ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm

1

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG 3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT 3
LỜI CẢM ƠN 4
LỜI CAM ĐOAN 5
MỞ ĐẦU 6
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 11
1.1. Một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm 11
1.1.1. Bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm 11
1.1.2. Quá trình ñiểm 12
1.1.3. Phân loại bảo hiểm 14
1.2. Quá trình Markov 17
1.2.1. Định nghĩa 17
1.2.2. Xích Markov rời rạc và thuần nhất 19
1.3. Quá trình Martingale với thời gian rời rạc 22
1.3.1. Khái niệm tương thích và dự báo ñược 22
1.3.2. Thời ñiểm Markov và thời ñiểm dừng 23
1.3.3. Kỳ vọng có ñiều kiện 24
1.3.4. Martingale [6] 25
1.3.5. Định lý thời ñiểm dừng chọn ñối với Martingale trên 25
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 27
CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO
HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV 28
2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi
suất bằng phương pháp ñệ quy 29
2.1.1. Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các
xích Markov thuần nhất 29

2.1.2. Xét mô hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các
xích Markov thuần nhất 42
2.1.3. Kết quả ước lượng số 55
2.2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi
suất bằng phương pháp Martingale 59
2.2.1. Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các
xích Markov thuần nhất 59
2.2.2. Xét mô hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các
xích Markov thuần nhất 64
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 70
CHƯƠNG 3. TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO
HIỂM 71
3.1. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến
ngẫu nhiên phụ thuộc Markov 72
3.2. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến
ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối 87
3.3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến
ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối 90
3.4. Kết quả thực nghiệm số 93
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 95
KẾT LUẬN CHUNG 101

2

PHỤ LỤC 103
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 105
TÀI LIỆU THAM KHẢO 106

3

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1. Ước lượng chặn trên của xác suất thiệt hại
(1)
( , , )
i r
u x y
ψ

Bảng 3.1. Xác suất thiệt hại
(1)
( )
t
u
ψ
của mô hình (3.2)
Bảng 3.2. Xác suất thiệt hại
(2)
( )
t
u
ψ
của mô hình (3.3)


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

hcc: h
ầ

u ch
ắ
c ch
ắ
n

( ) ( )
( )
\ \ 0
hcc
A B P A B B A
= ⇔ ∪ =


(
)
( ) 0
A B hcc P A B
≤ ⇔ > =


4


LỜI CẢM ƠN



Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành ñến tập thể cán bộ hướng dẫn khoa
học:

1. PGS. TS Bùi Khởi Đàm
2. TS Nguyễn Hữu Tiến
Đặc biệt PGS. TS Bùi Khởi Đàm, ñã giao ñề tài, tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi
trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả luận án chân thành cảm ơn lãnh ñạo, các thầy, cô giáo và cán bộ Viện Toán
ứng dụng và Tin học, Viện Sau ñại học – Trường Đại học Bách khoa Hà nội ñã làm
hết sức trách nhiệm, nhiệt tình giúp ñỡ và tạo mọi ñiều kiện thuận lợi cho chúng tôi
trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả luận án chân thành cảm ơn các ñồng nghiệp ở Khoa Cơ bản – Trường Đại
học Ngoại thương và Nhà trường ñã tạo ñiều kiện giúp ñỡ tôi làm việc và học tập.
Cuối cùng, tác giả luận án xin dành lời cảm ơn ñặc biệt tới gia ñình, người thân và
bạn bè, những người ñã thường xuyên giúp ñỡ, chia sẻ ñộng viên và là chỗ dựa ñể
tôi có thể hoàn thành luận án này!

Phùng Duy Quang

5


LỜI CAM ĐOAN


Tác giả luận án xin cam ñoan ñây là công trình nghiên cứu của tác giả. Các kết quả
nêu trong luận án này là trung thực và chưa từng ñược các tác giả khác công bố
trong bất kỳ công trình nào.


Xác nhận của Tập thể hướng dẫn

Tác giả luận án


Phùng Duy Quang

6


MỞ ĐẦU

Trong những năm gần ñây các công ty bảo hiểm ñược mở ra ở nhiều nơi nhằm
mục ñích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro,
nhưng ngay chính hoạt ñộng bảo hiểm cũng là một hoạt ñộng ñầu tư tài chính nên
bản thân nó cũng chứa ñựng sự rủi ro. Việc ñánh giá mức ñộ rủi ro và thời ñiểm rủi
ro là nhu cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu và giải quyết ñể hạn chế tối
thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Lý thuyết rủi ro (Risk Theory, [13], [29], [30], [55]) ñã
ñược nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần ñây, ñặc biệt là những nghiên cứu về
rủi ro trong bảo hiểm, tài chính. Một trong những vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà
nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong
các mô hình bảo hiểm với thời gian liên tục và rời rạc.
Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở
Đại học Uppsala (Thủy ñiển), công trình này ñã ñưa ñến việc sáng lập ra lý thuyết
rủi ro trong bảo hiểm. Sau ñó, Carmer, H. và trường phái Stockholm ñã phát triển
các ý tưởng của Lundberg và ñóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết
các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Với các kết quả ñó Cramer ñã ñóng góp
một cách ñáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất và
thống kê toán học. Mô hình cơ bản ñầu tiên trong số những ñóng góp ñó là mô hình
Cramer – Lundberg.
Trong mô hình rủi ro cổ ñiển, bài toán thường ñược nghiên cứu với các giả thiết
liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer –

Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả
bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy
biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối. Có nhiều công trình nghiên
cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen, S. [10],
Buhlma, H. [13], Embrechts, P. [26], Kluppelberg, C. [36], Grandell, J. [30], Hipp,
C. [32], Schmidli, H. [56], Musiela, M. [42], Nyrhinen, H. [44], Paulsel, J. [46],

7

Schmidt, K. D. [55], … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên cho xác suất
thiệt hại có dạng hàm mũ.
Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale ñể chứng
minh các công thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác
ñộng của yếu tố lãi suất như: Cai, J .[14], [15], Cai J. and Dickson, D. C. M. [17],
Gaier, J. [29], Kluppelberg, C. and Stadtmuller [36], Konstantinide, D.G. and Tang,
Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. [37], Sundt, B. and Teugels, J. L. [58], [59], Tang, Q.
[60], [61], [62], Yang, H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], [67]…Tuy nhiên,
thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng tham gia bảo
hiểm ngày càng nhiều và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ
thuộc. Do ñó, ñể phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang ñược
nhiều nhà toán học quan tâm, ñó là các mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc.
Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm với
giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên ñộc
lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher,
H. [7], Cai, J. [14], [15], Dickson, D. C. M. [16], [17], Gerber, H. U. [29], Muller,
A. [41], Promisslow, S.D. [51], Valdez, E. A. [63], Xu, L. and Wang. R. [64], Yang,
H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], …
Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng [1], [2], Nguyễn Huy
Hoàng [3] ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình
rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm, dãy lãi suất là

dãy biến ngẫu nhiên
m
- phụ thuộc.
Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác
xác suất thiệt hại ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế
hơn. Một số công trình ñã tiếp cận theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo
hiểm nhận giá trị nguyên dương như Caude Lefèvre [18], Rullière, D. and Loisel,
St. [54], De Vylder, F. E [21], [22], De Vylder and Goovaerts, M. J. [23], [24],
Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K. [34],[35], Pircard, Ph. and Lefèvre,Cl. [49].
Công trình của Hong, N.T.T. [33] ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác
xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm:
1 1
t t
t i i
i i
U u X Y
= =
= + −
∑ ∑
,

8

với dãy tiền thu bảo hiểm là
{
}
i
X
, dãy tiền chi trả bảo hiểm
{

}
i
Y
, thời gian
t
nhận
giá trị nguyên dương.
Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu của luận án là
một số mô hình toán học ứng dụng trong bảo hiểm, cụ thể là mô hình bảo hiểm rời
rạc có tác ñộng của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất
thiệt hại trong mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần
nhất, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng
của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược công bố trong các công trình
[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án).
Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây:
a. Trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất, chúng tôi sử
dụng phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale ñể xây dựng các bất
ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại trong trường
hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov
thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối.
b. Đối với mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất, mở rộng kết quả của
Hong, N.T.T. [33], luận án ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác
suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng
của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá
trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập
hữu hạn. Công thức tính chính xác xác suất thiệt hại ñược xây dựng trong
các trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, dãy biến ngẫu
nhiên ñộc lập không cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc
Markov.
Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn

vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài
chính và bảo hiểm.
Nội dung của luận án gồm 3 chương.



9

Chương 1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản
Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả
về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình
Martingale.
Chương 2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm với dãy
biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov
Trong chương này, chúng tôi ñã sử dụng phương pháp ñệ quy và phương pháp
Martingale ñể xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho
xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong
trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov
thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối.
Chương 3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm
Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Nguyễn Thị Thúy Hồng [33]
cho mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất, luận án ñã mở rộng công thức tính
chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác
ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị
dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Các
công thức tính chính xác xác suất thiệt hại ñược xây dựng trong các trường hợp: dãy
biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng
phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov.
Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược báo cáo tại
- Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại

học Bách khoa Hà nội.
- Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương
(2010-2014).
- Semina của Phòng Xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện
KH & CN Việt Nam

10

Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4],
[5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án).

11


CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN


Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt
hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale.
1.1. Một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm
1.1.1. Bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm
Giả sử một công ty bảo hiểm phát hành một loại chứng từ bảo hiểm về một
dịch vụ tài chính nào ñó. Khách hàng là người mua chứng từ ñó. Công ty bảo hiểm
với số vốn ban ñầu là
0
u
>
, thu ñượ
c c
ủ

a khách hàng m
ộ
t kho
ả
n ti
ề
n mua b
ả
o hi
ể
m
v
ớ
i phí su
ấ
t
0
c
>
. T
ạ
i m
ỗ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m

t
, công ty ph
ả
i tr
ả
m
ộ
t s
ố
ti
ề
n b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng
c
ộ
ng là
( )
S t
cho các khách hàng có nhu c
ầ
u
ñ
òi tr
ả
b

ả
o hi
ể
m. Qu
ỹ
v
ố
n c
ủ
a công ty
b
ả
o hi
ể
m
ñượ
c xác
ñị
nh b
ở
i
( ) ( ).
U t u ct S t
= + −
(1.1)
Qu
ỹ
v
ố
n ph

ả
i d
ươ
ng thì công ty m
ớ
i có lãi, ng
ượ
c l
ạ
i n
ế
u
( ) 0
U t
<
thì có s
ự
c
ố

“thi
ệ
t h
ạ
i”. Thông th
ườ
ng
ñố
i v
ớ

i mô hình bài toán thi
ệ
t h
ạ
i, ng
ườ
i ta th
ườ
ng có các
gi
ả
thi
ế
t sau
ñ
ây:
A. Dãy ti
ề
n chi tr
ả

{
}
1
i
i
Y
≥
là dãy bi
ế

n ng
ẫ
u nhiên không âm,
ñộ
c l
ậ
p, cùng
phân ph
ố
i, k
ỳ
v
ọ
ng chung h
ữ
u h
ạ
n là
µ
.
B. Kho
ả
ng th
ờ
i gian gi
ữ
a hai l
ầ
n
ñ

òi tr
ả
liên ti
ế
p
{
}
1
i
i
t
≥
c
ũ
ng là dãy bi
ế
n
ng
ẫ
u nhiên không âm,
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i
G
, k
ỳ
v

ọ
ng h
ữ
u h
ạ
n chung và
ñộ
c
l
ậ
p v
ớ
i dãy
{
}
1
i
i
Y
≥
.
C. S
ố
các yêu c
ầ
u
ñ
òi tr
ả

( )
N t
trong kho
ả
ng th
ờ
i gian
[
]
0,
t

ñượ
c
ñị
nh
ngh
ĩ
a:
{
}
( ) sup 1, , 0
n
N t n T t t
= ≥ ≤ ≥
và
1
n
n i
i

T t
=
=
∑
.
v
ớ
i quy
ướ
c supØ = 0.
Khi
ñ
ó

12

( )
1
( )
N t
i
i
S t Y
=
=
∑
. (1.2)
Xác su
ấ
t thi

ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i gian h
ữ
u h
ạ
n
T
hay vô h
ạ
n
ñượ
c xác
ñị
nh t
ươ
ng
ứ
ng
nh
ư
sau
(a) Xác su
ấ
t thi

ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i gian h
ữ
u h
ạ
n
T
ký hi
ệ
u là
( , )
u T
ψ
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a
b
ở
i
{
}

( , ) : ( ) 0 ,
u T P t T U t
ψ
= ∃ ≤ <
(1.3)
trong
ñ
ó
u
là v
ố
n ban
ñầ
u,T là m
ố
c th
ờ
i gian xác
ñị
nh cho tr
ướ
c.
(b) Xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i trong th
ờ

i gian vô h
ạ
n ký hi
ệ
u là
( )
u
ψ

ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a b
ở
i

( ) ( , ) ( , )
T
u u lim u T
ψ ψ ψ
→∞
= ∞ =
.
(c) Th
ờ
i
ñ
i

ể
m thi
ệ
t h
ạ
i
( )
T
τ
là m
ộ
t th
ờ
i
ñ
i
ể
m d
ừ
ng ng
ẫ
u nhiên
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a b
ở
i

{
}
( ) inf : 0 , ( ) 0 .
T t t T U t
τ
= ≤ ≤ <
(1.4)
Quy
ướ
c: infØ=
.
∞

1.1.2. Quá trình ñiểm
Định nghĩa 1.1.
[5]

Quá trình ng
ẫ
u nhiên
{
}
0
N( t ),t
≥

ñượ
c g
ọ

i là quá trình
ñ
i
ể
m
n
ế
u
N( t )
bi
ể
u th
ị
t
ổ
ng s
ố
l
ầ
n m
ộ
t bi
ế
n c
ố
nào
ñ
ó x
ả
y ra cho

ñế
n th
ờ
i
ñ
i
ể
m
t
.
V
ậ
y, quá trình
ñ
i
ể
m
N( t )
là quá trình ng
ẫ
u nhiên v
ớ
i th
ờ
i gian liên t
ụ
c, l
ấ
y giá tr
ị

nguyên d
ươ
ng và có b
ướ
c nh
ả
y t
ạ
i các th
ờ
i
ñ
i
ể
m ng
ẫ
u nhiên
1
, , , ,
o n
T T T
sao cho

0,
o
T
=

1 2
0
T T
≤ < <
và
.
n
n
lim T
→∞
= +∞

Khi
ñ
ó, có th
ể
vi
ế
t

[
)
1
, , 0
n n
t
n khi t T T n
N
khi t
+


∈ ≥

=

+∞ = +∞



ho
ặ
c

[
)
1
,
1
.1 ,
n n
t
T T
n
N n
+
+∞
=
=
∑

13

trong
ñ
ó
[
)
1
,
1
n n
T T
+
là hàm ch
ỉ
tiêu c
ủ
a t
ậ
p
[
)
1
, .
n n
T T
+

Sau

ñ
ây, chúng ta xét m
ộ
t vài quá trình
ñ
i
ể
m ph
ổ
bi
ế
n nh
ấ
t.

1.1.2.1. Quá trình Poisson thuần nhất
Quá trình
ñ
i
ể
m c
ủ
a dòng yêu c
ầ
u ph
ổ
bi
ế
n nh
ấ

t là quá trình Poisson thu
ầ
n nh
ấ
t. Khi
ñ
ó các yêu c
ầ
u t
ớ
i theo nh
ữ
ng th
ờ
i
ñ
i
ể
m tuân theo quy lu
ậ
t Poisson.
Định nghĩa 1.2.
[5] Quá trình ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c
{
}
0

N( t ),t
≥
là quá trình Poisson
c
ườ
ng
ñộ

0
λ
>
n
ế
u th
ỏ
a mãn:
i)
(0) 0
N
=
,
ii)
{
}
0
N( t ),t
≥
có s
ố
gia

ñộ
c l
ậ
p,
ii) S
ố
bi
ế
n c
ố
x
ả
y ra trong b
ấ
t k
ỳ
kho
ả
ng th
ờ
i gian nào có
ñộ
dài
t
là m
ộ
t bi
ế
n ng
ẫ

u
nhiên có phân ph
ố
i Poisson v
ớ
i trung bình
( 0)
t
λ λ
>
.
Đ
i
ề
u này có ngh
ĩ
a là, v
ớ
i m
ọ
i
, 0
s t
≥
ta có

{ }
( )
; 0,1,2,
!

n
t
t s s
t
P N N n e n
n
λ
λ
−
+
− = = =

T
ừ

ñ
ó, ta có
( ) .
t
E N t
λ
=

1.1.2.2. Quá trình Poisson không thuần nhất
Định nghĩa 1.3.
[5] Quá trình Poisson không thu
ầ
n nh
ấ
t là quá trình Poisson v

ớ
i
c
ườ
ng
ñộ

( t )
λ
, là hàm ph
ụ
thu
ộ
c th
ờ
i gian. Tr
ườ
ng h
ợ
p
ñặ
c bi
ệ
t, n
ế
u
( t )
λ λ
=
là

h
ằ
ng s
ố
thì quá trình Poison không thu
ầ
n nh
ấ
t s
ẽ
tr
ở
thành quá trình Poisson thu
ầ
n
nh
ấ
t.
1.1.2.3. Quá trình Poisson phức hợp
Định nghĩa 1.4.
[5] Cho quá trình Poisson
N( t )
v
ớ
i c
ườ
ng
ñộ

0

λ
>
. Gi
ả
s
ử

1 2
Y ,Y ,
là m
ộ
t dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p, cùng phân ph
ố
i và
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i quá trình
N( t )
. Khi

ñ
ó, quá trình ng
ẫ
u nhiên
Z( t )

ñị
nh ngh
ĩ
a b
ở
i

1 2
1
N ( t )
N ( t ) k
k
Z( t ) Y Y Y Y
=
= + + + =
∑


14

ñượ
c g
ọ
i là quá trình Poisson ph

ứ
c h
ợ
p.
Có hai cách bi
ể
u di
ễ
n quá trình Poisson ph
ứ
c h
ợ
p. Ngoài cách bi
ể
u di
ễ
n nh
ư
trên,
quá trình
Z( t )
còn có th
ể

ñượ
c bi
ể
u di
ễ
n b

ở
i

[ ]
1
1
k
k
t
k
Z( t ) Y
τ
∞
<
=
=
∑

Trong
ñ
ó,
)0(
21k
<
τ
<
τ
<
τ
là các th

ờ
i
ñ
i
ể
m có b
ướ
c nh
ả
y c
ủ
a
( )
N t
.
1.1.3. Phân loại bảo hiểm
Ng
ườ
i ta quy
ướ
c phân lo
ạ
i các tr
ườ
ng h
ợ
p b
ả
o hi
ể

m d
ẫ
n t
ớ
i vi
ệ
c ph
ả
i tr
ả
ti
ề
n b
ả
o
hi
ể
m ra làm ba lo
ạ
i sau:
- lo
ạ
i bình th
ườ
ng,
- lo
ạ
i
ñặ
c bi

ệ
t,
- lo
ạ
i tai h
ọ
a.
Ký hi
ệ
u
F F( y )
=
là hàm phân ph
ố
i c
ủ
a s
ố
ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m và hàm
1
F( y ) F( y )
= −

là
ñ
uôi c
ủ
a phân ph
ố
i
F
.
Để
mô t
ả
các bi
ế
n c
ố
thu
ộ
c lo
ạ
i bình th
ườ
ng, ng
ườ
i ta dùng các phân ph
ố
i có
ñ
uôi
nh

ẹ
, ch
ẳ
ng h
ạ
n m
ộ
t phân ph
ố
i m
ũ


1
F( y ) F( y )
= −
~
0
y
e , .
λ
λ
−
>

Ng
ườ
i ta mô t
ả
các bi

ế
n c
ố
b
ả
o hi
ể
m ph
ả
i b
ồ
i th
ườ
ng l
ớ
n (lo
ạ
i
ñặ
c bi
ệ
t và tai h
ọ
a)
b
ở
i các phân ph
ố
i
ñ

uôi n
ặ
ng, ch
ẳ
ng h
ạ
n

1
F( y ) F( y )
= −
~
0
y ,
α
α
−
>
(các phân ph
ố
i Pareto).
1.1.4. Một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập
1.1.4.1. Mô hình ñổi mới và mô hình Cramer – Lundberg
Xét mô hình b
ả
o hi
ể
m (1.1) v
ớ
i các gi

ả
thi
ế
t sau:
A1. Dãy kho
ả
ng th
ờ
i gian gi
ữ
a hai l
ầ
n
ñ
òi tr
ả
liên ti
ế
p
{
}
1
i
i
t
≥
là dãy bi
ế
n ng
ẫ

u nhiên
không âm,
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i v
ớ
i k
ỳ
v
ọ
ng h
ữ
u h
ạ
n chung;

15

B1. Dãy ti
ề
n chi tr
ả

{
}
1
i

i
Y
≥
là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên không âm,
ñộ
c l
ậ
p, cùng phân
ph
ố
i v
ớ
i hàm phân ph
ố
i xác su
ấ
t
1
F( y ) P( Y y )
= <
sao cho
0 0
F( )
=
và k
ỳ

v
ọ
ng
chung h
ữ
u h
ạ
n là
µ
;
C1. Hai dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
{
}
1
i
i
t
≥
và
{
}
1
i
i
Y
≥

là
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau.
Khi
ñ
ó, mô hình (1.1)
ñượ
c g
ọ
i là mô hình
ñổ
i m
ớ
i.
Đố
i v
ớ
i mô hình này chúng ta
thu
ñượ
c k
ế
t qu
ả

(
)
(
)
E U( t ) u ct E N( t ) .
µ
= + −
(1.5)
N
ế
u gi
ả
thi
ế
t A
1

ñượ
c thay b
ở
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên kho
ả
ng th
ờ
i gian gi
ữ

a hai l
ầ
n
ñ
òi tr
ả

{
}
1
i
i
t
≥

ñượ
c gi
ả
thi
ế
t là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên không âm,
ñộ
c l
ậ
p, cùng phân
ph

ố
i m
ũ
v
ớ
i k
ỳ
v
ọ
ng chung h
ữ
u h
ạ
n
1
1
E( t )
λ
=
, thì mô hình này
ñượ
c g
ọ
i là mô
hình Cramer – Lundberg, và khi
ñ
ó

(
)

(
)
E U( t ) u ct E N( t ) .
λµ
= + −
(1.6)
Đố
i v
ớ
i mô hình Cramer – Lundberg, chúng ta có k
ế
t qu
ả
n
ổ
i ti
ế
ng v
ề

ướ
c l
ượ
ng
xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ

i.
Định lý 1.1. (Định lý Cramer – Lundberg, xem [54])
Gi
ả
s
ử
các gi
ả
thi
ế
t c
ủ
a mô hình Cramer – Lundberg
ñượ
c th
ỏ
a mãn. Khi
ñ
ó, t
ồ
n t
ạ
i
s
ố

0
r R
= >
th

ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình
0
1 1
rx
e ( F( x ))dx ,
c
λ
+∞
− =
∫

và các xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i gian h
ữ
u h
ạ
n
T

cùng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i v
ớ
i th
ờ
i
gian vô h
ạ
n
ñượ
c
ướ
c l
ượ
ng t
ươ
ng
ứ
ng nh
ư
sau
Ru
( u,T ) e ,
ψ
−

≤
(1.7)
và
Ru
T
( u ) lim ( u,T ) e .
ψ ψ
−
→∞
= ≤
(1.8)
1.1.4.2. Mô hình bảo hiểm với thời gian rời rạc
Trong mô hình b
ả
o hi
ể
m v
ớ
i th
ờ
i gian r
ờ
i r
ạ
c,
ở
m
ỗ
i th
ờ

i k
ỳ
dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
n
n
X
≥
và dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
n
n

Y
≥

ñượ
c gi
ả
thi
ế
t là các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u

16

nhiên không âm,
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i và hai dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên này là
ñộ
c l
ậ

p
v
ớ
i nhau. Khi
ñ
ó, v
ố
n c
ủ
a công ty b
ả
o hi
ể
m
ở
th
ờ
i k
ỳ
th
ứ

t
là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên sau

1 1

t t
t k k
k k
U u X Y ,
= =
= + −
∑ ∑
(1.9)
trong
ñ
ó,
0
o
U u
= >
,
u
là v
ố
n ban
ñầ
u c
ủ
a công ty b
ả
o hi
ể
m.
Ta ký hi
ệ

u

1 1
t t
t k k
k k
S Y X .
= =
= −
∑ ∑

Khi
ñ
ó, xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i k
ỳ

t
ñượ
c
ñị

nh ngh
ĩ
a b
ở
i

1 1
0
t t
t k k
k k
( u ) P (U ) P ( S u )
ψ
= =
   
= < = >
   
   
∪ ∪

và xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i v
ớ
i th
ờ

i gian vô h
ạ
n là

1 1
0
t t t
t
t t
( u ) lim ( u ) P (U ) P ( S u ) .
ψ ψ
∞ ∞
→∞
= =
   
= = < = >
   
   
∪ ∪
(1.10)
Khi
ñ
ó, ta có k
ế
t qu
ả
sau
Định lý 1.2. (Định lý 3.1, xem [64])
Gi
ả

s
ử
t
ồ
n t
ạ
i s
ố

0
R
>
th
ỏ
a mãn

(
)
1 1
1
R( Y X )
E e .
−
=

Khi
ñ
ó, xác su
ấ
t thi

ệ
t h
ạ
i (1.10) th
ỏ
a mãn b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Lundberg

Ru
( u ) e .
ψ
−
≤

1.1.4.3. Mô hình bảo hiểm với thời gian rời rạc có tác ñộng của lãi suất
Xét mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát v
ớ
i th
ờ

i gian r
ờ
i r
ạ
c có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t,
ở
m
ỗ
i
th
ờ
i k
ỳ
dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
i

i
X X
≥
= , dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
j
j
Y Y
≥
=
,
dãy lãi su
ấ
t
{
}
1
k
k
I I

≥
=
ñượ
c gi
ả
thi
ế
t là các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên không âm,
ñộ
c l
ậ
p
cùng phân ph
ố
i và ba dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên này là
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau. Khi
ñ

ó, v
ố
n c
ủ
a
công ty b
ả
o hi
ể
m
ở
th
ờ
i k
ỳ
th
ứ

t
là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñượ
c xác
ñị
nh trong hai tr
ườ
ng

h
ợ
p sau

17

- Trường hợp 1:

ở
m
ỗ
i th
ờ
i k
ỳ

t
(
1
t
≥
), v
ố
n c
ủ
a k
ỳ
tr
ướ
c

ñượ
c
ñ
em
ñầ
u t
ư
v
ớ
i lãi
su
ấ
t là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
I
. Khi
ñ
ó, v
ố
n
ở
th
ờ
i k
ỳ

t

ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư
sau

1
1 1 2
t t t t t
U U ( I ) X Y ,t , , ,
−
= + + − =
(1.11)

0
o
U u .
= >

- Trường hợp 2:

ở
m
ỗ
i th
ờ
i k
ỳ

t
(
1
t
≥
), không nh
ữ
ng v
ố
n c
ủ
a k
ỳ
tr
ướ
c mà c
ả
ti
ề
n
thu b
ả
o hi
ể
m
ở
k
ỳ
hi

ệ
n t
ạ
i c
ũ
ng
ñượ
c tính lãi su
ấ
t là dãy
I
. Khi
ñ
ó, v
ố
n
ở
th
ờ
i k
ỳ

t

ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư
sau

1
1 1 2
t t t t t
U (U X )( I ) Y ,t , , ,
−
= + + − =
(1.12)

0
o
U u .
= >

v
ớ
i
u
là v
ố
n ban
ñầ
u c
ủ
a công ty b
ả
o hi
ể
m.
Khi

ñ
ó, xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i k
ỳ

t

ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a b
ở
i

1
0
t
t k
k

( u ) P (U ) ,
Ψ
=
 
= <
 
 
∪
(1.13)
và xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (v
ớ
i th
ờ
i gian vô h
ạ
n) là

1
0
t t
t
t
( u ) lim ( u ) P (U ) .
Ψ Ψ

∞
→∞
=
 
= = <
 
 
∪
(1.14)
Bài toán
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
ñ
ã
ñượ
c Sundt, B. và Teugels, T.L. [57], [58]
nghiên c
ứ
u cho tr
ườ
ng h
ợ

p dãy lãi su
ấ
t là dãy h
ằ
ng s
ố
trong mô hình r
ủ
i ro Poisson
ph
ứ
c h
ợ
p. Ch
ủ

ñề
này
ñượ
c ti
ế
p t
ụ
c nghiên c
ứ
u trong các mô hình r
ủ
i ro, b
ở
i nhi

ề
u
tác gi
ả
nh
ư
Asmussen, S. [10], Yang, H. and Zhang, L. H. [66],
ñ
ã xét mô hình
(1.11) và (1.12) trong tr
ườ
ng h
ợ
p
ñặ
c bi
ệ
t khi dãy lãi su
ấ
t
{
}
1
n
n
I
≥
là các h
ằ
ng s

ố
.
Ngoài ra, Cai J. [14], [15], Xu, L. và Wang, R. [64] c
ũ
ng
ñ
ã xét mô hình (1.11) và
(1.12) khi
{
}
1
n
n
I
≥
là xích Markov và dãy
{
}
1
i
i
X
≥
,
{
}
1
j
j
Y

≥
là các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p ho
ặ
c dãy t
ự
h
ồ
i quy c
ấ
p 1.
1.2. Quá trình Markov
1.2.1. Định nghĩa
Gi
ả
s
ử
(
Ω
,A ,P) là không gian xác su
ấ
t, (E,

B) là không gian
ñ
o sao cho t
ấ
t
c
ả
các t
ậ
p g
ồ
m m
ộ
t
ñ
i
ể
m là
ñ
o
ñượ
c (t
ứ
c là
{
}
e
∈
B). Gi
ả

s
ử
{
}
,
t
X X t T
= ∈
v
ớ
i

18

T R
⊂
là quá trình ng
ẫ
u nhiên nh
ậ
n giá tr
ị
trong E (E
ñượ
c g
ọ
i là không gian tr
ạ
ng
thái c

ủ
a
t
X
) t
ứ
c là v
ớ
i m
ỗ
i
,
t T
∈
:
t
X
Ω →
E là ánh x
ạ

ñ
o
ñượ
c n
ế
u
1
( )
t

X C
−
∈
A
,
C
∀ ∈
B.


Gi
ả
s
ử
tr
ướ
c th
ờ
i
ñ
i
ể
m
s
,
X
ở
tr
ạ
ng thái nào

ñ
ó, còn
ở
th
ờ
i
ñ
i
ể
m
s
,
X
ở

tr
ạ
ng thái
i
. Ta c
ầ
n bi
ế
t t
ạ
i th
ờ
i
ñ
i

ể
m
t
trong t
ươ
ng lai
(
)
t s
>
,
X
ở
tr
ạ
ng thái
j

v
ớ
i xác su
ấ
t là bao nhiêu? N
ế
u xác su
ấ
t này ch
ỉ
ph
ụ

thu
ộ
c
, , ,
s t i j
thì
ñiều này có
nghĩa là: sự tiến triển của
X
trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và ñộc lập
với quá khứ hay nói một cách khác khi ñã biết hiện tại thì tương lai và quá khứ của
quá trình
X
ñộc lập với nhau.
Về phương diện xác suất, ta phải dùng xác suất có ñiều kiện ñể diễn tả tính
Markov. Cụ thể là, nếu
s
là thời ñiểm hiện tại thì
s
X x
=
là trạng thái hiện tại,
{
}
,
q
X q s
<
là quá khứ,
{

}
,
t
X s t
<
là t
ươ
ng lai. Khi
ñ
ó tính Markov
ñượ
c
ñị
nh
ngh
ĩ
a nh
ư
sau
Định nghĩa 1.5
[6]

Quá trình ng
ẫ
u nhiên
{
}
,
t
X X t T

= ∈

ñượ
c g
ọ
i là quá trình có
tính Markov n
ế
u
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
. ,
s s s
P A A X P A X P A X
=
trong
ñ
ó
1
A
là bi
ế
n c
ố
thu

ộ
c v
ề
t
ươ
ng lai, t
ứ
c là bi
ế
n c
ố
thu
ộ
c vào
σ
−
tr
ườ
ng sinh
b
ở
i
{
}
,
t
X s t
<
,
2

A
là bi
ế
n c
ố
thu
ộ
c v
ề
quá kh
ứ
, t
ứ
c là bi
ế
n c
ố
thu
ộ
c vào
σ
−
tr
ườ
ng
sinh b
ở
i
{
}

,
q
X q s
<
.
Khi
ñ
ó, quá trình ng
ẫ
u nhiên
{
}
,
t
X X t T
= ∈

ñượ
c g
ọ
i là quá trình Markov.
•
Tùy theo t
ậ
p
T
là r
ờ
i r
ạ

c hay liên t
ụ
c ta có khái ni
ệ
m quá trình Markov v
ớ
i
th
ờ
i gian r
ờ
i r
ạ
c hay liên t
ụ
c.
Đặ
c bi
ệ
t, m
ộ
t quá trình Markov v
ớ
i th
ờ
i gian
r
ờ
i r
ạ

c còn
ñượ
c g
ọ
i là xích Markov.
• Để

ñơ
n gi
ả
n tính Markov có th
ể

ñượ
c hi
ể
u nh
ư
sau

19

Quá trình
{
}
,
t
X X t T
= ∈
v

ớ
i không gian tr
ạ
ng thái
E
có tính Markov n
ế
u
{
}
{
}
1 1 1
1
, , ,
n o n n n n
t t o t n t t t
P X j X i X i X i P X j X i
+ − +
−
= = = = = = =

v
ớ
i b
ấ
t k
ỳ

0 1 2 1

n n
t t t t t
+
< < < < <
⋯
và
0 1
, , , ,
n
i i i j
−
… ∈
E
.
Ta xem
n
t
là hi
ệ
n t
ạ
i,
1
n
t
+
là t
ươ
ng lai,
(

)
0 1 1
, , ,
n
t t t
−
…
là quá kh
ứ
.
N
ế
u ký hi
ệ
u
(
)
{
}
(
)
, , ,
t s
p s i t j P X j X i s t
= = = <
thì
ñ
ây là xác su
ấ
t có

ñ
i
ề
u
ki
ệ
n
ñể
quá trình t
ạ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m
s

ở
tr
ạ
ng thái
i
,
ñế
n th
ờ
i
ñ

i
ể
m
t
chuy
ể
n sang tr
ạ
ng
thái
j
, vì th
ế
ta g
ọ
i
(
)
, , ,
p s i t j
là xác su
ấ
t chuy
ể
n tr
ạ
ng thái c
ủ
a quá trình ng
ẫ

u
nhiên
X
.
Định nghĩa 1.6.
[6] Quá trình Markov
{
}
,
t
X X t T
= ∈
có xác su
ấ
t chuy
ể
n ch
ỉ
ph
ụ

thu
ộ
c vào
(
)
t s
−
, t
ứ

c là:
(
)
(
)
, , , , , ,
p s i t j p s h i t h j
= + +
ñượ
c g
ọ
i là quá trình
Markov là thu
ầ
n nh
ấ
t theo th
ờ
i gian.
1.2.2. Xích Markov rời rạc và thuần nhất
Gi
ả
s
ử

(
)
, 0,1,2,
n
X n =

…
là xích Markov r
ờ
i r
ạ
c và thu
ầ
n nh
ấ
t, t
ứ
c là :
n
X
Ω →
E
là
bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên nh
ậ
n giá tr
ị
trong t
ậ
p
ñế
m

ñượ
c
E
và nó là quá trình Markov thu
ầ
n
nh
ấ
t theo th
ờ
i gian.
•
Ma tr
ậ
n xác su
ấ
t chuy
ể
n:

Đặ
t
{
}
{
}
ij 1 1 0 0 1 1
, , ,
n n n n n n
p P X j X i P X j X i X i X i

+ + − −
= = = = = = = =
…


ij
p
là xác su
ấ
t có
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
quá trình t
ạ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m
n
(hi
ệ
n t

ạ
i)
ở
tr
ạ
ng thái
i
chuy
ể
n sang tr
ạ
ng thái
j
t
ạ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m n + 1 (t
ươ
ng lai),
ij
p
không ph
ụ
thu
ộ

c vào
n
(do tính thu
ầ
n nh
ấ
t).

Đặ
t
(
)
ij
P p
=
thì ma tr
ậ
n
(
)
ij
P p
=

ñượ
c g
ọ
i là ma tr
ậ
n xác su

ấ
t chuy
ể
n sau
m
ộ
t b
ướ
c.

Đặ
t các bi
ế
n c
ố

(
)
(
)
(
)
1 0 0 1 1
, , , ,
n n n n
A X j B X i C X i X i
+ − −
= = = = = = =
…

20

thì tính Markov có ngh
ĩ
a là:
(
)
(
)
.
P A B P A BC
=

T
ừ

ñ
ó suy ra
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)

(
)
(
)
( )
( ) ( )
. . .
.
P BC P A BC P B P C B P A B
P ABC
P AC B
P B P B P B
P C B P A B
= = =
=

T
ứ
c là quá kh
ứ
và t
ươ
ng lai là
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau khi cho tr
ướ

c hi
ệ
n t
ạ
i.
Chú ý r
ằ
ng: t
ừ
công th
ứ
c xác su
ấ
t
ñầ
y
ñủ
suy ra ma tr
ậ
n
(
)
ij
P p
=
có tính
ch
ấ
t
ij

0 1, ,
p i j
≤ ≤ ∀ ∈
E
,

ij
1.
j
p
ε
∈
=
∑

Ma tr
ậ
n có tính ch
ấ
t nh
ư
th
ế
g
ọ
i là ma tr
ậ
n ng
ẫ
u nhiên.

•
Ph
ươ
ng trình Chapman – Kolmogorov
Xác su
ấ
t chuy
ể
n sau
n
b
ướ
c
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a theo công th
ứ
c
{
}
{
}
(n)
ij 0
.
n m m n
p P X j X i P X j X i

+
= = = = = =


Đ
ây là xác su
ấ
t
ñể
quá trình t
ạ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m ban
ñầ
u
ở
tr
ạ
ng thái
i
, sau
n
b
ướ
c

chuy
ể
n sang tr
ạ
ng thái
j
.
Rõ ràng
(1)
ij ij
p p
=
. Ta quy
ướ
c
(0)
1
.
0
ij
khi i j
p
khii j
=

=

≠


Đặ
t
(
)
( ) (n)
ij
n
P p
=
,
ñ
ó là ma tr
ậ
n xác su
ấ
t chuy
ể
n sau
n
b
ướ
c.
T
ừ
công th
ứ
c xác su
ấ
t

ñầ
y
ñủ
và tính Markov ta có, v
ớ
i m
ọ
i
0,1,2,
n
=
…

(n+1) ( )
ij
,
n
ik kj
k
p p p
ε
∈
=
∑
(1.15)
(n+1) ( )
ij
.
n
ik kj

k
p p p
ε
∈
=
∑
(1.16)

21

T
ổ
ng quát h
ơ
n, v
ớ
i m
ọ
i
, 0,1,2,
n m
=
…
ta có
(n+m) ( ) ( )
ij
.
n m
ik kj
k

p p p
ε
∈
=
∑
(1.17)
Ph
ươ
ng trình (1.15) g
ọ
i là ph
ươ
ng trình ng
ượ
c.
Ph
ươ
ng trình (1.16) g
ọ
i là ph
ươ
ng trình thu
ậ
n.
Ph
ươ
ng trình (1.17) g
ọ
i là ph
ươ

ng trình Chapman – Kolmogorov.
•

Phân ph
ố
i ban
ñầ
u:
(
)
( )
0 0
,
o
o
i o
P X i p i
= = ∈
E.


•

Phân ph
ố
i h
ữ
u h
ạ
n chi

ề
u
Phân ph
ố
i h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u c
ủ
a xích Markov
ñượ
c tính theo
(
)
0 1 1
( )
0 0 1 1 1 1
, , , , . .
o n n
o
n n n n i i i i i
P X i X i X i X i p p p
−
− −
= = = = =
… …

Phân ph
ố
i c
ủ
a xích Markov t
ạ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m
n

ñượ
c cho b
ở
i
(
)
( )
,
n
j n
p P X j j
= = ∈
E.

Đặ

t
(
)
( ) ( )
n n
j
p
Π =
và g
ọ
i
(0)
Π = Π
là phân ph
ố
i ban
ñầ
u c
ủ
a xích Markov.
Ta quy
ướ
c vi
ế
t
(
)
( ) ( )
n n
j

p
Π =
là véc t
ơ
dòng.
Theo công th
ứ
c xác su
ấ
t
ñầ
y
ñủ
ta có
(
)
(
)
(
)
(n+m) ( ) ( )
j
. .
n m
n m n n m n i ij
i k
p P X j P X i P X j X i p p
ε ε
+ +
∈ ∈

= = = = = = =
∑ ∑

V
ậ
y ta có
( ) ( )
( 1) ( ) (1) ( )
( ) ( ) ( )
,
,
.
n n
n n n
n m n m
P
P P
P
+
+
Π = Π
Π = Π = Π
Π = Π

Xích Markov có phân ph
ố
i ban
ñầ
u
ñượ

c g
ọ
i là d
ừ
ng n
ế
u
( )
n
Π
không ph
ụ

thu
ộ
c vào
,
n n N
∀ ∈
, t
ứ
c là
( )
n
Π = Π
hay
P
Π = Π
.

22

Nh
ư
v
ậ
y mô hình xác su
ấ
t c
ủ
a m
ộ
t xích Markov r
ờ
i r
ạ
c và thu
ầ
n nh
ấ
t là b
ộ

ba
(
)
, ,
n
X P
Π , trong

ñ
ó
n
X
là dãy các
ñạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên r
ờ
i r
ạ
c,
Π
là phân ph
ố
i
ban
ñầ
u,
P
là ma tr
ậ
n xác su
ấ
t chuy
ể
n.

1.3. Quá trình Martingale với thời gian rời rạc
1.3.1. Khái niệm tương thích và dự báo ñược
Gi
ả
s
ử
(
Ω
,
A
, P) là không gian xác su
ấ
t,
F
⊂
A

là
σ
- tr
ườ
ng con c
ủ
a
A
và
X
là
bi
ế

n ng
ẫ
u nhiên nào
ñ
ó. Ta nói r
ằ
ng
X
t
ươ
ng thích v
ớ
i
F

n
ế
u
X
là
F
-
ñ
o
ñượ
c
(t
ứ
c là
1

X ( B )
−
∈
F
v
ớ
i m
ọ
i t
ậ
p Borel
B
⊂
ℝ
). Tr
ườ
ng h
ợ
p
ñ
ó, ta vi
ế
t:
X
∈
F
.

Ký hi
ệ

u
1
( X ) X
σ
−
=
(
B
), trong
ñ
ó
B
là
σ
- tr
ườ
ng Borel c
ủ
a
ℝ
. Rõ ràng,
X
∈
F
khi
và ch
ỉ
khi
( X )
σ

⊂
F
.

Cho tr
ướ
c dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
X
=
{
}
n
X ,n ∈
ℕ
. Ký hi
ệ
u
{
}
(
)
n
X ,n
σ
∈
ℕ

là
σ
- tr
ườ
ng
con bé nh
ấ
t c
ủ
a
A

ch
ứ
a t
ấ
t c
ả
các
σ
- tr
ườ
ng
n
( X ),n
σ
∈
ℕ
. Ta g
ọ

i
{
}
(
)
n
X ,n
σ
∈
ℕ
là
σ
- tr
ườ
ng sinh t
ừ

X
=
{
}
n
X ,n ∈
ℕ
.
Đặ
t

{
}

(
)
X
n n m
X ,m n ,n ,
σ σ σ
≤ ≤
= = ≤ ∈
ℕ


{
}
(
)
X
n n m
X ,m n ,n ,
σ σ σ
< <
= = < ∈
ℕ


(
)
X
n n n
X ,
σ σ σ

= =
= =


{
}
(
)
X
n n m
X ,m n ,n ,
σ σ σ
≥ ≥
= = ≥ ∈
ℕ


{
}
(
)
X
n n m
X ,m n ,n .
σ σ σ
> >
= = > ∈
ℕ

Cho dãy

σ
- tr
ườ
ng con {
F
n
,
n
∈
ℕ
} c
ủ
a
A
.

Dãy này
ñượ
c g
ọ
i là không gi
ả
m, n
ế
u
F
m

⊂
F

n
,
m n, m,n .
≤ ∀ ∈
ℕ


23

Ch
ẳ
ng h
ạ
n,
{
}
n
,n
σ
≤
∈
ℕ
là h
ọ
không gi
ả
m. Ta l
ư
u ý r
ằ

ng
n
σ
≤
g
ồ
m các bi
ế
n c
ố
quan
sát
ñượ
c tính
ñế
n th
ờ
i
ñ
i
ể
m
n
.
Định nghĩa 1.7.
[6] Quá trình ng
ẫ
u nhiên
X
= {X

n
,
F
n
,
n
∈
ℕ
} là dãy t
ươ
ng thích
n
ế
u X
n
∈
F
n
v
ớ
i m
ỗ
i
n
∈
ℕ
.
Ta nói r
ằ
ng

V
= {V
n
,
F
n-1
,
n
∈
ℕ
,
F
-1
=

F
o
} là dãy d
ự
báo
ñượ
c n
ế
u V
n
∈
F
n-1
v
ớ

i
m
ỗ
i
n
∈
ℕ
.
Rõ ràng, dãy d
ự
báo
ñượ
c là dãy t
ươ
ng thích.
T
ấ
t nhiên, ta luôn có
X
=
{
}
n n
X , ,n
σ
≤
∈
ℕ
là dãy t
ươ

ng thích. Ng
ườ
i ta th
ườ
ng g
ọ
i
n
σ
≤
là
σ
- tr
ườ
ng t
ự
nhiên c
ủ
a dãy
n
( X ,n )
∈
ℕ
. Nó g
ồ
m t
ấ
t c
ả
nh

ữ
ng bi
ế
n c
ố
liên
quan t
ớ
i quá kh
ứ
(tr
ướ
c
n
) và hi
ệ
n t
ạ
i (t
ạ
i
n
) c
ủ
a dãy.
1.3.2. Thời ñiểm Markov và thời ñiểm dừng
Ta g
ọ
i (
Ω

,
A
, P) là không gian xác su
ấ
t
ñầ
y
ñủ
n
ế
u
A

ch
ứ
a t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p con có
xác su
ấ
t không (T
ậ
p O có xác su
ấ
t không n
ế

u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t t
ậ
p A
∈
A
sao cho
P(
A
) = 0 và O
⊂
A
).
Ký hi
ệ
u

{
}
{
}
{
}
{
}

0,1,2, , 0,1,2, , ,
= = ∪ ∞ = ∪ ∞
ℕ ℕ ℝ ℝ

{
F
n
,
n
∈
ℕ
} là dãy
σ
- tr
ườ
ng không gi
ả
m,

F
∞
là
σ
- tr
ườ
ng bé nh
ấ
t ch
ứ
a

F
n
,
n
∈
ℕ
.
Gi
ả
s
ử

:
τ
Ω →
ℕ
là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên (có th
ể
l
ấ
y giá tr
ị

∞
).
Định nghĩa 1.8.

[6]

τ
là th
ờ
i
ñ
i
ể
m Markov
ñố
i v
ớ
i {
F
n
,
n
∈
ℕ
} n
ế
u
{
}
: ( )
n
ω τ ω
=
∈

F
n
,
n
∀ ∈
ℕ
. N
ế
u thêm vào
( ) 1
P
τ
< ∞ =
thì
τ

ñượ
c g
ọ
i là th
ờ
i
ñ
i
ể
m
d
ừ
ng.

24

Chú ý 1.1.
[6]

*
τ
là th
ờ
i
ñ
i
ể
m Markov khi và ch
ỉ
khi
{
}
: ( )
n
ω τ ω
≤
∈
F
n
,
n
∀ ∈
ℕ

.
* Ký hi
ệ
u
F
τ

là l
ớ
p g
ồ
m t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p con
A
c
ủ
a
Ω
sao cho
A
∈
F
∞
,

(
)
A n
τ
∩ ≤ ∈
F
n
. Nh
ư
v
ậ
y
F
τ

g
ồ
m các bi
ế
n c
ố
quan sát
ñượ
c tính
ñế
n th
ờ
i
ñ
i

ể
m
τ
.
D
ễ
dàng ch
ứ
ng minh
ñượ
c
F
τ

là

σ
- tr
ườ
ng con c
ủ
a
σ
- tr
ườ
ng
F
.

1.3.3. Kỳ vọng có ñiều kiện

Định nghĩa 1.9.

[6]

Gi
ả
s
ử
(
Ω
,
A
, P) là không gian xác su
ấ
t,
F

là
σ
- tr
ườ
ng con
c
ủ
a
A

và
X
là bi

ế
n ng
ẫ
u nhiên. M
ộ
t bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
*
X

ñượ
c g
ọ
i là k
ỳ
v
ọ
ng có
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a
X

ñố
i v
ớ
i
F
, n
ế
u
(i)
*
X
∈
F
,

(ii) V
ớ
i m
ọ
i t
ậ
p
A
∈

F

thì ta có

*

.
A A
X dP XdP
=
∫ ∫

Bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
*
X
này s
ẽ

ñượ
c ký hi
ệ
u là
(
E X
F
)
.
L
ư
u ý r
ằ
ng, n

ế
u ch
ọ
n
σ
- tr
ườ
ng
F

là
σ
- tr
ườ
ng
( )
Y
σ
sinh b
ở
i bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
Y

nào
ñ
ó, khi

ñ
ó k
ỳ
v
ọ
ng có
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a
X

ñố
i v
ớ
i
( )
Y
σ
c
ũ
ng
ñượ
c ký hi
ệ
u là

(
)
.
E X Y

Trong m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t sau
ñ
ây, các h
ệ
th
ứ
c
ñượ
c hi
ể
u theo ngh
ĩ
a h
ầ
u ch
ắ
c ch
ắ
n.

*
Tính chất 1.
[6] N
ế
u
X
ñ
o
ñượ
c
ñố
i v
ớ
i
F
thì

(
E XY
F
)
=
(
XE Y
F
)

*
Tính chất 2.
[6]

(Bất ñẳng thức Jensen ñối với kỳ vọng có ñiều kiện)

N
ế
u
( )
g x
là hàm lõm (l
ồ
i) trên t
ậ
p
I
⊂
ℝ
, t
ứ
c là

(
)
(
)
(
)
(1 ) (1 ) ( )
g x y g x g y
λ λ λ λ
+ − ≥ + − ≤

v
ớ
i m
ọ
i
,
x y I
∈
và m
ọ
i
[
)
0,1 ,
λ
∈
và n
ế
u
X
là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên l
ấ
y giá tr
ị
trên
I

thì

25


(
(
g E X
F

))
≥
(
( )
E g X
F

)
( )
≤

1.3.4. Martingale [6]
Gi
ả
s
ử
(
Ω
,
A

, P) là không gian xác su
ấ
t. Dãy
X
= {X
n
,
F
n
,
n
∈
ℕ
}
ñượ
c g
ọ
i là
* martingale trên (
ñố
i v
ớ
i
F
n
,
n
∈
ℕ
), n

ế
u
(i) {X
n
,
F
n
,
n
∈
ℕ
} là dãy t
ươ
ng thích,
(ii)
n
E X , n ,
< ∞ ∀ ∈
ℕ

(iii) v
ớ
i m
ọ
i
m n
≤
,
m,n
∈

ℕ


E
(
n
X

F
m
)
≤
X
m
(h.c.c).
* martingale d
ướ
i (
ñố
i v
ớ
i
F
n
,
n
∈
ℕ
), n
ế

u các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n (i) và (ii)
ñượ
c th
ự
c hi
ệ
n và

(iii’) v
ớ
i m
ọ
i
m n
≤
,
m,n
∈
ℕ


E
(
n

X

F
m
)
≥
X
m
, (h.c.c).
* martingale (
ñố
i v
ớ
i
F
n
,
n
∈
ℕ
), n
ế
u các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n (i) và (ii)
ñượ

c th
ự
c hi
ệ
n và
(iii’’) v
ớ
i m
ọ
i
m n
≤
,
m,n
∈
ℕ


E
(
n
X

F
m
) = X
m
, (h.c.c).
1.3.5. Định lý thời ñiểm dừng chọn ñối với Martingale trên
Định lý 1.3.

[31] N
ế
u {X
n
,
F
n
,
n
∈
ℕ
} là martingale trên và
τ
là th
ờ
i
ñ
i
ể
m d
ừ
ng.
Gi
ả
s
ử
m
ộ
t trong 3
ñ

i
ề
u ki
ệ
n sau th
ỏ
a mãn :
(i)
τ
là th
ờ
i
ñ
i
ể
m d
ừ
ng h
ữ
u h
ạ
n, t
ứ
c là t
ồ
n t
ạ
i h
ằ
ng s

ố

k
sao cho
1
P( k )
τ
≤ =
,
(ii)
E( )
τ
< +∞
và t
ồ
n t
ạ
i h
ằ
ng s
ố

B

ñể


1
n n
E X X

+

−

F
n
]
B( h.c.c ),
≤