TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐỘNG LỰC PHỨC CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC

Header Page 1 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Thị Thái

TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐỘNG LỰC PHỨC
CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014
6

Footer Page 1 of 185.


Header Page 2 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Thị Thái

TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐỘNG LỰC PHỨC
CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC

Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014
7

Footer Page 2 of 185.


Header Page 3 of 185.

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn
Đông về sự hướng dẫn tận tình của thầy. Trong suốt quá trình nghiên cứu,
thầy đã kiên nhẫn chỉ bảo, trợ giúp và động viên em rất nhiều. Sự hiểu biết
sâu sắc về khoa học cũng như kinh nghiệm của thầy chính là tiền đề giúp em
đạt được những thành tựu và kinh nghiệm quý báu.
Xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô thuộc khoa Toán – Tin trường Đại
học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức cho em trong suốt thời
gian học tập tại trường.
Và cuối cùng, lời thân thương nhất xin gửi đến gia đình, nơi đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận văn này.

Footer Page 3 of 185.

Header Page 4 of 185.

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các hình vẽ
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................... 3
1.1. Ánh xạ giải tích và ánh xạ bảo giác ........................................................ 3
1.2. Ánh xạ tựa bảo giác ................................................................................ 5
1.3. Phép lặp ................................................................................................... 8
1.4. Tập Fatou và tập Julia ............................................................................. 9
1.5. Không gian phủ và phép nâng .............................................................. 10
1.5.1. Không gian phủ ............................................................................... 10
1.5.2. Vài tính chất của phủ ...................................................................... 11
1.5.3. Nhóm cơ bản ................................................................................... 11
1.5.4. Phép nâng ........................................................................................ 13
1.6. Đa tạp và cấu trúc hầu phức .................................................................. 14
1.6.1. Đa tạp .............................................................................................. 14
1.6.2. Cấu trúc hầu phức ........................................................................... 16
1.7. Mặt Riemann ......................................................................................... 16
1.7.1. Khái niệm và phân loại mặt Riemann............................................. 16
1.7.2. Mêtric Riemann và mêtric Poincare (mêtric Hyperbolic) .............. 17
1.8. Định lý ánh xạ đo được Riemann (định lý Ahlfors – Bers).................. 18
1.9. Ánh xạ mở rộng – Hàm hyperbolic ...................................................... 22
Chương 2. ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC......................................................... 24
2.1. Định nghĩa và ví dụ về ánh xạ tựa đa thức ........................................... 24
2.2. Tập Julia đầy của ánh xạ tựa đa thức và các loại tương đương giữa các

Footer Page 4 of 185.


Header Page 5 of 185.

ánh xạ ........................................................................................................... 27
2.3. Định lý Straightenning .......................................................................... 30
2.3.1. Giới thiệu định lý ............................................................................ 30
2.3.2. Chứng minh định lý ........................................................................ 34
Chương 3. KHÔNG GIAN THAM SỐ CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA
THỨC ............................................................................................................. 45
3.1. Họ giải tích các ánh xạ tựa đa thức ....................................................... 46
3.1.1. Định nghĩa....................................................................................... 46
3.1.2. Ánh xạ nhúng tubing....................................................................... 47
3.1.3. Phân hoạch Mane-Sad-Sullivan (M.S.S) thứ nhất .......................... 47
3.1.4. Phát biểu và chứng minh các định lý chính .................................... 48
3.2. Họ một tham số các ánh xạ bậc hai ...................................................... 56
3.2.1. Ánh xạ chỉnh hình tôpô................................................................... 56
3.2.2. Tính chỉnh hình tôpô của c ........................................................... 59
3.2.3. Trường hợp M  compact trong định lý 4 ...................................... 60
3.2.4. Một số kết quả khác về mối liên hệ giữa M  và M ....................... 63
KẾT LUẬN .................................................................................................... 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 70

Footer Page 5 of 185.


Header Page 6 of 185.

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.1.

Ba phần tử (U , U ¢, f ) tạo thành ánh xạ tựa đa thức ................. 24

Hình 2.2.

Hạn chế của ánh xạ bậc 3 thành ánh xạ tựa đa thức bậc 2 ......... 25

Hình 2.3.

Hạn chế của f ( z ) = p cos z (bên trái) và Qc3o ( z ) (bên phải) tạo
thành ánh xạ tựa đa thức bậc 2 ................................................... 26

Hình 2.4.

Tập Julia đầy của Q0 ( z ) = z 2 có màu trắng (bên trái); Tập Julia
đầy của P- 0.6 ( z ) có màu trắng (bên phải) ................................... 31

Hình 2.5.

Tập Julia đầy R- 0.75 có màu trắng (bên phải); Tập Julia đầy
Q- 1 ( z ) = z 2 - 1 có màu trắng (bên trái) ...................................... 32

Hình 2.6.

Thành phần liên thông lớn nhất trong U¢ tương ứng với tập Julia
đầy của f ( z ) = p cos z hạn chế lên U¢....................................... 32

Hình 2.7.

Tập Julia đầy của Qc0 , với c0 . - 1.76 + 0.01i ........................... 33

Hình 2.8.

Trái: Hình thỏ Douady hay tập Julia đầy của

Qc1 ( z ) = z 2 - c1

có

màu trắng, với c1 = - 0.122 + 0.745i Phải: Ảnh phóng to của tập
Julia đầy của Qc0 quanh điểm tới hạn. Bản sao của tập thỏ
Douady là tập Julia đầy của ánh xạ tựa đa thức ứng với Qc30 ..... 33
Hình 3.1.

Tập Mandelbrot........................................................................... 45

Hình 3.2.

Minh họa cho hệ quả 3.5............................................................. 61

Hình 3.3.

Bản sao của tập Mandelbrot trong mặt phẳng tham số của
f   z   cosz ............................................................................ 63

Footer Page 6 of 185.

Header Page 7 of 185.

1

MỞ ĐẦU
Tập Mandelbrot là tập các số phức c sao cho dãy { Qcn (0)} n³ 0 bị chặn, với
Qc = z 2 + c . Tập này có quan hệ mật thiết với tập Julia và được đặt tên theo

nhà toán học Benoit Mandelbrot. Tập Mandelbrot, sau đó đã được nghiên cứu
bởi nhiều nhà toán học và hình ảnh của nó có sức hấp dẫn không chỉ trong
lĩnh vực toán học mà còn trong lĩnh vực nghệ thuật. Được mệnh danh là “dấu
vân tay của Chúa”, tập hợp này trở thành một ví dụ tiêu biểu cho cấu trúc
phức tạo nên từ những quy tắc đơn giản và nó là một trong những hình fractal
nổi tiếng nhất.
Việc nghiên cứu địa phương các ánh xạ chỉnh hình lặp trong lân cận
của điểm bất động được phát triển mạnh vào cuối thế kỷ 19. Lĩnh vực này sau
đó được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới như Pierre Fatou,
Gaston Julia, S. Lattes, J.F Ritt, … Việc nghiên cứu các phép lặp của hàm đa
thức đóng vai trò quan trọng trong việc tìm hiểu phép lặp các hàm phức tổng
quát. Khởi đầu với nghiên cứu của Sullivan, tính khả tích của cấu trúc phức
đo được đã mang đến rất nhiều ứng dụng cho động lực phức. Chúng ta có thể
gặp những bản sao của tập Mandelbrot trong nhiều hệ động lực giải tích phức.
Một trong những kết quả giải thích cho tính phổ dụng của tập Mandelbrot là
lý thuyết ánh xạ tựa đa thức và họ tựa Mandelbrot của Douady và Hubbard.
Lý thuyết này chỉ ra rằng sự hiểu biết về đa thức không chỉ hấp dẫn mà còn
giúp ta hiểu biết lớp rộng hơn nhiều các hàm mà về địa phương tương đương
với đa thức.
Luận văn “Tìm hiểu bước đầu về động lực phức của các ánh xạ tựa đa
thức” nêu ra một số kết quả liên quan đến ánh xạ tựa đa thức như tập Julia và
tập Fatou của các ánh xạ tựa đa thức, mối liên hệ của ánh xạ tựa đa thức với

đa thức, đặc trưng của họ tựa Mandelbrot và các bản sao đồng phôi của tập

Footer Page 7 of 185.


Header Page 8 of 185.

2

Mandelbrot. Công cụ nghiên cứu động lực phức cổ điển được sử dụng bởi
Fatou và Julia là mêtric Poincare, bổ đề Schwarz và định lý Montel cho họ
chuẩn tắc. Định lý đơn trị hóa và định lý Caratheodory là công cụ chính để
nghiên cứu tôpô của tập Julia và tập Fatou. Ngoài ra việc nghiên cứu còn sử
dụng phép biến hình tựa bảo giác, phương trình Beltrami và định lý Ahlfors –
Bers.
Cụ thể, luận văn gồm các phần sau đây:
- Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại một số khái
niệm và định lý của hệ động lực phức, không gian phủ và ánh xạ tựa bảo giác.
- Chương 2: Ánh xạ tựa đa thức. Chương này trình bày về khái niệm ánh xạ
tựa đa thức và một số ví dụ minh họa. Ngoài ra, chương này còn giới thiệu tập
Julia và tập Fatou của ánh xạ tựa đa thức và mối quan hệ tương đương, liên
hợp giữa các ánh xạ. Trọng tâm của chương là định lý Straightening, nói về
mối liên hệ giữa ánh xạ tựa đa thức và các đa thức thực sự.
- Chương 3: Không gian tham số của họ các ánh xạ tựa đa thức. Chương này
trình bày một số kiến thức về họ giải tích các ánh xạ tựa đa thức bậc d ³ 2 .
Nội dung chính của chương mô tả sự phụ thuộc liên tục, phụ thuộc giải tích
của họ ánh xạ tựa đa thức vào không gian tham số. Chương này cũng nêu ra
khái niệm họ tựa Mandelbrot và tính chất của nó.
Phần cuối của luận văn tổng kết lại các kết quả chính đã thu được về ánh
xạ tựa đa thức và danh mục các tài liệu tham khảo.

Footer Page 8 of 185.


Header Page 9 of 185.

3

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Ánh xạ giải tích và ánh xạ bảo giác
Định nghĩa 1.1.1: Một hàm f được gọi là giải tích thực trên một tập mở

D Ì  nếu với mọi xo Î D ta có thể viết
¥

f ( x) =

å

an ( x - xo ) n

n= 0

trong đó an Î  và chuỗi hội tụ về f ( x) với x thuộc một lân cận của xo .
Định nghĩa hàm giải tích phức (chỉnh hình) được phát biểu tương tự
bằng cách thay thế từ “thực” bằng “phức” và “  ” bởi “  ”. Tập hợp các
hàm chỉnh hình trên D được ký hiệu là O( D) .
Định nghĩa 1.1.2: Cho M là một đa tạp phức. Một tập con A Ì M được
gọi là tập giải tích (phức) của M nếu A là tập đóng và với mọi x0 Î A tồn tại

một lân cận U của x0 và các hàm chỉnh hình g1 ,..., g n thuộc O(U ) sao cho
A Ç U = { z Î U : g1 ( z ) = ... = g N ( z ) = 0}

Như vậy một tập giải tích (phức) được định nghĩa một cách địa phương
là tập các không điểm chung của hữu hạn hàm chỉnh hình.
Định lý 1.1.3
Cho D là tập mở khác rỗng trong  . Một hàm khả vi thực f : D ¾¾® 
là hàm chỉnh hình trong D nếu và chỉ nếu
hợp này,

¶f
(c) = 0 , " c Î D . Trong trường
¶z

¶f
trùng với f ¢ của f trong D .
¶z

Định lý 1.1.4 (Nguyên lý phản xạ Schwarz)
Giả sử F là một hàm liên tục trên nửa mặt phẳng trên đóng

Footer Page 9 of 185.


Header Page 10 of 185.

4

{ z Î { : Im z ³ 0} , chỉnh hình trên nửa mặt phẳng trên { z Î { : Im z > 0} ,
nhận giá trị thực trên trục thực. Khi đó công thức mở rộng F ( z ) = F ( z ) cho

một thác triển giải tích trên toàn mặt phẳng phức.
Lưu ý, nguyên lý này có thể áp dụng với các đĩa đơn vị vì tồn tại đẳng
cấu chỉnh hình giữa nửa mặt phẳng trên với đĩa đơn vị.
Định nghĩa 1.1.5: Cho G là một miền trong  . Hàm số f : G ¾¾® 
được gọi là ánh xạ bảo giác tại z0 Î G nếu nó có các tính chất:
a) Bảo toàn góc và bảo toàn hướng tại z0
b) Có k > 0 sao cho lim
z ® z0

f ( z ) - f ( z0 )
=k
z - z0

f được gọi là bảo giác trong G nếu nó bảo giác tại mọi điểm trong G.
Định nghĩa 1.1.6: Miền G1 gọi là tương đương bảo giác với miền G2
nếu có một ánh xạ f : G1 ¾¾®  chỉnh hình 1- 1 và f (G1 ) = G2 .
Định lý 1.1.7
Nếu f chỉnh hình và f ¢ khác 0 trên G thì f bảo giác trên G. Ngược
lại, nếu f bảo giác trên G thì f chỉnh hình và f ¢ khác 0 trên G.
Định nghĩa 1.1.8: Cho D là tập mở khác rỗng trong  . Hàm chỉnh hình

f Î O( D) được gọi là ánh xạ song chỉnh hình từ D lên D¢ nếu D¢=
: f ( D) và
ánh xạ f : D ¾¾® D¢có ánh xạ ngược f - 1 : D¢¾¾® D là hàm chỉnh hình
trong D.
Một ánh xạ f : D ¾¾®  được gọi là song chỉnh hình địa phương tại

c Î D nếu có một lân cận U của c trong D sao cho ánh xạ hạn chế
f

U

: U ¾¾® f (U ) là ánh xạ song chỉnh hình.

Định lý 1.1.9
Cho f : D ¾¾®  là một ánh xạ chỉnh hình. Khi đó f là song chỉnh

Footer Page 10 of 185.


Header Page 11 of 185.

5

hình địa phương tại c Î D nếu và chỉ nếu f ¢(c) ¹ 0 (tức là f bảo giác tại c).
Định lý 1.1.10
Cho f Î O( D) là hàm khác hằng gần c Î D . Khi đó có một lân cận U
của c trong D, một ánh xạ song chỉnh hình u : U ¾¾® E với u (c) = 0 và
một ánh xạ tuyến tính v từ E lên đĩa V với f (U ) = V và v(0) = f (c) sao cho
ánh xạ cảm sinh f U : U ¾¾® V được phân tích như sau:
u
zz
v
U ¾¾
® E ¾¾¾
¾
® E ¾¾
® V với n := n( f , c)
n

Như vậy một ánh xạ chỉnh hình khác hằng về địa phương có thể xem
như là ánh xạ E ¾¾® E , z  z n gần 0.
Mệnh đề 1.1.11
 Mọi song ánh chỉnh hình f :  ¾¾®  đều là ánh xạ affine, nghĩa là
*
f ( z ) = az + b với a Î {{{
.
= \ { 0} , b Î

 Nếu hàm f chỉnh hình khắp nơi trên mặt phẳng phức mở rộng thì f
là hàm hằng.
 Nếu hàm f chỉnh hình khắp nơi trên mặt phẳng phức mở rộng ngoại
trừ một cực điểm hữu hạn z0 cấp m thì
f ( z) =

a- m

(z-

z0 )

m

+

a- m+ 1

(z-

z0 )

m- 1

+ ... +

a- 1
+ a0
z - z0

 Nếu hàm f chỉnh hình khắp nơi trên mặt phẳng phức mở rộng ngoại
trừ một cực điểm ¥ thì f là đa thức
f ( z ) = a- m z m + a- m+ 1 z- m+ 1 + .. + a- 1 z + a0

1.2. Ánh xạ tựa bảo giác
Ánh xạ tựa bảo giác được giới thiệu bởi Grötzsch (1928) và được đặt tên
bởi Ahlfors (1935), là một đồng phôi giữa các miền phẳng mà đạo hàm cấp
một biến các đường tròn nhỏ thành các ellip nhỏ có tâm sai bị chặn. Một cách

Footer Page 11 of 185.


Header Page 12 of 185.

6

trực quan, các ánh xạ bảo giác bảo toàn độ lớn và hướng của góc. Một ánh xạ
là tựa bảo giác nếu ta kiểm tra được “độ méo mó” của góc bị chặn, ngay cả
khi độ lớn các góc này không được bảo toàn.
Cho f : D  D trong đó D và D′ là hai miền trong  . Giả sử f có
đạo hàm cấp một liên tục, nghĩa là f Î C1 . Ta sử dụng ký hiệu dz = dx + idy ,

d z = dx - idy và

fz =

1
( f - if y ) ,
2 x

fz =

1
( f + if y )
2 x

Nếu w = f ( z ) ta cũng viết df = dw = f z dz + f z d z
Jacobi J f của f được cho bởi J f = f z - f z
2

2

Như vậy f bảo toàn hướng nếu và chỉ nếu f z < f z .
Ta định nghĩa hệ số co dãn m= mf của f bởi
m=

fz
fz

m còn được gọi là hệ số Beltrami của f và phương trình f z = mf z là
phương trình Beltrami. Nhận xét rằng m< 1 nếu f bảo toàn hướng và

m= 0 nếu và chỉ nếu f bảo giác.
Vì f khả vi trong D , ánh xạ tiếp xúc tại Df z biến một elip nhất định
trong không gian tiếp xúc tại z Î D thành một đường tròn trong không gian
tiếp xúc tại f ( z ) . Như vậy có thể liên kết f với trường elip vô cùng nhỏ
trong D bằng cách gán mỗi z Î D với một elip mà được biến thành một
đường tròn bởi ánh xạ tiếp xúc ứng với f . Argument của trục lớn của elip vô
cùng bé tương ứng với f tại z là

Footer Page 12 of 185.

p arg( m)
+
và tâm sai (eccentricity) là
2
2


Header Page 13 of 185.

7

fz - fz
fz + fz

=

1- m
1+ m

Từ các mối liên hệ này, ta liên kết m bất kỳ thỏa m< 1 với một trường
elip vô cùng bé, nghĩa là, một sự lựa chọn hướng và tâm sai tại mỗi điểm. Khi
đó giải phương trình f z = mf z tương đương với việc tìm f có trường elip
tương ứng trùng với trường elip liên kết với m.
Ta định nghĩa độ co dãn của f tại z0 , K ( zo ) , như là thương của độ
dài trục lớn trên độ dài trục nhỏ của elip này. Độ co dãn của f tại một điểm
z được định nghĩa bởi

K ( zo ) =

1+ m( zo )
1- m( zo )

K = sup K ( z ) =

và

zÎ D

1+ m
1- m

được gọi là độ co dãn của f.
Nếu j là ánh xạ bảo giác thì
mj  f ( z ) = mf ( z )
mf j ( z ) = mf ( j ( z ))

j '( z )
j '( z )

(1)

Như vậy, sự hợp thành sau của một ánh xạ tựa bảo giác với một ánh xạ
bảo giác không làm thay đổi m. Đây chính là điều ta mong đợi vì một ánh xạ
như thế không phụ thuộc vào elip nào được biến thành đường tròn. Mặt khác,
hợp thành trước một ánh xạ tựa bảo giác với một ánh xạ bảo giác có thể thay
đổi hướng nhưng không thay đổi tâm sai của một elip như thế (được biểu diễn
như trong phương trình (1) ở trên).

Footer Page 13 of 185.


Header Page 14 of 185.

8

Nếu f và g là các đồng cấu tựa bảo giác trơn trên các mặt cầu ¥ có
các hệ số Beltrami trùng nhau thì g = j  f với j là một ánh xạ Mobius nào
đó. Thật vậy g  f - 1 biến các đường tròn vô cùng nhỏ thành các đường tròn
vô cùng nhỏ, do đó g  f - 1 ánh xạ bảo giác từ ¥ vào chính nó.
Tổng quát, tính khả vi của f có thể được thay thế bởi điều kiện yếu hơn
là f thuộc không gian Sobolev W 1,2 D các hàm có các đạo hàm suy rộng
cấp một thuộc L2 D . Trong trường hợp này, f được gọi là nghiệm yếu của
phương trình Beltrami. Khi  bằng 0 hầu khắp nơi, mọi đồng phôi trong

W 1,2 D mà là nghiệm yếu của phương trình Beltrami là ánh xạ bảo giác.
1.3. Phép lặp
Định nghĩa 1.3.1: Phép lặp của ánh xạ

f

là

f 2 = f  f ,…,

f n = f n- 1  f khi n ³ 3, n Î  .

Cho điểm z0 , dãy { zn } xác định bởi
ì z0
í
î zn = f ( zn- 1 ), n ³ 1

được gọi là quỹ đạo (tiến) của f .
z0 gọi là điểm tới hạn của hàm f nếu f không đơn ánh trên mọi lân

cận của z0 . Khi đó f ( z0 ) được gọi là giá trị tới hạn của f .
Điểm z gọi là điểm tuần hoàn của ánh xạ f nếu nó là điểm bất động
của phép lặp f m nào đó. Với một điểm z như thế có một số nguyên dương n
mà
z, f (z), f 2 (z),..., f n- 1 (z) (2)

khác nhau đôi một nhưng f n (z) = z . Tập hợp hữu hạn gồm n điểm trong (2)
được gọi là vòng tuần hoàn (chu trình) của z và số nguyên n được gọi là chu

Footer Page 14 of 185.


Header Page 15 of 185.

9

kì của z . Ta có điểm bất động của f là điểm của chu kì 1.
Mệnh đề 1.3.2
Giả sử z Î  là một điểm bất động của hàm giải tích f . Khi đó z là:
a) Điểm bất động hút nếu f ¢( z) < 1

( )>1
b) Điểm bất động đẩy nếu f ¢z
( ) = 1.
c) Điểm bất động trung hòa (cân bằng) nếu f ¢z
Một điểm tuần hoàn z với chu kì n được phân loại như điểm bất động
của f n . Hơn nữa, do tính liên hợp, ta có thể giả thiết rằng chu trình không
chứa ¥ và ta viết:
zm = f m ( z) , m = 0, 1, 2…

Nếu zm+ n = zm , áp dụng n lần quy tắc hàm hợp, ta có:

( f )¢( zm ) =
n

n- 1

Õ f ¢( f
k= 0

n- 1
k

(zm )) =

Õ f ¢(z )
k

k= 0

Ở đây, tích thứ hai có được do sự sắp xếp lại tích thứ nhất.
Lý luận này cho thấy rằng, đạo hàm ( f n )¢có giá trị như nhau tại mỗi
điểm z j của vòng tuần hoàn và vì vậy mỗi điểm z j được phân loại theo cùng
một cách như điểm zk bất kì khác trong vòng tuần hoàn. Từ điều này ta có thể
đưa ra sự phân loại các vòng tuần hoàn như vòng tuần hoàn đẩy, hút, trung
hòa…
1.4. Tập Fatou và tập Julia
Cho R là hàm hữu tỉ khác hàm hằng. Tập Fatou của R , ký hiệu F ( R ) ,
là tập con mở tối đại của ¥ mà trong đó { R n } liên tục đồng bậc. Tập Julia
của R , ký hiệu J ( R ) , là phần bù của tập Fatou của R trong ¥ . Từ định

Footer Page 15 of 185.


Header Page 16 of 185.

10

nghĩa này ta có: F ( R ) mở và J ( R ) compact.
Cho điểm bất động hút z của R , thành phần của tập Fatou F ( R ) chứa

z được gọi là đáy địa phương hoặc đáy tức thời của z . Tổng quát hơn, đáy

{

địa phương của vòng tuần hoàn hút z1 , z2 ,..., zq

}

là hợp của những thành

phần phân biệt F1 , F2 ,..., Fq của F ( R ) .
1.5. Không gian phủ và phép nâng
1.5.1. Không gian phủ
Cho X là một không gian tôpô. Không gian phủ của X là không gian
T cùng với một toàn ánh liên tục

p : T ¾¾® X
sao cho với mọi x Î X có một lân cận mở U của x thỏa p- 1 (U ) là hợp các tập
mở phân biệt trong T, mà mỗi tập mở này được ánh xạ đồng phôi vào U bởi p.
Ánh xạ p được gọi là ánh xạ phủ, không gian X được gọi là không gian
cơ sở và T được gọi là không gian toàn thể của phủ. Với x bất kỳ trong không
gian cơ sở, tập các tạo ảnh của x trong T là một không gian rời rạc và được
gọi là thớ của x. Các lân cận mở đặc biệt U của x trong định nghĩa được gọi là
các lân cận phủ đều (evenly-covered neighborhoods). Các lân cận phủ đều tạo
thành một phủ mở của không gian X. Các bản sao đồng phôi trong T của một
lân cận phủ đều được gọi là các tờ của U.
Một không gian phủ được gọi là không gian phủ phổ dụng nếu nó đơn
liên. Nếu không gian X có phủ phổ dụng thì phủ phổ dụng là duy nhất. Nếu
q1 : D1 ¾¾® X và q2 : D2 ¾¾® X là hai phủ phổ dụng của không gian X thì

tồn tại một đồng phôi f : D1 ¾¾® D2 sao cho q2 = f  q1 .
Ví dụ

Footer Page 16 of 185.

Header Page 17 of 185.

11

2
 Xét đường tròn đơn vị S 1 trong  . Khi đó ánh xạ p :  ¾¾® S 1 với

p ( t ) = ( cos t , sin t )
là một phủ với mỗi điểm của S 1 được phủ vô hạn lần.
*
 Xét mặt phẳng phức bỏ điểm gốc, ký hiệu {{
= \ { 0} và n là số
n
nguyên khác 0. Khi đó qn : * ¾¾® * xác định bởi qn ( z ) = z là một phủ. Ở

đây mỗi thớ gồm n phần tử.
1.5.2. Vài tính chất của phủ
Mọi phủ p :T ¾¾® X là một đồng phôi địa phương, nghĩa là với mọi

c  T , tồn tại một lân cận U Ì T của c và một lận cận V Ì X của p (c) sao
cho hạn chế của p lên U là một đồng phôi từ U lên V. Điều này dẫn đến T và
X có cùng các tính chất địa phương. Nếu X đơn liên và T là liên thông thì
chúng có cùng các tính chất toàn cục và phủ p là một đồng phôi.
Với mọi x Î X , thớ của x là một tập con rời rạc của T . Trên mọi thành
phần liên thông của X, các thớ đồng phôi với nhau. Nếu X liên thông thì có
một không gian rời rạc F sao cho với mọi x trong X, thớ của x đồng phôi với
F và hơn nữa, mọi x trong X có một lân cận U của x sao cho tạo ảnh p- 1 (U )
đồng phôi với U ´ F . Đặc biệt, số phần tử của thớ của x bằng với số phần tử

của F và nó được gọi là bậc của phủ p : T ¾¾® X . Như vậy, nếu mọi thớ có
n phần tử thì ta nói phủ p là phủ n tờ. (Trường hợp n= 1 , phủ là phủ tầm
thường).
1.5.3. Nhóm cơ bản
Nhóm cơ bản là nhóm gắn với một không gian tôpô nhằm cung cấp
phương pháp xác định khi nào hai đường xuất phát và kết thúc tại một điểm
cố định có thể biến dạng liên tục lẫn nhau. Nhóm cơ bản là nhóm đồng luân
đơn giản nhất.

Footer Page 17 of 185.


Header Page 18 of 185.

12

Cho X là một không gian tôpô và x0 Î X . Ta quan tâm đến tập các
hàm liên tục f : [ 0,1] ¾¾® X có tính chất f (0) = x0 = f (1) . Các hàm này
được gọi là các vòng (loop) với điểm cơ sở x0 . Hai vòng f và g được gọi là
tương đương nếu tồn tại một hàm liên tục h : [ 0;1] ´ [ 0;1] ¾¾® X có tính chất

" t Î [ 0,1] , h(t ,0) = f (t ), h(t ,1) = g (t ), h(0, t ) = x0 = h(1, t )
Một ánh xạ h như thế được gọi là phép đồng luân từ f đến g và các
lớp tương đương tương ứng được gọi là các lớp đồng luân. Tích f * g của 2
vòng f và g được định nghĩa bởi

ì
khi
ïï f (2t )
( f * g )(t ) := í

ï g (2t - 1) khi
ïî

0£ t £

1
2

1
£ t£ 1
2

Tích của hai lớp tương đương [ f ] và [ g ] được định nghĩa là

[ f * g ] và

tích này không phụ thuộc vào việc chọn đại diện. Với tích trên, tập hợp tất cả
các lớp đồng luân của các vòng với điểm cơ sở x0 tạo thành nhóm cơ bản của

X tại x0 và được ký hiệu là p1 ( X , x0 ) hoặc đơn giản là p ( X , x0 ) . Phần tử đơn
vị là ánh xạ hằng tại điểm cơ sở, và phần tử nghịch đảo của vòng f là vòng

g được xác định bởi g (t ) = f (1- t ) . Nhóm cơ bản, nói chung phụ thuộc vào
việc chọn điểm cơ sở. Tuy nhiên, khi X là không gian liên thông đường, việc
lựa chọn này không có sự khác biệt (sai khác một đẳng cấu). Khi đó, ta có thể
viết p1 ( X ) thay vì p1 ( X , x0 ) .
Nếu f : X ¾¾® Y là ánh xạ liên tục, x0 Î X , y0 = f ( x0 ) Î Y thì mọi
vòng trong X với điểm cơ sở x0 có thể tạo với f một vòng trong Y với điểm
cơ sở y0 . Đồng cấu nhóm f # : p1 ( X , x0 ) ¾¾® p1 (Y , y0 ) được gọi là đồng cấu
nhóm cảm sinh, viết là p ( f ) . Nếu

f , g : X ¾¾® Y

f ( x0 ) = g ( x0 ) = y0 và f , g đồng luân đối với { x0 } thì f # = g # .

Footer Page 18 of 185.

liên tục với


Header Page 19 of 185.

13

Suy ra hai không gian liên thông đường tương đương đồng luân có các
nhóm cơ bản đẳng cấu: X  Y Þ p1 ( X , x0 ) @p1 (Y , y0 )
1.5.4. Phép nâng
Định nghĩa 1.5.4.1: Nếu p : T ¾¾® X là một phủ và γ là một đường
trong X (nghĩa là một ánh xạ liên tục từ [ 0; 1] vào X) và c Î T là một điểm
“nằm trên” γ(0) (nghĩa là p (c) = g( 0) ) thì tồn tại duy nhất một đường G
trong T nằm trên γ (nghĩa là p  G= g ) sao cho G( 0) = c . Đường G được
gọi là đường nâng của γ. Nếu x và y là hai điểm trong X được nối bởi một
đường thì có một song ánh giữa thớ của x và thớ của y theo tính chất nâng.
Định nghĩa 1.5.4.2: Cho p : T ¾¾® X là một phủ và f : Z ¾¾® X là
một ánh xạ liên tục từ một không gian liên thông đường và liên thông đường
địa phương vào X. Cố định một điểm cơ sở z ∈ Z và chọn c Î T “nằm trên”

f(z) (nghĩa là p ( c ) = f ( z ) ), nếu tồn tại một ánh xạ liên tục g : Z ¾¾® T sao

cho p  g = f và g ( z ) = c thì g được gọi là ánh xạ nâng của f .

Ánh xạ nâng g như trên là tồn tại duy nhất nếu và chỉ nếu các đồng cấu
cảm sinh
f # : p1 ( Z , z ) ¾¾® p1 ( X , f ( z )) và p# : p1 (T , c) ¾¾® p1 ( X , f ( z ))

giữa các nhóm cơ bản thỏa mãn
f # ( p1 ( Z , z )) Ì p# ( p1 (T , c))

(3)

Hơn nữa, nếu ánh xạ nâng như thế tồn tại thì nó duy nhất. Đặc biệt, nếu
không gian Z đơn liên ( p1 ( Z , z ) tầm thường), thì điều kiện (3) tự động thỏa
mãn và mọi ánh xạ liên tục từ Z vào X đều có ánh xạ nâng. Vì khoảng [ 0; 1]
đơn liên, tính chất nâng đối với các đường là một trường hợp đặc biệt của tính
chất nâng của ánh xạ vừa được trình bày ở trên.

Footer Page 19 of 185.


Header Page 20 of 185.

14

Nếu p : T ¾¾® X là một phủ và c Î T , x Î X sao cho p ( c ) = x , thì đồng
cấu cảm sinh p# : p1 (T , c) ¾¾® p1 ( X , f ( z )) là đơn ánh.
Cho p1 : T1 ¾¾® X và p2 : T2 ¾¾® X là hai phủ. Ta nói rằng hai phủ
p1 , p2 tương đương với nhau nếu tồn tại đồng phôi p21 : T2 ¾¾® T1 sao cho
p2 = p1  p21

1.6. Đa tạp và cấu trúc hầu phức
1.6.1. Đa tạp

Cho ( M , T ) là một không gian tôpô Hausdorff, có một cơ sở đếm được.

M được gọi là một đa tạp tôpô nếu tồn tại một số tự nhiên n và với mỗi điểm
p Î M có một lân cận mở U của p, một ánh xạ x : U ¾¾®  n đồng phôi lên
ảnh x(U ) của nó. Cặp (U , x) được gọi là một bản đồ (atlas) trên M, số tự
nhiên n được gọi là chiều của M.
Vì phủ là các đồng phôi địa phương, phủ của một đa tạp tôpô n chiều là
một đa tạp n chiều.
Cho n Î  , một đa tạp khả vi thực n chiều (thực) M là một không gian
tôpô Hausdorff, có cơ sở đếm được cùng với một bản đồ (atlas)

B=

{ (U

a

,j

a

)} aÎ

B

thỏa mãn:

i) U a là tập con mở khác rỗng của M với mọi a Î B .
ii) j

a

: U a ¾¾® E n là đồng phôi từ U a lên một tập mở trong E n với

mọi a Î B .
iii)  U a = M .
aÎ B

iv) j

b

aj

- 1
a

: j

a

(U

a

 U b ) ¾¾® j

b

(U

a

 U b ) khả vi với mọi a, b Î B .

Tập hợp B được gọi là cấu trúc khả vi của M. Một đa tạp phức là đa tạp
khả vi với chiều thực là số chẵn.

Footer Page 20 of 185.


Header Page 21 of 185.

15

M là đa tạp trơn nếu j b a j

- 1
a

là ánh xạ trơn với mọi a, b Î B . Một bản

đồ (atlas) gọi là được định hướng nếu định thức của ma trận Jacobi j b a j

- 1
a

dương khắp nơi. Một đa tạp định hướng là một đa tạp trơn với một bản đồ
(atlas) được định hướng.
Cho n Î  , một đa tạp phức n chiều (phức) X là một không gian tôpô

Hausdorff, có cơ sở đếm được cùng với một atlas bản đồ (atlas)

A = { (U a , j a )} aÎ A thỏa mãn:
i) U a là tập con mở khác rỗng của X với mọi a Î A .
ii) j a : U a ¾¾®  n là đồng phôi từ U a lên một tập mở trong  n với
mọi a Î A .
iii)  U a = X .
aÎ A

iv) j

b

aj

- 1
a

: j

a

(U

a

 U b ) ¾¾® j

b

(U

a

 U b ) chỉnh hình với mọi

a, b Î A .

Tập hợp

A được gọi là cấu trúc phức của X.

Trong các định nghĩa trên:
 (U a , j

a

)

được gọi là bản đồ (atlas) địa phương.

 U a được gọi là miền tọa độ hay miền xác định của bản đồ địa phương
đó.
 Các thành phần của j a ( z ) = ( z1a , z2a ,..., zna ) được gọi là hệ tọa độ địa
phương trên U a xác định bởi j a .
 j baj

- 1
a

được gọi là phép đổi tọa độ (phép chuyển dịch).

Nhận xét rằng ánh xạ j

Footer Page 21 of 185.

b

aj

- 1
a

là ánh xạ 1-1.


Header Page 22 of 185.

16

1.6.2. Cấu trúc hầu phức
Cho M là một đa tạp thực trơn. Một cấu trúc hầu phức J trên M là một
tự đẳng cấu tuyến tính trơn trên mỗi không gian tiếp xúc của đa tạp sao cho

J 2 = - id . Ta gọi cặp ( M , J ) là một đa tạp hầu phức.
Mọi đa tạp phức là đa tạp hầu phức nhưng điều ngược lại không đúng.
Mọi đa tạp hầu phức có chiều là số chẵn. Mọi đa tạp hầu phức đều định
hướng được.
Ta nói rằng một cấu trúc hầu phức J trên đa tạp M 2n là khả tích nếu nó
sinh ra từ một atlas chỉnh hình trên M, nghĩa là M = X  nhận cấu trúc của

một đa tạp phức n- chiều X và J được định nghĩa như sau:
æ¶
J pç
è ¶zi

ö
¶
p ÷= i
ø ¶zi

p

æ¶
, J pç
è ¶z i

ö
æ¶
i
=
÷
ç
p
ø
è ¶z i

ö
p÷
ø

Mọi mặt thực định hướng S nhận một cấu trúc hầu phức và tất cả các
cấu trúc hầu phức như thế khả tích.
1.7. Mặt Riemann
1.7.1. Khái niệm và phân loại mặt Riemann
Một mặt Riemann X là một đa tạp phức một chiều. Các mặt Riemann có
thể được hiểu là các “kiểu biến dạng” của mặt phẳng phức: về địa phương gần
mỗi điểm, chúng giống như những mảnh của mặt phẳng phức nhưng tôpô
toàn cục có thể hoàn toàn khác. Chẳng hạn, chúng có thể trông giống như mặt
cầu, hình xuyến hoặc nhiều tờ ghép lại.
Điểm chính của các mặt Riemann là các hàm chỉnh hình có thể được định
nghĩa giữa hai mặt Riemann. Các mặt Riemann có thể được thiết lập để
nghiên cứu dáng điệu toàn cục các hàm này, đặc biệt là các hàm đa trị như
hàm căn thức, logarit phức.
Mọi mặt Riemann là một đa tạp giải tích thực 2- chiều nhưng nó còn
chứa cấu trúc khác (đặc biệt là cấu trúc phức) cần cho việc định nghĩa các
hàm chỉnh hình.

Footer Page 22 of 185.


Header Page 23 of 185.

17

Định lý 1.7.1.1 (Định lý Đơn trị hóa)
Cho X là một mặt Riemann liên thông và đơn liên. Khi đó
- Nếu X thuộc loại elliptic thì X tương đương bảo giác với mặt cầu
Riemann ¥ .
- Nếu X thuộc loại hyperbolic thì X tương đương bảo giác với đĩa đơn vị

D= { z Î { : z < 1}

hoặc nửa mặt phẳng trên

H = { z Î { : Im z > 0}

- Nếu X thuộc loại parabolic thì X tương đương bảo giác với mặt phẳng
phức  .
Định nghĩa 1.7.1.2: Cho X là mặt Riemann và p Î X . Hàm

g : X \ { p} ¾¾® 
được gọi là hàm Green tại p nếu thỏa mãn:
i) g là hàm điều hòa
ii) Với bất kì tọa độ chỉnh hình z có tâm tại p thì hàm g ( z ) + log( z ) điều
hòa trong lân cận của p.
iii) g > 0
iv) Nếu g¢: X \ { p} ¾¾®  cũng thỏa mãn 3 điều kiện trên thì g £ g¢
Điều kiện iv) cho ta thấy hàm Green là duy nhất nếu nó tồn tại, kí hiệu là g p .
1.7.2. Mêtric Riemann và mêtric Poincare (mêtric Hyperbolic)
Một mặt Riemann X được trang bị một cấu trúc cho phép đo các góc trên
đa tạp, nghĩa là các lớp tương đương, được gọi là các mêtric Riemann. Hai
mêtric như thế được gọi là tương đương nếu các góc chúng đo giống nhau.
Một mêtric trên mặt phẳng phức có thể được biểu diễn dưới dạng

ds 2 = l 2 ( z , z )dzd z , hay ds = l ( z ) dz
trong đó l là hàm thực dương theo z , z .

Footer Page 23 of 185.

Header Page 24 of 185.

18

Độ dài của một đường cong g trong mặt phẳng phức được cho bởi công
thức
l ( g) =

ò l ( z ) dz
g

Đặt d ( z , w) = inf l ( g) với inf được lấy trên tất cả các đường cong trơn
g

g nối z và w. Khi đó d thỏa các tiên đề về mêtric.
Toán tử Laplace - Beltrami được cho bởi
4 ¶ ¶
1 ¶2
¶2
D
Dl = 2
= 2 ( 2 + 2 )= 2
l ¶z ¶z l ¶x
¶y
l

trong đó D là toán tử Laplace Euclide.
Độ cong Gauss của mêtric l ( z ) dz được cho bởi

K l = - D l log l = -

D log l
l2

Hàm l ( z ) được gọi là hàm mật độ (density) của mêtric.
Hàm F ( z , z ) được gọi là thế vị của mêtric nếu 4

¶ ¶
F ( z, z ) = l 2 ( z, z )
¶z ¶z

Mêtric Poincare là tenxơ mêtric mô tả mặt hai chiều với độ cong hằng
âm. Nó được sử dụng trong các tính toán hình học hyperbolic hoặc mặt
Riemann.
1.8. Định lý ánh xạ đo được Riemann (định lý Ahlfors – Bers)
Định lý ánh xạ đo được Riemann là định lý được chứng minh vào năm
1960 bởi Lars Ahlfors và Lipman Bers trong giải tích phức và lý thuyết hàm
hình học. Đây không phải là mở rộng trực tiếp định lý ánh xạ Riemann. Nó là
kết quả liên quan các ánh xạ tựa bảo giác và nghiệm của phương trình
Beltrami. Định lý của Alhfors và Bers phát biểu rằng: Nếu m là hàm đo được
bị chặn trên  với

Footer Page 24 of 185.

m ¥ £ 1 thì tồn tại nghiệm duy nhất f của phương trình


Header Page 25 of 185.

Beltrami m=

19

fz
với f là đồng phôi tựa bảo giác trên  cố định 0, 1 và ¥ .
fz

Một kết quả tương tự cũng đúng nếu thay  bởi đĩa đơn vị D.
Cho m= u ( z )

dz
là một dạng Beltrami trên  với sup u ( z ) < 1. Khi đó
dz

tồn tại một phép đồng phôi tựa bảo giác

j :  ¾¾®  thỏa

¶j
= m
¶j

Kết quả trên còn có thể phát biểu như sau: “Mọi cấu trúc hầu phức đo
được s trên một mặt Riemann X có tỉ số co dãn bị chặn theo cấu trúc phức
ban đầu s 0 là khả tích”.
Theo hai phát biểu trên đã chỉ ra, các dạng Beltrami và các cấu trúc hầu
phức là hai cách nói khác nhau về cùng một đối tượng. Trong luận văn này,
chúng ta sử dụng cả hai tên gọi trên, với tên gọi cấu trúc hầu phức nghe có vẻ
hình học hơn.
Cho một mặt định hướng X với một cấu trúc hầu phức s nghĩa là ta cho

mỗi x Î X (đôi khi là hầu khắp nơi các x Î X ) một phép nhân với i trong
Tx X , biến Tx X thành một không gian vectơ phức tương thích với hướng đã

định.
Một ánh xạ  - khả vi f : X ¾¾®  là chỉnh hình tại x đối với s nếu
Tx f : Tx X ¾¾®  là  - tuyến tính với cấu trúc phức s x trên Tx X và cấu trúc

phức chuẩn trên  .
Một cấu trúc hầu phức s xác định hầu khắp nơi trên X gọi là khả tích
nếu với mọi x Î X , có một lân cận mở U của x trong X và một đồng phôi

j :U ¾¾® V , trong đó V là tập mở trong  , j thuộc không gian Sobolev
H 1 (U ) (tức đạo hàm của j thuộc L2 (U ) ) và chỉnh hình với s tại hầu hết

Footer Page 25 of 185.