FULL CÔNG THỨC TOÁN 12, NGUYỄN văn lực

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CÔNG THỨC TOÁN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

H
oc

01

I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

uO
nT
hi
D

Định lý 1: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K .
a) Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên K thì f '( x )  0 với mọi x  K
b) Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến trên K thì f '( x )  0 với mọi x  K
 [ f ( x ) đồng biến trên K ]
 [ f '( x )  0 với mọi x  K ]
 [ f ( x ) nghịch biến trên K ]
 [ f '( x )  0 với mọi x  K ]

ai

1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

[ f '  x   0 với mọi x  K ]

ie

 [ f ( x ) không đổi trên K ]

Định lý 2: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K .

iL

a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K

Ta

b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K
[ f '  x   0 với mọi x  K ]



[ f '  x   0 với mọi x  K ]

 [ f ( x ) đồng biến trên K ]

up



s/

c) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f ( x ) không đổi trên K

ro

 [ f ( x ) nghịch biến trên K ]

/g

Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K .

om

a) Nếu f '( x )  0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K .

.c

b) Nếu f '( x )  0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K

ok

thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K .

bo

Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  , ta có

ce

f '  x   3ax 2  2bx  c .

w

w

w

.fa

a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0 
đồng biến trên   f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  

b) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0 
nghịch biến trên   f '  x   3ax 2  2 bx  c  0 x  

1
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

H
oc

01

NHẮC LẠI
Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c (a  0) ta có:
  0


 f ( x )  0 x    



a  0

  0
 f ( x )  0 x    



a  0

Để xét chiều biến thiên của hàm số y  f  x  , ta thực hiện các bước như sau:

ai

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

uO
nT
hi
D

– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y  0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch
biến của hàm số.
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến

ie

trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)

Ta

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.

iL

Cho hàm số y  f ( x , m) , m là tham số, có tập xác đònh D .

Từ đó suy ra điều kiện của m .

ro

up

Chú ý:
1) y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

s/

 Hàm số f nghòch biến trên D  y  0, x  D.

/g

2) Nếu y  ax 2  bx  c thì:

.c

om

 a  b  0
 c  0
 y '  0, x     
 a  0
   0

 a  b  0
 c  0
 y '  0, x     
 a  0
   0

ok

3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c :

bo

 Nếu   0 thì g  x  luôn cùng dấu với a .

ce

 Nếu   0 thì g  x  luôn cùng dấu với a (trừ x  

b
)

2a

.fa

 Nếu   0 thì g  x  có hai nghiệm x1 , x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g  x  khác

w

w

w

dấu với a , ngoài khoảng hai nghiệm thì g  x  cùng dấu với a .
4) So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c với số 0:
  0

 x1  x2  0   P  0
S  0

  0

 0  x1  x2   P  0
S  0

 x1  0  x2  P  0

2
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

5) Để hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến)  x1; x2  bằng d
thì ta thực hiện các bước sau:
 Tính y .
a  0
  0


01

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:

 Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )2  4 x1 x2  d 2

H
oc

1
2

uO
nT
hi
D

 Giải phương trình, so với điều kiện 1 để chọn nghiệm.

ai

 Sử dụng đònh lí Viet đưa  2  thành phương trình theo m.

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng f ( x )  0 (hoặc , ,  ). Xét hàm số y  f ( x ) trên tập

ie

xác đònh do đề bài chỉ đònh.
 Xét dấu f '  x  . Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.

iL

 Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.

Ta

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f '  x  thì ta đặt h  x   f '  x  và quay lại

s/

tiếp tục xét dấu h '  x  … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.

up

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f  a   f  b  .

/g

ro

Xét tính đơn điệu của hàm số f ( x ) trong khoảng  a; b  .

om

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f  x   g  x  (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

.c

 Chọn được nghiệm x0 của phương trình.

ok

 Xét các hàm số y  f ( x )  C1  và y = g(x)  C2  . Ta cần chứng minh một hàm số đồng

bo

biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó  C1  và  C2  giao nhau tại một điểm duy nhất có
hoành độ x0 . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

w

w

w

.fa

ce

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y  C thì kết luận trên vẫn đúng.

3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)

H
oc

01

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f '  x0   0
Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị). Quy tắc 1
khoảng  a; x0  và  x0 ; b  . Khi đó

uO
nT
hi
D

a) Nếu f '( x )  0 với mọi x   a; x0  và f '( x )  0 với mọi x   x0 ; b 

ai

Giả sử hàm số y  f ( x ) liên tục trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các

thì hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x0 .

b) Nếu f '( x )  0 với mọi x   a; x0  và f '( x )  0 với mọi x   x0 ; b 
thì hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x0 .

Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị). Quy tắc 2

ie

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f ( x0 )  0 và f có đạo hàm

iL

cấp hai khác khơng tại điểm x0 . Khi đó

Ta

a) Nếu f   x0   0 thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0

up

s/

b) Nếu f   x0   0 thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0
Định lý 4:

ro

a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị

/g

 f '  x   3ax 2  2 bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt.

om

b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị

.c

 f '  x   4 ax 3  2 bx  0 có ba nghiệm phân biệt.

ok

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số

bo

Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.

 Tìm f   x  .

.fa

ce

 Tìm các điểm xi  i  1, 2 ,  mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
 Xét dấu f   x  . Nếu f   x  đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trò tại xi .

w

w

w

Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.

 Tính f   x  .
 Giải phương trình f   x   0 tìm các nghiệm xi  i  1, 2,  .
 Tính f   x  và f   xi   i  1, 2,  .
Nếu f   xi   0 thì hàm số đạt cực đại tại xi .

4
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

Nếu f   xi   0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi .
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò

01

1. Nếu hàm số y  f ( x ) đạt cực trò tại điểm x0 thì f   x0   0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.
Chú ý:

H
oc

2. Để hàm số y  f ( x ) đạt cực trò tại điểm x0 thì f   x  đổi dấu khi x đi qua x0 .

 Hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d có cực trò  Phương trình y  0 có hai nghiệm

uO
nT
hi
D

ai

phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y  x0  bằng hai cách:
+ y  x0   ax03  bx02  cx0  d

+ y  x0   Ax0  B , trong đó Ax  B là phần dư trong phép chia y cho y.

ax 2  bx  c P( x )


 aa '  0  có cực trò  Phương trình y  0 có hai
a' x  b'
Q( x )
b'
nghiệm phân biệt khác  .
a'
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y  x0  bằng hai cách:
Q  x0 

P ' x0

Ta

P  x0 

y  x0  

hoặc

Q ' x0

s/

y  x0  

iL

ie

 Hàm số y 

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ

/g

ro

up

nghiệm ngoại lai.
 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
đònh lí Vi–et.

om

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d .

.c

 Chia f  x  cho f   x  ta được:

f  x   Q  x  . f   x   Ax  B.

 y  fx  Ax  B

ok

1

1
 Khi đó, giả sử  x1; y1  ,  x2 ; y2  là các điểm cực trò thì:  1
y

fx

Ax
 2
1
2 B

bo

 Các điểm  x1; y1  ,  x2 ; y2  nằm trên đường thẳng y  Ax  B.

w

w

w

.fa

ce

2) Hàm số phân thức y  f ( x ) 

P( x ) ax 2  bx  c
.


Q( x )
dx  e

 Giả sử  x0 ; y0  là điểm cực trò thì y0 

P '  x0 
Q '  x0 

.

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trò ấy là: y 

P 'x
Q 'x



2 ax  b
.
d

5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

3. GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

01

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

H
oc

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
 Tính f   x  .

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

uO
nT
hi
D

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn  a; b  .
 Tính f   x  .

ai

 Xét dấu f   x  và lập bảng biến thiên.

 Giải phương trình f   x   0 tìm được các nghiệm x1 , x2 , , xn trên  a; b  (nếu có).
 Tính f  a  , f  b  , f  x1  , f  x2  , , f  xn  .
 So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.

M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )

ie

[ a; b ]

iL

m  min f ( x )  min  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )

Ta

[ a; b ]

s/

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức

/g

ro

up

Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.
 Chứng minh một bất đẳng thức.
 Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành
đẳng thức.
Một số kiến thức thường dùng:

2

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om


b 

a) f ( x )  ax  bx  c  a  x 
 
2a 
4a

b) Bất đẳng thức Cơ-si:
ab

Với hai số a, b khơng âm  a, b  0  ta ln có:
 ab  a  b  2 ab
2
Dấu "=" xảy ra khi a  b
abc 3
Với ba số a, b, c khơng âm  a, b, c  0  ta ln có:
 abc  a  b  c  3 3 abc
3
Dấu "=" xảy ra khi a  b  c
c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng
2

1) a2  b2  2ab  ab 

a2  b2
2

2) (a  b)2  4ab   ab 

(a  b)2
4

3) (a  b)2  2(a2  b2 )  a2  b2 

( a  b)2
2

6
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trò
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) trên một miền D cho trước.
 f ( x )  y0

x  D

(1)
(2)

H
oc

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy
(sau khi biến đổi) có dạng: m  y0  M (3)
Vì y0 là một giá trò bất kì của f  x  nên từ (3) ta suy ra được:

ai

min f ( x )  m; max f ( x )  M
D

uO
nT
hi

D

D

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT

Giả sử f  x  là một hàm số liên tục trên miền D và có min f ( x )  m; max f ( x )  M . Khi đó:
D

D

iL

ie

 f ( x)  
1) Hệ phương trình 
có nghiệm  m    M .
x  D
 f ( x)  
2) Hệ bất phương trình 
có nghiệm  M   .
x  D

01

Gọi y0 là một giá trò tuỳ ý của f  x  trên D , thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

s/

Ta

 f (x)  
3) Hệ bất phương trình 
có nghiệm  m   .
x  D
4) Bất phương trình f  x    đúng với mọi x  m   .

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

5) Bất phương trình f  x    đúng với mọi x  M   .

7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x )   ;
lim f ( x )   ;
x  x0 

lim f ( x )   ;

x  x0 

x  x0 

H
oc

1. Đònh nghóa:
 Đường thẳng x  x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số y  f ( x ) nếu
lim f ( x )  

x  x0 

ai

 Đường thẳng y  y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số y  f ( x ) nếu

x 

uO
nT
hi
D

ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x )  y0 ;
lim f ( x )  y0
x 

 Đường thẳng y  ax  b, a  0 được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số
y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim

x 

 f ( x )  (ax  b)  0 ;

lim

x 

 f ( x )  (ax  b)  0

P( x )
là hàm số phân thức hữu tỷ.
Q( x )

iL

a) Nếu y  f ( x ) 

ie

2. Chú ý:

Ta

 Nếu Q  x   0 có nghiệm x0 thì đồ thò có tiệm cận đứng x  x0 .

 
 
 Nếu bậc  P  x    bậc  Q  x    1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.

up

s/

 Nếu bậc P  x   bậc Q  x  thì đồ thò có tiệm cận ngang.

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng
các công thức sau:
f ( x)
a  lim
;
b  lim  f ( x )  ax 
x  x
x 

f ( x)
hoặc a  lim
;
b  lim  f ( x )  ax 
x  x
x 

8
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

01

4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO
nT
hi
D

ai

H

oc

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
 Tìm tập xác đònh của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác đònh.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò của hàm số.
 Vẽ đồ thò của hàm số:
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ
(trong trường hợp đồ thò không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì
có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thò để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thò.

01

5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CÔNG THỨC TOÁN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

6. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán tổng quát

uO
nT
hi
D

ai

H
oc

01

(C ) : y  f ( x )
Trong mp  Oxy  . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số:  1
(C2 ) : y  g( x )

C1  và C2  cắt nhau C1  và C2  tiếp xúc nhau

ie

C1  và C2  không có điểm chung

Ta

iL

Phương pháp chung:

* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f  x   g  x           1


up

của hai đồ thị  C1  và  C2  .

s/

* Tùy theo số nghiệm của phương trình 1 mà ta kết luận về số điểm chung

ro

Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình 1 chính là số giao điểm của hai đồ thị  C1  và  C2  .

om

/g

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt 1 bằng số giao điểm của hai đồ thị  C1  và  C2  .

.c

Chú ý 1 :
* 1 vô nghiệm

ok

* 1 có n nghiệm




C1  và C2  không có điểm điểm chung
C1  và C2  có n điểm chung

ce

bo

Chú ý 2 :
* Nghiệm x0 của phương trình 1 chính là hoành độ điểm chung của  C1  và  C2  .

w

w

w

.fa

Khi đó tung độ điểm chung là y0  f  x0  hoặc y0  g  x0  .

10
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

CÔNG THỨC TOÁN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

uO
nT
hi
D

ai

H
oc

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
 C  : y  f(x) tại điểm M0 (x0 ; y 0 )  (C)

01

7. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Phương pháp:

hoành độ tiếp điểm

y0 :

tung độ tiếp điểm và y0  f  x0 

k:

hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức: k  f '  x0 

up

s/

Ta

x0 :

ro

Trong đó:

y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )

iL

y  y0  k  x  x0  hay

ie

Phương trình tiếp tuyến với  C  tại M  x0 ; y0  có dạng:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
 C  : y  f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

Dạng 2:

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với  C 
Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f   x0   k , từ đó suy ra y0  f ( x0 )  ?
Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào phương trình: y  y0  k  x  x0  ta sẽ được
phương trình tiếp tuyến cần tìm.

11
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CÔNG THỨC TOÁN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

ai

H
oc

01

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp
tuyến song songtiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .

của    là:
k  a

uO
nT
hi
D

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:
Định lý 1: Nếu đường thẳng    có phương trình dạng: y  ax  b thì hệ số góc

Định lý 2: Trong mp  Oxy  cho hai đường thẳng (1 ) vaø ( 2 ) . Khi đó:
 k 1  k 2

1   2

 k 1 .k 2  1

Ta

iL

ie

1 //  2

s/

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với  C  : y  f(x) biết

ok

.c

om

/g

ro

up

tiếp tuyến đi qua điểm A  x A ; y A 

bo

Phương pháp : Ta có thể tiến hành theo các bước sau

w

w

w

.fa

ce

Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến  d  với  C  tại điểm M 0  x0 ; y0   (C )
(d ) : y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )

 *

Bước 2: Định x0 để  d  đi qua điểm A  x A ; y A  Ta có:

 d  đi qua điểm A  x A ; y A   y A  f '( x0 )( x A  x0 )  f ( x0 ) 1
Bước 3: Giải phương trình 1 tìm x0 . Thay x0 tìm được vào  * ta sẽ được

phương trình tiếp tuyến cần tìm.

12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

Cơ sở của phương pháp
Xét phương trình f  x   g  x   1


H
oc

Nghiệm x0 của phương trình 1 chính là hồnh độ giao điểm của  C1  : y  f  x 
y
(C1 )
và  C2  : y  f  x 

uO
nT
hi
D

ai

(C2 )
x

x0

Bài tốn: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng:
f x  m

 *

iL

ie

Phương pháp:

Ta

Bước 1: Xem (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:
 (C ) : y  f ( x ) : (C) là đồ thò cố đònh

s/

: () là đường thẳng di động cùng phương Ox
và cắt Oy tại M(0;m)

up

 ( ) : y  m

Bước 2: Vẽ  C  và    lên cùng một hệ trục tọa độ

ro

Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của    và  C 

om

/g

Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình  *

(C ) : y  f ( x )

x

ok

O
m1



(0; m)

ym

Dạng: f  x   g m giải tương tự

w

w

w

.fa

ce

bo

y

m2

.c

Minh họa:

01

8. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

13
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CÔNG THỨC TOÁN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

9. TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy ) , tập hợp  C  tất cả các điểm có toạ độ  x; f ( x)  với x  D

Từ định nghĩa ta có: (C )  M / M ( x; y ) vôùi x  D vaø y  f(x)

iL

Phương pháp chung
Đặt M  x0 , y0   C  với y0  f  x0  là điểm cần tìm;

ie

M ( x0 ; y 0 )  (C )  x0  D và y 0  f ( x0 )

uO
nT
hi
D

ai

H
oc

được gọi là đồ thị của hàm số y  f ( x) .

01

Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D.

Ta

Từ điều kiện cho trước ta tìm một phương trình chứa x0 ;

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Giải phương trình tìm x0 , suy ra y0  f  x0   M  x 0 ; y0  .

14
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

H
oc

01

II. HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ
HÀM SỐ LOGARIT

uO
nT
hi
D

ai

§1. LŨY THỪA
1. Đònh nghóa luỹ thừa
Cơ số a

a
a0

  n (n  *)

a0

m
(m  , n  *)
n
  lim rn (rn  , n  *)

a   a n  n a m (n a  b  b n  a)

a0

a   lim a rn

up

s/

a0

2. Tính chất của luỹ thừa

ro

 Với mọi a  0, b  0 ta có:



/g

a
 a  
a

Ta

m



;

; ( a  )   a  . ; (ab)   a  .b 

om

a  .a   a   

a   a n  a.a......a (n thừa số a)
a  a0  1
1
a   a n  n
a

ie

 n *
 0

Luỹ thừa a

iL

Số mũ 

a
a
;    
b
b

a  1 : a  a      ;



.c

0  a  1 : a  a     
am  bm  m  0 ;

bo

ok

 Với 0  a  b ta có:
am  bm  m  0

ce

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .

.fa

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
 Căn bậc n của a là số b sao cho b n  a .
 Với a, b  0, m, n  *, p, q   ta có:
n

w

w

w

3. Đònh nghóa và tính chất của căn thức

n

p

a p   n a  (a  0) ;

ab  n a .n b ;
mn

n

a na

(b  0) ;

b nb

a  mn a

15
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12
Nếu

Thầy Nguyễn Văn Lực

p q
 thì
n m

n

ap 

m

a q (a  0) ; Đặc biệt

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a  b thì

n

n

a

mn

am

anb.

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0  a  b thì

n

anb.
n

a.

H
oc

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n . Kí hiệu

01

Chú ý:
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

ai

4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.

uO
nT
hi
D

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C  A(1  r ) N

iL

ie

§2. HÀM SỐ LŨY THỪA

Ta

Đònh nghóa

Hàm số y  x

Tập xác đònh D

  n ( n nguyên dương )

y  xn

D

y  xn

D   \ 0

y  x

D   0;  

up

s/

Số mũ 

om

1
xn

/g

 là số thực không nguyên

ro

  n ( n nguyên âm hoặc n  0)

 x    x 1 ( x  0) ;

bo



ok

Đạo hàm

không đồng nhất với hàm số y  n x (n  *) .

.c

Chú ý: Hàm số y 

 n x  

1
n

n x n1

 với x  0 nếu n chẵn 
 với x  0 nếu n lẻ  .



 n u  

u
n

n un1

w

.fa

ce

Chú ý:

 u    u 1.u

w

w

§3. LƠGARIT
1. Đònh nghóa

 Với a  0, a  1, b  0 ta có: loga b    a  b

16
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực


Chú ý: loga b có nghóa khi a  0, a  1
b  0
 Logarit thập phân:

lg b  log b  log10 b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe):

 1
ln b  loge b (với e  lim  1    2,718281 )
 n

01

n

loga ab  b ;

loga a  1 ;

 log a 1  0 ;

a

log a b

 b ( b  0)

3. Các qui tắc tính logarit
Với a  0, a  1, b, c  0 , ta có:

b
 log a    log a b  log a c
c

 log a (bc)  loga b  log a c

 log a b   log a b

Ta

iL

ie

4. Đổi cơ số
Với a, b, c  0 và a, b  1, ta có:
loga c
 logb c 
hay log a b.log b c  loga c
loga b
1
log b a

1



log a c (  0)

s/

 log a c 

ro

up

 log a b 

uO
nT
hi
D

+ Nếu 0  a  1 thì log a b  log a c  b  c

ai

 Cho a  0, a  1, b, c  0 . Khi đó:
+ Nếu a  1 thì log a b  log a c  b  c

H
oc

2. Tính chất

om

/g

§4. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LƠGARIT

y

y

y=ax
1

y=ax
1
x

x

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

1. Hàm số mũ y  a x ( a  0, a  1).
 Tập xác đònh: D  .
 Tập giá trò: T  ( 0;  ).
 Khi a  1 hàm số đồng biến, khi 0  a  1 hàm số nghòch biến.
 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
 Đồ thò:

a>1

0
17
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

1

O

uO
nT

hi
D

O

0
a>1

 au   au ln a.u

 e x   e x ;

 eu   eu .u



 loga x   x ln1 a ;

 loga u   u lnu a



 ln x   1  x
x

 ln u   u
u

/g

ro

up

 0 ;

s/

Ta

iL

 a x   a x ln a ;

ie

3. Đạo hàm


x

1

x

y=logax

H
oc

y=logax

ai

 Tập xác đònh: D  ( 0;  ).
 Tập giá trò: T  .
 Khi a  1 hàm số đồng biến, khi 0  a  1 hàm số nghòch biến.
 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
 Đồ thò:
y
y

01

2. Hàm số logarit y  loga x ( a  0, a  1).

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

bo

ok

.c

om

§5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƠGARIT

1. Phương trình mũ cơ bản:

w

w

w

.fa

ce

b  0
Với a  0, a  1 :   a x  b  
 x  log a b
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số:
Với a  0, a  1 :   

a f ( x )  a g( x )  f ( x )  g( x )

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M  a N  (a  1)( M  N )  0
b) Logarit hoá:
a f ( x )  b g ( x )  f ( x)   log a b  .g ( x)
c) Đặt ẩn phụ:

18
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

 Dạng 1:

f ( x)

, t  0 , trong đó P t là đa thức theo t .
P ( a f ( x ) )  0  t  a

 P (t )  0

 Dạng 2:

 a2 f ( x )   (ab) f ( x )   b2 f ( x )  0

 Dạng 3: a f ( x )  b f ( x )  m , với ab  1 . Đặt t  a f ( x )  b f ( x ) 

01

f (x)

1
t

ai

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét phương trình:
f  x   g  x        1


H
oc

a
Chia 2 vế cho b 2 f ( x ) , rồi đặt ẩn phụ t   
b

uO
nT
hi
D

 Đoán nhận x0 là một nghiệm của 1 .

 Dựa vào tính đồng biến, nghòch biến của f  x  và g  x  để kết luận x0 là

up

s/

Ta

iL

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A  0

 Phương trình tích A.B  0  
B  0

 Phương trình A2  B 2  0   A  0
B  0
f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:
f  x   g  x        1


ie


nghiệm duy nhất:  f ( x ) đồng biến và g( x ) nghòch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
 f ( x ) đơn điệu và g( x )  c hằng số
 Nếu f  x  đồng biến (hoặc nghòch biến) thì f (u)  f (v )  u  v


Nếu ta chứng minh được:  f ( x )  M
 g( x )  M

1 

 f ( x)  M

 g( x )  M

/g

ro

thì

om

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

.c

1. Phương trình logarit cơ bản

ok

Với a  0, a  1 :    loga x  b  x  a b

bo

2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
a) Đưa về cùng cơ số

w

w

w

.fa

ce

 f ( x )  g( x )
Với a  0, a  1 :    log a f ( x )  log a g( x )  
 f ( x )  0 (hoặc g( x )  0)
b) Mũ hoá

Với a  0, a  1 :    loga f ( x )  b  a

loga f ( x )

 ab

c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đưa về phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập
Chú ý:
 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghóa.

19
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CÔNG THỨC TOÁN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

a

logb c

c

log b a

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO
nT
hi
D

ai

H
oc

01

 Vôùi a, b, c  0 vaø a, b, c  1 :

20
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

01

§6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

ai

ie

uO
nT
hi
D

 Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.
 a  1
  f ( x )  g( x )
a f ( x )  a g( x )   
 0  a  1
  f ( x )  g( x )
 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

H
oc

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ta

iL

a M  a N  (a  1)( M  N )  0

up

s/

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

 Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.
 a  1
  f ( x )  g( x )  0
log a f ( x )  loga g( x )   
 0  a  1
 0  f ( x )  g( x )
 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
log a A
log a B  0  (a  1)( B  1)  0 ;
 0  ( A  1)( B  1)  0
log a B

21
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

01

III. NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

H
oc

§1. NGUN HÀM

ai

1. Khái niệm nguyên hàm

uO
nT
hi
D

 Cho hàm số f xác đònh trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F '( x )  f ( x ) , x  K

 Nếu F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì họ nguyên hàm của f  x  trên K là:

ie

 f ( x )dx  F ( x )  C ,C   .

iL

 Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

 f '( x )dx  f ( x )  C



  f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

up

  0dx  C

1

(  1)

om



x 1
 C,
 1

/g

  x dx 

ro

  dx  x  C

  kf ( x )dx  k  f ( x )dx ( k  0)

s/



Ta

2. Tính chất

 x dx  ln x  C

ax
 C (0  a  1)
ln a
  cos xdx  sin x  C

  a x dx 

  sin xdx   cos x  C

ok

.c

  e x dx  e x  C

1
a
1
  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C (a  0)
a

ce

bo

  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C (a  0)

1

dx  tan x  C
cos2 x
1
  2 dx   cot x  C
sin x
1
  eax  b dx  eax  b  C , (a  0)
a
1
1
dx  ln ax  b  C
 
ax  b
a





w

w

w

.fa

4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu

 f (u)du  F (u)  C

và u  u( x ) có đạo hàm liên tục thì:

 f  u( x ) .u '( x )dx  F u( x )  C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

22
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

 udv  uv   vdu
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

H
oc

bằng phương pháp đổi biến số

ai

 f ( x )dx

uO
nT
hi
D

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm

01

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.

 Dạng 1: Nếu f  x  có dạng: f  x   g  u( x ) .u '( x ) thì ta đặt t  u( x )  dt  u '( x )dx .
Khi đó:

 f ( x )dx   g(t )dt ,

trong đó  g(t )dt dễ dàng tìm được.

Chú ý: Sau khi tính  g(t )dt theo t , ta phải thay lại t  u  x  .

a2  x 2



t

x  a tan t ,

ro

a2  x 2





t



2
2
0  t 

/g

hoặc x  a cot t,



2
2
0  t 

up

hoặc x  a cos t,



Ta

x  a sin t,

iL

Cách đổi biến

s/

f(x) có chứa

ie

 Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

om

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

.c

Với P  x  là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

ok

 P( x ).e

dx

P(x)
x

e dx

 P( x ). cos xdx

 P( x ).sin xdx

 P( x ).ln xdx

P(x)

P(x)

cos xdx

sin xdx

lnx
P(x)

ce

bo

u
dv

x

.fa

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ

w

w

w

Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f  x  , ta cần tìm một hàm g  x  sao cho nguyên hàm của
các hàm số f  x   g  x  dễ xác đònh hơn so với f  x  . Từ đó suy ra nguyên hàm của f  x  .

Bước 1: Tìm hàm g  x  .
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f  x   g  x  , tức là:

 F( x )  G( x )  A( x )  C1

 F( x )  G( x )  B( x )  C2

(*)

23
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) 

1
 A( x )  B( x )  C là nguyên hàm của f  x  .
2

P( x )
Q( x )

H
oc

1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) 

01

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

– Nếu bậc của P  x   bậc của Q  x  thì ta thực hiện phép chia đa thức.

ai

– Nếu bậc của P  x   bậc của Q  x  và Q  x  có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân

uO
nT
hi
D

tích f  x  thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh).

1
A
B


( x  a)( x  b) x  a x  b

1
( x  m)(ax 2  bx  c)



A
Bx  C

, với   b2  4ac  0
x  m ax 2  bx  c
1

A
B
C
D



x  a ( x  a )2 x  b ( x  b ) 2

iL

( x  a )2 ( x  b ) 2



ie

Chẳng hạn:

Ta

2. f(x) là hàm vô tỉ

 đặt t  m

s/


ax  b 
+ f  x   R  x, m

cx  d 


ax  b
cx  d

/g

 f  x  là hàm lượng giác

ro

up



1
+ f x  R 
 đặt t  x  a  x  b
 ( x  a)( x  b) 




om

Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản.
Chẳng hạn:
sin ( x  a)  ( x  b) 
sin(a  b) 
1
1

.
,  sử dụng 1 

sin(a  b) 
sin( x  a).sin( x  b) sin(a  b) sin( x  a).sin( x  b) 

+

sin ( x  a)  ( x  b) 
1
1
sin(a  b) 

.
,  sử dụng 1 

cos( x  a).cos( x  b) sin(a  b) cos( x  a).cos( x  b) 
sin(a  b) 

ok

.c

+

bo

cos ( x  a)  ( x  b)
1
1

.
,
sin( x  a).cos( x  b) cos( a  b) sin( x  a).cos( x  b)


cos( a  b) 
 sử dụng 1 

cos( a  b) 

+ Nếu R(  sin x , cos x )   R(sin x , cos x ) thì đặt t  cosx
+ Nếu R(sin x ,  cos x )   R(sin x , cos x ) thì đặt t  sinx

+ Nếu R(  sin x ,  cos x )   R(sin x , cos x ) thì đặt t  tanx (hoặc t  cotx )

w

w

w

.fa

ce

+

24
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CƠNG THỨC TỐN 12

Thầy Nguyễn Văn Lực

1. Khái niệm tích phân

H
oc

 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K . Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b

F  b  – F  a  đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

 f ( x )dx .

ai

a

uO
nT
hi
D

b

 f ( x )dx  F(b)  F (a)
a

 Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

 f ( x )dx   f (t)dt   f (u)du  ...  F(b)  F(a)
a

a

ie

a

Ta

iL

 Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y  f  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b  thì diện tích
S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò của y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng

x  a, x  b là:

s/

b

up

S   f ( x )dx
a

ro

2. Tính chất của tích phân
0



f ( x )dx  0
b

 kf ( x )dx  k  f ( x )dx
b

b

b

b

c

b

a

a

a

a

c

bo

a

ce

 Nếu f  x   0 trên  a; b  thì

b

 f ( x )dx  0

a

b

w

w

.fa

 Nếu f  x   g  x  trên  a; b  thì

w

b

  f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx

ok



a



( k : const )

a

.c

a



a

f ( x )dx    f ( x )dx

om

0

b

b



/g





a

b

f ( x )dx   g( x )dx
a

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b

u( b )

a

u( a )

 f  u( x ).u '( x )dx 



01

§2. TÍCH PHÂN

f (u)du

trong đó: u  u  x  có đạo hàm liên tục trên K , y  f  u  liên tục và hàm hợp

25
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01