bước chuyển từ lượng giác trong đường tròn đến lượng giác trong hàm số trong dạy học toán ở trường thpt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH


Nguyễn Thị Cẩm Hằng






Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10



LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ VĂN PHÚC



Thành phố Hồ Chí Minh - 2007
51B50B49B48B47B46B45B44B43B42B41B40B39B38B37B36B35B3
4B33B32B31B30B29B28B27B26B25B24B23B22B21B20B19B18B17
B16B15B14B13B12B11B10B9B8B7B6B5B4B3B2B1B0B2H3H4H5
H6H7H8H9H10H11H12H13H14H15H16H17H18H19H20H21H22
H23H24H25H26H27H28H29H30H31H32H33H34H35H36H37H38
H39H40H41H42H43H44H45H46H47H48H49H50H51H0H1H
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Lượng giác là một trong các chủ đề toán học quan trọng và có nhiều ứng
dụng trong ngành vật lý, thiên văn, hàng hải Trong chương trình môn Toán ở bậc
phổ thông tại nhiều nước trên thế giới như Mỹ, Pháp, Úc…, lượng giác luôn được
giảng dạy theo thứ tự: lượng giác “trong tam giác”
1
, lượng giác “trong đường tròn”
2
và lượng giác “trong hàm số”
3
.
Ở Việt Nam, không nằm ngoài xu hướng giảng dạy của các nước trên thế
giới, lượng giác cũng được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán phổ thông
hiện hành theo thứ tự như thế. Cụ thể: lượng giác “trong tam giác” được đưa vào
giảng dạy ở lớp 9, lượng giác “trong đường tròn” được giảng dạy ở lớp 10 và
lượng giác “trong hàm số” được dạy ở lớp 11.
Như thế, chúng tôi thấy rõ có một trình tự để dạy lượng giác (theo b
a giai
đoạn) ở bậc trung học cơ sở (THCS) và trung học phổ thông (THPT) tại Việt
Nam.
Câu hỏi đặt ra là:


. Tại sao những người soạn thảo chương trình và sách giáo khoa Việt Nam lại
lựa chọn và đưa nội dung "lượng giác" vào giảng dạy ở trường phổ thông
theo trình tự đó? Có thể thay đổi trình tự giảng dạy lượng giác trên được
không?

1
Tri thức lượng giác gắn với tam giác được gọi tắt
2
Tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác được gọi tắt
3
Tri thức lượng giác gắn với hàm số lượng giác được gọi tắt.


. Tri thức lượng giác cần dạy ở giai đoạn trước chuẩn bị cho việc dạy học tri
thức lượng giác ở giai đoạn sau như thế nào? Và, tri thức lượng giác ở giai
đoạn sau khai thác các tri thức lượng giác ở giai đoạn trước ra sao? Có hay
không sự thống trị của tri thức lượng giác ở giai đoạn trước đối với giai đoạn
sau? Đâu là mâu thuẫn tạo động lực phát triển tri thức lượng giác ở giai
đoạn sau?


. Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì trình tự trên xuất hiện như thế
nào? Tri thức lượng giác trong từng giai đoạn gắn liền với tình huống nào?


. Đâu là sự khác biệt về cách trình bày trong sách giáo khoa với giáo trình đại
học về tri thức lượng giác trong từng giai đoạn? Lý do của sự khác biệt đó?


. Cách trình bày của sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào đến ứng xử của
giáo viên và học sinh khi dạy - học các tri thức lượng giác ở từng giai đoạn?

Những câu hỏi này đã lôi cuốn và dẫn chúng tôi đến việc cần phải nghiên
cứu sâu sắc bước chuyển từ giai đoạn trước sang giai đoạn sau của tri thức lượng

giác không những trong sách giáo khoa (SGK) mà còn trong việc giảng dạy. Đặc
biệt, phân tích tính kế thừa và gián đoạn của các bước chuyển trên.
Trong
phạm vi của một luận văn thạc sĩ, để đảm bảo tính khả thi, chúng tôi
chọn chủ đề nghiên cứu chủ yếu của mình vào hai giai đoạn giảng dạy lượng giác
ở bậc THPT - từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” đến tri thức lượng
giác “trong hàm số”.
Việc lựa chọn này xuất phát từ lý do:
- Tri thức lượng giác “trong hàm
số” luôn được ưu tiên đề cập trong cả hai bộ
sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (ban nâng cao và cơ bản) ở Việt Nam,
- Chủ đề hàm giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt chương trình môn Toán ở trường
phổ thông tại Việt Nam,
- Giáo viên và học sinh thường gặp khó khăn khi dạy - học những tri thức liên
quan đến lượng giác “trong hàm số”.

2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu

Mục đích tổng quát của luận văn này là nghiên cứu bước chuyển từ giai
đoạn giảng dạy tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang giai đoạn giảng dạy tri
thức lượng giác “trong hàm số”; đặc biệt là xoay quanh tính kế thừa và gián đoạn
của bước chuyển này.
Để thực hiện mục đích nghiên cứu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình
trong phạm vi didactic toán. Cụ thể, chúng tôi vận dụng các khái niệm công cụ
như: tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, cách đặt vấn đề
sinh thái học và khái niệm hợp đồng didactic.

Trong phạm
vi didactic với các khái niệm công cụ đã chọn, các câu hỏi cấu
thành nên mục đích nghiên cứu của chúng tôi được trình bày lại như sau:

Q1. Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì các tri thức lượng giác «trong
đường tròn» và «trong hàm số» được trình bày như thế nào? Chúng gắn liền
với các tổ chức toán học (TCTH) và có những đặc trưng nào? Đặc biệt, bước
chuyển từ tri thức lượng giác “trong đư
ờng tròn”

sang tri thức lượng giác
“trong hàm số”

có đặc trưng gì?
Q2. Trong chương trình và SGK Việt Nam, các tri thức lượng giác “trong đường
tròn” và “trong hàm số” được trình bày như thế nào? Đặc biệt, bước chuyển
từ tri thức lượng giác “trong đường tròn”

sang tri thức lượng giác “trong hàm
số” có đặc trưng gì? Đâu là TCTH được xây dựng xung quanh các tri thức
lượng giác trong hai giai đoạn trên? Những đặc trưng của các TCTH này là
gì? Có sự chênh lệch nào giữa TCTH ở bậc đại học với TCTH ở trường phổ
thông? Sự chênh lệch đó bắt nguồn từ những điều kiện và ràng buộc nào của
thể chế?
Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic có thể đư
ợc hình thành giữa giáo
viên và học sinh trong quá trình tiếp cận với các tri thức lượng giác trong
từng giai đoạn?
Q4. Cách trình bày của SGK về tri thức lượng giác “trong đường tròn” có ảnh
hưởng như thế nào đến giáo viên và học sinh khi dạy - học về tri thức lượng
giác “trong hàm số”?

3. Phương pháp và tổ chức nghiên cứu

Bằng cách tham khảo một số tài liệu, chúng tôi sẽ thực hiện một nghiên cứu
sơ lược lịch sử lượng giác và các TCTH hiện diện trong giai đoạn đường tròn
4
và
giai đoạn hàm số
5
ở bậc đại học.
Nghiên cứu trên sẽ là yếu tố tham chiếu cho nghiên cứu mối quan hệ thể chế
mà ở đó, chúng tôi sẽ lần lượt triển khai các nhiệm vụ sau:
 Thứ nhất: Thông qua nghiên cứu chương trình THPT, chúng tôi sẽ làm rõ
sự hiện diện của các tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn
hàm số qua các cấp học; từ đây có thể dự đoá
n được tương lai của chúng trong
chương trình Toán bậc THPT.
 Thứ hai: Bằng sự nghiên cứu sâu các SGK, SBT, SGV Toán (lớp 10 và lớp
11), chúng tôi sẽ chỉ ra TCTH được xây dựng xung quanh các kỹ thuật giải các bài
toán trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số để phân tích tính kế thừa và
gián đoạn trong bước chuyển từ TCTH hiện diện ở giai đoạn đường tròn sang giai
đoạn hàm số.
Song song đó, chúng tôi sẽ làm
rõ các quy tắc hợp đồng didactic ngầm ẩn liên
quan đến tri thức lượng giác trong việc dạy - học lượng giác ở cả hai giai đoạn
đường tròn và giai đoạn hàm số.
Từ đó, chúng tôi xác định sự chênh lệch có thể có giữa TCTH tham chiếu và
TCTH cần giảng dạy ở trường phổ thông. Điều này sẽ hỗ trợ cho chúng tôi trong
việc làm rõ những điều kiện và ràng buộc của thể chế trong việc dạy - học các tri
thức lượng giác ở hai giai đoạn trên
 Thứ ba: Việc quan sát thực tế giờ dạy - học các tri thức lượng giác ở giai

đoạn đường tròn (lớp 10) sẽ giúp chúng tôi bước đầu tìm hiểu ứng xử của giáo
viên và học sinh trước khi dạy - học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số.
Qua đó, kết hợp qua
n sát thực tế giờ dạy - học các tri thức lượng giác ở giai
đoạn hàm số (lớp 11) với phân tích chương trình và SGK để hình thành các giả
thuyết nghiên cứu, đề xuất câu hỏi mới.
 Sau cùng, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác trong
hai giai đoạn trên sẽ giúp chúng tôi rút ra được một số giả thuyết nghiên cứu mà
tính hợp thức của các giả thuyết này sẽ được kiểm chứng qua một thực nghiệm
đư
ợc tiến hành trên hai đối tượng giáo viên và học sinh.

4
Giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác
5
Giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác gắn với hàm số lượng giác


4. Cấu trúc của luận văn

Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, cấu trúc luận văn của chúng
tôi gồm 5 phần: Phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần kết luận.
 Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất
phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu của đề tài, phương pháp,
tổ chức nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.
 Trong chương 1, chúng tôi nghiên cứu các tri thức lượng giác “trong

đường tròn” và “trong hàm số” ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể: chúng tôi tìm
các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác hiện diện ở giai đoạn đường tròn
và giai đoạn hàm số; đồng thời, làm rõ đặc trưng của bước chuyển từ TCTH hiện

diện ở giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số trong các giáo trình ở bậc đại
học. Các TCTH tìm được trong giáo trình ở bậc đại học sẽ đóng vai trò là TCTH

tham chiếu cho phép chúng tôi bước sang chương 2.
 Trong chương 2, chúng tôi thực hiện nghiên cứu chương trình và SGK để
làm rõ mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và
“trong hàm số”. Chúng tôi sẽ chỉ rõ "vết" mà TCTH tham chiếu để lại trong SGK
và giải thích sự chênh lệch có thể có giữa TCTH tham chiếu và TCTH cần giảng
dạy. Từ đó, chúng tôi làm rõ những ràng buộc của thể chế và các quy tắc hợp đồng
chuyên biệt gắn liền với các bài toán ở hai gia
i đoạn trên.
Việc tiến hành tổng hợp kết quả ở chương 1 và chương 2 sẽ cho phép chúng
tôi đề xuất các hợp đồng didactic, câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu liên quan
đến bước chuyển từ giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số.
 Trong chương 3, chúng tôi trình bày các thực nghiệm nhằm kiểm chứng
tính t
hoả đáng của những giả thuyết nghiên cứu và hợp đồng didactic đã nêu, tìm
câu trả lời cho những câu hỏi mới.
 Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đạt được ở ba
chương trên, chỉ ra lợi ích của đề tài, đồng thời nêu ra hướng mở rộng nghiên cứu
cho luận văn.
Cấu trúc luận văn được sơ đồ hóa như sau :



Mở đầu
Chươn
g
1
Chươn

g
2
Chương 3






Chương 1: CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC THAM CHIẾU
LIÊN QUAN ĐẾN CÁC TRI THỨC LƯỢNG
GIÁC “TRONG ĐƯỜNG TRÒN” VÀ “TRONG
HÀM SỐ”

Mục đích của chương 1 là nghiên cứu các tri thức lượng giác “trong đường
tròn” và “trong hàm số” dưới cấp độ tri thức ở bậc đại học. Qua đó, chúng tôi tìm
câu trả lời cho câu hỏi Q1 đặt ra trong phần mở đầu như sau:

Q1. Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì các tri thức lượng giác ”trong
đường tròn” và “trong hàm số” được trình bày như thế nào? Chúng gắn liền
với các tổ chức toán học (TCTH) và có những đặc trưng nào? Đặc biệt, bước
chuyển từ các tri thức lượng gi
ác “trong đường tròn”

sang các tri thức lượng
giác ” trong hàm số”

có đặc trưng gì?

Các giáo trình đại học chủ yếu được chọn tham khảo để nghiên cứu trong

chương này là:
[35] Toán học cao cấp và Bài tập Toán cao cấp (tập 2) (dùng cho sinh viên các
trường đại học kỹ thuật) của Nguyễn Đình Trí (chủ biên).
[41] "College Algebra with Trigonometry" của Raymond A. Barnett.
[42] "Algebra and Trigonometry for College students" của Richard S. Paul và
Ernest F. Haeussler.
[43] "A text book of Trigonometry for Colleges and Engineering Schools" của
William H. H. Cowles và James E. Thompson.

Sau đây, chúng tôi sẽ thực hiện một nghiên cứu sơ lược về lịch sử lượng
giác. Nhưng, phần phân tích của chúng tôi không chỉ đơn t
huần là sự tóm tắt các
sách, báo viết về lịch sử lượng giác đã tham khảo. Nghiên cứu của chúng tôi chủ
yếu là tìm trong lịch sử trình tự xuất hiện của từng giai đoạn mà chúng tôi đã nêu
ở phần mở đầu cũng như các tình huống gắn liền với các tri thức lượng giác trong
từng giai đoạn.


1.1. Sơ lược lịch sử lượng giác

Kết quả trong mục này được rút ra từ [6], [24], [32], [33] và

/, về lịch sử lượng giác.
Lịch sử lượng giác có thể chia thành hai thời kỳ lớn.
Lượng giác đã bắt đầu với tư cách là yếu tố tính toán của hình học. Nó nảy
sinh từ sự cần thiết phải đo lại ruộng đất sau những trận lụt hàng năm ở sông Nin
và hình thành cùng với sự phát triển của hình học.
Ngay từ thời kỳ cổ Hi Lạp, khi xây dựng các công trình đồ sộ như đền đài,
kim
tự tháp, người ta đã biết sử dụng khái niệm về tỉ số các đoạn thẳng (trùng

với khái niệm sin, cosin ngày nay). Về sau, những tri thức lượng giác đầu tiên đã
xuất hiện ở thời cổ Hi Lạp do nhu cầu của thiên văn. Hippac và Plôtêmê (thế kỷ
thứ 2 trước công nguyên) đã lập các bảng về sự liên hệ giữa độ dài của dây
trương một cung tròn đã biết. Việc biến đổi lượn
g giác có sử dụng các tỉ số sin,
cos, tan, cot ở tam giác vuông đã được những nhà học giả Ả Rập tiến hành vào
thế kỷ thứ 9.
Kiến thức hình học của người Babilon, về căn bản cũng như người Ai Cập.
Tuy nhiên, người Babilon đã có khái niệm sơ bộ về đo góc và đó là mầm mống
của "tam giác lượng" (hay lượng giác trong tam
giác).
Lượng giác đặc biệt phát triển mạnh vào thời kỳ trung cổ ở phương Đông rồi
sau đó mới phát triển ở châu Âu. Để giảm bớt nặng nhọc trong lao động tính toán,
người ta đã thành lập những bảng sin, tan v.v An Casi (đầu
thế kỷ 15) cũng đã
lập ra bảng các giá trị lượng giác của góc (cung) với độ chính xác đến 9 chữ số
thập phân.
Lượng giác phẳng và lượng giác cầu đã có được một “hệ thống cân đối” giàu
sự kiện. Chẳng hạn, trong tác phẩm của Naxirêđin (1201 - 1274) với tên là "Luận
văn về hình bốn cạnh đầy đủ" đã có phần phương pháp giải tam giác phẳng và tam
giác cầu, giải các bài toán xác định cạnh của một tam giác cầu theo ba góc.
Như vậy, trong thời kỳ đầu, lượng giác chỉ bao gồm những thủ thuật tính
toán các yếu tố của một tam giác và các hình có thể quy về những tam giác. Vì
thế, người Hilạp gọi là "tam giác lượng" tức là đo đạc các tam giác.
Ở thời kỳ thứ hai, lượng giác đã xuất hiện như một khoa học về "tam giác
lượng". Việc ra đời của giải tích toán và sự phát triển mạnh mẽ của nó ở thế kỷ 17
và 18 đã tạo điều kiện cho lượng giác phát
triển, nhưng theo một phương hướng
mới. Các đại lượng của lượng giác trước đây chỉ được coi như là phương tiện để
giải các vấn đề hình học thì nay đã trở t

hành những đối tượng để nghiên cứu. Các
đối tượng đó được xem như là những hàm.
Lý thuyết về các hàm lượng giác được Euler nghiên cứu lần đầu tiên (1748)
trong tác phẩm "Mở đầu về giải tích của các vô cùng bé"; trong đó, các hàm lượng
giác đã được nghiên cứu theo phương pháp giải tích nhờ các chuỗi. Hướng mới
này bắt nguồn từ các dao động trong cơ học, âm học, quang học và sóng điện từ
Sau đó, Wessel, một nhà đo đạc người Nauy, đã xuất phát từ hình học để giải
thích sự tồn tại của số phức (1797) với ý đồ muốn tìm cách biểu diễn các phương
trong không gian theo kiểu giải tích. Ông đã đưa ra cách giải thích hình học cho
1


và chỉ ra mọi bán kính của vòng tròn đơn vị đều có thể viết ở dạng cosv + δ
sinv, trong đó δ.δ = -1. Từ đó, suy ra mọi đoạn thẳng của mặt phẳng đều được biểu
diễn bởi biểu thức giải tích dạng: r(cosv + δ sinv) hay a + δb

 Tóm lại
- Qua nghiên cứu sơ lược lịch sử, các tri thức lượng giác liên quan rất nhiều
đến các hiện tượng trong đời sống và ứng dụng tr
ong các ngành khoa học như: kỹ
thuật, vật lý, thiên văn, trắc địa, hàng hải v.v
- Lượng giác xuất hiện ban đầu chỉ với tư cách là công cụ giải quyết các vấn đề
hình học, có thể xem đây là sự xuất hiện của các tri thức lượng giác “trong tam
giác”. Sau đó, lượng giác tiến triển và trở thành đối tượng nghiên cứu, cụ thể là
các tri thức lượng giác
“trong hàm số”. Tuy nhiên, các tri thức lượng giác “trong
hàm số” chỉ được nghiên
cứu theo hướng phát triển của giải tích; đặc biệt, hàm số
lượng giác được định nghĩa nhờ vào các chuỗi lũy thừa.
- Các tri thức lượng giác “trong đuờng tròn” dường như ít để lại dấu vết trong

lịch sử, chỉ thấy tri thức lượng giác “trong đường tròn” xuất hiện khi đề cập đến số
phức.
- Theo các nhà nghiên cứu lịch sử, ý tưởng tổng quát về liên hệ hàm - trong đó,
có hàm lượng giác chưa xuất hiện trong thời cổ đại. Cuối thế kỷ 16, những hàm
được nghiên cứu bằng các bảng giá trị như bảng lượng gi
ác, bảng lôgarit.
- Vào thế kỷ 17, Euler cho thấy phạm vi mà ông quan tâm là lý thuyết hàm số
và thay đổi cách xem xét hình học bằng cách xem xét biểu thức của hàm số - trong
đó có hàm số lượng giác. Quan niệm hình học của Euler tồn tại rất lâu trong sự
phát triển của giải tích nhưng đã trở thành một sự cản trở cho sự phát triển của lý
thuyết hàm, nhất là từ sau công trình của Fourier.
- Gần đây, người ta đã xây dựng các hàm
lượng giác theo phương pháp tiên đề;
nhờ đó, lượng giác đã đi sát được với toán học hiện đại và có một giá trị lớn về cơ
sở lý thuyết.
Như thế, tri thức lượng giác xuất hiện trong các bài toán về đo đạc - thuộc
phạm vi hình học. Đặc biệt, từ sự nghiên cứu cung và góc, người ta đã nghiên
cứu đến hàm số lượng giác thuộc phạm vi đại số.
Chúng tôi
sẽ phân tích cụ thể giáo trình “College Algebra with
Trigonometry" của Raymond A. Barnett và tổng hợp một số giáo trình đại học đã
tham khảo để làm rõ những TCTH được xây dựng xung quanh các tri thức lượng
giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”.

1.2. Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”
trong các giáo trình ở bậc đại học

1.2.1. Lượng giác trong giáo trình “College Algebra with Trigonometry" của
Raymond A. Barnett
Mở đầu giáo trình, tác giả giới thiệu cách tiếp cận với lượng giác của mình

theo sự tiến triển của lịch sử. Đó là lý do mà chúng tôi chọn giáo trình này để phân
tích tình huống nảy sinh các tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn và giai
đoạn hàm số.
- Xuất phát từ các hiện tượng trong tự nhiên, nhu cầu đo góc bất kỳ được đưa
ra. Người ta đã nghiên cứu đến việc xây dựng góc lượng gi
ác để đáp ứng nhu cầu
trên. Đường tròn số mà trên đó xác định các góc tương ứng với hai đơn vị đo góc:
độ và radian cũng xuất hiện.






- Tác giả đã giới thiệu định nghĩa hàm số lượng giác của góc

bất kỳ dựa vào
toạ độ của điểm nằm trên tia cuối của góc với công cụ chủ yếu là mặt phẳng tọa độ
và công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác. Cách xây dựng định nghĩa
này thể hiện cụ thể qua việc mô tả "máy cosin" với đối số là góc có đơn vị đo như
sau:

"Máy cosin" [41, tr.355]
* Ứng dụng để tìm dạng lượng giác của số phức:
Các tác giả Franklin Demana, Bert K. Waits và Stanley R. Clemens trong
[39] đã giới thiệu
6
:






"Dạng chung để biểu diễn các số phức liên quan đến các hàm số lượng giác
của góc sin

, cos

. Để xây dựng dạng lượng giác của số phức, chúng ta
sẽ sử dụng cách biểu diễn hình học của số phức.
Số phức a + bi tương ứng với điểm P(a, b) trong mặt phẳng phức.

6
Các trích dẫn do chúng tôi dịch từ bản tiếng Anh.
a
R




TXĐ

(Góc)
1. Tìm tọa độ của điểm trên tia cuối
của góc

. Tìm bán kính R
b a


b a
R P(a,b)
2.
cos
a
R



TGT
(Số thực)

(độ hay radian)
cos
a
R


P(a,b)
a + bi
b
r


a
x

Số phức a + bi xác định một tam giác vuông
Trên hình, chúng ta thấy tam giác vuông được xác định bởi z = a + bi, độ
dài ba cạnh của tam giác là a, b, r, với
22
,cos ,sin
ab
rab
rr


.
Do đó: chúng ta có thể viết a + bi = r(cos

+ i sin

)".
[39, tr.445- 446]

* Một tình huống ứng dụng trong ngành kỹ thuật:
"Hình minh họa một piston được nối với một bánh xe
quay 3 vòng/giây. Từ đây, góc

sẽ là 3(2

) =
6


/giây hay

= 6

t, với t là thời gian tính bằng
giây. Giả sử P ở (1, 0) khi t = 0, chứng minh rằng:
y = b +
22 2
4sin616(cos6),0at tt


 
và tìm vị trí của piston khi t = 0,2 s".

[41, tr.354]

 Nhận xét
- Thuật ngữ "hàm lượng giác" được sử dụng chung để chỉ các hàm sin, cos,
tan, cot, csc, mà không có sự phân biệt rạch ròi giữa khái niệm hàm số lượng
giác và giá trị lượng giác của góc bất kỳ như ngày nay.
- Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” đã vận hành khi xây dựng hàm
số lượng giác của góc
7
. Đánh dấu cho sự vận hành này là sự xuất hiện của đường
tròn định hướng gắn với hệ trục tọa độ.
Song song đó, người ta luôn tìm một "tam giác tham chiếu" hay "góc tham
chiếu" trong đường tròn định hướng; thao tác trên tọa độ (a, b) của điểm nằm trên
đường tròn định hướng và tia cuối của góc khi định nghĩa hàm số lượng giác của
góc.

7
Trong các giáo trình đại học mà chúng tôi tham khảo, khái niệm hàm số lượng giác của góc trùng với
khái niệm giá trị lượng giác của góc bất kỳ trong các SGK môn Toán dạy ở trường phổ thông tại Việt
Nam.

(1, 0) x
y
y
P(a, b)
4
- Vấn đề giải quyết các tình huống trong ngành kỹ thuật đã làm xuất hiện
những biến không phải là các góc có đơn vị đo độ và radian. Chính vì thế, tác giả
dẫn chúng ta đến một cách tiếp cận mới với hàm số lượng giác - không dựa vào
các góc có đơn vị đo. Đó là việc xây dựng định nghĩa hàm số lượng giác - dựa vào
các số thực với công cụ đường tròn lượng gi
ác - đường tròn định hướng bán
kính đơn vị.
Chúng tôi nhận thấy tác giả giáo trình giới thiệu định nghĩa hàm số lượng
giác của số thực bằng hai cách:
* Cách 1:




b

x
R









"Máy sin"
* Cách 2:
sinx = b =
1
b
= sin(x rad) ;
cosx = a =
1
a
= cos(x rad)


[41, tr.355-372]
- Chúng tôi chỉ minh họa hai hàm số lượng giác sin và cosin. Cách thứ nhất
đã ngầm ẩn sử dụng đường tròn định hướng có bán kính tùy ý, cách thứ hai dùng
đường tròn lượng giác.
- Điểm giống nhau của hai cách là cùng dựa vào hàm số lượng giác của góc
có đơn vị đo radian và tọa độ của điểm nằm trên tia cuối của góc, cùng thuộc
phạm vi đại số. Việc giải thích cho hai cách trên lại dựa trên phạm v

i hình học.
Thật vậy:
b
x
O
(1, 0) a
(-1, 0)
P (cosx, sinx)
(0, 1)
(0, -1)
a b


x
TGT
(Số thực)
x (số thực)
TXĐ
(Số thực)
1. Liên hệ số thực x với góc x
radian
2. Tìm tọa độ của điểm trên tia
cuối của góc
x. Tìm bán kính R
b

P(a,b)
a
x

a
3. sin
x = sin (x rad) =
b
R

sin
b
x
R


Từ hệ thức trong hình học phẳng s =

r, nếu r = 1 thì s =

. Trong trường
hợp này s và

được biểu thị bằng cùng một số thực. Tương ứng tự nhiên giữa góc
và cung cũng cho phép sử dụng số đo cung làm số đo góc chắn cung.
- Mặt khác, công nghệ giải thích cho kỹ thuật trên còn là tri thức về mặt
phẳng tọa độ và khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ.
- Đặc trưng của lượng giác trong hàm số là nó luôn đồng hành với công cụ
đư
ờng tròn lượng giác, nhất là khi xây dựng định nghĩa hàm số lượng giác
của số
thực và các tính chất của hàm số này. Chính điều đó mà thuật ngữ "hàm số vòng"
còn được dùng thay thế cho hàm số lượng giác của số thực.
1.2.2. Các giáo trình đại học khác

Chúng tôi sẽ tổng hợp các giáo trình đại học đã tham khảo để tìm hiểu cụ
thể cách định nghĩa “hàm lượng giác”.
 Định nghĩa bằng tam giác vuông
Hàm Định nghĩa Biểu thức
Sin
Tỉ số cạnh đối và cạnh huyền

Cos
Tỉ số cạnh kề và cạnh huyền

Tan
Tỉ số cạnh đối và cạnh kề

Cot
Tỉ số cạnh kề và cạnh đối

Sec
Tỉ số cạnh huyền và cạnh kề

 Định nghĩa bằng đường tròn đơn vị
Định nghĩa dùng đường tròn đơn vị thật ra cũng dựa vào tam giác vuông,
nhưng chúng có thể định nghĩa cho mọi góc là số thực, không chỉ giới hạn giữa 0
và
2

.
Hàm Định nghĩa
sin(θ)
y
cos(θ)

x
tan(θ) y/x
cot(θ) x/y
 Dùng đại số













Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt.
Với góc θ là góc giữa đường thẳng nối gốc tọa độ và điểm (x; y) trên vòng
tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ Oxy, các hàm lượng giác có thể được
định nghĩa là: Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên
hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay 360
0
: sin

= sin(

+ 2

k); cos


=
cos(

+ 2

k). Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên bất kỳ. Tan
và cot tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180
0
.
 Dùng hình học








Hàm Định nghĩa Chú thích
sin(θ)
AC
Định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người Ấn Độ
cos(θ)
OC

tan(θ)
AE
Đường tiếp tuyến với đường tròn tại
A, ý nghĩa này đã mang lại

cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "tiếp
tuyến"
cot(θ)
AF

sec(θ) 1/x
csc(θ) 1/y

Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng
lên bằng phương pháp hình học trên một
vòng tròn đơn vị có tâm ở O. Hình vẽ cho
thấy định nghĩa các hàm lượng giác cho
góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O
bằng hình học, với θ là nửa cung AB:
sec(θ)
OE
Đường cắt vòng tròn, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên
"secant" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "đường cắt vòng
tròn"
csc(θ)
OF

versin(θ)
CD
versin(θ) = 1 − cos(θ)
exsec(θ)
DE
exsec(θ) = sec(θ) − 1
Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện trên vòng tròn đơn vị và các
tính chất của các hàm lượng giác có thể được chứng minh bằng hình học.

 Định nghĩa bằng chuỗi



Hàm sin được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7
Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi cho mọi góc x
đo bằng giá trị radian thực. Từ hai hàm này, có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng
giác còn lại. Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng
giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa hàm lượng giác.
Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng như chuỗi Fourier, vì lý thuyết của
chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình
học. Các tính chất như khả vi hay liên tục có
thể được chứng minh chỉ từ định
nghĩa bằng chuỗi.
Trong bảng bên dưới, quy ước: E
n
là số Euler thứ n , U
n
là số lên/xuống thứ n.
Hàm Định nghĩa Cụ thể
Sin(x)
21
0
(1)
(2 1)!
nn
n
x
n









Cos(x)


Tan(x)


Cot(x)


Sec(x)


Csc(x)


 Trên trường số phức
Từ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là phần
ảo và phần thực của hàm mũ của số ảo:
, với i là đơn vị ảo, i =
1 .
Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là
công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu vẽ đường tròn đơn vị trên mặt phẳng
phức, gồm các điểm z = e

ix
thì các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên
rõ ràng. Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn.
Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:


Trong trường hợp đặc biệt,
z = x, một số thực: ;
 Định nghĩa bằng phương trình vi phân
Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân: y'' = - y. Các hàm này
là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng.
Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình
vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn
cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này lại
độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V.
Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler.
Phương trình vi phân không chỉ có thể đư
ợc dùng để định nghĩa sin và cos mà còn
có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này.
Như vậy, xét về lý thuyết trong giáo trình ở bậc đại học, có nhiều cách tiếp
cận với hàm lượng giác thuộc các phạm vi đại số, hình học và giải tích. Tri thức
lượng giác được trình bày theo trình tự:






Lượng giác “trong tam giác” Lượng giác “trong đường tròn” Lượng giác “trong hàm số”
Phạm vi hình học Phạm vi đại số

Bước chuyển từ giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số trong giáo trình
đại học có những đặc trưng gì?
Trong khi tiếp cận với lượng giác trong hàm số, tác giả giáo trình đại học này
cũng như hầu hết các giáo trình khác không thể không nhờ đến sự hỗ trợ của
lượng giác trong đường tròn.
Đâu là mâu thuẫn thúc đẩy sự phát triển của lượng giác trong hàm
số? Có hay
không mâu thuẫn giữa "cái cũ" (hàm số lượng giác có đối số là góc có đơn vị đo)
và "cái mới" (hàm số lượng giác có đối số là số thực)?
Việc làm rõ các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác hiện diện trong
giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số ở các giáo trình đại học sẽ cho phép
chúng tôi phân tích sâu sắc hơn tính kế thừa và gián đoạn trong bước chuyển tr
ên.
Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ làm rõ chức năng của các bài toán lượng giác trong
giai đoạn đường tròn đối với giai đoạn hàm số.
Qua việc tổng hợp các giáo trình ở bậc đại học, chúng tôi thấy tồn tại các
TCTH liên quan đến "hai lượng giác" được ưu tiên sau đây:
1.2.3. Các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong đường tròn”
Các kiểu nhiệm vụ T*, kỹ thuật τ*, công nghệ θ* tương ứng như sau:

T*
1
: Chuyển đổi giữa radian và độ, có 2 kỹ thuật giải quyết:
τ*
11
: Áp dụng công thức π = 180
0
.

θ*

11
: Công thức tìm số đo cung tròn
s
r


và độ dài đường tròn s = 2

r.
τ*
12
: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng tính Brađixơ.

T*
2
: Tìm góc

, có 2 kiểu nhiệm vụ con và kỹ thuật tương ứng như sau:
♦ T*
21
: Tìm góc

khi biết nó có cùng tia cuối với góc cho trước,
τ*
21
: Cộng thêm hoặc trừ đi k2π vào góc đã cho (k


).

θ*
21
: Tính chất của góc lượng giác: "Nếu

là số đo của một góc, có một số
nguyên k và

' sao cho

=

' + k2π".
Ví dụ: Tìm góc

tương ứng với
16
3

biết 0 ≤

< 2π . [38, tr. 343]
♦ T*
22
: Tìm góc

khi biết một giá trị của hàm số lượng giác của góc đó,
τ*
22
: Dùng máy tính bỏ túi hay bảng Brađixơ.


T
*
3
: Tìm độ dài cung tròn biết bán kính và góc chắn cung đó
τ*
3
: Đổi số đo góc từ độ sang radian, áp dụng công thức s =

r.

θ*
3
= θ*
11
.

T
*
4
: Tính diện tích A của hình quạt tròn biết bán kính và góc giữa
τ*
4
: Đổi số đo góc từ độ sang radian, rồi áp dụng công thức A=
1
2
r
2

.
θ*

4
= θ*
11
.

T
*
5
: Tìm vận tốc góc của vòng tròn hay vận tốc dài của 1 điểm di chuyển trên
đường tròn khi biết bán kính và số vòng quay
τ*
5
: Áp dụng công thức ω = 2πn với n là số vòng quay và v = ωr.

θ*
5
= θ*
11
.
Ví dụ: Một bánh xe bán kính 18 đang quay khoảng 850 vòng/phút.
Xác định: Vận tốc góc của bánh xe và vận tốc dài của 1 điểm trên
đường tròn bánh xe. [39, tr.164]

T
*
6
: Tìm các giá trị của hàm số lượng giác của góc

, có 3 kiểu nhiệm vụ
con sau:

♦ T*
61
: Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc

khi biết tọa độ (x, y) của
điểm trên tia cuối,
τ*
61
: - Áp dụng công thức trong định nghĩa tính r =
22
x
y

,
- Thay vào sin

=
y
r
, cos

=
x
r
, tan

=
y
x
, cot


=
x
y
,
θ*
61
: Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ và định lý Pitago:
"Bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc
vuông".
♦ T*
62
: Tìm các giá trị của hàm số lượng giác khác của góc

khi biết một hoặc
hai giá trị của hàm số lượng giác của góc đó,
τ*
62a
: - Áp dụng các công thức cơ bản, hệ thức lượng giác,
- Xét dấu các giá trị lượng giác của góc

.
τ*
62b
: Sử dụng đường tròn lượng giác.
θ*
62
= θ*
61
: Định lý Pitago và định nghĩa góc lượng giác.

Ví dụ: Cho sin

=
1
4

. Tìm các giá trị lượng giác khác của góc

biết
tan

> 0. [36, tr. 352]
♦ T*
63
: Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc

khi biết số đo của góc

,
τ*
63a
: - Vẽ tia cuối của góc đó trên hệ trục tọa độ,
- Tìm góc tham chiếu là góc nhọn rồi áp dụng vào công thức trong định
nghĩa hàm số lượng giác của góc.
θ*
63a
: Định nghĩa góc lượng giác và tỉ số lượng giác trong tam giác.


τ*

63b
: Dùng bảng Brađixơ hoặc máy tính bỏ túi.


T
*
7
: Xác định dấu của các hàm số lượng giác của góc
8

τ*
71
: - Biểu diễn góc lượng giác,
- Tính giá trị của hàm số lượng giác của góc, tìm dấu của hàm số lượng
giác.
τ*
72
: - Áp dụng các hệ thức liên hệ để tìm giá trị hàm số lượng giác của góc.
- Suy ra dấu của hàm số lượng giác.


θ*
7
: Định nghĩa hàm số lượng giác của góc và tính chất của góc lượng giác.

 Nhận xét
- Kiểu nhiệm vụ T*
6
: "Tìm các giá trị của hàm số lượng giác của góc


"
được ưu tiên trong các giáo trình ở bậc đại học mà chúng tôi chọn tham khảo trong
mục này.
- Kiểu nhiệm vụ T*
22
: "Tìm góc

khi biết một giá trị của hàm số lượng
giác của góc đó" với số lượng bài tập rất hiếm, thường được giới hạn miền xác
định của góc là từ
00
0 360

 nên

tìm được chỉ có một hoặc hai giá trị.
- Các kỹ thuật thiên về dùng công thức lượng giác cơ bản và bảng lượng giác
được ưu tiên trong việc tính toán bằng đơn vị đo radian.
- Đặc trưng trong việc giải thích cho các kỹ thuật là dựa vào quan điểm hình
học.
1.2.4. Các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số”

T
*
8
: Khảo sát các hàm số lượng giác
9
, có 7 kiểu nhiệm vụ con như sau:
♦ T*
81

: Tìm miền xác định của hàm số lượng giác, với 2 kỹ thuật:
τ*
81a
: "Phương pháp đại số".
τ*
81b
: Dùng đường tròn đơn vị hay đồ thị suy ra tập xác định.

θ*
81b
= θ*
7
+ Định nghĩa hàm số lượng giác.

8
Như đã ghi chú ở trên, trong giáo trình đại học, hàm số lượng giác của góc trùng với giá trị lượng giác của
góc bất kỳ
9
Hàm số lượng giác có biến số thực
♦ T*
82
: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số lượng giác,
τ*
82a
: "Phương pháp đại số": Biến đổi đại số đưa về dạng f(x + T) = f(x).
τ*
82b
: Áp dụng "phương pháp đồ thị".

θ*
82
: Định nghĩa hàm số tuần hoàn.
♦ T*
83
: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác,
τ*
83
: - Tìm tập xác định (TXĐ), với x

TXĐ, xét -x

TXĐ?
- Xét f(-x) = f(x): hàm số chẵn, f(-x) = -f(x): hàm số lẻ.
θ*
83
: Tính chất chẵn - lẻ của hàm số.
♦ T*
84
: Tìm giá trị của hàm số lượng giác, với 5 kỹ thuật:
τ*
84a
: Áp dụng tri thức về số đo độ.

θ*
84a
: Định nghĩa số đo radian.
Ví dụ: Tìm sin 9π
Giải: Ta có sin 9π = sin(9.180
0

) = sin1620
0
. Tia cuối của vòng quay 1620
0

hay 9π nằm trên tia x ở phần âm. Do đó: sin 9π = 0.

[40, tr.407]
τ*
84b
: Sử dụng máy tính.
τ*
84c
: Sử dụng đường tròn đơn vị.
θ*
84c
=

θ*
81b.

Ví dụ: Cho f(t) = sin t và g(t) = cos t. Sử dụng đường tròn đơn vị để tìm giá
trị của các hàm số f và g với t =
5
6

. [39, tr.343]
τ*
84d
: Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác. [39, tr.345]

τ*
84e
: Dùng công thức số gia của hàm số khả vi: f(x
0
+ ∆x)  f(x
0
) + f'(x
0
)∆x.
θ*
84e
: Định nghĩa đạo hàm của hàm số.

♦ T*
85
: Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác,
Về vấn đề khảo sát sự biến thiên của một hàm số, Ngô Thúc Lanh đã nêu:
"Khảo sát sự biến thiên của một hàm số là phân chia miền xác định của nó
thành những khoảng trong đó hàm số là đơn điệu và nêu rõ chiều biến thiên
của hàm số trong các khoảng ấy".
[21, tr.94]
Chúng tôi thấy có hai kỹ thuật để giải quyết:
τ*
85a
: Dùng "phương pháp đại số" (Đặt ẩn phụ, tìm TXĐ, lập bảng giá trị, )
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = cosx -
1
cos
x
. [21, tr. 96]

τ*
85b
: Dựa vào đường tròn lượng giác (Tìm TXĐ, xét tính tuần hoàn và tìm chu
kỳ, tính chẵn- lẻ, xét sự biến thiên)
θ*
85
: Định nghĩa hàm số lượng giác và các tính chất của hàm số lượng giác.
♦ T*
86
: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác,
τ*
86
: - Biến đổi đưa về dạng chứa một hàm số lượng giác,
- Dùng tính chất tập giá trị của hàm số lượng giác suy ra.
θ*
86
= θ*
81b
.

T
*
9
: Vẽ đồ thị của hàm số lượng giác
τ*
91
: - Dùng "phương pháp vẽ từng điểm",
- Xét tính biến thiên của hàm số, dựa vào đường tròn lượng giác và vẽ đồ
thị.

τ*
92
: Dùng máy tính với chương trình vẽ đồ thị.
θ*
9
= θ*
82
.


T
*
10
: Giải các phương trình lượng giác, có 3 kỹ thuật tương ứng:
τ*
10a
: Dùng "phương pháp đồ thị":
- Vẽ đồ thị của hàm số lựơng giác và y = a trên cùng hệ trục toạ độ,
- Xét vị trí tương đối giữa hai đồ thị rồi kết luận tập nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình sinx = 0,8.
[39, tr.242]
τ*
10b
: Dùng máy tính bỏ túi.
τ*
10c
: Dùng "phương pháp đại số" và áp dụng các hệ thức lượng giác.
θ*
10
= θ*

7
+ θ*
85
+ θ*
82
.
Ví dụ: Giải phương trình 2sin
2
x - sinx - 1 = 0 với 0
0
≤ x < 360
0
.

[42, tr. 454]


 Nhận xét
- Kiểu nhiệm vụ "Khảo sát hàm số lượng giác" và "Giải phương trình lượng
giác" được ưu tiên. Công cụ đường tròn lượng giác luôn song hành cùng các kỹ
thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trên. Một đặc trưng của kỹ thuật là được giải
thích dựa vào quan điểm đại số.
- Kiểu nhiệm vụ T*
84
: "Tìm giá trị của hàm số lượng giác của số thực" đồng
nhất với kiểu nhiệm vụ T*
63
: "Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc

khi

biết số đo của góc

" trong TCTH liên quan đến lượng giác trong đường tròn.
- Đối với kiểu nhiệm vụ T
*
10
: "Giải các phương trình lượng giác", kỹ thuật
giải quyết dùng đồ thị được ưu tiên. Tuy nhiên, chúng tôi thấy xuất hiện rất nhiều
trường hợp "Giải phương trình lượng giác" nhưng tập xác định là các góc có đơn
vị đo.
Phải chăng đây là mâu thuẫn giữa hai khái niệm hàm số lượng giác của góc
có đơn vị đi kèm và hàm số lượng giác của số thực trong việc xây dựng TCTH gắn
liền với kiểu nhiệm vụ T
*
10
:"Giải các phương trình lượng giác"?
- Việc xây dựng các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số”
không chỉ dựa vào các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong đường tròn”
(công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi
hình học) mà còn dựa vào các tri thức liên quan đến hàm số trong đại số (công
nghệ giải thích cho kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi đại số).




1.2.
5. Đặc trưng của bước chuyển từ TCTH liên quan đến tri thức lượng giác
“trong đường tròn” sang TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong
hàm số”

- Kiểu nhiệm vụ T*
84
: "Tìm giá trị của hàm số lượng giác biến số thực"
được giải quyết thông qua kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T*
63
: "Tìm giá trị
của hàm số lượng giác của góc

khi biết số đo của góc

".
- Khi xây dựng TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ T*
81
: "Tìm miền xác định
của hàm số lượng giác"

và T
*
10
: "Giải phương trình lượng giác", công nghệ giải
thích cho các kỹ thuật là định nghĩa hàm số lượng giác của góc - tri thức lượng
giác ở giai đoạn đường tròn.
- Bản chất của các bài toán lượng giác ở giai đoạn đường tròn là tính toán các
giá trị cụ thể; đặc trưng tương ứng của hàm số lượng giác còn ngầm ẩn.
Sang giai đoạn hàm số, việc tính toán các giá trị cụ thể chỉ đóng vai trò là kỹ
thuật khi xét kiểu nhiệm vụ phức tạp hơn, tổng quát hơn - qua
n tâm đến đặc trưng
tương ứng, biến thiên và phụ thuộc của khái niệm hàm số lượng giác biến số thực.
Từ đó, các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ ở giai đoạn hàm số cũng phức
tạp, chủ yếu được giải thích dựa vào tính chất tuần hoàn của hàm số lượng gi

ác.
- Công nghệ giải thích cho các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ ở giai
đoạn đường tròn chủ yếu thuộc phạm vi hình học. Sang giai đoạn hàm số, công
nghệ chủ yếu thuộc phạm vi đại số.
- Tồn tại mâu thuẫn giữa hai khái niệm hàm số lượng giác của góc có đơn vị
đo và của biến số thực.

1.3. Kết luận chương 1

Bằng sự tổng hợp các TCTH được ưu tiên trong các quyển sách trên cho phép
chúng tôi nêu lên các TCTH tham chiếu OM
C
và OM
f
liên quan đến các tri thức
lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” qua bảng tóm tắt sau:





Bảng 1.1: Bảng tóm tắt các TCTH tham chiếu liên quan đến các tri thức
lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”

TCTH OM
C
OM
f

T

T
*
1
Chuyển
đổi giữa
radian và
độ
T
*
2
Tìm
góc


T
*
3

Tìm
độ
dài
cung
tròn
T
*
6

Tìm các giá
trị của hàm
số lượng

giác của
góc


T
*
7

Xác định
dấu của các
hàm số
lượng giác
của góc
T
*
8

Khảo sát
các hàm số
lượng giác
T
*
9

Vẽ đồ
thị của
hàm số
lượng
giác
T

*
10

Giải
phương
trình
lượng
giác
τ
τ*
11
τ*
12


τ*
21
τ*
22

τ*
3


τ*
61
τ*
62a
τ*
62b

τ*
63a

τ*
63b
τ*
71
τ*
72


τ*
81a
τ*
81b
τ*
82a
τ*
82b

τ*
83
τ*
84a

τ*
84b
τ*
84c
τ*

84d
τ*
84e
τ*
85a
τ*
85b

τ*
86

τ*
91
τ*
92

τ*
93


τ*
10a
τ*
10b

τ*
10c


Θ

θ*
11
θ*
21

θ*
3
=
θ*
11


θ*
61
θ*
63a


θ*
7

θ*
7
θ*
82

θ*
83

θ*
85
θ*
9
=
θ*
82


θ*
10
= θ*
7
+ θ*
85
+ θ*
82



Phân tích sơ lược lịch sử lượng giác và các giáo trình ở bậc đại học đã cho
thấy trình tự xuất hiện của "hai lượng giác"
10
: từ lượng giác “trong đường tròn”
đến lượng giác “trong hàm số”.
Chúng tôi nhận thấy: Khi chuyển từ TCTH liên quan đến các tri thức lượng
giác trong giai đoạn đường tròn sang các tri thức lượng giác trong giai đoạn hàm
số, người ta đã xem các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường
tròn” có vai trò kết nối rất quan trọng.
Song song với điều đó, việc đưa vào các tri thức lượng giác “trong hàm số”

luôn dựa vào quan điểm đại số. Các kiểu nhiệm vụ, kỹ th
uật giải quyết tương tự
như hàm số bậc nhất, bậc hai trong đại số; xét biến số là các số thực (không có đơn
vị đo) trong khi ẩn của các phương trình lượng giác là số đo góc (cung) có đơn vị
đo.
Liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”,
khi chuyển từ tri thức ở bậc đại học sang tri thức cần giảng dạy, noosphère đã thực
hiện sự chuyển đổi như thế nào? Sự kế thừa và
gián đoạn của bước chuyển từ
TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn sang các tri
thức lượng giác ở giai đoạn hàm số có sự chuyển đổi ra sao? GV và HS ứng xử
như thế nào khi trải qua bước chuyển này?
Việc phân tích các TCTH cần giảng dạy ở chương
2 trên cơ sở TCTH tham
chiếu đã xây dựng sẽ cho phép trả lời các câu hỏi trên và các câu hỏi đã đặt ra
trong phần mở đầu.










10
Các tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác