CÁC BÀI TOÁN KHÓ HÌNH HỌC 7

CÁC BÀI TOÁN KHÓ HÌNH HỌC LỚP 7
BÀI 1: Cho hình chữ nhật ABCDvới AB = 2AD ,M là trung điểm của đoạn AB.Trên
AB lấy H sao cho
Ð
ADH = 15
0
.Hai đường thẳng CH và DM cắt nhau tại K.Hãy so
sánh độ các đoạn thẳng DH và DK
LỜI GIẢI :


Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ là đường
thẳng DH dựng tam giác đều DHN .Gọi Q là trung điểmDC ta có :
AD = DQ = QC

0
15ADH QDN= =Ð Ð
DH = HN (
∆
DHN đều )
0 0
90 90( . . ) ( . . )ADH QDN c g c NQD HAD NQC NQD NQC c g c= = = = =Þ D D Þ Ð Ð Þ Ð Þ D D
0 0 0 0 0
15 180 15 15 150( )NCQ NDQ DNC= = = - + =Þ Ð Ð Þ Ð
Từ đó suy ra
CDCHcgcDNCHNCHNC
=⇒∆=∆⇒=+−=∠
)..(150)15060(360
0000
Tức là
∆

CHD cân tại C .Mà
0000
75751590
=∠=−=∠
DHCnênHDC
(1)
Do tam giác ADM vuông cân tại A nên
0000
30154545
=−=∠=∠
HDMSuyraADM
(2)
Xét tam giác DHK từ (1) và (2) suy ra
0
75
=∠
HKD
(3)
Từ (1) và(3) suy ra tam giác DHK cân tại D Tức là DH = DK
BÀI2 :Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm O trong tam giác sao cho
AOCAOB
∠<∠

So sánh độ dài của OB và OC
Kẻ đường cao AH, nếu điểm O thuộc AH
1
Thì dễ thấy OB =OC và
AOB AOC=Ð Ð
Trái giả thiết .
Gỉa sử tia AO nằm trong góc BAH và CO cắt AH tại M nối BM .ta có OC = OM + MC

= OM + MB > OB từ đó suy ra
OCB OBC<Ð Ð
suy ra :

ACO ACB OCB ABC OBC ABO= - > - =Ð Ð Ð Ð Ð Ð
(1)
Ta có
CAO CAH BAH BAO> = >Ð Ð Ð Ð
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
0 0
180 180 0( ) ( )AOB ABO BAO AC CAO AOC= - + > - + =Ð Ð Ð Ð Ð Ð
. Điều này trái giả
thiết .
Vậy tia AO phải nằm trong góc CAH .Lập luận tương tự ta có OB> OC và
AOB AOC<Ð Ð
Vậy
AOB AOC OB OC< >Ð Ð Û
BÀI3 : cho tam giác ABC vuông cân tại A .Gọi M là trung điểm BC ,G là điểm thuộc
cạnh AB sao cho AB = 3AG,Elà chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG.Các đường
thẳng MG và AC cắt nhau tại D.So sánh độ dài DE và BC.
LỜI GIẢI :

Trên tia CA lấy điểm D’ sao cho Alà trung đểm của CD’ thì 2 đường trung tuyến BAvà
D’M cắt nhau tại G với 3AG = AB do đó điểm D’
º
D .Mặt khác BA
^
DC nên
BDCD

vuông cân tại B .Do
0
45BCD BDCvuông=Ð Þ D
cân tại B. Do đó BD = BC (1)
Gọi N là giao đểm của CG và BD .Vì G trọng tâm
BDCD
Nên N là trung điểm của BD
Từ đó BN = CM = BM . Hạ BK
^
NC Thì KM =BM = CM vì
KCMD
cân tại M nên
KE = CE (2)
Lại có
BNK CME=Ð Ð
( Cùng phụ với
)BCNÐ
Suy ra
BNK CME NBK MCE= =D D Þ Ð Ð
Và BK = CE (3) Từ (2) và (3) suy ra KE = KB
Nên
BKED
là tam giác vuông cân tại K do đó
0
45BEK BEM= =Ð Ð
.
Hai tam giác BKDvà CEB Có
DBK BCE=Ð Ð
Và BK = CE , BD = CB do đó
0

135BKD CEB DKB BEC= = =D D Þ Ð Ð
Suy ra
( . . )DKB DKE c g c DB DE= =D D Þ
(4)
Từ (1) và (4) suy ra DB = DE
BÀI 4 :
Cho tam giác ABC với
0
36ABC ACB= =Ð Ð
Trên tia phân giác của góc ABC lấy điểm
N sao cho
0
12BCN =Ð
.Hãy so sánh độ dài của CN và CA
2
LỜI GIẢI :

Trên tia BA lấy điểm Dsao cho BD = BC Ta có tam giác BCD cân tại B .Vì
0 0
0 0
180 36
36 72
2
ABC nên BCD BDC
-
= = = =Ð Ð Ð
.
Ta lại có
0 0 0
36 36 72DAC ABC ACB= + = + =Ð Ð Ð

(Tính chất của góc ngoài )
0
72( )BDC DAC= =Þ Ð Ð
Suy ra tam giác ACD cân tại C dó CA = CD (1).
Xét 2 tam giác BDN và BCN có :
BN chung BD= BC Và
CBN DBN=Ð Ð
Nên suy ra
( . . )BDN BCN c g c CN DN NCD= =D D Þ Þ D
Cân tại N lại có :

0 0 0
72 12 60NCD BCD BCN NCD= - = - =Ð Ð Ð Þ D
là tam giác đều
CN CD=Þ

(2) Từ (1) và (2) ta có CA = CN
BÀI 5:
Cho tam giác ABC với
0 0
55 115,BAC ABC= =Ð Ð
.Trên tia phân giác của góc ACB lấy
điểm M sao cho
0
25MAC =Ð
. Tính số đo góc BMC
LỜI GIẢI :

Ta có
0 0 0 0

180 55 115 10( )C = - + =Ð
. Kẻ DE
^
AM (E
∈
AC) Ta có
0
30DAM DMA DAM= =Ð Ð Þ D
cân tại D từ đó suy ra
0
120ADM =Ð
Và DE là đường
phân giác của góc ADM nên
0
60EDM BDM= =Ð Ð
do đó
( . . )EDC BDC c g c=D D
.
Xét 2 tam giác BMC và EMC có BC = EC
0
5MCB MCE= =Ð Ð
, MC chung Do đó
3

0 0 0 0 0
9 180 180 180 55 125. . )BMC EMC c g c BMC EMC DME DAE= = = - = - = - =D D Þ Ð Ð Ð Ð
BÀI 6:
Cho tam giác ABC cân trên cạnh đáy BC lấy đểm D sao cho CD = 2 BD. So sánh số đo
2 góc
BADÐ

Và
1
2
CADÐ

LỜI GIẢI :
Gọi M là trung điểm của DC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA .Ta
có
EMDAMC
∆=∆
Vì có MD = MC , MA = ME
EMDAMC
∠=∠
Nên DE = AC
Và

EA
∠=∠
3
Mặt khác
BD
∠>∠
1
(tính chất góc ngoài của tam giác ) do
3221
AAEADADEADACCDCB
∠>∠⇒∠>∠⇒>⇒>⇒∠>∠⇒∠=∠
Vì
321313213
2)..(( AAAAAAAcgcACMABDdoAA

∠+∠<∠⇒∠+∠>∠+∠⇒∆=∆∠=∠
Suy ra
DACBAD
∠<∠
2
1
BÀI 7:
Cho tamgiác ABC lấy điểm D thuộc nửa mf không chứa C bờ AB sao cho
DBDA
⊥
và
AD = AB . Lấy điểm E thuộc nửa mf không chứa B bờ AC sao cho
ACAE
⊥
và AE =
AC . So sánh diện tích 2 tam giác ADE và ABC.
LỜI GIẢI :

Ký hiệu S
ABC
là diện tích tam giác ABC .Trên tia đối của tia AB lấy B’ sao cho AB =
AB’,ta có
'ADB
∆
vuông cân ,suy ra AD = AB’ và AD
⊥
AB’.
4
Xét 2 tam giác DAE và B’AC có AD = AB’ , AE = AC ,
ABCDAE

SSACBDAEACBDAE
=⇒∆=∆⇒∠=∠
''
(1) .Mặt khác 2 tam giác B’AC
và ABC có AB’ = AB , cùng đường cao hạ từ đỉnh C do đó S
B’AC
= S
ABC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra S
ADE
= S
ABC
BÀI 8:
Cho tam giác ABC có AB> AC .Trên các cạnh AB , AC lấy các điểm M,N sao cho AM
= AN gọi K là giao điểm của BN và CN .Hãy so sánh độ dài của KB và KC .
LỜI GIẢI :

Trên đoạn AB lấy điểm I sao cho AI = AC khi đó
ANIAMC
∆=∆
(c.g.c)
MCNI
=⇒
(1) vì tam giác AIC cân tại A suy ra
0
90
<∠
AIC
( Tia IN nằm giữa 2 tia IA,IC ) . vì

00
90180
>∠⇒=∠+∠
BINBINAIN
Trong tam giác BIN góc là góc tù suy ra BN >
IN (2) . Từ (1)và (2) ta có BN > CM (3) . cũng do
ANIAMC
∆=∆
nên

ANIAMC
∠=∠
Vì
INMKMNANMAMN
=∠⇒∠=∠
ta lại có
KNMINM
∠<∠

(do I nằm giữa Mvà B ) do đó
KNKMKNMKMN
>⇒∠<∠
(4)
Từ (3) và (4) ta có BN+KM > CM+KN
⇒
BN –KN .> CM – KM
⇒
BK > CK
BÀI 9:
Cho tam giác ABC có góc ACB = 45

0
và góc A tù ..Kẻ tia BD cắt tia đối của tia CA tại
D sao cho góc CBD = góc ABC kẻ AH vuông góc với BD tại H tính số đo góc CHD.
LỜI GIẢI :

Gọi tia đối của tia AB là tia Ax .Xét tam giác ABH ta có :
5