Đề thi thử ĐH năm 2010 - 2011(Có đáp án)

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN - Khối A + B
Ngày thi: 25/11/2010
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số
4 2
2 1= + − −y x mx m
(1) với m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1.
2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ
thị hàm số tạo thành một tam giác có diện tích bằng
4 2
.
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
sin cos sin cosx x x x
+ = + −
3 2 4 2 3 4 4

2. Giải hệ phương trình :
2
2
1 ( ) 4
( 1)( 2)

+ + + =



+ + − =


x y x y y
x x y y
Câu III. (2,0 điểm)
1. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x
thuộc tập xác định:
( )
m x x
x x
x
− −
≥ − +
−
2 3
2 2
2
3 2
4 2
4
2. Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P a b
a b
= + + +
2 2
2 2
1 1
.
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai

đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam
giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Câu V (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh
A(2; 7)-
, phương trình một
đường cao và một trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau lần lượt là:
3x y 11 0, x 2y 7 0+ + = + + =
. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
2. Giải phương trình:
( ) ( )
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = − + +
.
Câu VI. (1 điểm) Tìm hệ số của x trong khai triển:
n
x
x
 
+
 ÷
 
3
1
, biết
( )
n n
C C n

+ +
− = +
3 3
4 3
7 3
.........….. Hết …...........
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………………………………………………; Số báo danh: ………..
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM: 2010 -2011
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
I-1
(1
điểm)
Với m = -1 ta có y = x
4
- 2x
2
.
* Tập xác định D = R
* Sự biến thiên:
-Chiều biến thiên: y’ = 4x
3
- 4x = 4x(x
2
- 1); y’ = 0 ⇔
x
x
=



= ±

0
1
.
Dấu của y’:
x
-∞
-1 0 1
+∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞; - 1) và (0; 1).
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1 ; + ∞).
- Cực trị:
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y
CT
= -1.
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 01, y
CĐ
= 0.
0,25
- Giới hạn:
4
2
2
lim lim (1 )
→±∞ →±∞
= − = +∞
x x

y x
x
.
0,25
-Bảng biến thiên:
x
-∞
-1 0 1
+∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞
-1
0
-1
+∞
0,25
Đồ thị:
- Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm:
(0;0), (
2
; 0), (-
2
;0)
- Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 0)
- Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
0,25
I-2
(1
điểm)

4 2
2 1= + − −y x mx m
y’ = 4x
3
+ 4mx; y’ = 0 ⇔
x
x m
=


= −

2
0
.
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi m < 0.
0,25
Khi đó hoành độ các điểm cực trị là x = 0, x =
m− −
, x =
m−
.
Gọi A(0; - m -1), B(
m− −
; -m
2
- m - 1), C(
m−
; -m
2

- m - 1) là toạ độ các điểm cực trị
của đồ thị hàm số.
0,25
Gọi H là trung điểm BC, có H(0; -m
2
- m - 1).
. .
ABC
S AH BC m m m m= = − = −
2 2
1 1
2
2 2
0,25
ABC
S
=
4 2
⇔
m m m− = ⇔ = −
2
4 2 2
(t/m).
0,25
4
2
-2
-4
-10 -5 5 10
O

- 2
2
-1
II-1
(1 điểm)
⇔
sin cos ( cos ) sin cosx x x x x
+ − = + −
2
6 4 2 1 3 4 4
⇔
cos ( sin cos ) sin cosx x x x x
+ = +
2 3 4 3 4
0,25
2cos 1 0
3sin 4cos 0
− =

⇔

+ =

x
x x
0,25
1
2
cos
3

2
4
4
arctan
tan
3
3


= ± +
=



⇔ ⇔

 


− +
= −
 ÷



 

x k
x
k

x
π
π
π

0,5
II-2
(1 điểm)
Dễ thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình:
hệ
2
2
1
4
1
( 2) 1

+
+ + =


⇔

+

+ − =


x
x y

y
x
x y
y
. Đặt
2
1

+
=

⇔


= +

x
u
y
v x y
đưa hệ về dạng
4
( 2) 1
+ =


− =

u v
u v

0,5
4 1
(4 )( 2) 1 3
= − =
 
⇔ ⇔


− − = =
 
u v u
v v v
0,25
Với
1
3
=


=

u
v
có
2
2 2
1
1
1
1 2 0

2
3 3
3
3
 =


+
=
 
+ = + − =
 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= −
   

= − = −
 
 
+ =
= −


x
x
x y x x
x
y
y x y x

x y
y x
KL: HPT có nghiệm: (1 ; 2), (-2 ; 5)
0,25
III - 1
(1 điểm)
ĐK: -2 < x < 2 .
BPT ⇔
( )( )m x x x x m x x x− − ≥ − + ⇔ ≥ − + + +
2 3 2 2 4 3 2
3 2 4 2 2 5 8
0,25
Xét hàm số
x x x− + + +
4 3 2
2 5 8
với -2 < x < 2.
Có :
'( )f x x x x= − + +
3 2
4 6 10
; f’(x) = 0 ⇔
/
x
x
x
=


= −



=

0
1
5 2
.
BBT:
x -2 -1 0 2
y’ + 0 - 0 +
y
-4
10
8
28
0,25
0,25
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi x ∈(-2; 2) khi m >28.
0,25
III - 2
(1 điểm)
Vì
,a b > 0
, Áp dụng BĐT Côsi ta có:
,a a b b+ ≥ + ≥
2 2
1 1
4 4
⇒

a b a b+ ≥ + − =
2 2
1 1
2 2
. Dấu “=” xảy ra ⇔
a b= =
1
2
.
Mặt khác:
a b ab
a b
+ ≥ ≥ =
+
 
 ÷
 
2
2 2
1 1 2 2
8
2
. Dấu “=” xảy ra ⇔
a b= =
1
2
.
0,5
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là

17
2
. Đạt được khi
a b= =
1
2
0,25
IV
(1 điểm)
Gọi E là trung điểm của AB, ta có:
,OE AB SE AB⊥ ⊥
,
suy ra
( )
SOE AB⊥
.
Dựng
( )
OH SE OH SAB⊥ ⇒ ⊥
, vậy OH là khoảng cách
từ O đến (SAB), theo giả thiết thì OH = 1.
Tam giác SOE vuông tại O, OH là đường cao, ta có:
2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 1 8
1
9 9
9 3
8
2 2

OH SO OE OE OH SO
OE OE
= + ⇒ = − = − =
⇒ = ⇒ =
2 2 2
9 81 9
9
8 8
2 2
SE OE SO SE= + = + = ⇒ =
0,25
2
1 36
. 8 2
9
2
2 2
SAB
SAB
S
S AB SE AB
SE
= ⇔ = = =
( )
2
2
2 2 2 2
1 9 9 265
4 2 32
2 8 8 8

OA AE OE AB OE
 
= + = + = + = + =
 ÷
 
0,25
Thể tích hình nón đã cho:
2
1 1 265 265
. . .3
3 3 8 8
V OA SO
π π π
= = =
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho:

2 2 2
265 337 337
9
8 8 8
265 337 89305
. . .
8 8 8
xq
SA SO OA SA
S OA SA
π π π
= + = + = ⇒ =
= = =
0,25

0,25
V.-1
(1 điểm)
Vì A(2; -7) không thuộc hai đường thẳng đã cho nên ta có thể giả sử phương trình
đường cao qua B là BH: 3x + y + 11 = 0 và phương trình đường trung tuyến kẻ từ C là
CI: x + 2y + 7 = 0
Đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác ABC đi qua A và nhận vecto chỉ phương
của BH làm vecto pháp tuyến. Suy ra AC có phương trình là:
1.(x - 2) - 3(y + 7) = 0 ⇔ x - 3y - 23 = 0
0,25
+ Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
( ; )
x y x
C
x y y
− − = =
 
⇔ ⇒ −
 
+ + = = −
 
3 23 0 5
5 6
2 7 0 6
.
0,25
Gọi B(x
1
; y
1

). Có B ∈ BH nên: 3x
1
+ y
1
+ 11 = 0 (1)
Toạ độ trung điểm I của AB là: I(
;
x y+ −
1 1
2 7
2 2
).
I ∈ CI nên:
x
y
+
+ − + =
1
1
2
7 7 0
2
(2)
Từ (1) và (2) ta có x
1
= -4; y
1
= 1. Suy ra B(-4; 1).
0,25
+ Đường thẳng AB đi qua A và B nên có PT là: 4x + 3y + 13 = 0.

+ Đường thẳng BC đi qua B và C nên có phương trình là: 7x + 9y +19 = 0
0,25
( ) ( )
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = − + +
(2)
Điều kiện:
1 0
4 4
4 0
1
4 0
x
x
x
x
x
+ ≠

− < <


− > ⇔
 
≠ −


+ >


0,25
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
(2) log 1 2 log 4 log 4 log 1 2 log 16
log 4 1 log 16 4 1 16
x x x x x
x x x x
⇔ + + = − + + ⇔ + + = −
⇔ + = − ⇔ + = −
0,25
+ Với
1 4x− < <
ta có phương trình
2
4 12 0 (3)x x+ − =
;
( )
2
(3)
6
x
x
=


⇔

= −

lo¹i
0,25
+ Với
4 1x− < < −
ta có phương trình
2
4 20 0x x− − =
(4);
( )
( )
2 24
4
2 24
x
x

= −
⇔

= +


lo¹i
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
2x =
hoặc

( )
2 1 6x = −
.
0,25
VI.
(1 điểm)
Ta cã
( )! ( )!
( ) ( )
!( )! ! !
n n
n n
C C n n
n n
+ +
+ +
− = + ⇔ − = +
+
3 3
4 3
4 3
7 3 7 3
3 1 3

( )( )( ) ( )( )( )
( )
( )( ) ( )( )
n n n n n n
n
n n n n n

+ + + + + +
⇔ − = +
⇔ + + − + + = ⇔ =
4 3 2 3 2 1
7 3
6 6
4 2 2 1 42 12
0,5
Xét khai triển
( )
k
k
k
k k
k k
x C x C x
x x
−
−
= =
   
+ = =
 ÷  ÷
   
∑ ∑
12 12
5 4
12 12
6
12 12

3 3
0 0
1 1
Hệ số của x trong khai triển trên là
k
C
12
ứng với
k
k
−
= ⇔ =
5 4
1 2
6
.
Vậy x trong khai triển trên là
C =
2
12
66
0,5