MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG

Header Page 1 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Vũ Thị Thùy Trang

MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SỐ GẦN ĐÚNG
VÀ SAI SỐ
TRONG DẠY HỌC TỐN Ở PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 1 of 185.


Header Page 2 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Vũ Thị Thùy Trang

MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SỐ GẦN ĐÚNG
VÀ SAI SỐ
TRONG DẠY HỌC TỐN Ở PHỔ THƠNG

Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 2 of 185.


Header Page 3 of 185.

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS Lê Thị Hoài Châu,
PGS. TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương, TS Lê
Thái Bảo Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga. Các thầy cô đã truyền đạt kiến thức và
tận tình hướng dẫn tơi và cả lớp trong suốt quá trình học tập vừa qua. Đặc biệt, tôi
xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Cơ Vũ Như Thư Hương. Ngồi những kiến thức
chun ngành, những lời chỉ dạy cần thiết, Cô đã đồng hành cùng với tôi trên chặng
đường nghiên cứu luận văn của chúng tôi. Cô đã phải mất nhiều thời gian và tâm
huyết để tìm ra đề tài luận văn cũng như xây dựng góp ý đề cương, giúp tơi dần hồn
thiện nghiên cứu về đề tài.
Bên cạnh đó, chúng tơi cũng xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Claude Comiti,
PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã hi sinh nhiều thời gian và cơng sức
giúp đỡ lớp chúng tơi có cái nhìn rộng mở hơn về các vấn đề của didactic, cũng như
việc góp ý xây dựng đề cương giúp chúng tơi hồn thành luận văn tốt hơn.
Cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn lớp Lí luận và phương pháp giảng
dạy mơn Tốn K23, tơi rất cảm ơn Thầy Cô và các bạn đã tạo điều kiện thuận lợi để
tơi hồn thành luận văn này.

Trong q trình nghiên cứu dù đã rất cố gắng nhưng do kiến thức và kinh
nghiệm củatơi cịn nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận
được sự góp ý xây dựng của quý Thầy Cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
HỌC VIÊN THỰC HIỆN
VŨ THỊ THÙY TRANG

Footer Page 3 of 185.


Header Page 4 of 185.

DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GV

: giáo viên

GT

: giáo trình

HS

: học sinh

MTBT

: máy tính bỏ túi

SBT

: sách bài tập Đại số 10

SGK ĐS10 CB

: sách giáo khoa Đại số 10 ban cơ bản.

SGK ĐS10 NC

: sách giáo khoa Đại số 10 ban nâng cao.

SGV ĐS10 CB

: sách giáo viên Đại số 10 ban cơ bản.

SGV ĐS10 NC

: sách giáo viên Đại số 10 ban nâng cao.

Toán 7

: sách giáo khoa Toán lớp 7, tập 1.

Footer Page 4 of 185.


Header Page 5 of 185.

DANH SÁCH CÁC BẢNG

Trang
Bảng 2.1. Thống kê số lượng bài tập trong SGK và SBT ........................................ 38
Bảng 3.1. Thống kê các chiến lược dự đoán trong bài tập 1 .................................... 46
Bảng 3.2. Thống kê các chiến lược dự đoán trong bài tập 2 .................................... 49
Bảng 3.3. Thống kê các chiến lược dự đoán trong bài tập 3 .................................... 51
Bảng 3.4. Thống kê số lượng các chiến lược trong bài tập 1 ................................... 53
Bảng 3.5. Thống kê số lượng các chiến lược trong bài tập 2 ................................... 56
Bảng 3.6. Thống kê số lượng các chiến lược trong bài tập 3 ................................... 59

Footer Page 5 of 185.


Header Page 6 of 185.

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Danh sách các chữ viết tắt
Danh sách các bảng
Mục lục

Trang

MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi xuất phát..................................................................... 1
2. Khung lý thuyết tham chiếu ................................................................................................ 2
3. Câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu ....................................................................... 5
4. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn..................................................................... 5

Chương 1. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC
HỌC ...................................................................................................................... 7
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.

Nguồn gốc của sai số ................................................................................................. 7
Sai số tuyệt đối và sai số tương đối .............................................................................. 9
Chữ số có nghĩa và chữ số chắc chắn ......................................................................... 11
Cách viết số gần đúng ................................................................................................. 11
Quy tắc làm trịn số ..................................................................................................... 12
Sai số của các phép tốn ............................................................................................. 13
Các kiểu nhiệm vụ ...................................................................................................... 15

Chương 2. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA Ở
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG ........................................................................... 19
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.

Sách giáo khoa Tốn 7 – tập 1 .................................................................................... 19
Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản ................................................................................ 22
Tổ chức toán học ......................................................................................................... 25
Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao ............................................................................. 29

Tổ chức toán học ......................................................................................................... 34

Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ................................................. 40
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.

Mục đích thực nghiệm ................................................................................................. 40
Đối tượng và hình thức thực nghiệm........................................................................... 40
Nội dung thực nghiệm ................................................................................................. 41
Phân tích tiên nghiệm .................................................................................................. 42
Phân tích hậu nghiệm .................................................................................................. 51

KẾT LUẬN......................................................................................................... 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 65
PHỤ LỤC

Footer Page 6 of 185.


1

Header Page 7 of 185.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi xuất phát
Trong q trình tính tốn và đo đạc, các con số đạt được khơng phải lúc nào cũng là
một số chính xác. Các số liệu trong thực tế thông thường đều là những số gần đúng,

ví dụ: khoảng cách từ điểm này đến điểm kia, từ nơi này đến nơi khác; độ dài đường
chéo của một hình vng có cạnh là một số ngun bất kỳ; số pi (𝜋) là cách biểu
diễn của một dạng thập phân vơ hạn khơng tuần hồn, gần bằng 3,1416. Và khi sử
dụng số gần đúng, ta cần biết được sai số mắc phải là bao nhiêu, để có thể đánh giá
được tính chính xác và độ tin cậy của nó. Với mỗi số gần đúng, ta sẽ có một sai số
khác nhau. Và vấn đề là ta phải làm như thế nào để sai số mắc phải càng nhỏ càng
tốt. Vì thế, chúng ta có thể thấy được tầm quan trọng của số gần đúng và sai số trong
thực tế cuộc sống cũng như trong Tốn học.
Do đó, khái niệm số gần đúng và sai số được đưa vào sách giáo khoa như một đối
tượng toán học cụ thể; sau đó nó trở thành cơng cụ trong việc giải các bài tốn tính
gần đúng, chẳng hạn tính gần đúng diện tích, thể tích và giải tam giác. Nó làm cơ sở,
là một trong những " nền móng" cho tồn bộ chương trình Tốn phổ thơng và được
ứng dụng rộng rãi trong các liên mơn như Vật lý, Hóa học, Địa lý, … Tuy nhiên,
thực tế những năm qua cho thấy đối tượng số gần đúng và sai số chưa được coi trọng
đúng mức cần thiết. Các kì thi tốt nghiệp, thi vào đại học, đề thi chưa bao giờ hỏi
trực tiếp đến mảng kiến thức này. Điều đó khiến cho đối tượng này dường như bị
xem nhẹ. Trong thực tế, một bộ phận không nhỏ học sinh (HS) hiện nay không tránh
khỏi suy nghĩ: " Phải chăng việc đưa khái niệm số gần đúng và sai số vào sách giáo
khoa (SGK) chỉ để cho biết mà khơng có ứng dụng gì nhiều?" .
Bên cạnh đó, hiện nay nhiều trường trung học phổ thơng (THPT) ở Việt Nam khơng
cịn đưa nội dung về số gần đúng và sai số vào chương trình giảng dạy. Vậy nên
chúng tơi tự hỏi:
-

Nếu giảm tải hoàn toàn nội dung về số gần đúng và sai số, thì học sinh có
hiểu gì về số gần bằng với một số, những khái niệm có liên quan và cách
đánh giá mức độ sai số của nó?

Footer Page 7 of 185.

2

Header Page 8 of 185.

-

Việc trình bày của sách giáo khoa hiện hành Đại số 10 ảnh hưởng như thế
nào đến việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh?

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề dạy và học đối tượng số gần đúng và sai
số trong trường phổ thông, chúng tôi quyết định chọn đề tài: " Một nghiên cứu về số
gần đúng và sai số trong dạy học Tốn ở phổ thơng" .
Trước khi đưa ra những câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi sẽ trình bày một kết quả đã
đạt được của một nghiên cứu liên quan trực tiếp đến đề tài. Đó là bài báo trên tạp chí
khoa học Đại Học Sư Phạm Tp. HCM(2012): " Số gần đúng trong dạy học Tốn ở
bậc phổ thơng" của TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung. Mục đích của tác giả trong bài
báo này là làm rõ một phần thực tế dạy học đối tượng số gần đúng ở bậc phổ thơng
nhằm giải thích cho những ứng xử chưa đúng khi người học thực hành tính gần
đúng.
" Thể chế đã khơng tạo điều kiện để học sinh hiểu rằng độ chính xác của các phép
tính gần đúng trung gian sẽ ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả cuối cùng (kết
quả cần tính)…Việc đánh giá độ chính xác của kết quả cuối cùng thơng qua các độ
chính xác trung gian là cần thiết nhưng thường rất khó thực hiện. Nếu có thể, ta chỉ
thực hiện tính tốn gần đúng ở bước cuối cùng với máy tính bỏ túi (MTBT) (các tính
tốn gần đúng ở bậc phổ thơng đều có thể thực hiện theo cách này). Nghĩa là thiết
lập một quy trình hay một cơng thức tính tốn trực tiếp kết quả và thay số vào bước
cuối cùng. Quy trình này thường cho kết quả gần đúng từ màn hình MTBT với độ
chính xác rất cao - tất cả các chữ số thập phân hiển thị đều là chữ số chắc chắn. "

[2, tr.112].

2. Khung lý thuyết tham chiếu
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi tập trung vào
việc vận dụng lý thuyết Didactic Toán, cụ thể là: Lý thuyết nhân chủng học và
Hợp đồng Didactic. Chúng tơi sử dụng Lý thuyết nhân chủng học để tìm hiểu
quan hệ thể chế của đối tượng số gần đúng và sai số trong sách giáo khoa Đại số
10 và sử dụng lý thuyết Hợp đồng Didactic nhằm đưa ra các giả thuyết. Từ đó,
chúng tơi có thể xây dựng thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đồng thời xây
dựng tình huống phá vỡ hợp đồng.
Footer Page 8 of 185.


Header Page 9 of 185.

3

a) Lý thuyết nhân chủng học
 Quan hệ thể chế:
Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể
chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có
vai trị gì, trong I ?
 Quan hệ cá nhân:
Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá
nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao
tác O ra sao ? Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là q trình
thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O,
quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn
trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O).
 Tổ chức tốn học:

Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán
học cũng là một kiểu thực thế xã hội nên cần xây dựng một mơ hình cho phép mơ tả
và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã
đưa ra khái niệm praxéologie.
Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ, θ, Θ], trong đó
T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T; θ là công nghệ giải thích
cho kỹ thuật τ, cịn Θ là lý thuyết giải thích cho cơng nghệ θ. Một praxéologie mà
các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức tốn học.
Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép
ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được
quan hệ mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I – giáo viên hay học sinh
chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O.
b) Hợp đồng Didactic:
Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy–học là sự mơ hình hóa các
quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với đối tượng đó. Nó là
một tập hợp những quy tắc không được phát biểu một cách tường minh phân chia và
giới hạn trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học
được giảng dạy.
Footer Page 9 of 185.


Header Page 10 of 185.

4

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học
sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một
cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.
Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:
 Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những

thành viên chủ chốt (giáo viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là
tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách :
– Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức.
– Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó.
– Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình
huống mà của tri thức đang xét khơng giải quyết được.
– Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ
mong đợi ở học sinh.
 Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:
– Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học.
– Phân tích các đánh giá tốn học của học sinh trong việc sử dụng tri thức.
– Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo
khoa.
Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri
thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức vì việc
sử dụng tri thức đó khơng chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của
tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định
được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong q trình giảng dạy. Những tiêu
chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này khơng cịn phụ thuộc
vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic. Bất
kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so
với đối tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là

Footer Page 10 of 185.


Header Page 11 of 185.

5

quá trình học sinh làm quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương
lượng với giáo viên.
Theo Brousseau (1986), sự thương lượng này tạo ra một thứ kiểu hoạt động mà
những quy tắc ổn định tạm thời, cho phép các thành viên chính, nhất là học sinh, đưa
ra các quyết định trong một chừng mực an tồn nào đó, cần thiết để bảo đảm cho họ
sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội.
Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết vì để chuẩn bị cho
tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể
hiện thực tế của nó. Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà
được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những
sự phá vỡ hợp đồng. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển
mong đợi.

3. Câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu
Trong khn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tơi trình bày
lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng
chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này:
Q1: Theo cấp độ tri thức bác học, khái niệm số gần đúng và sai số được định nghĩa
như thế nào ? Có những khái niệm nào liên quan? Đặc trưng bởi những kiểu
nhiệm vụ nào?
Q2: Các đối tượng tri thức này được trình bày trong sách giáo khoa Đại số 10 như
thế nào? Có gì khác so với tri thức khoa học? Có những tổ chức tốn học nào
liên quan đến các tri thức này được đưa vào sách giáo khoa và sách bài tập ?
Q3: Tồn tại những điều kiện ràng buộc nào của SGK đối với các tri thức này? Điều
đó ảnh hưởng như thế nào đến việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của HS?

4. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn
Để tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng tôi xác định tiến hành
nghiên cứu như sau:
 Trong chương 1: " Số gần đúng và sai số ở cấp độ tri thức bác học" , chúng

tơi phân tích, tổng hợp một số giáo trình liên quan đến số gần đúng và sai số để
Footer Page 11 of 185.


Header Page 12 of 185.

6

thu thập thông tin và để hiểu sâu hơn về đối tượng này và các khái niệm có liên
quan. Cụ thể là chúng tơi tham khảo vấn đề nguồn gốc sai số trong luận văn: "
Các tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10" của Phạm Thị Tú Hạnh
(2012). Sau đó, chúng tôi tổng hợp các kết quả chương 1 của luận văn : " Nghiên
cứu didacic sự nối khớp giữa MTBT và xấp xỉ thập phân trong phép tính số:
trường hợp giải tam giác" của Nguyễn Thị Bích Hoa (2012). Và cuối cùng, chúng
tơi sẽ tham khảo một số giáo trình đại học nhằm đưa ra các kiểu nhiệm vụ liên
quan tới đối tượng.
 Dựa vào kết quả nghiên cứu thu được ở chương trước, trong chương 2,
chúng tôi tiến hành phân tích sơ lược SGK Tốn 7 (tập 1) và phân tích rõ SGK
hiện hành Đại số 10 cơ bản và nâng cao để tìm hiểu cách thức mà đối tượng này
được đưa vào và diễn đạt ra sao. Qua đó, chúng tơi sẽ làm rõ quan hệ thể chế của
nó trong SGK Việt Nam, ở hai bộ sách: SGK Đại số 10 cơ bản và nâng cao.
Ngoài ra, chúng tơi muốn tìm hiểu về số gần đúng và sai số trong SGK có khác gì
so với cách trình bày trong các giáo trình đại học, kiểu nhiệm vụ nào cịn tồn tại.
 Cuối cùng, chính từ nghiên cứu thể chế ở chương 2, chúng tôi sẽ đặt ra các
giả thuyết để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu nêu trên và tiến hành xây dựng thực
nghiệm ở chương 3 để kiểm chứng các giả thuyết đã nêu.

Footer Page 12 of 185.

7

Header Page 13 of 185.

Chương 1.
SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC HỌC
Mục đích của chúng tơi trong chương 1 là tìm hiểu các khái niệm số gần đúng và
khái niệm sai số ở cấp độ tri thức bác học, đặc trưng tri thức luận của đối tượng này
và các khái niệm có liên quan. Từ đó, chúng tơi tìm câu trả lời cho câu hỏi đã đặt ra
là làm rõ hơn về đối tượng số gần đúng và sai số.
Trong chương này, chúng tôi tham khảo các tài liệu sau đây:
-

Luận văn: " Các tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10" của
Phạm Thị Tú Hạnh (2012).

-

Luận văn : " Nghiên cứu didacic sự nối khớp giữa MTBT và xấp xỉ thập
phân trong phép tính số: trường hợp giải tam giác" của Nguyễn Thị Bích
Hoa (2012).

1.1.

-

Phương pháp số, Tơn Tích Ái (2001)

-

Phương pháp tính, Tạ Văn Đĩnh (1999)

-

Giáo trình phương pháp tính, Dương Thủy Vĩ (1999)

-

Giáo trình các phương pháp số, Hoàng Xuân Huấn (2004)

Nguồn gốc của sai số

Theo tác giả Phạm Thị Tú Hạnh, người ta tìm thấy nguồn gốc của sai số từ thiên văn
học. Vào thế kỉ 18, Copenic, Kepler và Newton đã nghiên cứu thiên văn học dựa trên
lý thuyết tốn học. Nhưng cơng việc của các nhà thiên văn lại dựa trên đo đạc, điều
này không tránh khỏi các sai sót ngay cả khi họ đã có một lý thuyết tốt.
“ Những sai số này sinh ra một phần do con người, một phần do các dụng cụ đo đạc
khơng chính xác tuyệt đối. . . . Khi các nhà thiên văn thực hiện cùng một phép đo 10
lần, 100 lần, nhưng họ không bao giờ nhận được cùng một kết quả. Đặc biệt, trong
các trường hợp quan sát gián tiếp, chẳng hạn như đo khối lượng của một ngơi sao
thì kết quả thu được chỉ thơng qua các phương trình trung gian dựa trên rất nhiều
sự đo đạc các biến tự nhiên. „ [6, tr.8-9].
Footer Page 13 of 185.


Header Page 14 of 185.

8

Mặc dù con người đã cố gắng cải thiện nhưng sai số vẫn tồn tại. Điều này khiến cho
các nhà khoa học bắt đầu quan tâm đến sai số để có thể tìm ra những phương tiện
cho phép tính tốn các đo đạc cùng một hiện tượng và để hạn chế thấp nhất có thể sai
số cuối cùng trên giá trị chính xác của hiện tượng.
Việc nghiên cứu số gần đúng gắn liền với khái niệm sai số. Căn cứ vào nguyên nhân,
có 4 loại sai số: sai số giả thiết, sai số số liệu, sai số phương pháp và sai số tính tốn.
1.1.1. Sai số giả thiết
Sai số này gặp phải khi ta đơn giản hóa bài tốn thực tiễn để thiết lập mơ hình tốn
học có thể giải được.
“ Là loại sai số xuất hiện do việc giả định bài toán đang xét thỏa mãn một số điều
kiện ban đầu nhằm làm giảm độ phức tạp của bài tốn. Do mơ hình tốn học khơng
thể biểu diễn đúng như cái vốn có của vấn đề trong thực tế. Đây là khoảng cách
giữa lí thuyết và hiện thực. Sai số này là không tránh khỏi. “ [5, tr.10].

1.1.2. Sai số số liệu
Sai số số liệu hay còn gọi là sai số của số liệu ban đầu.
“ Là loại sai số xuất hiện do việc đo đạc hoặc cung cấp số liệu ban đầu khơng chính
xác. Các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm do đó có sai số. Ví dụ như
việc đo chiều dài cây cầu được đề cập đến trong bài viết “ Chính xác tốn học và
chính xác thực nghiệm” trên trang web: http://statistics. Vn:” [5, tr.11].

1.1.3. Sai số phương pháp
Sai số phương pháp là sai số của phương pháp giải gần đúng bài tốn theo mơ hình
được thiết lập.
“ Là loại sai số do phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bài tốn đơn giản hơn.
Ví dụ như việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 có nhiều phương pháp
khác nhau như phương pháp dây cung, phương pháp Newton-Raphson, phương
pháp Bairstow…Mỗi phương pháp sẽ cho nghiệm gần đúng với độ chính xác khác
nhau. “ [5, tr.11].

1.1.4. Sai số tính tốn
Việc tính tốn bằng máy tính khơng tránh khỏi việc làm trịn số và các sai số tích lũy
trong q trình tính tốn. Sai số tính tốn là loại sai số tích lũy trong q trình thực

Footer Page 14 of 185.


Header Page 15 of 185.

9

hiện các phép toán: bao gồm sai số của bản thân các số, sai số do việc quy trịn số
trong q trình tính tốn ở các bước trung gian.
Trong phần tiếp theo tác giả đề cập đến sai số tuyệt đối (giới hạn), sai số tương đối
(giới hạn), đây là các loại sai số mà các giáo trình đại học sử dụng để đánh giá sai số
của kết quả tính tốn.

1.2.

Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

Có hai cách định nghĩa sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Mỗi cách có định nghĩa
và kí hiệu khác nhau. Vì vậy, chưa có sự thống nhất về kí hiệu và định nghĩa sai số
tuyệt đối, sai số tương đối trong các giáo trình.
1.2.1. Sai số tuyệt đối
Khái niệm sai số tuyệt đối được trình bày trong các giáo trình theo hai quan điểm.
Chúng tơi tạm gọi cách định nghĩa thứ nhất là theo quan điểm " Bất đẳng thức" như
sau:
" Nếu a* là giá trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần đúng của a*
thì sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng a là đại lượng ∆a sao cho

|𝑎∗ − 𝑎| ≤ ∆𝑎 . Vậy 𝑎 − ∆𝑎 ≤ 𝑎 ∗ ≤ 𝑎 + ∆𝑎 . Ta thường ghi: 𝑎∗ = 𝑎 ± ∆𝑎 " . [5, tr.12]

Và cách định nghĩa thứ hai theo quan điểm " Đẳng thức" : gọi a là số xấp xỉ của số
đúng A.
" Trị tuyệt đối |𝐴 − 𝑎| gọi là sai số tuyệt đối của a" . [5, tr.13].

Theo Phương pháp tính của Tạ Văn Đĩnh lí giải: do khơng biết số đúng A nên không
xác định được sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a. Vì vậy, cùng với sai số tuyệt đối, giáo
trình này đưa vào khái niệm sai số tuyệt đối giới hạn ở trang 7:
" |𝐴 − 𝑎| ≤ ∆𝑎
Số dương Δa này gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a. " [7, tr.7].

Đồng thời, nó cũng đưa ra quy ước:
" Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyệt đối giới hạn là Δa thì ta quy ước viết
A=a±Δa" [7, tr.7].

Ngồi ra, giáo trình cịn giải thích thêm ở trang 7: " a – Δa ≤A≤ a – Δa" . Ở đây, sai số
tuyệt đối giới hạn trong Phương pháp tính của Tạ Văn Đĩnh chính là sai số tuyệt đối
Footer Page 15 of 185.


10

Header Page 16 of 185.

trong Phương pháp số của Hoàng Xuân Huấn. Về phương diện toán học, nếu dấu "="
trong |𝐴 − 𝑎| ≤ ∆𝑎 xảy ra thì sai số tuyệt đối giới hạn chính là sai số tuyệt đối. Trên
thực tế, người ta vẫn xem Δa là sai số tuyệt đối.
" Thuật ngữ " độ chính xác" được hiểu là một ước lượng của sai số tuyệt đối.
Do đó, để cho tiện chúng tôi gọi chung khái niệm sai số tuyệt đối theo quan điểm bất

đẳng thức (Δa) và sai số tuyệt đối giới hạn theo quan điểm đẳng thức (Δa) là " độ
chính xác" . Theo đó, có thể tìm được vơ số " độ chính xác" khác nhau của một số
gần đúng. Cần có những ràng buộc để " độ chính xác" duy nhất. Hầu hết các giáo
trình đều đề cập đến việc: trong những điều kiện cụ thể người ta chọn Δa là số
dương bé nhất có thể được. " [5, tr.13].

Tuy nhiên, việc tìm " số dương bé nhất có thể được" khơng phải là việc dễ
dàng. Ta có thể chọn dãy số 10n với n là số nguyên làm độ chính xác và khi viết
a<10n thì 10n chính là độ chính xác với n nhỏ nhất. Tổng quát hơn, người ta có thể
chọn bất kì một dãy un (với điều kiện lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛 = +∞ và lim𝑛→−∞ 𝑢𝑛 = 0 làm độ
chính xác. Độ chính xác này được sử dụng thường xuyên với tên gọi là độ chính xác
thập phân.
1.2.2. Sai số tương đối
Trong các giáo trình mà chúng tơi tham khảo đều giải thích lí do của sự tồn tại " sai
số tương đối" là sai số phản ánh độ chính xác của phép đo. Hai số gần đúng có cùng
sai số tuyệt đối sẽ có mức độ chính xác khác nhau, nếu độ lớn của chúng khác nhau,
số bé hơn sẽ có độ chính xác kém hơn.
Đối với sai số tương đối thì các giáo trình cũng viết theo hai quan điểm khác nhau.
Theo [5] của tác giả Nguyễn Thị Bích Hoa, quan điểm " bất đẳng thức" thể hiện " Sai
∆

số tương đối là lượng 𝛿𝑎 sao cho |𝑎|𝑎 ≤ 𝛿𝑎 " , còn quan điểm " đẳng thức" thể hiện:
Tỉ số

|𝑎−𝐴|
|𝑎|

≈

|𝑎−𝐴|

|𝐴|

gọi là sai số tương đối của a (so với A)" . Ngoài ra, sai số tương đối

giới hạn của số xấp xỉ a được trình bày như sau, kí hiệu  a
" Ta gọi tỉ số:  a 

Footer Page 16 of 185.

"

a
a

gọi là sai số tương đối giới hạn của a. " [5, tr.15].


11

Header Page 17 of 185.

Chữ số có nghĩa và chữ số chắc chắn

1.3.

1.3.1. Chữ số có nghĩa
Các giáo trình đều có cùng nhận định: Những chữ số có nghĩa của một số là những
chữ số của số đó kể từ những chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải.
1.3.2. Chữ số chắc chắn (chữ số đáng tin)
Có hai định nghĩa chữ số chắc chắn thường xuất hiện trong các giáo trình đại học.

Định nghĩa 1:





a   am10m  am 110m 1  ...  a1101  a0  a1101  ...  a n10 n với 0  ai  N  10 thì

1
2

k
chữ số ak được gọi là chữ số chắc chắn nếu  a  .10

Định nghĩa 2:
Chữ số ak được gọi là chữ số chắc chắn nếu∆a ≤ ω. 10k ,  là tham số cho trước:

  0,5 thì ak là chữ số chắc chắn theo nghĩa hẹp.

-

Nếu

-

Nếu   1 thì ak là chữ số chắc chắn theo nghĩa rộng.

1.4.

Cách viết số gần đúng

Các giáo trình đại học tơn trọng 2 cách viết số gần đúng:
 Cách thứ nhất là viết số gần đúng a kèm theo sai số như A=a±Δa hoặc
A=a(1 ±𝛿 a)

Cách viết trên thường được dùng trong tính toán hoặc phép đo.
 Cách thứ hai là viết số xấp xỉ theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa là những chữ số
đáng tin.
Trong các bảng số thường dùng như bảng lôgarit, bảng các hàm số lượng giác,. . .
người ta viết các số gần đúng theo cách thứ hai. Như vậy, ở đây việc viết số gần
đúng rất nghiêm ngặt, nghĩa là, nếu viết không kèm theo độ chính xác thì phải theo
quy ước mọi chữ số của số gần đúng phải là chữ số chắc chắn. Cách viết thứ hai còn
được bổ sung thêm các chú ý như sau:
" Ghi chú:
i) Khi viết một số nguyên gần đúng, nếu khơng ghi độ chính xác, thì tất cả các chữ
số 0 đứng bên phải chữ số khác không cuối cùng là số 0 khơng có nghĩa.

Footer Page 17 of 185.


Header Page 18 of 185.

12

Thí dụ: Khi viết một vật cân nặng 2500 kg thì số 2500 có hai chữ số có nghĩa là 2, 5.
Cịn nếu viết: một vật cân nặng 2500 kg (chính xác đến hàng chục) thì số 2500 có ba
chữ số có nghĩa là 2, 5, 0.
ii) Khi viết số thập phân gần đúng thì ở phần thập phân ta chỉ viết các chữ số 0 có
nghĩa.
Thí dụ: Khi viết 1 vật cân nặng 24,30 tạ thì số này có bốn chữ số có nghĩa. "

[5, tr.17]

1.5.

Quy tắc làm tròn số

Trước hết định nghĩa sai số quy trịn tuyệt đối = a

a * . Sau đó đưa ra quy tắc:

" . . . quy tròn sao cho sai số quy trịn tuyệt đối khơng lớn hơn một nửa đơn vị ở
hàng được giữ lại cuối cùng, tức là 5 đơn vị ở hàng bỏ đi đầu tiên, cụ thể là, nếu
chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu
chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng. " [5, tr.17].

Như vậy, sai số quy tròn là một số không lớn hơn nửa đơn vị của hàng cuối cùng
được giữ lại nên kết quả của việc quy tròn số là đảm bảo mọi chữ số của số quy trịn
đều là chữ số chắc chắn. Ngồi ra, giữa việc quy trịn số và cắt số thì việc quy trịn số
sẽ cho kết quả có độ chính xác cao hơn. Ví dụ: a= 0,0054372
Kết quả làm trịn số đến chữ số thập phân thứ 5: 0,00544 và
0,0054372  0,00544  2,8.106

Kết quả cắt số đến chữ số thập phân thứ 5 : 0,00543 và

Footer Page 18 of 185.


13

Header Page 19 of 185.

0,0054372  0,00543  7, 2.106
" Nếu một số có ít nhất là (n+1) chữ số thập phân và chữ số thập phân thứ (n+1)
lớn hơn 5 thì sai số tuyệt đối của việc quy trịn số đến chữ số thứ thập phân thứ n
nhỏ hơn sai số tuyệt đối của việc cắt số đến chữ số thập phân thứ n. " [5, tr.17]

1.6.

Sai số của các phép tốn
Tùy từng giáo trình mà có hoặc khơng đề cập đến cách chứng minh công thức

xác định sai số của hàm số khi biết sai số của các đối số, tuy nhiên, tất cả các giáo
trình đều giới thiệu quy tắc xác định sai số khi thực hiện các phép tốn. Theo [5], tác
giả đã tóm tắt lại các quy tắc xác định sai số trong các giáo trình tham khảo như sau:
 Sai số tuyệt đối (sai số tuyệt đối giới hạn) của tổng đại số bằng tổng đại số của
các sai số (sai số tuyệt đối giới hạn).
∆𝑥±𝑦 = ∆𝑥 + ∆𝑦
 Sai số tương đối (sai số tương đối giới hạn) của một tích hoặc một thương bằng
tổng của các sai số tương đối (sai số tương đối giới hạn) của các thừa số.
𝛿𝑥.𝑦 = 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦
 Đối với 𝑦 = 𝑥 𝛼 (𝛼 ∈ 𝑄, 𝑥 > 0), khi đó  y    x
-

Nếu α >1 (phép luỹ thừa) thì  y   x do đó độ chính xác giảm.

-

Nếu 0<α <1 thì  y   x do đó độ chính xác tăng.

-

Nếu α = -1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác khơng đổi.

-

Nếu 𝛼 =

1
𝑘

, 𝑘 ∈Z* (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.

Tác giả mong muốn xác định được số chữ số chắc chắn của kết quả thực hiện các
phép toán cộng, trừ, nhân, chia với hai số gần đúng có n chữ số thập phân với điều
kiện mọi chữ số của hai số đều là chữ số chắc chắn.
1
n
n
Giả sử x1  a1  1.10 , x2  a2   2 .10 trong đó 0  1 ,  2  .
2

Ta sẽ áp dụng quy tắc xác định sai số khi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân,
chia đã đề cập ở trên để xác định số chữ số chắc chắn của kết quả. Cụ thể như sau:
 Phép cộng, phép trừ:
Footer Page 19 of 185.


14

Header Page 20 of 185.

x1  x2   a1  a2   1   2 10 n
1
1  n1
1
Ta có: 0  1 ,  2  nên 0  1   2 10 n  1.10 n  .10.10 n  .10   . Do đó, chữ
2
2
2

số thập phân thứ n có thể khơng phải là chữ số chắc nhưng đảm bảo rằng từ chữ số
thập phân thứ (n -1) trở về bên trái thì mọi chữ số đều là chữ số chắc chắn.
Ví dụ:
-3
-3
√7 ≈ 2,646± 0,25. 10 và  3,142 ± 0,41. 10 , khi đó,√7 + 𝜋 ≈ 5,788 có độ

chính xác là 0,66. 10-3 nên chữ số thập phân thứ ba không phải là chữ số chắc chắn.
 Phép nhân

x1  a1  1.10 n , x2  a2   2 .10 n trong đó 0  1 ,  2 
Sai số tương đối của x1, x2 là: 1 

1.10 n
x1

,

2 

1
2

 2 .10 n
x2

Sai số tương đối của tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa số, do đó, sai
số tương đối của x1. x2là: 1   2 

 2 .10 n
x2



1.10 n
x1

  .10 n 1.10 n 
n
n
 x1 . x2  1   2  x1.x2   2

 x1.x2   2 .10 x1  1.10 x2
x1 
 x2

Như vậy, độ chính xác của x1. x2 phụ thuộc vào giá trị của α1, α2, x1, x2.
 Phép chia

x1  a1  1.10 n , x2  a2   2 .10 n trong đó 0  1 ,  2 

1
2

1.10 n
 2 .10 n
x1
,




2
Sai số tương đối của x là: 1
x2
x1
2

Sai số tương đối của thương bằng tổng các sai số tương đối các thừa số, do đó, sai số
 2 .10 n 1.10 n
x1





tương đối của x là: 1 2
x
x1
2

2
 x1 . x2  1   2 

n
n
x1   2 .10 n 1.10 n  x1  2 .10 x1  1.10 x2
 



2
x2  x2
x1  x2
x2

Như vậy, độ chính xác của x1. x2 phụ thuộc vào giá trị của α1, α2, x1, x2.
Footer Page 20 of 185.


Header Page 21 of 185.

15

Tóm lại:
 Muốn đảm bảo kết quả việc thực hiện phép toán cộng hoặc trừ giữa hai số có n
chữ số thập phân chắc chắn thì hai số đó phải có ít nhất (n+1) chữ số thập phân chắc
chắn.
 Đối với phép nhân và phép chia, quy tắc phức tạp hơn nhiều. Do đó, cần những
nghiên cứu khác sâu hơn để đưa ra quy tắc.
 Muốn kết quả đạt đến độ chính xác mong đợi thì ta không sử dụng kết quả gần

đúng ở các bước trung gian để tính tốn mà thay số vào cơng thức và chỉ tính tốn ở
bước cuối cùng rồi làm tròn số đến hàng mong đợi.

1.7.

Các kiểu nhiệm vụ

Sau khi tham khảo các giáo trình đại học, chúng tơi tìm được 5 kiểu nhiệm vụ sau:
a. TLT-k: Làm tròn số với k chữ số thập phân (k∈ 𝑵∗ ).
Kỹ thuật:
- Bước 1: Bỏ tất cả các chữ số bên phải chữ số thứ k nếu k là chữ số thuộc phần thập
phân. Còn nếu k là chữ số thuộc phần nguyên thì thay tất cả các chữ số đứng bên
phải chữ số thứ k (thuộc phần nguyên) bằng chữ số 0, bỏ đi phần thập phân.
- Bước 2: Giữ nguyên chữ số thứ k, nếu chữ số ở vị trí thứ k+1 có giá trị bé hơn 5.
Hay cộng thêm vào chữ số thứ k 1 đơn vị, nếu chữ số ở vị trí thứ k+1 có giá trị lớn
hơn hoặc bằng 5.
Công nghệ - Lý thuyết: Quy tắc làm trịn số.
Ví dụ: [8, tr.13]
Làm trịn các số sau đến 3 chữ số có nghĩa: a. 2,1514 b. 0,16152 c. -392,85
Giải: a. 2,1514≈ 2,15 b. 0,16152 ≈ 0,162 c. -392,85 ≈ -393
b. Tt: Thực hiện phép tính với các số gần đúng.
Kỹ thuật:
-Đưa các số cần tính về số thập phân
-Làm trịn các số thập phân đó
-Thay các số thập phân gần đúng vào cơng thức tính tốn cuối cùng.
Cơng nghệ - Lý thuyết: " Sai số tương đối giới hạn của hiệu lớn hơn sai số tương đối
giới hạn của số trừ và số bị trừ khoảng 5000 lần. Vì vậy, khi tính tốn người ta thường cố
Footer Page 21 of 185.

16

Header Page 22 of 185.

gắng tránh phép trừ hai số dương có giá trị bằng nhau bằng cách biến đổi biểu thức của
hiệu (trong trường hợp có thể được). " [2, tr.14)]

Ví dụ: [2, tr.14]
Tính hiệu u = √2,01 − √2 với 3 chữ số đáng tin.
Giải: Vì √2,01 = 1,41774469… ; √2 = 1,41421356…
Nên ta có thể xem √2,01 = 1,41774 ; √2 = 1,41421 và u = 0,00353.
Có thể thu được kết quả trên mà chỉ cần lấy √2,01 ≈ 1,42 ; √2 ≈ 1,41
Nếu viết hiệu u dưới dạng:
u=

(√2,01−√2)(√2,01+√2)
√2,01+√2

=

2,01−2
√2,01+√2

=

0,01
1,42+1,41

=

0,01
2,83

= 0,00353.

c. TSS: Tính sai số tương đối(sai số tuyệt đối) của số gần đúng khi biết sai số
tuyệt đối (sai số tương đối) của nó.
Kỹ thuật:
∆

Áp dụng cơng thức tính sai số tương đối, sai số tuyệt đối: 𝛿𝑎 = |𝑎|𝑎 ⇒ ∆𝑎 = |𝑎|𝛿𝑎
Công nghệ - Lý thuyết:Định nghĩa sai số tương đối, sai số tuyệt đối.
Ví dụ: [7, tr.19]
Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây biết sai số tương đối của
chúng:
a = 13267 ;𝛿𝑎 = 0,1% b = 2,32 ; 𝛿𝑏 = 0,7%
Giải: ∆𝑎 = |𝑎|𝛿𝑎 = 13267. 0,1% = 13,267
∆𝑏 = |𝑏|𝛿𝑏 = 2,32. 0,7% = 0,01624.
d. TƯLSS: Ước lượng sai số tuyệt đối, sai số tương đối của các phép tốn với số
gần đúng.
Kỹ thuật:Tìm d sao cho |𝐴 − 𝑎| ≤ 𝑑.
Công nghệ - Lý thuyết:Định nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn, sai số tương đối giới
hạn.
Ví dụ: [3, tr.4]
Căn phịng có chiều dài d = 5,45m và chiều rộng r = 3,94m với sai số 1cm. Hãy ước
lượng sai số tuyệt đối của diện tích căn phịng.

Giải: Khi đó, ta hiểu là: ∆𝑑 = 0,01m hay d = 5,45± 0,01m
Footer Page 22 of 185.

17

Header Page 23 of 185.

∆𝑟 = 0,01m hay r = 3,94± 0,01m
Như vậy diện tích của phịng được ước lượng bởi
S = d. r = 5,45. 3,94 = 21,473 m2
Với cận trên và cận dưới của S là:
(5,45 – 0,01)(3,94 – 0,01) = 21,372 ≤ S ≤ 21,567 = (5,45 + 0,01)(3,94 + 0,01)
Vậy ta có ước lượng sai số tuyệt đối của S là |𝑆 − 𝑆0 | ≤ 0,094 m2 hoặc làm tròn là
0,1 m2.
e. TCSC: Xác định các chữ số chắc (chữ số đáng tin) của số gần đúng khi biết sai
số tuyệt đối (sai số tương đối) của nó .
Kỹ thuật:
1

-Tìm k để 𝑑 ≤ . 10𝑘 , 𝑘 ∈ 𝒁
2

-Các chữ số bên trái chữ số hàng thứ k là chữ số chắc.
Công nghệ - Lý thuyết:Khái niệm chữ số chắc.
Ví dụ: [7, tr.9]
Cho a = 65,8274 với = 0,0043 thì các chữ số 6, 5, 8, 2 là đáng tin, còn các chữ số 7,
4 là đáng nghi. Nếu = 0,0067 thì các chữ số 6, 5, 8 là đáng tin, còn các chữ số 2, 7,
4 là đáng nghi.

Kết luận
- Đối tượng số gần đúng không thể tách rời khỏi khái niệm sai số. Sai số có nguồn

gốc từ thiên văn học. Có 4 loại sai số: sai số giả thiết, sai số số liệu, sai số phương
pháp, sai số tính tốn. Sai số giả thiết là loại sai số xuất hiện do việc giả định bài toán
đang xét thỏa mãn một số điều kiện ban đầu nhằm làm giảm độ phức tạp của bài
toán. Sai số số liệu là loại sai số xuất hiện do việc đo đạc hoặc cung cấp số liệu ban
đầu khơng chính xác. Sai số phương pháp là loại sai số do phương pháp thay bài toán
phức tạp bằng bài tốn đơn giản hơn. Sai số tính tốn là loại sai số tích lũy trong q
trình thực hiện các phép toán: bao gồm sai số của bản thân các số, sai số do việc quy
tròn số trong quá trình tính tốn ở các bước trung gian.
- Để đánh giá một số gần đúng, người ta định nghĩa các khái niệm: sai số tuyệt đối
hay sai số tuyệt đối giới hạn, sai số tương đối hay sai số tương đối giới hạn. Các khái

Footer Page 23 of 185.


18

Header Page 24 of 185.

niệm này được trình bày trong các giáo trình đại học theo hai quan điểm: " đẳng
thức" và " bất đẳng thức".
- Không xuất hiện thuật ngữ " độ chính xác của số gần đúng". Tác giả Nguyễn Thị
Bích Hoa đã gọi chung khái niệm sai số tuyệt đối theo quan điểm " bất đẳng thức" và
khái niệm sai số tuyệt đối giới hạn theo quan điểm " đẳng thức" là " độ chính xác của
số gần đúng". Ta có a <10n thì 10n chính là độ chính xác thập phân với n nhỏ nhất.
-Về mặt toán học mọi số đều là số gần đúng của nhau với một sai số nào đó nên khi
viết một số gần đúng mà khơng kiểm sốt được độ chính xác của số ấy thì nó khơng
có giá trị sử dụng. Do đó, các giáo trình đại học tn thủ nghiêm ngặt hai cách viết:
 Viết số gần đúng a kèm theo sai số như A=a± ∆𝑎 .
 Viết số xấp xỉ thep quy ước mọi chữ số của số gần đúng đều là chữ số
chắc chắn, ví dụ: khi viết a≈1,35 thì ngầm hiểu là các chữ số 1, 3 và 5 là

chữ số chắc chắn. Khi đó, chúng ta có thể suy ra được độ chính xác của số
gần đúng 1,35 là nhỏ hơn hoặc bằng 0,5. 10-2.
-Sau khi tham khảo các giáo trình đại học, chúng tơi tìm được 5 kiểu nhiệm vụ liên
quan tới số gần đúng và sai số:
•

TLT-k: Làm trịn số với k chữ số thập phân (k∈ 𝑁 ∗ ).

•

Tt: Thực hiện phép tính với các số gần đúng.

•

TSS: Tính sai số tương đối (sai số tuyệt đối) của số gần đúng khi biết
sai số tuyệt đối (sai số tương đối) của nó.

•

TƯLSS: Ước lượng sai số tuyệt đối, sai số tương đối của các phép tốn
với số gần đúng.

•

TCSC: Xác định các chữ số chắc (chữ số đáng tin) của số gần đúng khi
biết sai số tuyệt đối (sai số tương đối) của nó.

Footer Page 24 of 185.

19

Header Page 25 of 185.

Chương 2.
SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA
Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
Vì thời gian và khả năng nghiên cứu có hạn nên chúng tơi xin giới hạn đề tài trong
chương trình sách khoa THPT. Mục đích của chúng tơi ở chương 2 là làm rõ quan hệ
thể chế với đối tượng là tri thức số gần đúng và sai số dưới cái nhìn của phân tích
khoa học đã trình bày ở chương trước. Với nghiên cứu thể chế này, chúng tơi muốn
tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau:
-

Đối tượng này được trình bày trong sách giáo khoa Đại số 10 như thế nào? Có
gì khác so với tri thức khoa học? Có những tổ chức tốn học nào được đưa
vào sách giáo khoa và sách bài tập?

-

Tồn tại những điều kiện ràng buộc nào của thể chế đối với tri thức? Điều đó
ảnh hưởng như thế nào đến việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh?

Ở đây, chúng tơi chọn để phân tích hai bộ sách giáo khoa Đại số 10 ban cơ bản và
nâng cao hiện hành, đi kèm với mỗi quyển sách giáo khoa là sách bài tập và sách
giáo viên. Việc tham khảo thêm sách bài tập và sách giáo viên nhằm giúp chúng tôi
làm rõ hơn các tổ chức toán học đã được đưa vào trong sách giáo khoa.
Trước khi bắt đầu phân tích thể chế, chúng tôi sẽ sơ lược một số nội dung liên quan
trực tiếp đến đối tượng Số gần đúng trong sách giáo khoa Toán 7 (tập 1).

2.1. Sách giáo khoa Toán 7 – tập 1
Trong chương 1: SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC của sách giáo khoa Tốn 7 trình bày bài 10
" Làm tròn số" ngay sau khi đã học xong kiến thức về " số thập phân vô hạn tuần
hồn" . Các kiến thức được trình bày trong sách giáo khoa hồn tồn khơng có thuật
ngữ " Số gần đúng" , cũng như các yếu tố Toán học liên quan khác. Mục tiêu giảng
dạy được trình bày trong sách giáo viên yêu cầu học sinh phải vận dụng thành thạo
các quy tắc và biết ý nghĩa của việc làm trịn số với ghi chú " khơng đề cập đến các
khái niệm sai số tuyệt đối, sai số tương đối, các phép toán về sai số" .
Footer Page 25 of 185.