ĐỀ THI THỬ ĐH KHỐI B,D 2008 VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1 (1,5 điểm)
Cho hàm số
1
)1(
2
+

=
x
x
y
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên
2. Chứng minh rằng có vô số cặp tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với nhau.
Câu 2 (2 điểm)
1. Giải hệ phơng trình





=+
=+
2sin
1
cos
1
2cos
2
tgyx
y

x
2. Giải bất phơng trình
)243(log1)243(log
2
3
2
9
++<+++
xxxx

Câu 3 (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elíp (E):
1
8
2
2
=+
y
x
và parabol (P):
xy 2
2
=
. Viết ph-
ơng trình tiếp tuyến chung của (E) và (P).
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
022:)(
=+
yx

và đờng thẳng



=++++
=+++

024)12(
01)1()12(
:
mzmmx
mymxm
m
a) Tìm m để mặt phẳng
)(

song song với đờng thẳng
m

. Tính khoảng cách giữa
)(

và đờng thẳng
m

với m tìm đợc.
b) Tìm m để
m

song song với trục tung. Với m tìm đợc, viết phơng trình mặt

phẳng đi qua
m

và tạo với
)(

một góc

sao cho
5
2
cos
=

.
Câu 4 (2,5 điểm)
1. Một đờng thẳng d đi qua M(2;0) cắt đờng (H):
1
1
+

=
x
x
y
tại A và B sao cho M là trung
điểm của AB. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H) và d.
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
)cos(sinsin xxxy
=

Câu 5 (1 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dơng
tzyx ,,,
sao cho
10
=+++
tzyx
.
------------------------Hết---------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
đề thi thử tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2008
Môn thi: toán, Khối B và Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút
Đề chính thức
Đáp án và thang điểm (gồm 4 trang)
Câu ý Nội dung điểm
1
(1,5đ)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1
)1(
2
+

=
x
x
y
(đồ thị là (C))

* Tập xác định R
{ }
1\

0,25
* Sự biến thiên
2
2
2
)1(
32
)1(
4
1'
+
+
=
+
=
x
xx
x
y
;



=
=
=

3
1
0'
x
x
y
=

y
x 1
lim
và
0)]3([lim
=

xy
x

nên (C) có tiệm cận đứng x=-1, có tiệm cận xiên y=x-3.
0,25
Bảng biến thiên
x

-3 -1 1
+
y'
+ 0 - - 0 +
y
-8
+

+



0
0,25
Đồ thị

0,25
2 Chứng minh có vô số cặp tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với nhau
Ta có
2
)1(
4
1'
+
=
x
y
; Với mỗi số thực k, xét phơng trình
k
x
=
+

2
)1(
4
1

Phơng trình này có hai nghiệm phân biệt
k
x

=
1
2
1
,
1
<
k
.
0,25
Kỳ thi thử tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2008
Môn thi: toán, Khối B và Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút
Đề chính thức
1
<
k
luôn có hai điểm phân biệt của đồ thị (C) có hoành độ là
k
x

=
1
2
1
và

k
x

+=
1
2
1
mà các tiếp tuyến tại đó có cùng hệ số góc
k
(với
1
<
k
).
Vậy có vô số cặp tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với nhau.
0,25
2
(2 đ)
1 Giải hệ phơng trình





=+
=+
2sin
1
cos
1

2cos
2
tgyx
y
x
Đk:
Zkky
+
,2
2


.
Ta có
1
cos
1
;sin212cos
2
2
2
+==
ytg
y
xx
nên ta đặt



=

=
vtgy
uux 1,sin

0,25
hệ đă cho trở thành



=+
=
2
12
22
vu
vu
Giải hệ này ta đợc nghiệm



=
=
1
1
v
u
(nhận);

=
=
7
5
v
u
(loại).
0,5
Với



=
=
1
1
v
u
, ta có



=
=
1
1sin
tgy
x
<=>
Zlk

ly
kx








+=
+=
,;
4
2
2




.
Vậy hệ đã cho có nghiệm
=
);( yx
Zlklk

++
,
4
;2
2




0,25
2 Giải bất phơng trình
)243(log1)243(log
2
3
2
9
++<+++
xxxx
(*)
(*)<=>
1)243(log)243(log
2
1
2
3
2
3
++<++

xxxx
.
Đặt
txx
=++
)243(log
2
1
2
3
,
0

t
=>
22
3
2)243(log txx
=++

0,25
(*) trở thành
12
2
<
tt
012
2
>
tt

<
>

2/1
1
t
t
0,25
Với t<-1/2: loại do
0

t
Với t >1:
2)243(log1)243(log
2
1
2
3
2
3
>++>++
xxxx
9243
2
>++
xx
.

0,25



<
>
>+
3/7
1
0743
2
x
x
xx
.
Vậy bất phơng trình đã cho có nghiệm
);1()3/7;(
+=
S
0,25
3
(3 đ)
1 Viết phơng trình tiếp tuyến chung của (E):
1
8
2
2
=+
y
x

và (P):
xy 2
2
=
.
Đờng thẳng
0
=++
cbyax
tiếp xúc (E) và (P) <=>





=
=+
acb
cba
2.1
8
2
222
0,25
=>



=
=

=+
ac
ac
caca
2
4
028
22
.
0,25
Với c =- 2a: Lấy a =1 => c = - 2. Thay vào đk
acb 2
2
=
ta đợc
4
2
=
b
(vô lý).
0,25
Với c = 4a: Lấy a =1 => c = 4. Thay vào đk
acb 2
2
=
ta đợc
22
=
b
.

Vậy có hai đờng thẳng thoả mãn ycbt là
0422
=+
yx
.
0,25
2 Cho
022:)(
=+
yx

và



=++++
=+++

)(024)12(
)(01)1()12(
:
2
1


mzmmx
mymxm
m
a) Tìm m để
)(

//
m

. Tính
))(;(

m
d

với m tìm đợc.
)(

có vectơ pháp tuyến
)0;1;2(

n

)(
1

và
)(
1

lần lợt có vectơ pháp tuyến
)12;0;(),0;1;12(
21
++
mmnmmn

Nên
m

có vectơ chỉ phơng là
);144;12(],[
222
21
mmmmmmnnu
++==

0,25
)(

//
m

=>
0360)144()12(20.
22
=+=++=
mmmmmun

<=>
2/1
=
m
.
0,25
Với

2/1
=
m
=>



=
=


0
01
:
2/1
x
y
. Ta có
2/1
)0;1;0(


M
,
)()0;1;0(


M
.
Vậy

2/1
=
m
thì
)(

//
m

.
0,25
=
+
==

5
21
))(;())(;(
2/1

Mdd
5
1
0,25
b) Tìm m để
Oy
m
//
. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua
m

và tạo với
)(

một góc
5
2
cos,
=

với m tìm đợc.
Vì O(0;0;0)
m

nên
Oy
m
//

<=>
01
144
0
12
222
mmmmmm

=

=

++
.
Giải ra đợc
1
=
m
.
0,25
Với
1
=
m
=>



=++
=

063
0
:
1
zx
x
. Mọi mặt phẳng (P) đi qua
1

đều có dạng
063)(0)63(

=+++=+++
àààà
zxzxx
=>
)3;0;(
)(
àà
+=
P
n

0,25

=
))(),((P
,
5
2
cos
=

<=>
5
2
1025
)(2
22
=
++
+

àà
à
0,25
Giải ra đợc
0,0
=
à
. Lấy
1
=

ta đợc mặt phẳng (P) là x = 0.
Phơng trình mặt phẳng cần tìm là
0
=
x
.
0,25
4
(2,5 đ)
1
Một đờng thẳng d đi qua M(2;0) cắt đờng (H):
1
1
+

=
x
x
y

tại A và B sao cho M
là trung điểm của AB. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H) và d.
Đờng thẳng d phải có dạng
)2(
=
xmy
. d đi qua M(2;0) cắt (H):
1
1
+

=
x
x
y
tại A
và B nên phơng trình
)2(
1
1
=
+

xm
x
x
(*) có hai nghiệm phân biệt
1,

BA

xx
.
0,25
(*)<=>
012)1(
2
=++
mxmmx
. Phơng trình này có hai phân biệt
1,

BA
xx
0

m
(vì
00129
2
>+=
mmm
).
0,25
M(2;0) là trung điểm của AB <=>
4
=+
BA
xx
3
1

4
1
==
+

m
m
m
0,25
Khi đó thay
3
1
=
m
vào phơng trình (*) đợc:
32;32
+==
BA
xx
0,25
Diện tích hình phẳng







+
+

=
+



=
B
A
B
A
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
xx
S
1
2
3
5
1
1
3
2

0,25
B
A
x
x
x
x
S








++

=
)1ln(2
6
)5(
2
)32ln(232
++=
)32ln(232
+=

(đvdt).
(

0.83018582128812116
)
0,25
2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
)cos(sinsin xxxy
=
Ta có
2
1
)2cos2(sin
2
1
cossinsin
2
++==
xxxxxy
(dùng công thức hạ bậc) 0,25
<=> y
2
1
)
4
2sin(
2
2
++=

x
. Do
Rxx

+
1)
4
2sin(


=>
Rxy
++
,
2
1
2
2
2
1
2
2
0,25

2
1
2
2
+=
y
khi
8

=

x
. Vậy
2
1
2
2
min
+=
R
y
(khi
8

=
x
)
0,25

2
1
2
2
+=
y
khi
8
3

=
x

. Vậy
2
1
2
2
max
+=
R
y
(khi
8
3

=
x
)
0,25
5
Tìm tất cả các số nguyên dơng
tzyx ,,,
sao cho
10
=+++
tzyx
.
(1đ)
Bài toán đã cho tơng đơng bài toán:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác 0 sao cho tổng các chữ số đó bằng 10.
Số 10 có thể viết thành tổng của 4 số nguyên dơng là
10=1+1+1+7; 10=2+2+2+4; 10=1+3+3+3 (loại 1)

10=1+1+2+6; 10=1+1+3+5; 10=1+2+2+5 (loại 2)
0,25