tóm tắt lý thuyết và công thức giải toán 12 ôn thi tốt nghiệp

TÓM TẮT KIẾN THỨC VÀ
CÔNG THỨC
GIẢI NHANH TOÁN 12

SƯU TẤM & BIÊN SOẠN: NH PA

Good luck to you


MỤC LỤC
Trang
CHƯƠNG I: HÀM SỐ ...................................................................................... 1
CHƯƠNG II: MŨ – LOG ................................................................................ 21
CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ............................................................................ 27
CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC ................................................................................ 45
CHƯƠNG V: KHỐI ĐA DIỆN ....................................................................... 47
CHƯƠNG VI: HÌNH KG TỌA ĐỘ OXYZ .................................................... 78
CHƯƠNG VII: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH .............................................. 101
BỔ SUNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI
TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ............................................................. 111


TểM TT Lí THUYT V GII NHANH TON 12
Nguyn Chin - Nguyn Hng Quõn
PHặN 1. HM S
S NG BIN NGHCH BIN CA HM S
1. nh nghùa

x1, x 2 K , x 1 x 2 ( K l khoõng hoc on hoc na khoõng).

f x f x y f x nghch bin trờn K th i xung t trỏi sang phõi.
Chỳ ý: + N u f x 0, x a;b hm s f x ng bi n tr n khoõng a;b .
+ N u f x 0, x a; b hm s f x nghch bi n trờn khoõng a;b .
+ N u f x 0, x a;b hm s f x h ng i trờn khoõng a;b .
+ N u f x ng bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a;b .
+ Nu f x nghch bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a;b .
f x1 f x 2 y f x ng bin trờn K th i lờn t trỏi sang phõi.
1

2

2. Quy tc v cụng thc tớnh ọo hm





Quy tc tớnh o hm: Cho u u x ; v v x ; C : l hỡng s .

u v.


Tớch: u.v u .v v .u C .u C .u .


Tng, hiu: u v

u u .v v .u
C

C .u

,
v

0






v2
u2
v
u
o hm hm hp: Nu y f u , u u x yx yu .ux .



Thng:







Bõng cụng thc tớnh ọo hm:
ọo hm ca hm s cỗp

C 0

(C l hỡng s).

x .x


x .x


1

u . u


1

1
1
2 (x 0)
x
x

1
x
x 0
2 x

ọo hm ca hm hp



1

.u

1
u
2 u 0
u
u

u
u
u0
2 u

sin x cos x

sin u u.cos u

cos x sin x

cos u u.sin u

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 1






tan x cos1 x

tan u cosu

cot x sin1 x

cot u sin

e e
a a .ln a
ln x x1

e u.e

a u.a .ln a
ln u uu

log x x ln1 a

u
log u u.ln
a

2

2

x

u

x

x

a

u
u
2

u

u

u

x

2

u

a

Cụng thc tớnh nhanh o hm hm phõn thc:

a b
ax b
ad bc
. ;


2
cx d
cx d





x2 2

a c

x

d f
ax 2 bx c d e
2

dx ex f
dx 2 ex f





2

b c
e f

.

o hm cp 2 :



+ nh nghùa: f x f x



+ í nghùa c hc: Gia tc tc thi cỷa chuyn ng s f t tọi thi im t 0 l:

a t0 f t0 .
* Mt s chỳ ý:






Nu hm s f x v g x cựng ng bin (nghch bin) tr n K thỡ hm s





f x g x

cỹng ng bin (nghch bin) tr n K. Tớnh chỗt ny cũ th kh ng ỳng i vi hiu





f x g x .

K thỡ hm s f x .g x cỹng ng bin (nghch bin) tr n K. Tớnh chỗt ny cũ th
kh ng ỳng khi cỏc hm s f x , g x kh ng l cỏc hm s dỵng trờn K.
Cho hm s u u x , xỏc nh vi x a;b v u x c;d . Hm s f u x
cỹng xỏc nh vi x a;b .

Nu hm s f x v g x l cỏc hm s dỵng v cựng ng bin (nghch bin) tr n

Quy tc xột tớnh n iu ca hm s.
Giõ s hm s f cũ ọo hm trờn K




hm s f ng bin trờn K .




Nu f ' x 0 vi mi x K v f ' x 0 chợ tọi mt s hu họn im x K thỡ





Nu f ' x 0 vi mi x K v f ' x 0 chợ tọi mt s hu họn im x K
thỡ hm s f nghch bin trờn K .

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 2


Chỳ ý:
* i vi hm phõn thc hu tợ y

ax b
d
x thỡ dỗu " " khi xột dỗu ọo
cx d
c

hm y khụng xõy ra.





Giõ s y f x ax 3 bx 2 cx d f x 3ax 2 2bx c.
Hm s ng bin trờn



f x 0; x

Hm s nghch bin trờn

a 0

0
a 0 .

b 0

c 0



f x 0; x



a 0

0
a 0 .

b 0

c 0

Trỵng hp 2 thỡ h s c khỏc 0 vỡ khi a b c 0 thỡ f x d
(ỵng thợng song song hoc trựng vi trýc Ox thỡ kh ng n iu)
* Vi dng toỏn tỡm tham s m hm s c a n iu mt chiu trờn khoõng cũ
di bng l ta giõi nh sau:

Bỵc 1: Tớnh y f x ; m ax 2 bx c.
Bỵc 2: Hm s n iu trờn

0

a 0

x ; x y 0 cú 2 nghim phõn bit
1

2

*

Bỵc 3: Hm s n iu trờn khoõng cũ di bỡng l



x1 x 2 l x1 x 2



2

4x1x 2 l 2 S2 4P l 2

* *

Bỵc 4: Giõi * v giao vi * * suy ra giỏ tr m cổn tỡm.

CC TR HM S
1. nh nghùa
Giõ s hm s f xỏc nh tr n tờp K v x 0 K .



+ x0 l im cc tiu cỷa hm s f nu tn tọi mt khoõng a; b cha x 0 sao cho

a; b K v f x f x , x a;b \ x .
Khi ũ f x ỵc gi l giỏ tr cc tiu cỷa hm s f .
0

0

0



+ x 0 l im cc ọi cỷa hm s f nu tn tọi mt khoõng a;b cha x 0 sao cho

a; b K v f x f x , x a;b \ x .
0

0

Khi ũ f x 0 ỵc gi l giỏ tr cc ọi cỷa hm s f .
+ im cc ọi v im cc tiu gi chung l im cc tr.
+ Giỏ tr cc ọi v giỏ tr cc tiu gi chung l cc tr.
+ im cc ọi v im cc tiu ỵc gi chung l im cc tr ca hm s v im
cc tr phõi l mt im trong tờp hp K.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 3


+ Giỏ tr cc ọi v giỏ tr cc tiu ỵc gi chung l giỏ tr cc tr (hay cc tr)
ca hm s.





+ Nu x0 l im cc tr cỷa hm s thỡ im x 0 ; f (x 0 ) ỵc gi l im cc tr
ca th hm s f .
2. iu kin cổn hm s ọt cc tr

cũ ọo hm



nh lớ 1: Giõ s hm s y f x ọt cc tr tọi im x 0 . Khi ũ, nu y f x

tọi im x 0 thỡ f x 0 0.
Chỳ ý:




ọo hm f x cú th bỡng 0 tọi im x0 nhỵng hm s f kh ng ọt cc tr tọi
im x0 .

Hm s cú th ọt cc tr tọi mt im m tọi ũ hm s kh ng cũ ọo hm.
Hm s chợ cú th ọt cc tr tọi mt im m tọi ũ ọo hm cỷa hm s bỡng 0
hoc tọi ũ hm s kh ng cũ ọo hm.
3. iu in hm s ọt cc tr
nh lớ 2: Giõ s hm s f ọt cc tr tọi im x 0 . Khi ũ, nu hm s f cũ ọo hm tọi




v f x 0 trờn khoõng
x ; x h thỡ x l m t i m cỵc ai cỷa hm s f x .
N u f x 0 trờn khoõng x h; x v f x 0 trờn khoõng x ; x h thỡ
x l m t i m cỵc ti u cỷa hm s f x .




im x 0 thỡ f ' x0 0 . N u f x 0 tr n khoõng x 0 h; x 0
0

0

0

0

0

0

0

0

Quy tc tỡm cc tr
Quy tc 1:


i 1;2;...



Bc 1: Tỡm tờp xỏc nh. Tỡm f x .



Bc 2: Tỡm cỏc im x i

m tọi ũ o hm ca hm s bng 0 hoc

hm s liờn tc nhng khụng cũ o hm.




i du khi i

Bc 3: Lờp bõng bin thiờn hoc bõng xột dỗu f x . Nu f x
qua x i thỡ hm s ọt cc tr tọi x i .


Nu f x 0, f x 0 thỡ hm s
Nu f x 0, f x 0 thỡ hm s





nh lớ 3: Giõ s y f x cú ọo hm cồ p 2 trong khoõng x 0 h; x 0 h vi h 0.



0

0

f ọt cc ọi tọi x 0 .

0

0

f ọt cc tiu tọi x 0 .

T nh lớ trờn, ta cũ mt quy tc khỏc tỡm cc tr ca hm s
Quy tc 2:





Bc 1: Tỡm tờp xỏc nh. Tỡm f x .



Bc 2: Tỡm cỏc nghim x i i 1;2;... cỷa phỵng trỡnh f x 0.



Bc 3: Tớnh f x v tớnh f x i .








Nu f x 0 thỡ hm s f

Nu f x 0 thỡ hm s f





i

ọt cc ọi tọi im x i .

i

ọt cc tiu tọi im xi .

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 4


MT S DNG TON LIấN QUAN N CC TR HM S
I. CC TR CA HM A THC BC BA:
1. Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu tha món honh cho trc





i to n t ng quat: Cho hm s y f x ; m ax 3 bx 2 cx d. Tỡm tham s m hm
s cú cc ọi, cc tiu tọi x 1, x 2 thúa món iu kin K cho trỵc.
Phng ph p:

c 1:
Tờp xỏc nh: D .
2
2
ọo hm: y 3ax 2bx c Ax Bx C
c 2:
Hm s cú cc tr (hay cú hai cc tr, hai cc tr phõn bit hay cú cc ọi v cc tiu)
y 0 cú hai nghim phõn bit v y i dỗu qua 2 nghim ũ


phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit



A 3a 0
a 0


m D1.
2
y B 2 4AC 4b 2 12ac 0
b 3ac 0





c 3: Gi x 1, x 2 l hai nghim cỷa phỵng trỡnh y 0.

B
2b

x 1 x 2 A 3a
.
Khi ũ:
C
c
x .x


1 2 A 3a
c 4: Bi n i i u ki n K v da ng t ng S v ti ch P . T ú giõi ra tỡm ỵc
m D2 .
c 5: K t luồn cỏc giỏ tr m thúa món: m D1 D2 .





* Chỳ ý: Hm s bờc ba: y ax 3 bx 2 cx d a 0 .
2
Ta cú: y ' 3ax 2bx c.

iu kin

Kt lun
Hm s kh ng cũ cc tr.
Hm s cũ hai im cc tr.

b 3ac 0
b 2 3ac 0
2

iu kin hm s cú cc tr cựng du, trỏi du.
Hm s cú 2 cc tr trỏi du
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit trỏi dỗu ac 0.




Hm s cú hai cc tr cựng du

y 0

phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit cựng dỗu
C
0
P x 1.x 2

A


Hm s cú hai cc tr cựng du dng


y 0

B
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim dỵng phồn bit S x 1 x 2 0

A

C
P x .x
0
1 2

A
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 5




Hàm số có hai cực trð cùng dấu âm


 y '  0

B
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm âm phân biệt  S  x 1  x 2    0
A

C
P  x .x 
0
1 2

A

 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x 1, x 2 thỏa mãn:
x1    x 2
x1  x 2  

  x1  x 2


Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn x1    x 2











 x1   x 2    0  x1.x 2   x1  x 2   2  0




Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn x1  x 2  















2


 x   x2    0
x .x   x1  x 2    0
 1
 1 2
x  x 2  2
x  x 2  2


 1
 1
Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn   x1  x 2







2


 x   x2    0
x .x   x1  x 2    0
 1
 1 2
x  x 2  2
x  x 2  2


 1
 1



PhþĄng trình bêc 3 có 3 nghiệm lêp thành cçp số cộng

khi có 1 nghiệm là x 

b
d
, có 3 nghiệm lêp thành cçp số nhân khi có 1 nghiệm là x   3
.
3a
a

2. Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,
khác phía so với một đường thẳng

i tri tương đ i giưa 2 điêm vơi đương th ng:



 
 và đþąng thëng  : ax  by  c  0.
 c ax  by  c   0 thi hai điểm A, B nëm v

Cho 2 đi m A x A; yA , B x B ; yB



N u ax A  byA

B

B

hai phía so vĄi đþĄng thëng .







N u ax A  byA  c ax B  byB  c  0 thi hai điểm A, B nëm cu ng
phía so vĆi đþĄng thîng .

Một số trương hơp đ c biêt:

+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 căc trð cùng dçu
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm phân biệt cùng dçu
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 2 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 căc trð trái dçu
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm trái dçu
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Ox
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT  0
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674

Page | 6


c bit:
+ Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa trờn i vi trc Ox

y .y 0
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v C CT
yC yCT 0
Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa di i vi trc Ox

y .y 0
.
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v C CT
yC yCT 0
+ Cỏc im cc tr cỷa th nỡm v 2 phớa i vi trc Ox
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v yC .yCT 0
(ỏp dung khi khụng nh m c nghiờm v vit c phng trỡnh ng thng i qua hai
im cc tr ca th hm s)
Hoc: Cỏc im cc tr cỷa th nỡm v 2 phớa i vi trc Ox

th cớt trýc Ox tọi 3 im phõn bit



phỵng tri nh honh giao i m f x 0 co 3 nghi m phõn bi t (ỏp dung khi
nh m c nghiờm)
3. Phng trỡnh ng thng qua c c im cc tr

2c 2b 2
y.y
y .y
bc
hoc g x 9ay
hoc g x y
g x
x d
2
3y
9a
9a
3





Khoõng cỏch gia hai im cc tr ca th hm s c 3 l

AB

b 2 3ac
4e 16e 3
vi e
a
9a

II. CC TR CA HM BC 4 TRNG PHNG y ax bx c
4

2

a 0

MT S KT QU CặN NH
Hm s cú mt cc tr ab 0.
Hm s cú ba cc tr ab 0.

a 0
.
b 0
a 0
Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc ọi
.
b 0
a 0
Hm s cú hai cc tiu v mt cc ọi
.
b 0
a 0
Hm s cú mt cc tiu v hai cc ọi

.
b 0
Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc tiu



4
2
Giõ s hm s y ax bx c cú 3 cc tr: A(0;c), B




tọo thnh tam giỏc ABC thúa món d kin: ab 0 .

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 7

b

b

; ,C ;
2a 4a
2a 4a


MT S CễNG THC GII NHANH
y

Tng quỏt:



b 3
cot

2
8a
2

A
O

x

B

C

Cụng thc tha món ab 0

D kin
Tam gi{c ABC vuụng c}n ti A

b 3 8a
b 3 24a
32a 3 (S 0 )2 b 5 0

Tam gi{c ABC u
Tam gi{c ABC cú din tớch S ABC S 0
Tam gi{c ABC cú din tớch max (S 0 )

S0

Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ni tip

rABC r0

Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ngoi tip

r

b5
32a 3

b2

b3

4 a 1 1

8a


b 3 8a

RABC R

R

Tam gi{c ABC cú d|i cnh BC m0

am02 2b 0

Tam gi{c ABC cú d|i AB AC n0

16a 2n02 b 4 8ab 0

Tam gi{c ABC cú cc tr B,C Ox
Tam gi{c ABC cú 3 gúc nhn

b 2 4ac
b(8a b 3 ) 0

Tam gi{c ABC cú trng t}m O
Tam gi{c ABC cú trc t}m O

b 2 6ac
b 3 8a 4ac 0
b 2 2ac
b 3 8a 4abc 0
b 3 8a 8abc 0
b 3 .k 2 8a(k 2 4) 0

Tam gi{c ABC cựng im O to th|nh hỡnh thoi
Tam gi{c ABC cú O l| t}m ng trũn ni tip
Tam gi{c ABC cú O l| t}m ng trũn ngoi tip
Tam gi{c ABC cú cnh BC kAB kAC

Trc ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh
hai phn cú din tớch bng nhau

b 2 4 2 ac

Tam giỏc ABC cũ im cc tr cỏch u trýc honh

b 2 8ac



th hm s C : y ax 4 bx 2 c cớt trýc Ox tọi
4 im phồn bit lờp thnh cỗp s cng
nh tham s hỡnh phợng gii họn bi th

C : y ax

4

8ab

bx 2 c v trýc honh cũ din tớch

phổn tr n v phổn dỵi bỡng nhau.

b2

100
ac
9

b2

36
ac
5

2

2

c y c
0
b 4a

b 4a

2
2
Phỵng trỡnh ỵng trủn ngoọi tip ABC : x y

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 8


GI TR LN NHầT - GI TR NH NHầT
I. nh nghùa.

Cho hm s y f x xỏc nh trờn tờp D.

f (x ) M , x D
x 0 D, f (x 0 ) M



S M gi l giỏ tr ln nht cỷa hm s y f x trờn D nu:
Kớ hiu: M max f ( x) .
xD


f (x ) m, x D
x D, f (x 0 ) m

0



S m gi l giỏ tr nh nht cỷa hm s y f x trờn D nu:
Kớ hiu: m min f (x ) .
x D

2. Phng phỏp tỡm GTLN,GTNN
* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s bng cỏch khõo sỏt trc tip

Bc 1: Tớnh f x v tỡm cỏc im x1, x 2,..., x n D m tọi ũ f x 0 hoc hm s

kh ng cũ ọo hm.
+ Bc 2: Lờp bõng bin thi n v ri suy ra giỏ tr ln nhỗt, giỏ tr nhú nhỗt cỷa hm s.
* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt oọn
Bc 1:



Hm s ó cho y f x xỏc nh v liờn týc tr n oọn a;b .







Tỡm cỏc im x1, x 2,..., x n trờn khoõng a;b , tọi ũ f x 0 hoc f x
kh ng xỏc nh.







Bc 2: Tớnh f a , f x1 , f x 2 ,..., f x n , f b .

Bc 3: Khi ũ:



min f x min f x , f x ,..., f x , f a , f b .

max f x max f x 1 , f x 2 ,..., f x n , f a , f b .
a ,b

1

a ,b

n

2

* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt hoõng
Bc 1: Tớnh ọo hm f (x ) .
Bc 2:

Tỡm tỗt cõ cỏc nghim x i (a;b) cỷa phỵng trỡnh

f (x ) 0 v tỗt cõ cỏc im i (a;b) lm cho f (x ) kh ng xỏc nh.
Bc 3. Tớnh A lim f (x ) , B lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) .
x a

Bc 4.

x b

So sỏnh cỏc giỏ tr tớnh ỵc v kt luờn M max f (x ) , m min f (x ) .
(a ;b )

(a ;b )

Nu giỏ tr ln nht (nhú nht) l A hoc B thỡ kt lun khụng cũ giỏ tr ln nht (nhú nht).






min f x f a
a ;b
+ N u y f x ng bi n trờn a;b thỡ
.
f x f b
max
a ;b
min f (x ) f b
a ;b
.
+ N u y f x nghich bi n trờn a;b thỡ
f (x ) f a
max
a ;b

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 9


2. KHÂO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÅN THỨC:

a  0

a) HÀM SỐ BẬC BA y  ax 3  bx 2  cx  d
TRƯỜNG HỢP

a0

a 0

Phương trình y  0 có
/

y

y

2 nghiệm ph n iệt

1

1

O

x

1
1

O
/
Phương trình y  0 có

x

y

y

nghiệm kép

1
1

1

O

x

1

O

Phương trình y /  0 vô

x

y

y

nghiệm
1

O

1
x

1
1

O

x

b) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y  ax 4  bx 2  c
TRƯỜNG HỢP
Phương trình y  0 có

/

a  0
a0

a 0
y

y

3 nghiệm ph n iệt
1
1

1

O

Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674

Page | 11

x

O

1
x

Phng trỡnh y / 0 cú

y

y

1 nghim.
1
1
1

O

x

1

O

c) HM S NHầT BIN y

ax b
cx d

x

c 0, ad bc 0

D ad bc 0

D ad bc 0

MT S PHẫP BIN I TH

Dọng 1:
Ta cú



f x
y f x
f x









T th C : y f x suy ra th C : y f x .

khi x 0
khi x 0

l hm chn n n th C nhờn Oy lm trýc i xng.

v y f x

* Cỏch v C t C :





+ Gi nguyờn phổn th b n phõi Oy cỷa th C : y f x .



+ Bú phổn th bờn trỏi Oy cỷa C , lỗy i xng phổn th c gi qua Oy.



suy ra th C : y x 3 x .
Bin i C :
+ Bú phổn th cỷa C bờn trỏi
Oy, gi nguyờn C bờn phõi Oy.

Vớ d: T th C : y f x x 3 3x

y

C : y x

2

3

3x

1

O

-1

x

-2

C : y x

y

+ Lỗy i xng phổn th ỵc
gi qua Oy .

-1

1

O

x

-2

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

3

Page | 12

3

3x


 



 
f x   0
f x   0

 

Däng 2:

Tÿ đồ thð C : y  f x suy ra đồ thð C  : y  f x .

Nội dung:

Ta có:

 

 

 

 
 


f x
y f x 
f x



khi
khi

* Cách vẽ C  từ C :

 

+ Giữ nguyên phæn đồ thð phía tr n Ox cûa đồ thð (C): y  f x .
+ Bó phæn đồ thð phía dþĆi Ox cûa (C), lçy đối xứng phæn đồ thð bð bỏ qua Ox.

 

 

Ví dụ: Tÿ đồ thð C : y  f x  x3  3x

y

C  : y  x

2

suy ra đồ thð y  x  3x .
3

3

 3x

1

 

Biến đổi C :

-1

  dþĆi

+ Bó phæn đồ thð cûa C

 

O

x

-2

Ox , giĂ nguyên C phía trên Ox.
y

+ Lçy đối xĀng phæn đồ thð bð bó
qua Ox .

C  : y  x

2

-1

O

1

3

 3x

x

  ta læn lþợt biến đổi 2 đồ thð y  f  x  và y  f x 

Chú ý vĆi däng: y  f x
Ví dụ: Tÿ đồ thð

C  : y  f x   x

y
3

C  : y 

 3x suy ra đồ thð
2

 

3

3

x 3x

y  x  3 x . Biến đổi C để đþợc đồ

 
C  : y  x
C  : y  x

thð C  : y  x
3

3

 3 x . Biến đổi

 3 x ta đþợc đồ thð
3

-1

O

1

x

3x .

 
  
 
 

khi u x   0
u x  .v x   f x 
Ta có: y  u  x  .v x   
u x .v x  f x  khi u x   0

    
* Cách vẽ C   từ  C  :
+ Giữ nguyên phæn đồ thð tr n miền u  x   0 cûa đồ thð C  : y  f x  .

+ Bó phæn đồ thð tr n miền u  x   0 cûa C  , lçy đối xứng phæn đồ thð bð bỏ qua Ox.
Däng 3:

Tÿ đồ thð C : y  u x .v x suy ra đồ thð C  : y  u x .v x .

Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674

Page | 13


Vớ d



suy ra th C : y x 1 2x

a) T th C : y f x 2x 3 3x 2 1
2





f x
y x 1 2x 2 x 1
f x

x 1

khi x 1
khi x 1

th (C):
+ Gi nguy n (C) vi x 1 .
+ Bú (C) vi x 1 . Lỗy i xng phn
th ú qua Ox.
(C')





b) T th C : y f x



ra th C : y

x
suy
x 1

x
x 1

x


y
x 1
x 1 x

x 1


khi x ;1

khi x 1;

x

th (C):

.

vi x 1 ,

+ Bú phổn th cỷa C

vi

gi nguy n C

x 1.

+ Lỗy i xng phổn th b bú qua

y

Ox.
y

1

O

1

1

x

O
1

x

(C)

Nhờn xột: Trong quỏ trỡnh thc hin phộp
suy th n n ly i xng cỏc im c
it cỷa (C): giao im vi Ox, Oy, C, CT

Nhờn xột: i vi hm phồn thc thỡ n n
ly i xng cỏc ng tim cn thc
hin phộp suy th mt cỏch tỵng i
chớnh xỏc.

TIP TUYN

1. Tip tuyn : Cho hm s y f x , cũ th (C). Tip tuyn cỷa





x x y .
Trong ũ: im M x ; y (C ) ỵc gi l tip im. ( vi y f x ).
k f ' x l h s gúc cỷa tip tuyn.
2. iu in tip xỳc: Cho hai hm s C : y f x v C ' : y g x
f x g x
th C v C tip xỳc nhau khi chợ khi h phỵng trỡnh:
cũ nghim.
f x g x
th (C) tọi im M 0 x 0 ; y0 (C ) cũ dọng: y y x 0
0

0

0

0

0

0

0

0

/

/

y

TNG GIAO TH
Cho hm s y f (x ) cũ th (C 1 ) v y g(x ) cũ th (C2 ) .
Phỵng trỡnh honh giao im cỷa (C 1 ) v (C2 )



l f (x ) g(x ) 1 . Khi ũ:
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 14

y0
x0 O

x

S giao im cỷa (C1 ) v (C 2 ) bỡng vi s nghim

cỷa phỵng trỡnh 1 .



Nghim x 0 cỷa phỵng trỡnh 1 chớnh l
honh x 0 cỷa giao im.
tớnh tung y 0 cỷa giao im, ta thay honh x 0 vo





y f x hoc y g x .
im M x0 ; y0 l giao im cỷa (C 1 ) v (C 2 ) .

IM C BIT CA H NG CONG
1.

Bi toỏn tỡm im c nh ca h ng cong
Xột h ỵng cong (C m ) cũ phỵng trỡnh y f (x, m) , trong ũ f l hm a thc theo

bin x vi m l tham s sao cho bờc cỷa m khụng quỏ 2. Tỡm nhng im c nh thuc h
ỵng cong khi m thay i?
Phng phỏp giõi:
+ Bc 1: ỵa phỵng trỡnh y f ( x, m) v dọng phỵng trỡnh
theo ốn m cũ dọng sau: Am B 0 hoc Am2 Bm C 0 .

+ Bc 2: Cho cỏc h s bỡng 0 , ta thu ỵc h phỵng trỡnh v giõi h phỵng trỡnh:

A 0
A 0

hoc B 0 .

B 0
C 0

+ Bc 3: Kt luờn:
- Nu h v nghim thỡ h ỵng cong (C m ) kh ng cũ im c nh.
- Nu h cũ nghim thỡ nghim ũ l im c nh cỷa (C m ) .
2.

Bi toỏn tỡm im cũ ta nguy n:
Cho ỵng cong (C ) cũ phỵng trỡnh y f (x ) (hm phồn thc). Hóy tỡm nhng im

cũ ta nguy n cỷa ỵng cong?
Nhng im cũ ta nguyờn l nhng im sao cho cõ honh v tung ca
im ũ u l s nguyờn.
Phng phỏp giõi:
+ Bc 1: Thc hin phộp chia a thc chia t s cho mộu s.
+ Bc 2: Lờp luờn giõi bi toỏn.
3. Bi toỏn tỡm im cũ tớnh chỗt i xng:
Cho ỵng cong (C ) cũ phỵng trỡnh y f (x ) . Tỡm nhng im i xng nhau qua mt
im, qua ỵng thợng.

Bi toỏn 1: Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D trờn th C

tỡm nhng cp im

i xng nhau qua im I (x I , yI ) .


Phng phỏp giõi:





+ Gi M a; Aa 3 Ba 2 Ca D , N b; Ab 3 Bb 2 Cb D
xng nhau qua im I .

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 15

l hai im tr n C i



a b 2x I
.
A(a 3 b 3 ) B a 2 b 2 C a b 2D 2yI

Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M, N.
+ Ta cú













tỡm

l hai im tr n

C

Trng hp c bit : Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D . Trờn th C
nhng cp im i xng nhau qua gc ta .
Phng phỏp giõi:

Gi M a, Aa 3 Ba 2 Ca D , N b, Ab 3 Bb 2 Cb D





i xng nhau qua gc ta .


a b 0
.
3
3
2
2
A
(
a

b
)

B
a

b

C
a

b

2
D

0


Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M , N .
Ta cú
















Bi toỏn 3: Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D trờn th C

tỡm nhng cp im

i xng nhau qua ng thng d : y A1x B1 .
Phng phỏp giõi:







Gi M a; Aa3 Ba2 Ca D , N b; Ab3 Bb2 Cb D



l hai im tr n

C

i

xng nhau qua ỵng thợng d .

I d
(1)
(vi I l trung im cỷa MN v u d l vect chợ phỵng
MN .u d 0 (2)
cỷa ỵng thợng d ). Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc M, N.
Ta cú:

4.

Bi toỏn tỡm im c bit, hoõng cỏch
Lý thuyt:





+ Cho hai im A x1; y1 ; B x 2 ; y2



Cho im M x 0 ; y0





h M ;d



A B

2

2

x1

y
2

2

y1



2

ax b
tip tuyn tọi M cớt TC, TCN A v B thỡ M l trung
cx d

Din tớch tam giỏc IAB kh ng i: SIAB


x

.

+ Cho hm phồn thc: y
im cỷa AB.

AB

v ỵng thợng d : Ax By C 0 , thỡ khoõng cỏch t M n d l

Ax 0 By0 C
2



2
ad bc .
c2

Cỏc bi toỏn thng gp:

Bi toỏn 1: Cho hm s y

ax b
cx d

c 0, ad bc 0 cũ th C . Hóy tỡm trờn (C )

hai im A v B thuc hai nhỏnh th hm s sao cho khoõng cỏch AB ngn nht.
Phng phỏp giõi:
+

C cũ tim cờn ng x dc

do tớnh chỗt cỷa hm phồn thc, th nỡm v hai phớa

cỷa tim cờn ng. N n gi hai s , l hai s dỵng.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 16

d
d
d
x A ; yA f (x A ) .
c
c
c
d
d
d
Nu B thuc nhỏnh phõi: x B x B ; yB f (x B ) .
c
c
c
Nu A thuc nhỏnh trỏi: x A






y
2



2

Sau ũ tớnh: AB 2 x B x A



p dýng bỗt ợng thc Cauchy s tỡm ra kt quõ.

B



Bi toỏn 2: Cho th hm s C

yA





2





2

a a yB yA .

cũ phng trỡnh y f (x ) . Tỡm ta im M

thuc (C ) tng khoõng cỏch t M n hai trc ta nhú nht.


Phng phỏp giõi:




Gi M x ; y v tng khoõng cỏch t M n hai trýc ta l d thỡ d x y .

Xột cỏc khoõng cỏch t M n hai trýc ta khi M nỡm cỏc v trớ c bit:
Tr n trýc honh, tr n trýc tung.
Sau ũ xột tng quỏt, nhng im M cũ honh , hoc tung ln hn honh
hoc tung cỷa M khi nỡm tr n hai trýc thỡ loọi i kh ng xột n.
Nhng im củn lọi ta ỵa v tỡm giỏ tr nhú nhỗt cỷa thi hm s da vo ọo
hm ri tỡm ỵc giỏ tr nhú nhỗt cỷa d .
Bi toỏn 3: Cho th (C ) cũ phng trỡnh y f ( x) . Tỡm im M trờn (C ) sao cho


khoõng cỏch t M n Ox ng k ln khoõng cỏch t M n trcOy .


Phng phỏp giõi:

f x kx
.

f x kx
y kx
(C )

th
hm
s
y kx

Theo ổu bi ta cũ y k x
Bi

y f ( x)

toỏn

4:

Cho

cũ

phng

trỡnh

ax b
c 0, ad bc 0 . Tỡm ta im M trờn (C ) sao cho di MI ngn
cx d

nht (vi I l giao im hai tim cn).
Phng phỏp giõi:



d
a
; tim cờn ngang y .
c
c
d a
; cỷa hai tim cờn.
Ta tỡm ỵc ta giao im I
c c
Tim cờn ng x

2




2

d
a
Gi M x M ; yM l im cổn tỡm. Khi ũ: IM x M yM g x M
c
c

S dýng phỵng phỏp tỡm GTLN - GTNN cho hm s g thu ỵc kt quõ.
2

Bi toỏn 5: Cho th hm s (C ) cũ phng trỡnh y f (x ) v ng thng

d : Ax By C 0 . Tỡm im I trờn (C ) sao cho khoõng cỏch t I n d l ngn nht.


Phng phỏp giõi:





Gi I thuc (C ) I x 0 ; y0 ; y0 f (x 0 ) .



Khoõng cỏch t I n d l g(x 0 ) h I ; d

Ax 0 By 0 C
A2 B 2

Khõo sỏt hm s y g(x ) tỡm ra im I thúa món y u cổu.

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 17


17
4. TIM C9N CA : TH4 HÀM S

Khái nim
Hình /nh minh ho0
1. Tim c-n *ng:

)ng th+ng x  x0 (vuông góc
Ox) g%i là tim cn ng c+a 
th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t
mt trong các gi#i hn sau:

Ph+ng pháp tìm tim c-n
B1. Tìm t*p xác nh
B2. Tìm các giá tr x0 mà ti
x0 hàm s: y=f(x) không xác

x  x0

x  x0

nh.
B3. Tính các gi#i hn:
lim y   & lim y  

x  x0

x  x0

B4. Kt lu*n.

lim f ( x )  , lim f ( x )  ,
lim f ( x )  , lim f ( x )  ,

2. Tim c-n ngang
Hàm s y  f ( x) xác nh trên
mt kho!ng vô h
n (có th! là

 ; a  ,  b;   ,  ;  

x  x0

x  x0

B1. Tìm t*p xác nh
B2. Tính các gi#i hn:

lim y  y0 & lim y  y0

x 

x 

B3. Kt lu*n

)ng th+ng y  y0 (vuông góc
Oy) g%i là tim cn ngang c+a 
th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t
mt trong các gi#i hn sau:

lim f ( x )  y0 , lim f ( x )  y0

x 

x 

3. Tim c-n xiên
Hàm s y  f ( x) xác nh trên
mt kho!ng vô h
n (có th! là

 ; a  ,  b;   ,  ;  


)ng th+ng y  ax  b ( a  0 )
g%i là tim cn xiên c+a  th
hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt
trong các gi#i hn sau:
lim  f ( x )   ax  b    0,

x 

lim  f ( x )   ax  b    0.

B1. Tìm t*p xác nh
B2. Tính các gi#i hn:

 f (x) 
lim 
a
x   x 
hoc
lim  f ( x )  ax   b
x 

 f (x) 
lim 
a
x   x 
lim  f ( x )  ax   b
x 

B3. Kt lu*n

x  

Chú ý:
1. Hàm s: y 

ax  b
d
a
có ti%m c*n ng là: x   , ti%m c*n ngang là: y 

cx  d
c
c

2.Hàm s: y 

ax2  bx  c
k
n
 px  q 
có ti%m c*n ng là: x   , ti%m c*n xiên là:
mx  n
mx  n
m

y  px  q


18
3. lim

x 

n

n 1

m

m 1

an x  an 1 x

bm x  bm 1 x

 ...  a1 x  a0

 n  m : TCÑ & TCN

 ...  b1 x  b0  n  m :TCÑ & TCX

4. Hàm s: y  f ( x )  ax 2  bx  c

 a  0  có ti%m c*n xiên là y 

5. Hàm s: y  f ( x )  mx  n  p ax 2  bx  c
y  mx  n  p a x 
6. Hàm s: y 

a x

b
2a

 a  0  có ti%m c*n xiên là

b
2a

mx  n

ch& có ti%m c*n ngang, có th! có ti%m c*n ng nu ax 2  bx  c  0

2

ax  bx  c

có nghi%m.
B1 sung m t s" kin th*c:
- Công thc khong cách: 
ng th/ng  : ax  by  c  0
Khong cách t$ M n 4 là: d  M ,   

(a2  b2  0) và M  x0 ; y0  .

ax0  by0  c
a2  b2

;c bit: - 
ng th/ng  : y  m thì d  M ,    y0  m
- 
ng th/ng : x n thỡ d M , x0 n
- Cụng thc gi i hn:

C

nchaỹn
0 vụựi k 0 & lim x n
, lim x n vụựi n N

n
leỷ
x x
x
x


+ Gi#i hn ti vụ c,c: lim
+ Gi#i hn mt bờn: lim

x x0

k

c
Neỏu c 0

&
x x 0 Neỏu c 0

lim

x x0

c
Neỏu c 0

x x 0 Neỏu c 0

5. TNG GIAO HAI : TH4 HM S

5.1. Kin thc

Cho hai