Vật chất tối trong một số mô hình 3 3 1 mở rộng làm luận án tiến sĩ vật lý

bộ giáo dục và đào tạo viện hàn lâm khoa học
và công nghệ vn
viện vật lý
trần đình thám
vật chất tối trong một số mô hình 3-3-1
mở rộng
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62 44 01 03
luận án tiến sĩ vật lý
Người hướng dẫn khoa học
GS. TS. Đặng Văn Soa
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS. TS. Đặng Văn Soa đã hướng dẫn
tôi học tập, nghiên cứu trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh và giúp
tôi hoàn thành luận án này. Xin cảm ơn GS. TS. Hoàng Ngọc Long,
TS. Phùng Văn Đồng, TS. Đỗ Thị Hương, TS. Lê Thọ Huệ, ThS. Cao
Hoàng Nam - Viện Vật lý và TS. Nguyễn Huy Thảo, TS. Hà Thanh
Hùng - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và có nhiều đóng
góp đối với kết quả của luận án.
Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Phạm Văn Đồng nơi tôi đang công
tác đã có những hỗ trợ và động viên cần thiết trong thời gian tôi làm
nghiên cứu sinh. Xin cảm ơn Viện Vật lý là cơ sở đào tạo đã tạo điều
kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh và bảo
vệ luận án.
Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn sâu sắc tới gia đình đã động viên,
ủng hộ và hỗ trợ vô điều kiện về mọi mặt để tôi có thể yên tâm nghiên
cứu và bảo vệ thành công luận án này.
ii
Lời cam đoan
Luận án này là kết quả mà bản thân tôi đã thực hiện trong thời gian

làm nghiên cứu sinh tại Viện Vật lý. Cụ thể, chương một là phần tổng
quan giới thiệu những vấn đề cơ sở có liên quan đến nội dung của luận
án. Trong chương hai tôi đã sử dụng kết quả nghiên cứu mà tôi đã thực
hiện cùng với thầy hướng dẫn GS. TS. Đặng Văn Soa và GS. TS. Hoàng
Ngọc Long. Chương ba tôi sử dụng các kết quả nghiên cứu cùng với TS.
Phùng Văn Đồng - Viện Vật lý và đồng nghiệp là TS. Hà Thanh Hùng
- Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Chương bốn là biện luận ý nghĩa
vật lý dựa trên các kết quả đã nghiên cứu.
Cuối cùng tôi xin cam đoan và khẳng định rằng, đây là công trình
nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả có trong luận án "Vật chất tối
trong một số mô hình 3-3-1 mở rộng" là kết quả mới, không trùng lặp
với bất kỳ luận án hay công trình nào đã công bố.
Hà Nội, ngày 30 tháng 4 năm 2014
Tác giả luận án
Trần Đình Thám
iii
Mục lục
Lời cảm ơn ii
Lời cam đoan iii
Các ký hiệu chung vi
Danh sách bảng vii
Danh sách hình vẽ viii
Mở đầu 1
1 Vật chất tối và sự mở rộng của mô hình chuẩn 5
2 Axion trong mô hình 3-3-1 và thực nghiệm tìm kiếm 15
2.1 Axion trong mô hình Peccei-Quinn . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Vấn đề strong-CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Đối xứng Peccei-Quinn, bảo toàn CP và sự xuất
hiện axion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Axion trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải . 32

2.2.1 Tổng quan về mô hình . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Đối xứng Peccei-Quinn và axion . . . . . . . . . . 35
2.2.3 Quá trình rã của axion thành hai photon . . . . . 37
2.3 Tiết diện tán xạ của quá trình chuyển hóa photon-axion
trong trường điện từ ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Yếu tố ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Sự chuyển hóa trong điện trường tĩnh . . . . . . . 40
2.3.3 Sự chuyển hóa trong từ trường tĩnh . . . . . . . . 42
2.3.4 Sự chuyển hóa trong ống dẫn sóng . . . . . . . . 45
2.4 Tóm tắt kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iv
3 Vật chất tối trong mô hình 3-3-1-1 và thực nghiệm tìm
kiếm 50
3.1 Mô hình 3-3-1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Fermion trung hòa và các hạt lepton sai . . . . . 50
3.1.2 Đối xứng chuẩn 3-3-1-1 và W -parity . . . . . . . 55
3.1.3 Thế vô hướng và khối lượng . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Vật chất tối và thực nghiệm tìm kiếm . . . . . . . . . . 66
3.2.1 Mật độ tàn dư của boson chuẩn X
0
. . . . . . . . 67
3.2.2 Mật độ tàn dư của fermion trung hòa N
R
. . . . . 68
3.2.3 Thực nghiệm tìm kiếm vật chất tối N
R
. . . . . . 70
3.3 Tóm tắt kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Kết luận 74
4.1 Các kết quả chính của luận án . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2 Các hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . . 75
Danh sách các công bố của tác giả 79
Tài liệu tham khảo 80
Phụ lục 89
A Tìm yếu tố ma trận 90
B Kiểm tra các dị thường U(1)
N
92
C Nguồn gốc của W -parity 95
v
Các ký hiệu chung
Trong luận án này tôi sử dụng các kí hiệu sau:
Tên Viết tắt
Vật chất tối (Dark Matter) DM
Mô hình chuẩn (Standard Model) SM
Liên hợp điện tích-Chẵn lẻ (Charge conjugation-Parity) CP
CP trong tương tác mạnh Strong-CP
Máy gia tốc hadron lớn (Large Hadron Collider) LHC
Trung tâm nghiên cứu hạt nhân Châu Âu
(Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) CERN
Sắc động lực học lượng tử (Quantum Chromodynamics) QCD
Chẵn lẻ W hay chẵn lẻ lepton W -parity
Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu
(Minimal Supersymmetric Standard Model) MSSM
vi
Danh sách bảng
2.1 Sự phụ thuộc của bề rộng rã Γ và thời gian sống τ của
axion theo khối lượng của nó. . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1 Tích L của các đa tuyến trong mô hình. . . . . . . . . . 52
3.2 Số lepton của các hạt trong mô hình. . . . . . . . . . . . 53

3.3 Tích B của các đa tuyến trong mô hình. . . . . . . . . . 54
3.4 Các đa tuyến trong mô hình 3-3-1-1 với tích N tương ứng. 56
3.5 R-parity của các hạt trong mô hình 3-3-1-1 gồm hai loại
là các hạt lepton sai và các hạt thông thường. . . . . . . 58
vii
Danh sách hình vẽ
2.1 Tiết diện tán xạ toàn phần (cm
2
) của quá trình chuyển
hóa photon thành axion trong điện trường tĩnh ứng với
xung lượng q = 10
−4
÷ 10
−3
eV . Đồ thị trên vẽ với 300
điểm và đồ thị dưới vẽ với 3000 điểm. . . . . . . . . . . . 43
2.2 Tiết diện tán xạ toàn phần (cm
2
) của quá trình chuyển
hóa photon thành axion trong từ trường tĩnh ứng với xung
lượng q = 10
−4
÷ 10
−3
eV . Đồ thị trên vẽ với 300 điểm và
đồ thị dưới vẽ với 3000 điểm. . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Tiết diện tán xạ toàn phần (cm
2
) của quá trình chuyển
hóa photon thành axion trong ống dẫn sóng với xung

lượng q = 10
−5
÷ 10
−4
eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Các đóng góp chính cho quá trình hủy X
0
thành W
+
W
−
. 67
3.2 Các đóng góp chính cho quá trình hủy của N
R
. . . . . . 68
viii
Mở đầu
Lý do chọn đề tài
Trong nhiều thập kỷ qua, việc tìm kiếm các hạt mới trong vật lý hạt
cơ bản đã và đang thu hút rất nhiều nhà vật lý, nhằm tìm hiểu và giải
thích cấu trúc cũng như bản chất của Vũ trụ. Những thành công về công
nghệ quan sát của thế kỷ 21 đã đem lại cho chúng ta những hiểu biết
sâu hơn, nhưng thực chất vẫn chỉ là một phần rất nhỏ để hiểu bản chất
của Vũ trụ. Theo thực nghiệm quan sát hiện nay, Vũ trụ hiện tại chứa
68.3% năng lượng tối, 26.8% vật chất tối (Dark Matter - DM), chỉ có
4.9% là vật chất thông thường (vật chất mà chúng ta quan sát được)
[1]. Trên thực tế có hai quan niệm về DM. Dạng thứ nhất là DM được
tạo ra từ các hạt vật chất thông thường, chúng ta gọi chúng là vật chất
tối dạng baryonic (baryonic DM). Đối tượng chủ yếu của DM dạng này
là các ngôi sao không phát ra bức xạ và trôi trong không gian Vũ trụ.

Các ngôi sao này không có sự liên hệ với hệ thống các sao trong Vũ trụ,
chúng được gọi là MACHO (Massive astrophysical compact halo object).
Các ứng cử viên cho dạng DM này là các ngôi sao nơtron hay hố đen.
Dạng thứ hai của DM là dạng vật chất không bắt nguồn từ các dạng vật
chất thông thường, chúng được gọi là non-baryonic DM. Các ứng cử viên
cho non-baryonic DM được cho là các hạt WIMPs (weakly interacting
massive particles), là các hạt có khối lượng nhưng tương tác rất yếu với
vật chất thông thường (các hạt chỉ có tương tác hấp dẫn mà không có
các tương tác khác). Các nhà thiên văn học chủ yếu nghiên cứu các ứng
cử viên của DM là baryonic DM, trong khi đó các nhà vật lý hạt cơ bản
thì tìm kiếm DM là các hạt WIMPs. Trong luận án này, chúng tôi tập
trung nghiên cứu DM dựa trên quan điểm của vật lý hạt cơ bản.
Trên quan điểm của vật lý hạt cơ bản, các hạt DM là các hạt trung
hòa, không bị rã hoặc thời gian sống của chúng phải đủ lớn (tức là
thời gian sống của DM phải lớn hơn tuổi của Vũ trụ). Hiện tại, các hạt
1
WIMPs chưa được tìm thấy trong các máy gia tốc và cũng chưa có bằng
chứng nào cho ta xác định các thông tin về spin cũng như khối lượng của
chúng. Chính vì vậy, nghiên cứu bản chất của DM và tìm kiếm chúng
là một trong những vấn đề đã và đang được các nhà khoa học trên thế
giới, kể cả các nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm quan tâm.
Mặt khác, mô hình lý thuyết mô tả các tương tác của các hạt cơ bản
trong Vũ trụ được thực nghiệm ủng hộ nhất hiện nay là mô hình chuẩn
(Standard Model - SM). Tuy nhiên, trong SM không tồn tại ứng cử viên
thỏa mãn tính chất của DM. Do đó, chúng ta cần phải mở rộng SM để
chúng xuất hiện các ứng cử viên của DM. Do tính chất về spin của DM
là không xác định và phổ khối lượng của DM là rộng nên các ứng cử
viên của DM là rất phong phú. Chúng có thể là hạt vô hướng, hạt véc
tơ hay hạt fermion.
Chúng tôi muốn nhấn mạnh, khi mở rộng SM thì vùng không gian

tham số xuất hiện trong mô hình sẽ rộng hơn. Tuy nhiên, dựa vào các số
liệu thực nghiệm về mật độ và thời gian sống của DM, chúng tôi có thể
giới hạn được vùng không gian tham số xuất hiện trong mô hình. Dựa
vào vùng không gian tham số vừa tìm được và các tương tác của chúng,
chúng tôi có thể dự đoán được về khả năng tìm kiếm DM một cách trực
tiếp hoặc gián tiếp.
Vì vậy, tôi chọn đề tài "Vật chất tối trong một số mô hình 3 − 3 − 1
mở rộng" để nghiên cứu về bản chất và khả năng tìm kiếm DM. Mô hình
mở rộng chúng tôi nghiên cứu là các mô hình SU(3)
C
⊗SU(3)
L
⊗U(1)
X
có thêm các đối xứng mới.
Mục đích nghiên cứu
• Khảo sát vai trò DM của axion trong mô hình 3-3-1 với neutrino
phân cực phải. Nghiên cứu tương tác của axion với photon trong
trường điện từ ngoài và trên cơ sở đó đưa ra phương án có lợi nhất
để thu axion trong thực nghiệm.
• Xây dựng mô hình 3-3-1-1 và khảo sát vai trò DM của fermion trung
hòa chứa trong mô hình.
2
Đối tượng nghiên cứu
• Axion trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải.
• Fermion trung hòa trong mô hình 3-3-1-1.
Nội dung nghiên cứu
• Nghiên cứu nguồn gốc xuất hiện axion trong việc giải quyết vấn
đề strong-CP và tính bền của nó thông qua quá trình rã thành hai
photon trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải và khả năng

phát hiện axion trong thực nghiệm.
• Đặc điểm của mô hình 3-3-1-1.
• Vai trò DM của fermion trung hòa trong mô hình 3-3-1-1 và thực
nghiệm tìm kiếm.
Phương pháp nghiên cứu
• Lý thuyết trường lượng tử.
• Lý thuyết nhóm.
• Sử dụng quy tắc Feyman để tính biên độ tán xạ và bề rộng rã.
• Sử dụng các dữ liệu thực nghiệm mới nhất được công bố trên tạp
chí Particle Data Group.
• Dùng phần mềm Matlab R2008a để tính số và vẽ đồ thị.
Đóng góp của luận án
Những kết quả nghiên cứu của luận án là bằng chứng quan trọng góp
phần khẳng định sự tồn tại ứng cử viên cho DM là axion và fermion
trung hòa trong các mô hình mở rộng mô hình chuẩn có giả thiết thêm
một số đối xứng mới. Đề xuất phương án có lợi nhất để tìm kiếm ứng
cử viên cho vật chất tối trong thực nghiệm.
3
Bố cục của luận án
Trong luận án này ngoài phần mở đầu và phụ lục, nội dung chính
được chúng tôi trình bày trong 4 chương:
Chương 1: Giới thiệu tổng quan về vật chất tối và sự mở rộng của mô
hình chuẩn.
Chương 2: Trình bày lý thuyết chung về vấn đề strong-CP và nguồn
gốc xuất hiện axion thông qua quá trình phá vỡ đối xứng Peccei-Quinn
để giải quyết vấn đề strong-CP. Tiếp theo, chúng tôi xét cụ thể cho mô
hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải và khảo sát vai trò ứng cử viên
vật chất tối của axion trong mô hình này, nghiên cứu tính bền của axion
thông qua quá trình rã của nó thành hai photon và nghiên cứu sự chuyển
hóa photon thành axion trong trường điện từ ngoài bao gồm điện trường

tĩnh, từ trường tĩnh và ống dẫn sóng và đề xuất cho thực nghiệm các
hướng có lợi nhất để thu axion.
Chương 3: Xây dựng mô hình 3-3-1-1 dựa trên mô hình 3-3-1 có gán
với đối xứng chuẩn mới U(1)
N
. Khảo sát một số thuộc tính DM của các
hạt lepton sai có trong mô hình, từ đó xác định hạt nào là ứng cử viên
cho vật chất tối.
Chương 4: Tóm tắt các kết quả chính của luận án và các hướng nghiên
cứu tiếp theo.
4
Chương 1
Vật chất tối và sự mở rộng của mô
hình chuẩn
Hiện nay nguồn gốc và mật độ DM trong Vũ trụ là một câu hỏi trung
tâm trong cả vật lý thiên văn và vật lý hạt cơ bản. Có rất nhiều các
bằng chứng thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của DM trong Vũ trụ.
Bằng chứng thứ nhất chứng tỏ sự có mặt của DM trong Vũ trụ là vận
tốc của các thiên hà. Giả sử mật độ vật chất của các thiên hà là đồng
đều, vận tốc của các thiên hà sẽ phụ thuộc vào khối lượng và khoảng
cách theo hệ thức
v
2
=
G
N
M(r)
r
(1.1)
Bên ngoài thiên hà (nơi mà ánh sáng không bức xạ) khối lượng M(r) là

hằng số thì vận tốc v
2
sẽ giảm tỉ lệ nghịch với khoảng cách. Tuy nhiên,
các phép đo từ thực nghiệm [2] đã chứng tỏ vận tốc v bên ngoài thiên
hà vẫn là hằng số. Nghĩa là, khối lượng sẽ phụ thuộc vào khoảng cách
bên ngoài thiên hà M ∝ r. Điều này chứng tỏ tồn tại một dạng vật chất
mà chúng ta không nhìn thấy bên ngoài thiên hà.
Một bằng chứng thứ hai về DM là thấu kính hấp dẫn. Các nhà vật lý
thiên văn đã dùng thấu kính hấp dẫn để tìm kiếm DM. Thấu kính hấp
dẫn là hiện tượng ánh sáng sẽ bị gẫy khúc khi mà tia sáng đi qua các
vật thể có khối lượng lớn. Chính vì vậy, khi ánh sáng đi qua hố đen hoặc
các ngôi sao nơtron (vật thể là ứng cử viên baryonic DM) thì ánh sáng
bị gẫy khúc. Các nhà thiên văn học đã nghiên cứu các bức ảnh chụp bầu
trời về hiệu ứng sáng chứng tỏ sự gẫy khúc của ánh sáng trong không
gian Vũ trụ. Từ những số liệu thực nghiệm đó, chứng tỏ sự tồn tại của
các vật thể trong Vũ trụ mà chúng ta không quan sát được. Chúng ta
5
gọi chúng là DM.
Sự xuất hiện của các tia X phát ra từ các đám khí nóng trong các
thiên hà Elip chứng tỏ sự tồn tại của DM. Dựa trên các mô hình đẳng
nhiệt với nhiệt độ kT = 3keV , Fabricant và Gorenstein đã tiên đoán
tổng khối lượng từ tâm thiên hà đến bán kính 392 kpc là 5.8 ×10
13
M

với M

là khối lượng Mặt Trời. Tuy nhiên, khối lượng khí nóng chỉ cỡ
2.8 × 10
12

M

. Khối lượng quan sát được chỉ cỡ một phần trăm tổng
khối lượng. Chi tiết về bằng chứng này được chỉ rõ trong tài liệu [3].
Một bằng chứng khác nữa chứng tỏ sự tồn tại của DM là số liệu quan
sát thực nghiệm PLANCK. Theo thực nghiệm quan sát hiện nay, Vũ
trụ hiện tại chứa 68.3% năng lượng tối (dark energy), 26.8% DM, chỉ có
4.9% là vật chất thông thường (vật chất mà chúng ta quan sát được) [1].
Chúng ta không chỉ có những bằng chứng trực tiếp chứng tỏ sự tồn
tại của DM mà còn có những bằng chứng gián tiếp khác cũng chứng tỏ
sự tồn tại của DM. Từ những nghiên cứu về phản vật chất và vật chất
trong Vũ trụ đã đưa ra kết luận vật chất nhìn thấy chỉ đóng góp một
phần rất nhỏ vào ω trong Vũ trụ. Tuy nhiên, số liệu [1] chứng tỏ ω = 1.
Điều này chứng tỏ dạng vật chất quan sát được chỉ đóng góp một phần
nhỏ vào mật độ vật chất trong Vũ trụ. Phần lớn vật chất và năng lượng
đóng góp vào mật độ Vũ trụ là chưa quan sát được .
Từ những bằng chứng quan sát trên chứng tỏ sự tồn tại của DM trong
Vũ trụ. Tuy nhiên, tìm kiếm và nghiên cứu DM trong Vũ trụ vẫn là một
công việc chưa có lời giải. Vật chất tối là hạt gì? Làm cách nào có thể
phát hiện ra chúng? Khối lượng và spin của chúng như thế nào? Tất cả
các câu hỏi đó vẫn đang được các nhà vật lý hạt cơ bản, cả thực nghiệm
và lý thuyết đang rất quan tâm. Theo quan điểm vật lý hạt cơ bản thì
người ta phân loại DM theo vận tốc chuyển động của chúng. Cụ thể:
• Vật chất tối nóng (hot dark matter) là các hạt vật chất có khối lượng
nhẹ và chuyển động nhiệt với vận tốc rất lớn (tương đối tính). Theo
quan điểm như vậy thì neutrino là ứng cử viên cho vật chất tối
nóng.
• Vật chất tối lạnh (cold dark matter) là các hạt có khối lượng và
chuyển động với vận tốc nhỏ (phi tương đối tính). Các ứng cử viên
của hạt vật chất tối lạnh là neutralino, boson Higgs, axion,

• Vật chất tối ấm (warm dark matter) là những hạt DM có tính chất
6
trung gian giữa vật chất tối nóng và vật chất tối lạnh.
Trước đây, các ứng cử viên hàng đầu cho vật chất tối lạnh là các hạt
có khối lượng và không tương tác với vật chất thông thường. Người ta
cũng cho rằng, phần năng lượng bị mất đi trong các máy gia tốc chính
là tín hiệu của DM. Tuy nhiên, khoa học hiện nay đã mở rộng đáng kể
danh sách các ứng cử viên và cung cấp nhiều dấu hiệu mới có thể tìm
kiếm DM. Các số liệu thực nghiệm về tìm kiếm DM một cách gián tiếp
cho thấy phổ khối lượng của vật chất tối lạnh là rất rộng. Các thông tin
về spin của vật chất tối lạnh cũng không được xác định. Chính vì vậy,
các ứng cử viên của vật chất tối lạnh là rất phong phú. Do đó, trong
luận án này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu các ứng cử viên của vật
chất tối lạnh. Chi tiết, chúng tôi sẽ nghiên cứu các điều kiện cần thiết
để đảm bảo hạt trung hòa là bền. Các ứng cử viên của DM chúng tôi
khảo sát cũng phong phú. Chúng có thể là hạt vô hướng và cũng có thể
là hạt fermion. Chúng tôi tập trung chủ yếu khảo sát một ứng cử viên
của WIMPs là hạt nhẹ (cỡ eV ) và một ứng cử viên của WIMPs là hạt
nặng (cỡ TeV ).
Chúng tôi muốn nhấn mạnh, một trong những điều kiện quan trọng
của DM là hạt trung hòa và bền vững. Mặt khác, trong lý thuyết hạt
cơ bản, mô hình thành công nhất hiện nay là SM, khi mà hầu hết các
tiên đoán của nó đã được thực nghiệm khẳng định ở vùng năng lượng
≤200 GeV. Theo đó, phổ hạt trong SM gồm các fermion có spin
1
2
, các
boson chuẩn spin 1 và boson Higgs spin 0. Fermion là các hạt cấu tạo
nên vật chất thông thường gồm các quark (up, down, charm, strange,
top, bottom), ba thế hệ lepton mang điện (electron, muon, tauon) và

các neutrino tương ứng. Các boson chuẩn là các hạt truyền tương tác
bao gồm: photon (γ) truyền tương tác điện từ, 8 gluon g truyền tương
tác mạnh, các boson chuẩn W và Z truyền tương tác yếu. Hạt cuối cùng
trong SM được giả thiết là hạt Higgs sinh khối lượng cho tất cả các hạt
trong mô hình thông qua cơ chế Higgs [4]. Việc tìm thấy hạt Higgs trong
năm 2012 với khối lượng trong khoảng từ 125 GeV đến 126 GeV bởi máy
gia tốc LHC (CERN) là một thành công nữa của SM [5, 6]. Tuy nhiên,
không hạt nào trong các hạt nói trên có thể đóng vai trò là ứng cử viên
cho DM. Hầu hết các hạt đều có khối lượng và không bền, với thời gian
sống rất ngắn so với tuổi của Vũ trụ. Chỉ còn lại các hạt nhẹ còn tồn
tại trong Vũ trụ bao gồm: electron, các quark u, d và ba neutrino, trong
7
đó các hạt mang điện có thể tồn tại trong các tổ hợp bền như proton,
nơtron. Electron có thể cho đóng góp vào DM chỉ khi chúng liên kết với
các proton để tạo thành các tổ hợp trung hòa nhưng tổ hợp này cho mật
độ năng lượng Ω
B
nhỏ hơn rất nhiều so với mật độ DM đo được hiện nay.
Với các neutrino thì giới hạn trên khối lượng neutrino từ vật lý hạt và vũ
trụ học cho thấy mật độ tàn dư của neutrino Ω
ν


i
m
ν
i
/47eV ≤ 0.012
[4]. Điều này khẳng định các hạt đóng góp vào DM phải là các hạt mới
trong các mô hình mở rộng SM.

Ngoài vấn đề DM, SM còn chứa một số vấn đề khác cần phải được
giải quyết xuất phát từ các dữ liệu thực nghiệm đã có hiện nay như vấn
đề khối lượng và sự dao động của các neutrino, sự phân bậc thang năng
lượng phá vỡ đối xứng điện yếu với thang Plank, vấn đề vi phạm CP
trong tương tác mạnh (strong-CP), sự lượng tử hóa điện tích của các
hạt, giải thích số thế hệ fermion, sự không thống nhất ba hằng số tương
tác, chưa giải thích được các quá trình vật lý xảy ra ở vùng năng lượng
cao hơn 200 GeV, Các bằng chứng trên, chứng tỏ chúng ta cần phải
mở rộng SM.
Trong luận án này, chúng tôi tập trung vào hướng nghiên cứu mở
rộng SM để giải quyết vấn đề DM. Trước tiên, chúng tôi quan tâm đến
sự xuất hiện của DM gắn liền với việc giải quyết bài toán strong-CP.
Chúng tôi sẽ chứng minh có sự tồn tại của DM thông qua cơ chế phá
vỡ đối xứng Peccei-Quinn. Như chúng ta đã biết, Lagrangian của sắc
động lực học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) tồn tại một
số hạng vi phạm CP có dạng
L =
θ
16π
2
F
aµν

F
a
µν
, (1.2)
với

F

a
µνρσ
=
1
2

µνρσ
F
ρσa
, (1.3)
và 
µνρσ
là tensơ phản xứng có µ, ν, ρ, σ = 0, 1, 2, 3; 
0123
= 1.
Điều đặc biệt ở đây là số hạng này là một vi phân toàn phần nên
người ta cho rằng nó không gây ra hiệu ứng vật lý. Nhưng thực tế, vì
đây là toán tử vi phạm CP (trị riêng CP = −1) nên nó cho đóng góp
vào mômen lưỡng cực điện của nơtron. Từ thực nghiệm đo mômen này
người ta thấy θ có giá trị cực nhỏ θ  10
−9
. Giá trị cực nhỏ này là một
8
điều không tự nhiên đối với các lập luận lý thuyết. Do đó, nó được gọi là
vấn đề strong-CP. Người ta phải tìm cách xây dựng một lý thuyết hợp
lý để giải thích vấn đề này. Một trong các cách giải quyết phù hợp nhất
được chấp nhận hiện nay do Peccei-Quinn đề xuất, có liên quan đến sự
phá vỡ đối xứng U(1) chiral dẫn đến sự xuất hiện một hạt giả vô hướng
mới có khả năng đóng vai trò DM. Năm 1970, Peccei-Quinn [7] đã chỉ ra
rằng vấn đề strong-CP giải quyết được bằng cách đưa ra một hạt giả vô

hướng nhẹ được gọi là axion [8] và việc axion xuất hiện trong lý thuyết
như thế nào được trình bày chi tiết ở chương 2. Hiện nay, khối lượng
axion được giới hạn bởi thực nghiệm [9], các giới hạn được đưa ra bởi
thiên văn học và vũ trụ học [10], phạm vi giới hạn trong khoảng từ 10
−6
eV cho đến 10
−3
eV. Nếu axion có khối lượng gần giới hạn dưới cỡ 10
−5
eV thì nó sẽ là ứng cử viên cho DM. Nếu axion trong Vũ trụ đóng góp
một tỷ lệ nào đó vào DM chúng có thể được phát hiện bởi các máy dò
axion [11]. Hiện nay thực nghiệm vẫn đang tìm kiếm axion sinh ra từ
Mặt trời [12] và axion tàn dư từ thời kỳ Vũ trụ sớm [13].
Ngoài axion vẫn còn có các ứng cử viên khác cho DM xuất hiện trong
các mô hình mở rộng SM đang được nghiên cứu hiện nay như bạn đồng
hành siêu đối xứng nhẹ nhất trong các mô hình siêu đối xứng (Lightest
Supersymmetric Particle - LSP), axino bạn đồng hành siêu đối xứng
của axion [14, 15, 16, 17], gravitino bạn đồng hành siêu đối xứng của
hạt truyền tương tác hấp dẫn graviton, một số hạt mới xuất hiện trong
các mô hình 3-3-1 [21] hay mô hình thêm chiều [18], Trong luận án
này, chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu DM là axion và fermion trung
hòa trong các mô hình 3-3-1 có thêm một số đối xứng mới. Đây là lớp
các mô hình mở rộng SM theo hướng mở rộng nhóm đối xứng điện yếu
SU(2)
L

U(1)
Y
của SM. Cụ thể, nhóm này được mở rộng thành nhóm
SU(3)

L

U(1)
X
và cùng với nhóm đối xứng màu SU(3)
c
tạo thành nhóm
chuẩn SU(3)
c

SU(3)
L

U(1)
X
. Các mô hình 3-3-1 đã giải quyết được
một số vấn đề mà SM chưa giải quyết được. Ví dụ: (i) bài toán số thế
hệ được giải quyết từ điều kiện khử dị thường và điều kiện tiệm cận tự
do [19], (ii) giải thích được sự lượng tử hóa điện tích [20], (iii) giải thích
sự phân bậc khối lượng giữa các thế hệ quark do các thế hệ nằm trong
các đa tuyến khác nhau, (iv) axion và majoron xuất hiện một cách tự
nhiên trong một số phiên bản 3-3-1 [21], cho các hạt nhẹ có thể là ứng
cử viên DM. Hệ quả của các mô hình 3-3-1 là dự đoán các quá trình vật
9
lý ở thang năng lượng không quá cao, do đó dễ dàng kiểm chứng bằng
thực nghiệm.
Trong lớp các mô hình 3-3-1 không siêu đối xứng, các hạt ứng cử viên
của DM xuất hiện một cách không tự nhiên. Tức là để đảm bảo cho các
ứng cử viên của DM là bền thì chúng ta cần phải có các điều kiện ràng
buộc giữa các tham số trong mô hình. Tuy nhiên, nhiều điều kiện đưa ra

không thể đảm bảo đúng đắn ở mọi bậc của khai triển nhiễu loạn. Chính
vì vậy, chúng ta cần phải đưa thêm vào các đối xứng mới để loại bỏ các
tương tác không mong muốn. Đối xứng đưa vào có thể là đối xứng gián
đoạn hoặc đối xứng liên tục. Trong luận án này, chúng tôi sẽ khảo sát
cả hai cách đưa thêm đối xứng vào các mô hình 3-3-1. Từ đó, chúng tôi
chứng tỏ sự tồn tại của DM. Cụ thể:
Trong chương 2 chúng tôi sẽ nghiên cứu chi tiết nguồn gốc và vai trò
DM của axion trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải gắn với
đối xứng Z
11
⊗ Z
2
. Nhìn chung các đối xứng gián đoạn được đưa vào
nhằm mục đích loại bỏ các số hạng tương tác không mong muốn nhưng
vẫn giữ lại được các số hạng sinh khối lượng cho các hạt phù hợp với
thực nghiệm. Theo [21], các mô hình có phổ hạt càng phong phú như lớp
mô hình 3-3-1 thì càng có khả năng tồn tại đối xứng Z
N
phù hợp với N
có giá trị lớn. Người ta chọn N có giá trị lớn để loại bỏ nhiều nhất có thể
các số hạng phức tạp và không cần thiết trong Lagrangian. Tuy nhiên,
với trường hợp Z
13
thì người ta phải xây dựng phổ fermion phức tạp
hơn để đảm bảo tồn tại đối xứng Peccei-Quinn một cách tự nhiên trong
mô hình. Vì vậy, đối xứng Z
11
được chọn là phù hợp nhất. ở đây chúng
tôi lần lượt gán các tích Z
11

⊗ Z
2
cho các trường có trong mô hình sao
cho Lagrangian cuối cùng sẽ bất biến. Khi đó, Lagrangian này cũng tự
động bất biến với đối xứng U(1)
P Q
với các tích Peccei-Quinn được gán
phù hợp. Mô hình này chỉ cần một trường vô hướng để phá vỡ đối xứng
Peccei-Quinn và sinh axion. Tiếp theo, chúng tôi khảo sát thời gian sống
của axion thông qua quá trình rã của axion thành hai photon. Chúng
tôi cũng thảo luận và đề xuất phương án có lợi nhất để phát hiện axion
thông qua quá trình chuyển hóa của axion trong trường điện từ ngoài.
Như đã đề cập ở trên, ngoài axion thì hạt mới trong các mô hình
3-3-1 cũng có thể đóng vai trò là ứng cử viên DM. Thật vậy, chúng tôi
sẽ chứng tỏ rằng các hạt này tương ứng với một lớp hạt mới, lẻ dưới đối
xứng parity có thể đóng vai trò DM. Để giải thích rõ hơn ta nhắc lại
10
mô hình 3-3-1 với nhóm chuẩn SU(3)
C
⊗SU(3)
L
⊗U(1)
X
, trong đó hai
nhóm cuối được mở rộng từ đối xứng điện yếu của SM, còn đối xứng
QCD vẫn được giữ nguyên. Các neutrino phân cực phải hoặc các fermion
trung hòa mới có thể được sắp xếp trong các tam tuyến hoặc phản tam
tuyến lepton theo đối xứng SU(3)
L
,






ν
L
e
L
ν
c
R





hoặc





ν
L
e
L
N
c
R






,
tương ứng là mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải [22] hoặc mô
hình 3-3-1 với fermion trung hòa [23] (xem thêm tài liệu [24]).
Các hạt mới xuất hiện trong các mô hình 3-3-1 nhưng không có trong
SM (chẳng hạn như các hạt vô hướng, fermion và boson chuẩn) có thể
chính là các ứng cử viên cho DM. Điều này được chỉ ra từ các tương
tác chuẩn, Lagrangian Yukawa tối thiểu và thế vô hướng tối thiểu, đòi
hỏi các hạt mới (tương tự như các hạt lepton sai sẽ được định nghĩa
trong chương 3) chỉ tương tác theo cặp, giống với trường hợp các hạt
bạn đồng hành siêu đối xứng trong các mô hình siêu đối xứng. Kết quả
này tự động đến từ bản thân cấu trúc của nhóm đối xứng chuẩn 3-3-1
[24, 22]. Những nỗ lực đầu tiên trong việc xác định các ứng cử viên cho
DM trong các mô hình 3-3-1 có thể được tìm thấy trong tài liệu [28, 29].
Tuy nhiên, tính ổn định và mật độ tàn dư của chúng vẫn chưa được
giải quyết triệt để. Sự bền của DM trong các mô hình 3-3-1 do các đối
xứng khác gây ra được thảo luận đầu tiên trong tài liệu [26, 27]. Với mục
đích này, đối xứng số lepton đã được đưa vào sao cho các hạt bilepton
nhẹ nhất có thể đảm bảo tính bền [26]. Lưu ý rằng, tất cả các tương
tác không mong muốn trong Lagrangian Yukawa và thế vô hướng đều
vi phạm tường minh số lepton [30], những tương tác này bị chặn do đối
xứng này (ngoại trừ tương tác của hai lepton và một tam tuyến vô hướng
chỉ vi phạm số lepton vị, nhưng lại gây ra phổ khối lượng neutrino không
phù hợp. Tuy nhiên, trong mô hình của chúng tôi thì tương tác này bị
khử do sự vi phạm số lepton toàn phần). Khi đó ta không cần thêm đối
xứng Z

2
nữa. Một vấn đề khác đó là, số lepton bị vi phạm do tương tác
hiệu dụng 5 chiều đặc trưng cho khối lượng neutrino.
Trong [27], sự sắp xếp các hạt mới làm mất đi đặc tính bilepton của
chúng và đối xứng số lepton không loại bỏ được các tương tác không
mong muốn. Vì vậy, đối xứng Z
2
đã được đưa vào bằng tay, trong đó các
11
tích Z
2
được gán để loại bỏ các số hạng không mong muốn. Đối xứng
này được xem như một cách giải quyết tính ổn định của DM [27]. Tuy
nhiên, vì Z
2
tác dụng lên các đa tuyến của mô hình phải bị phá vỡ một
cách tự phát bởi trung bình chân không của Higgs, nên không có lý do
nào giải thích tại sao các hạt DM vô hướng không mang số lepton lại
không thể nhận trung bình chân không và phân rã. Ngoài ra, trong [27],
một đối xứng liên tục U(1)
G
tác dụng lên các hạt thành phần, không
giao hoán với đối xứng chuẩn tương tự như tích lepton trước đây được
sử dụng thay cho đối xứng Z
2
nhằm mô tả DM. Chúng ta nhớ rằng,
các tương tác của boson chuẩn với fermion, vô hướng hoặc tự tương tác
giữa các boson chuẩn là các hệ quả và bị giới hạn bởi chính đối xứng
chuẩn. Chúng luôn luôn tồn tại mà không bị loại bỏ hoặc thêm vào bởi
các tương tác khác. Để chặn các tương tác và chân không không mong

muốn, rõ ràng có nhiều đối xứng khác có cơ chế như U(1)
G
hoặc tích
lepton là các cách giải quyết tương ứng của bảo toàn tương tác chuẩn.
Tuy nhiên, tất cả các đối xứng liên tục này đều có thể gặp phải những
vấn đề khác.
Các đối xứng liên tục nói trên được giả thiết là đối xứng chính xác
đặc trưng cho tính ổn định của DM. Do đó, chúng có thể được xem như
là đối xứng tự nhiên rút gọn từ các đối xứng cao hơn bao gồm nhóm
đối xứng của 3-3-1 (vì chúng không giao hoán với đối xứng chuẩn) tác
dụng ở mức cây lên Lagrangian, ở đó các tương tác không mong muốn bị
chặn tường minh. Hay nói cách khác, Lagrangian tối thiểu của lý thuyết
hiển nhiên chứa các đối xứng cao hơn bao gồm đối xứng chuẩn, là đối
xứng sẽ bị phá vỡ tự phát xuống các đối xứng dư tương ứng. ở đây ta
cần nhắc lại một tính chất đặc trưng của các mô hình 3-3-1. Đó là tích
lepton (hay thậm chí bất kỳ loại đối xứng U(1)
G
nếu được đưa vào độc
lập, bỏ qua đối xứng tích lepton) sẽ tác dụng như đối xứng chuẩn dư
của đối xứng cao hơn nào đó và đối xứng này phải bị phá vỡ tự phát để
đảm bảo các boson chuẩn nhận khối lượng đủ lớn làm cho lý thuyết phù
hợp thực nghiệm. Mặt khác, đối xứng tích lepton hoặc ngay cả đối xứng
liên tục tổng quát đã được biết thực tế bị vi phạm do các dị thường.
Do đó, các đối xứng này sẽ không đảm bảo được sự bền của DM. Đối
với bài toán bền của DM, tương tự như R-parity trong siêu đối xứng,
sẽ tự nhiên hơn khi tìm kiếm một đối xứng chính xác, là đối xứng dư
gián đoạn và không bị phá vỡ, có nguồn gốc từ một đối xứng liên tục
12
và độc lập dị thường nào đó, biểu diễn theo số lepton và các đối xứng
cần thiết khác, chẳng hạn như tích baryon hoặc U(1)

G
. Chúng ta cần
phải nhấn mạnh rằng, trong số các đối xứng liên tục đã phân tích thì
tích lepton có lẽ là tự nhiên nhất bởi các lý do sau: (i) tất cả các tương
tác không mong muốn trong các mô hình 3-3-1 thông thường sẽ bị loại
bỏ bởi chúng vi phạm số lepton [30]; (ii) đối xứng gián đoạn đặc trưng
cho sự bền của DM chẳng hạn như số lepton hoặc baryon có thể bị phá
vỡ theo nhiều cách đảm bảo sinh khối lượng phù hợp cho neutrino và
bất đối xứng baryon. Chúng ta sẽ thấy rằng, cách làm trên tương tự với
việc mở rộng lý thuyết SU(5) thành lý thuyết SO(10) với tích B − L
trở thành tích chuẩn định xứ. Trong luận án này, tích lepton sẽ được sử
dụng khác so với đối xứng U(1)
G
.
Bằng cách khảo sát tính chất số lepton không tầm thường và W -
parity (tương tự như R-parity trong siêu đối xứng) trong một mô hình
3-3-1 cụ thể [23], chúng tôi chỉ ra được lý thuyết có thể chứa các ứng cử
viên cho DM một cách tự nhiên. Để chi tiết hơn, chúng tôi xét mô hình
3-3-1 với fermion trung hòa (N
R
), là mô hình khác với mô hình trong
tài liệu [27]. Các fermion trung hòa này không mang số lepton như đã
được nghiên cứu trước đây trong mở rộng seesaw TeV của SM [31] và
trong mô hình 3-3-1 với các đối xứng vị [23]. Chúng tôi khảo sát đối
xứng số lepton, động học của nó và các đối xứng khác, mà kết quả dẫn
đến một mô hình 3-3-1-1 mới. Chúng tôi chứng tỏ rằng tồn tại một đối
xứng dư không bị phá vỡ (độc lập dị thường) của mô hình 3-3-1-1 có cơ
chế giống như đối xứng R-parity trong siêu đối xứng, ở đó dưới đối xứng
này hầu hết các hạt mới đều mang tích lẻ. Điều thú vị là mô hình có thể
chứa rất nhiều loại ứng cử viên cho DM, chẳng hạn như đơn tuyến vô

hướng, fermion và boson chuẩn, là các hạt thường xuất hiện trong các
phiên bản mở rộng khác của SM và giống với kết luận trong tài liệu [27].
Tuy nhiên, các ứng cử viên này có thể có khối lượng lớn ở thang TeV,
khác với các ứng cử viên của DM nhẹ trong nhiều SM mở rộng quen
thuộc. Trước công bố [27] và công trình của chúng tôi, các nghiên cứu
trước đây cho các mô hình 3-3-1 chỉ xét cho đơn tuyến vô hướng [29] và
các hạt siêu đối xứng nhẹ nhất tương ứng với phiên bản mở rộng 3-3-1
siêu đối xứng. Lý do mà chúng tôi đề cập đến các đối xứng như 3-3-1-1
và W -parity đó là: các ứng cử viên cho DM có tính ổn định động học
chưa hề được nghiên cứu trước đây. Hiện tượng luận DM trong mô hình
13
của chúng tôi sẽ khác so với những mở rộng trước. Mô hình có thể làm
việc tốt hơn dưới các giới hạn thực nghiệm so với mô hình 3-3-1 thông
thường với neutrino phân cực phải do W-parity. Phương pháp được đề
cập ở trên sẽ không phù hợp nữa nếu ta áp dụng cho các mô hình 3-3-1
khác, chẳng hạn như mô hình 3-3-1 trong tài liệu [27], mô hình 3-3-1 với
neutrino phân cực phải [22] và mô hình 3-3-1 tối thiểu [24]. Trong thực
tế, tất cả các hạt bao gồm cả những hạt mới trong các mô hình đó sẽ
biến đổi tầm thường dưới W -parity. Vì vậy, đối xứng parity chỉ thực sự
có ý nghĩa trong lớp các mô hình 3-3-1 chứa đối xứng vị [23].
14
Chương 2
Axion trong mô hình 3-3-1 và thực
nghiệm tìm kiếm
2.1 Axion trong mô hình Peccei-Quinn
Người ta chứng minh được số hạng (1.2) nhận đóng góp từ hai nguồn
chính: i) từ trung bình chân không của lý thuyết được gọi là "instantons";
ii) từ sự định nghĩa lại pha của các trường có trong lý thuyết có liên quan
đến một loại đối xứng U(1) chiral được gọi là đối xứng Peccei-Quinn, ký
hiệu U(1)

PQ
. Từ đó người ta đưa ra được một số hướng giải quyết vấn
đề strong-CP. Ví dụ, nếu trường fermion có khối lượng bằng không, thì
người ta có thể tùy ý định nghĩa lại pha của trường để đảm bảo cho đóng
góp toàn phần θ luôn bằng không với mọi đóng góp bất kỳ từ instantons.
Tuy nhiên, thực nghiệm đã cho thấy rằng các quark luôn có khối lượng
nên cách xử lý trên không hợp lý. Một hướng giải quyết khác, được cho
là hợp lý nhất hiện nay do Peccei-Quinn đề xuất năm 1977 [32]. Theo
đó, từ giả thiết lý thuyết ban đầu chứa các fermion không khối lượng,
Peccei-Quinn đưa vào các trường vô hướng sinh khối lượng cho các quark
thông qua phá vỡ đối xứng U(1)
PQ
. Tiếp theo, sử dụng hai điều kiện lý
thuyết phải thỏa mãn là điều kiện cực tiểu thế của trường vô hướng và
điều kiện thực của ma trận khối lượng quark, người ta thu được tổng
đóng góp từ instantons và định nghĩa lại pha của trường quark luôn
bằng không. Nói cách khác, khi đó lý thuyết thỏa mãn CP bảo toàn và
vấn đề strong-CP được giải quyết trọn vẹn. Một điều thú vị khác đối với
lý thuyết trên được Weinberg phát hiện là sự phá vỡ đối xứng U(1)
PQ
có liên quan đến sự xuất hiện của một hạt có khối lượng rất nhẹ gọi là
axion [33]. Hạt này được xem là một trong các ứng cử viên cho DM và
15
hiện nay đang được thực nghiệm rất quan tâm và tìm kiếm.
ở đây chúng tôi không đi vào xây dựng và tính toán chi tiết một mô
hình cụ thể và thực tế nào mà chỉ tập trung vào các vấn đề cơ bản sau
đây:
• Giải thích rõ hơn sự xuất hiện các nguồn vi phạm CP, minh họa
tính toán trong một mô hình đơn giản nhất.
• Giải thích lại sự khử số hạng vi phạm CP theo hướng giải quyết

của Peccei-Quinn.
2.1.1 Vấn đề strong-CP
Đóng góp từ chân không vào số hạng vi phạm CP trong QCD
Như chúng ta đã biết trong QCD tồn tại phép biến đổi U(1) chiral, là
một đối xứng với lý thuyết cổ điển nhưng không là đối xứng đối với lý
thuyết lượng tử. Cụ thể, phép biến đổi đối xứng U(1) chiral ( U(1)
5
) có
dạng [34]:
q
D
(x) → q

D
(x) = e
iαγ
5
q
D
(x), (2.1)
trong đó, q
D
(x) là biểu diễn spinor Dirac bốn thành phần, γ
5
xét trong
cơ sở chiral có dạng chéo.
γ
5
=



I
2
0
0 −I
2


, (2.2)
q
D
(x) =


q
q
∗


, (2.3)
trong đó, q,
q là hai biểu diễn spinor Weyl phân cực trái hai thành phần.
Xét số hạng động năng của fermion:
L
fermion
= iq
D
(x)γ
µ
D

µ
q
D
(x), (2.4)
ở đây
q
D
(x) = q
+
D
(x)γ
0
, (2.5)
γ
µ
= γ
0
, γ
1
, γ
2
, γ
3
, (2.6)
16
là các ma trận Dirac còn D
µ
là đạo hàm hiệp biến tương ứng được định
nghĩa theo các trường chuẩn của lý thuyết
D

µ
= ∂
µ
− iA
µ
, (2.7)
với A
µ
= A
a
µ
T
a
, A
a
µ
là các trường chuẩn tương ứng với các vi tử T
a
của
đại số Lie tương ứng với nhóm chuẩn.
Với lý thuyết cổ điển, theo định lý Noether, xét đối xứng pha định
xứ α(x) của L
fermion
có dạng:
q
D
(x) → q

D
(x) = −e

iα(x)γ
5
q
D
(x),
q
D
(x) → q

D
(x) = q
D
(x)e
−iα(x)γ
5
, (2.8)
sẽ cho tương ứng một dòng bảo toàn. Cụ thể xét tác dụng cổ điển:
S =

d
4
xL
fermion
=

d
4
xiq
D
γ

µ
D
µ
q
D
.
⇒ S

=

d
4
xL

fermion
=

d
4
xi
q

D
γ
µ
D
µ
q

D

=

d
4
xiq
D
(x)e
−iα(x)γ
5
γ
µ
D
µ

e
−iα(x)γ
5
q
D
(x)

. (2.9)
Vì {γ
5
, γ
µ
} = 0 ⇔ γ
5
γ
µ

= −γ
µ
γ
5
ta suy ra được:
e
−iα(x)γ
5
γ
µ
= (cos α − iγ
5
sin α)γ
µ
= cos αγ
µ
− iγ
5
γ
µ
sin α
= cos αγ
µ
+ iγ
µ
γ
5
sin α
= γ
µ

(cos α + iγ
5
sin α) = γ
µ
e
iα(x)γ
5
. (2.10)
Theo định nghĩa đạo hàm hiệp biến trong (2.7), ta có:
(∂
µ
− iA
µ
)

e
−iα(x)γ
5
q
D
(x)

= ∂
µ

e
−iα(x)γ
5
q
D

(x)

− iA
µ
e
−iα(x)γ
5
q
D
(x)
= (∂
µ
e
−iα(x)γ
5
)q
D
(x) + e
−iα(x)γ
5
∂
µ
q
D
(x)
− iA
µ
e
−iα(x)γ
5

q
D
(x)
= e
−iα(x)γ
5
[−i∂
µ
α(x)γ
5
] q
D
(x)
+ e
−iα(x)γ
5
D
µ
q
D
(x). (2.11)
Thay (2.10), (2.11) vào (2.9) ta được:
S

=

d
4
x i
q

D
(x)γ
µ
e
iα(x)γ
5
×

e
−iα(x)γ
5
(−i∂
µ
α(x)γ
5
) q
D
(x) + e
−iα(x)γ
5
D
µ
q
D
(x)

=

d
4

xi
q
D
γ
µ
D
µ
q
D
+

d
4
xiq
D
γ
µ
(∂
µ
α(x)γ
5
) q
D
17