tóm tắt Tập hút toàn cục đối với một lớp phương trình Parabolic phi tuyến chứa toán tử Caffarelli-Kohn-Nirenberg

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❇❸❈❍ P❍×Ñ◆●

❚❾P ❍Ó❚ ❚❖⑨◆ ❈Ö❈ ✣➮■ ❱❰■ ▼❐❚ ▲❰P
P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ P❆❘❆❇❖▲■❈ P❍■ ❚❯❨➌◆
❈❍Ù❆ ❚❖⑩◆ ❚Û
❈❆❋❋❆❘❊▲▲■✲❑❖❍◆✲◆■❘❊◆❇❊❘●

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙ß ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✹


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

❚❾P ❍Ó❚ ❚❖⑨◆ ❈Ö❈ ✣➮■ ❱❰■ ▼❐❚ ▲❰P
P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ P❆❘❆❇❖▲■❈ P❍■ ❚❯❨➌◆
❈❍Ù❆ ❚❖⑩◆ ❚Û
❈❆❋❋❆❘❊▲▲■✲❑❖❍◆✲◆■❘❊◆❇❊❘●

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿

●■❷■ ❚➑❈❍

▼➣ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✵✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙ß ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝

❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ✣➐◆❍ ❇➐◆❍

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✹


▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ tæ✐ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣
❞➝♥ ❝õ❛ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ✣➻♥❤ ❇➻♥❤✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❤÷î♥❣
❞➝♥✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✽ ♥➠♠ ✷✵✶✹
❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❇↕❝❤ P❤÷ñ♥❣

❳→❝ ♥❤➟♥ ❝õ❛ ❦❤♦❛ ❝❤✉②➯♥ ♠æ♥

❳→❝ ♥❤➟♥ ❝õ❛ ●❱ ❤÷î♥❣ ❞➝♥


ớ ỡ
ữủ t ữợ sỹ ữợ t t
ừ s ở ồ ổ ữủ
tọ ỏ t ỡ s s ỏ qỵ ố ợ t

ụ ỷ ớ ỡ t
ồ trữớ ồ sữ ồ

r t ồ ồ t t ủ
tr sốt q tr t ồ t t trữớ

t ỡ ỗ
t tr ợ ồ t ổ q t ở
ú ù t tr sốt tớ ồ t q tr
ú t t

õ ố s tớ ỹ ừ t õ
õ tr ọ ỳ t sõt t ữủ sỹ õ
õ ỵ ừ t ổ ũ t t ồ

t


Pữủ


✐

▼ö❝ ❧ö❝
▼Ð ✣❺❯
✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠✿
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥✿
❚➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝✿

✶
✼

✶✳✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✸✳✶

▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✸✳✷

❚➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✸✳✸

❙ü tç♥ t↕✐ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✶✳✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✶✳✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

❚➟♣ ❤ót ✤➲✉ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ✤ì♥ trà✿
▼ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣✿
✷ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❈Õ❆ ◆●❍■➏▼ ❨➌❯
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿
❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿
✸ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❚❾P ❍Ó❚ ❚❖⑨◆ ❈Ö❈
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ætæ♥æ♠✿
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠✿
❑➌❚ ▲❯❾◆
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

✷✷

✷✳✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✷✳✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✽

✸✳✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✸✳✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✸✽
✸✾

é
sỷ t tr ỵ ồ t
ữỡ tr r t õ t t
tr q tr ừ t õ ồ s ồ q
tr tr t t q tr tr sõ tr ỡ ồ t
ọ ự õ ồ ổ q t tr s ồ
ự ỳ ợ ữỡ tr õ ỵ q trồ tr
ồ ổ õ t út ữủ sỹ
q t ừ ồ tr t ợ t r
ự t t ú ừ t sỹ tỗ t t sỹ
ử tở tử ừ t ỳ t t
t ừ t trỡ t ừ
ự t t ú ừ t ự
t ừ tớ r ổ ũ rt q trồ õ
t ỹ t t tr ừ ở ỹ tr
tữỡ tứ õ t õ t õ ỳ t ủ t ữủ t
q ố t t ồ s ởt ữợ
ự ợ ữủ t tr tr t
tt ở ỹ ổ tt
ừ tt ở ỹ tt ữỡ tr
r tt ữỡ tr tữớ
t ồ t ỡ ừ tt
ự sỹ tỗ t t t ỡ ừ t út
số rt số sr sỹ ử tở tử
ừ t út t t t trỡ ừ t út s

út t ử ờ ởt t t t út tt
q ừ ự ỹ tổ t t ừ
ử t ợ ộ q trữợ ừ ởt tớ

T

tũ ỵ t t ữủ ởt q tr t út t ử

tớ ừ ợ ừ q s ừ ọ tr
ởt õ ở

T

t út t ử ử

trữớ ủ ổtổổ tr rt q tr õ ỹ ử
tở tớ õ rở t út
ở ỹ ổ ổtổổ rở ự t út
t út trữớ ủ q
tớ t t r ổ
r t t ồ ự t
ữủ t q tt t út ố ợ ợ ữỡ tr
r ố tờ
q ởt tr ỳ ợ ữỡ tr r ữủ
ự t ợ ữỡ tr r ợ ữỡ tr ổ
t q tr tr t õ ồ s ồ ữ q tr tr
t q tr ự t ổ t ồ tr s ồ
q t

ỹ tỗ t t út t ử ố ợ ữỡ tr ữỡ tr
r ỷ t t ổ s ữủ ự
t tr ổ
tử ừ t út t ử ố ợ t r ữủ
ự tr ổ tr
ỹ t t t q ở ỹ ởt tr
ỳ q trồ ừ t ỵ t ồ ố ợ ữỡ
tr ỡ tr ỵ tt tố ữ tỡ ỗ q trồ tr
tố õ tr tứ q ừ tt tố ở ỹ õ
tt t tr ởt ỵ tt tữỡ ữỡ ỷ q tr tr
r ỳ q õ ởt số ỵ tt ữớ t õ t
ự tr t ừ ú ỗ ỵ
tt tờ qt ừ ỵ tt ỹ út q ừ
s tt ỷ q tr tr ừ r


✸

❬✶✾❪✱❬✷✶❪✳ ◆❤í ♥❤ú♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ✤â✱ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t➟♣
❤ót ❣➛♥ ✤➙② ✤÷❛ r❛ sü ❦❤→❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤æ♥❣
t❤÷í♥❣ ❬✷✵❪✱ ❬✷✶❪✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❬✶✻❪✱ ❬✷✼❪✳✳✳
❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t
❝â ❜✐➯♥ ❧➔

∂Ω

Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ RN , N ≥ 2

✈➔ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉✿

∂u
− div(|x|−pγ |∇u|p−2 ∇u) + f (t, u) = g(x, t), x ∈ Ω,
∂t
u|t=τ = uτ (x), x ∈ Ω,
u|∂Ω = 0,
τ ∈ R, uτ ∈ L2 (Ω)✱

t > τ✱
(1.1)

p, γ

t❤ä❛

g ∈ L2c (R; L2 (Ω)) tr♦♥❣ ✤â L2c (R; L2 (Ω)) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝
2
2
❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ Lloc (R; L (Ω)) ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✶

❤➔♠

tr♦♥❣ ✤â

❢ ♣❤✐ t✉②➳♥✱ ♥❣♦↕✐ ❧ü❝ ❣✱ ❝→❝ sè

♠➣♥ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿

✭❍✶✮✿

✈î✐

f :R×R→R

❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ t❤ä❛ ♠➣♥✿

|f (t, u)| ≤ C1 |u|q−1 + k1

(1.2)

uf (t, u) ≥ C2 |u|q − k2

(1.3)

q ≥ 2, C1 , C2 , k1 , k2

❧➔ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣❀

✭❍✷✮✿

❞÷î✐

✤➙②❀

✭❍✸✮✿

2N
≤p≤2
N +2

✈➔

N N
N
−
≤γ+1< .
p
2
p

❚❛ ✤÷❛ r❛ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❍✶✮✲✭❍✸✮✳ P❤✐ t✉②➳♥ ❢ ❣✐↔ sû ❝â ♠ët sü ♣❤→t tr✐➸♥
✤❛ t❤ù❝ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥✳
▼ët ✈➼ ❞ö ✤✐➸♥ ❤➻♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❍✶✮ ❧➔

f (t, u) = |u|q−2 u.arctant, q ≥ 2

✭①❡♠ ❬✼❪ ❝❤÷ì♥❣ ✺ ♣❤➛♥ ✸✳✸ ✈➔ ✸✳✺✮ ❞à❝❤

❣å♥ ❝→❝ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ tr♦♥❣

L2loc (R; L2 (Ω))✳

✭❍✸✮ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤↔♠






1,p
D0,

()

ổ ữủ tỹ õ q

t ữủ tr ừ
q trồ ự sỹ tỗ t ừ t
sỷ ử ữỡ t t õ
q t tự rrr õ ự ởt số
q trồ ừ ữỡ tr r ữ ữỡ
tr t ỷ t t
s

p = 2

= 0, p = 2

ữỡ tr r

ữỡ tr

= 0, p = 2

ỹ tỗ t t t ừ t t út ữủ sỹ q
t ừ ồ tr ỳ
sỹ t tốt t ừ ú tổ ữớ ữ t ữủ ữ r tr
tớ t
r ợ ử t ỹ tr t q ừ ổ tr
ú tổ ự tr tt t
q ữợ tổ q t út t ử tố t
ỷ q tr tr é ổ õ sỹ ừ

t ố ợ ự sỹ tỗ t
ừ t ữ ổ tố ữ ữ r
ú t sỷ ử tt t út q tr
tr t ữớ ố ừ ữỡ ữủ sỷ ử tr
ữỡ tr r ổ s ú
tổ ự sỹ tỗ t t út t ử tr trữớ ủ ổtổổ
ổ ổtổổ ữ ỵ r t ổ ử tở tớ
t sỹ tỗ t t t ởt ừ ữỡ tr ữủ
trữớ ủ s ỷ t t ử t

g=0



p = 2

ữủ

ự tr ú ỵ õ ờ s

fu (t, u) C3 tt t > u R ởt tt
(f (t, u) f (t, v)).(u v) C |u v|2 ợ t > u, v R t

tr ử
ỡ

õ t ự r sỹ tỗ t t ừ t

ợ ỳ tr ú tổ ỹ ồ ự sỹ tỗ
t ừ t ự sỹ tỗ t t út t

ử ừ t tr trữớ ủ ổtổổ ổ ổtổổ


✺
❧➔♠ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✈î✐ t➯♥ ❣å✐ ✿ ✧❚➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝

✤è✐ ✈î✐ ♠ët ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❝❤ù❛ t♦→♥ tû ❈❛❢❢❛r❡❧❧✐✲
❑♦❤♥✲◆✐r❡♥❜❡r❣✧✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✿
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐
t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✈➔ sü tç♥ t↕✐ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝ ✤è✐ ✈î✐ ♠ët ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❝❤ù❛ t♦→♥ tû ❈❛❢❢❛r❡❧❧✐✲❑♦❤♥✲◆✐r❡♥❜❡r❣✳

✸✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤✿
✲ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✤➣ ♥➯✉ tr➯♥ ✈î✐ ❤❛✐ ♥ë✐ ❞✉♥❣ s❛✉✿

•

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳

•

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü tç♥ t↕✐ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝ ✤è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❤❛✐

tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ætæ♥æ♠ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠✳

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿
•

❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ●❛❧❡r❦✐♥ ✈➔ ✤→♥❤ ❣✐→ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠

✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮✳

•

❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝♦♠♣❛❝t ✈➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tr♦♥❣ ❧➼ t❤✉②➳t

❝õ❛ ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ✈æ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü tç♥ t↕✐ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝
❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ætæ♥æ♠ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠✳

✺✳ ❇è ❝ö❝ ❝õ❛ ▲✉➟♥ ✈➠♥✿
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❜❛♦ ❣ç♠✿ ▼ð ✤➛✉✱ ✸ ❝❤÷ì♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤✱ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....