 hoặc t 32 t 322 cùng với phương trình (2.16). Do biểu
diễn của các biểu thức
2
t31
và
2
t32
là phức tạp nên trong luận văn này các điểm tiếp
xúc loại này không được tìm hiểu.
2.3. Tính trơn của đƣờng cong phổ vận tốc tại điểm tiếp xúc
Phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm (1.23) có dạng
F ( , x )
trong đó hàm
F ( , x )
và
( , x )
( , x ) 0
(2.60)
được cho trong phương trình (2.19) và (2.15).
Đạo hàm của đường cong vận tốc theo tần số của mode đối xứng được tính theo
công thức của đạo hàm của hàm ẩn như sau
(
dx
)
d
( sym )
F (
)
Fx (
)x
F (
)
Fx (
)x
(2.61)
và đối với các mode phản đối xứng
(
dx
)
d
( asym )
Tại tập các điểm tiếp xúc S i , đạo hàm riêng của hàm
(2.62)
.
F ( i , x i ) F ( S i )
i 1, 3
được
tính toán trực tiếp bằng các quy tắc lấy đạo hàm. Từ phương trình (2.19), biểu thức
của hàm F ( , x ) được viết lại dưới dạng
F ( x , ) A ( x ) t1 1 t 3
2
trong đó các hàm
t1
và
t3
2 C ( x )t
được ngầm hiểu là
t1 1 t 3
2
3
t1 t1 ( , x )
và
(2.63)
t 3 t 3 ( , x ). Khi
đó các
đạo hàm riêng của hàm này có dạng
F x A x t1 1 t 3
2
A t 1 (1 t 3 ) 2 C x t 3 2 C t 3 t 1 (1 t 3 ) ,
x
x
x
2
2
F A t 1 (1 t 3 ) 2 C t 3 t 1 (1 t 3 ) .
2
2
(2.64)
Tuy nhiên, các đạo hàm riêng của ( , x ) tại các điểm tiếp xúc thì không tính
toán trực tiếp được theo cách như trên vì hàm này bằng không tại các điểm tiếp xúc,
do đó các đạo hàm riêng của hàm này nếu được tính theo công thức sẽ không xác
định tại các điểm tiếp xúc. Chúng ta sẽ đi tính toán các đạo hàm riêng của nó theo
công thức định nghĩa của đạo hàm riêng.
Biểu thức của hàm
( , x )
trong phương trình (2.15) được biểu diễn lại có
dạng
Từ biểu thức của
A(x)
và
1 A
2
1 A
2
C (x)
t
t
4
3
2
3
2 t3 1 4 t3 C
2
2
1 4 t3 C
2
2
2
2
1.
trong (1.24) và (1.25) ta có
1
(2.65)
1 A
C
2
1
2
x
xa
e2
1
2
e3
2
2
2
1
2
x xa
e
2
M (x)
2
(2.66)
M (x)
2
e2 P ( x )
trong đó
M ( x ) e 2 1 x 2 ( e 2 1)(1 e 3 ) ( e 2 1)( e1 e 2 1) x e1 e 2 e 3 e1 e 2 ( 2 e 3 )
2
2
2
2
2
(2.67)
Xét tập hợp nghiệm
S 1 trong
Trong trường hợp này ta có
phƣơng trình (2.38)
và vận tốc truyền sóng tại các điểm tiếp xúc là
e3 1
xa
e1 e 2 1
e2 1
1
, x
Ta có công thức tính các đạo hàm riêng của hàm
Chú ý rằng
ta có
x
( a , x a ) 0
1
, xa
1
1
a
( a , x )
( a , x a ) lim
1
x xa
1
, và khi
e3 1
1
a
1
xa xa
1
,
(2.69)
1
1
x xa
ta có
1
( a , x a )
1
1
như sau
( a , x a )
1
a
1
1
.
1
. Do đó từ (2.64) và (2.65)
2
0 . Điều này dẫn đến
Thay
( , x a )
( a , x a ) lim
1
(2.68)
.
( a , x a ) 0
1
(2.70)
1
vào trong phương trình (2.65) ta có
1
a , x x xa
1
1
2
1
t 2 , x 1 4t 2 , x
3
a1
3
a1
2
e2 P ( x )
M (x)
e2 1
(2.71)
