tài liệu toán ôn thi vào 10 cấp tốc

PHN I:
H THNG CC VN C BN CA TON 9
---***--VN I: RT GN BIU THC CHA CN BC HAI

A. Kin thc cn nh:
A.1. Kiến thức cơ bản

A.1.1. Căn bậc hai

a. Căn bậc hai số học
- Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0
x 0

- Một cách tổng quát: x = a

2
x = a

b. So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có: a < b a < b
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = A
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn
A xác định (hay có nghĩa) A 0
b. Hằng đẳng thức A2 = A
- Với mọi A ta có A2 = A
- Nh vậy: + A2 = A nếu A 0
+ A2 = A nếu A < 0

A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng

a. Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có: A.B = A. B
+ Đặc biệt với A 0 ta có ( A )2 = A2 = A
b. Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của các thừa số không
âm, ta có thể khai phơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm,
ta có thể nhân các số dới dấu căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng
a. Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có:

A
=
B

A
B

b. Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a
không âm và b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ
nhất chí cho kết quả thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số
b dơng ta có thể chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đa thừa số ra ngoài dấu căn
1


- Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có A2 B = A B , tức là
+ Nếu A 0 và B 0 thì A2 B = A B
+ Nếu A < 0 và B 0 thì A2 B = A B
b. Đa thừa số vào trong dấu căn

+ Nếu A 0 và B 0 thì A B = A2 B
+ Nếu A < 0 và B 0 thì A B = A2 B
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có

A
=
B

AB
B

d. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
A
A B
=
B
B

- Với các biểu thức A, B, C mà A 0 và A B 2 , ta có
C
C ( A B)
=
A B2
AB

- Với các biểu thức A, B, C mà A 0, B 0 và A B , ta có
C ( A B)
C

=
A B
A B

A.1.6. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
- Với mọi a thì ( 3 a )3 = 3 a3 = a
b. Tính chất
- Với a < b thì 3 a < 3 b
- Với mọi a, b thì 3 ab = 3 a . 3 b
- Với mọi a và b 0 thì

3

a 3a
=
b 3b

A.2. Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi chuyên
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n ( 2 n N ) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
2

Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0

c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là

2k

a và 2k a

d. Các phép biến đổi căn thức.



A. xác định với A
2k
A. xác định với A 0
2 k +1
A2 k +1 = A với A
2 k +1

2k

A.B = 2 k A .2 k B với A, B mà A.B 0
A2 k +1.B = A.2 k +1 B với A, B

2 k +1
2k



A.B = 2 k +1 A.2 k +1 B với A, B

2 k +1
2k



A2 k = A với A

A2 k .B = A .2 k B với A, B mà B 0
A
=
B

2 k +1

2k

A
=
B

m n



m

2 k +1
2 k +1

2k

A

2k

B

A
với A, B mà B 0
B

với A, B mà B 0, A.B 0

A = mn A với A, mà A 0

A =A
n

m
n

với A, mà A 0

B. MT S BI TP Cể LI GII.
Bi 1: Tớnh:
a. A =

3- 3

2- 3 + 2 2
b. B = +
c. C = 5. + . +

+

3+ 3
2+ 3 - 2 2

HNG DN GII:
3


a. A =

3- 3
2=

3+ 3

+

3+ 2 2
2( 3 - 3)

+

2+ 3 - 2 2
2( 3 + 3)

.

4- 2 3 + 4
4+ 2 3 - 4
2( 3 - 3)
2( 3 + 3)
=
+
3 - 1+ 4
3 + 1- 4
2
2( 3 - 3) + 2( 3 + 3) 2
=
3- 9
24 2
=
=- 4 2
- 6
b. B = + =

= = =3

c. C = 5. + . + = 5. + . +
= + + =3


Bài 2: Cho biểu thức A = 

1

x− x

+


 :
x −1
1

(

x +1

)

x −1

2

a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A

b) Tim giá trị của x để A =

1
.
3

c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x
HƯỚNG DẪN GIẢI:

a). Điều kiện 0 < x ≠ 1

Với điều kiện đó, ta có: A = x
b). Để A =
Vậy x =

1
thì
3

x −1
x

=

(

x +1

:

) (

x −1

x +1

)

x −1

2

=

x −1
x

1
3
9
⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện)
3
2
4

1
9
thì A =
3
4

c). Ta có P = A - 9 x =


1 
− 9 x = −9 x +
÷+ 1
x
x


x −1

Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 9 x +
Suy ra: P ≤ −6 + 1 = −5 . Đẳng thức xảy ra khi 9 x =

1
x

⇔x=

1
x

≥ 2 9 x.

1
x

=6

1
9

4


Vy giỏ tr ln nht ca biu thc P = 5 khi x =

1
9

x +4
. Tớnh giỏ tr ca A khi x = 36
x +2

Bi 3: 1) Cho biu thc A =



x

4

x + 16

+
2) Rỳt gn biu thc B =
ữ:
(vi x 0; x 16 )

x 4ữ
x +4
x +2
3) Vi cỏc ca biu thc A v B núi trờn, hóy tỡm cỏc giỏ tr ca x nguyờn giỏ
tr ca biu thc B(A 1) l s nguyờn
HNG DN GII:
36 + 4 10 5
=
=
36 + 2 8 4

1) Vi x = 36 (Tha món x >= 0), Ta cú : A =
2) Vi x 0, x 16 ta cú :

x( x 4) 4( x + 4) x + 2
(x + 16)( x + 2)
x +2
+
=
ữ
=
ữ
x 16 x + 16
(x 16)(x + 16) x 16
x 16

B =

3) Ta cú: B( A 1) =

x +2 x +4
x +2
2
2
.
1ữ
=
.
=
.
ữ
x 16 x + 2 x 16 x + 2 x 16

B( A 1) nguyờn, x nguyờn thỡ x 16 l c ca 2, m (2) = { 1; 2 }
Ta cú bng giỏ tr tng ng:
x 16 1
1
2
2
x
17
15
18
14
Kt hp K x 0, x 16 , B( A 1) nguyờn thỡ x { 14; 15; 17; 18 }
Bi 4: Cho biểu thức:
P=

x
( x +

y )(1

y )



y
x +

(

xy



) (

y) x +1

)(

x + 1 1 y

)

a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.
HNG DN GII:
a). Điều kiện để P xác định là :; x 0 ; y 0 ; y 1 ; x + y 0 .

P=

=

=

(

x(1 +

(

x +

x ) y (1

(

) (1 +

x +

y

)(

x

y

y ) xy

x +

) (1 y )

y +x

y

)

xy + y xy

=

)

(

)

( x y ) + x x + y y xy

(

x +

)(

y 1+

)(

(

x 1

x +
y

)

y

)

)( y)
x ( x + 1) y ( x + 1) + y ( 1 + x ) ( 1 x )
(1 + x ) (1 y )
x +

)(

x

(

y 1+

x 1

5


=

x y + y y x

(1 y )

(

)(

x 1

=

y 1+

y

)



(1 y )

(

y 1

y

)

=

x +

xy

y.

Vậy P = x + xy y.
b) KX: x 0 ; y 0 ; y 1 ; x + y 0
P = 2 x + xy y. = 2




(

(

x1+

) (

y

)(

x 1 1 +

)

)

y +1 =1

y =1

Ta có: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn).
2 x 9

Bi 5:Cho biểu thức M =

x5 x +6

+

2 x +1
x 3

+

x+3

2 x

a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x Z để M Z.
HNG DN GII:
M=

2 x 9
x5 x +6

+

2 x +1
x 3

x +3

+

2 x

a.ĐK x 0; x 4; x 9
Rút gọn M =

2 x 9

(

0,5đ

(

Biến đổi ta có kết quả: M =
M=
x 1

b. . M =5

(

x 3

)(

) (

)(

x + 3 x 3 + 2 x +1
x 2 x 3

(
(
(

)(

)

x 2

)

x x 2

)( x 3)
x +1)( x 2 )
M
x 3)( x 2 )
x 2

=

x +1
x 3

=5

)

x +1 =5

x 3

x +1 =5

x 15

16 =4 x

16
x =
=4 x =16
4

6


Đối chiếu ĐK: x 0; x 4; x 9
c. M =

x +1
x 3

=

x 3 + 4
x 3

Vậy x = 16 thì M = 5

=1 +

Do M z nên x 3 là ớc của 4

4
x 3
x 3 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4

Lập bảng giá trị ta đợc:

x {1;4;16;25;49} vì x 4 x {1;16;25;49}

Bi 6: Cho biu thc P = ( - )2 . ( - ) Vi a > 0 v a 1
a) Rỳt gn biu thc P
b) Tỡm a P < 0
HNG DN GII:
a) P = ( - )2 . ( - ) Vi a > 0 v a 1
P =(

a
1 2 a 1
a +1

) .(

)
2 2 a
a +1
a 1

a a 1 2 ( a 1)2 ( a + 1)2
P =(
).
2 a
( a + 1)( a 1)
P =(
P=

a 1 2 a 2 a +1 a 2 a 1
).

a 1
2 a

(a 1)4 a 1 a
=
4a
a

Võy P =

1 a
Với a > 0 v a 1
a

b) Tỡm a P < 0
Vi a > 0 v a 1 nờn > 0
P = < 0 1 - a < 0 a > 1 ( TMK)
Bi 7: Cho biu thc: Q = - ( 1 + ) :
a) Rỳt gn Q
b) Xỏc nh giỏ tr ca Q khi a = 3b
HNG DN GII:
a) Rỳt gn:
Q= -(1+):
7


= -.
= - =
= =
b) Khi có a = 3b ta có:

Q= = =

Bài 8: Cho biểu thức
 1
1 
2
1
A = 
+
.
+ +
y  x + y x
 x

3
3
1 x + y x + x y + y
:
y 
x 3 y + xy 3

a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Đkxđ : x > 0 , y > 0
 1
1 
2
1


A
=
+
.
+ +

a)
y  x + y x
 x

1
:
y 

 x+ y
2
x + y 
=
.
+
:


xy
xy
x
+
y




(

 2
x + y 
=
+
:
 xy

xy



(
=

x+ y
xy

b) Ta có 


)

2

A=

xy

)

x+

y

x+

=

xy

y

2

y

xy

≥

2

Vậy min A = 1 khi

)

(

x+ y

)

(

x+ y

)

.

y  ≥ 0 ⇔ x + y − 2


x−

x+

)(

x + y x − xy + y + xy

xy ( x + y )

⇔
Do đó

x 3 y + xy 3

y ( x + y)

x+

xy

.

(

x3 + y x + x y + y3

xy
xy

=

x+
2

16
16

xy ≥ 0

y ≥2
=1

xy .

( vì xy = 16 )


 x= y
⇔ x = y = 4.

xy
=
16



Bài 9: Cho biểu thức:


1
x − 3  2
x+ 2

P = 
−
 
−

x
−
x
−

1
x
−
1
−
2
2
−
x
2
x
−
x



8


a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
c) Tính giá trị của P với x = 3 − 2 2 .

b) Rút gọn biểu thức P.

HƯỚNG DẪN GIẢI:




a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 




x > 0
x ≥1
x ≥1


⇔
⇔x ≠ 2
x ≠ 2
x ≠ 3


x ≠ 3

x >0
x −1 ≥ 0
2 − x ≠0
x −1 − 2 ≠ 0

b) Đkxđ : x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠ 3

P =




=


(

1
x − x −1

(


2

−


x −1 − 2  2 − x
x −3

−

x + x −1

x − x −1

)(

)

x + x −1

(

( x − 3) (

−

) (

x+ 2

2x − x 


x −1 − 2

)

)


2
−

x −1 + 2  2 − x

x −1 + 2

)(

)

x

 x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  2 x − x − 2
=
−
.
x
−
(
x
−
1
)
(
x
−
1
)
−
2
x 2− x



(

)

(

(

)

 x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  − 2 − x
.
= 
−
 x 2− x
x
−
x
+
1
x
−
3



=

(

) − x1 = (

x + x −1 − x −1 − 2 .

c) Thay x = 3 − 2 2 =
P=

2−

(

(

(
)

2 −1

)

2 −1

2

)

(

)

x − 2 .( − 1)
x

=

)

=

2

2−

2 −1

2 −1

=

)

)

2 − 1 vào biểu thức P =
2

(



2− x 

x+ 2

2− x
x

2− x
, ta có:
x

2 − 2 +1
2 −1

=

1
2 −1

= 2 +1

Bài 10: Cho biểu thức:
4 x
8x
x −1
2
+
):(
−
)
P =(
2+ x 4−x
x −2 x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1

c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x − 3) P > x + 1
9


HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có: x − 2 x = x ( x − 2)
x ≥ 0

x > 0
 x ≠0
⇔
• ĐKXĐ: 
x ≠ 4
4 − x ≠ 0
 x −2≠ 0

•

Với x > 0 và x ≠ 4 ta có:
P= (

4 x
8x
x −1
2
−
):(
−
)
2+ x x −4

x ( x − 2)
x

=

4 x ( x − 2) − 8 x
:
( x − 2)( x + 2)

=

4 x − 8x − 8x
:
( x − 2)( x + 2)

=

−4 x −8 x
:
( x −2)( x + 2)

=

x −1 − 2( x − 2)
x ( x − 2)
x −1 − 2 x + 4
x ( x − 2)
− x +3
( Đk: x ≠ 9)
x ( x −2)

−4 x ( x + 2)
x ( x − 2)
.
( x − 2)( x + 2)
3− x

−4 x . x ( x − 2)
(3 − x )( x − 2)
4x
=
x −3
=

Với x > 0 , x ≠ 4, x ≠ 9 thì P =

4x
x −3

b) P = - 1
4x
⇔
= −1 ( ĐK: x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9 )
x −3

⇔ 4x = 3 − x
⇔ 4x − 3 − x = 0

Đặt

x = y đk y > 0

Ta có phương trình: 4 y 2 − y − 3 = 0

Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0

⇒ y1 = −1 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0),

y2 =

3
( thoả mãn ĐKXĐ y > 0)
4
10


Với y =

3
9
= x thì x =
( thoả mãn đkxđ)
16
4

Vậy với x =
c) m( x − 3) P > x +1

9
thì P = - 1

16

(đk: x > 0; x ≠ 4, x ≠ 9 )

4x
> x +1
x −3

⇔ m( x − 3)
⇔ m.4 x > x +1

x +1
4x
( Do 4x > 0)
x +1
x
1
1
1
=
+
= +
• Xét
4x
4x 4x
4 4x
Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ)
⇔m >

⇔

1 1
< ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)
x 9

1
1
⇔
<
4x
36
1
1
1
1
⇔ +
< +
4
4x
4
36
1
1
5
⇔ +
<
4
4x
18

 5 x +1
>

5
18
4x
⇒m≥
Theo kết quả phần trên ta có : 
18
m > x + 1

4x


Kết luận: Với m ≥

5
, x > 9 thì m( x − 3) P > x + 1
18

C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
C©u 1 Cho biểu thức :
A=(

1
x −1

+

x2 −1

) .
− 1− x2
2
x +1
1

2

1) Tim điều kiện của x để biểu thức A cã nghĩa .
2) Rót gọn biểu thức A .
3) Giải phương tr×nh theo x khi A = -2 .
11


C©u2 Cho biểu thức : A = (

2 x+x
x x −1

−


x +2 

) : 
x − 1  x + x + 1 
1

a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của A khi x = 4 + 2 3

C©u3 Cho biểu thức : A =

x +1

:

1

x x +x+ x x − x
2

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
 1

1

 

1

1



1

+
−
C©u4 Cho biểu thức : A= 

÷: 
÷+
 1- x 1 + x   1 − x 1 + x  1 − x
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
 a a −1 a a + 1  a + 2
−
÷
÷:
 a− a a+ a  a−2

C©u 5 Cho biểu thức : A = 

a. T×m §KX§
b) Rót gän biÓu thøc A
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó A nguyªn.


x   1
2 x
:
−
C©u 6 Cho biểu thức P = 1 +
÷
÷− 1
x
+
1
x

−
1
x
x
+
x
−
x
−
1

 

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trịn nguyên của x để P − x nhậ giá trị nguyên.
 a + a 
a− a 
C©u 7 Cho P = 1 +
÷1 −
÷; a ≥ 0, a ≠ 1
a
+
1
−
1
+
a




a) Rót gọn P.
b) T×m a biết P > − 2 .
c) T×m a biết P = a .
C©u 8 Cho P = (

1 − 2x ) − 16x 2
1
; x≠±
2
1 − 4x
2
−2
a) Chứng minh P =
1 − 2x
3
b) Tính P khi x =
2

2.Tính Q =

2

2 + 5 − 24
12

12


 x +1
x −1 8 x   x − x − 3

1 
−
−
−
C©u 9 Cho biểu thức B = 
÷: 
÷
x
−
1
x
−
1
x
−
1
x
+
1
x
−
1

 

a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 2 2 .
c) Chứng minh rằng B ≤ 1 với mọi gía trị của x thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 1 .

 1

  1
+ 1 − a ÷: 
+ 1÷
C©u 10 Cho M = 
 1+ a
  1− a2

a) Tìm TXĐ
b) Rút gọn biểu thức M.
3
c) Tính giá trị của M tại a =
.
2+ 3
a+ a

 a− a



+ 1 ⋅ 
− 1 ; a ≥ 0, a ≠ 1 .
C©u 11 Cho biểu thức: A = 
a
+
1
a
−
1

 


1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2



y

 2 xy

y

:
+
; x > 0, y > 0, x ≠ y .
C©u 12 Cho biểu thức: S = 
 x− y
x
+
xy
x
−
xy


1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.

x +2
x − 2  x +1

⋅
−
; x > 0, x ≠ 1 .
C©u 13 Cho biểu thức: Q = 

x
−
1
x
+
2
x
+
1
x



a. Chứng minh Q =

2
x −1

b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
 1

  x +2

1

x +1 

 ; x > 0 , x ≠ 1, x ≠ 4 .
 : 
−
C©u 14 Cho biểu thức: A =  −

x
x
−
1
x
−
1
x
−
2

 

1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.

C©u 15 Rút gọn biểu thức: A =
C©u 16 Cho biểu thức: T =

a +1
a2 −1 − a2 + a

x+2

x x −1

+

x +1
x + x +1

−

+

1
a −1 + a

+

a3 − a
a −1

; a > 1.

x +1
; x > 0, x ≠ 1 .
x −1

1. Rút gọn biểu thức T.
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T<1/3.
C©u 17 Cho biểu thức: M =

1− x

1− x

−

1−

( x)

3

1+ x + x

; x ≥ 0; x ≠ 1.

1. Rút gọn biểu thức M.
13


2. Tỡm x M 2.
Bai 18: Cho biu thc :

2mn
2mn
1
A= m+
+ m
1+ 2
2
2 ữ
1+n

1+ n
n


vi m 0 ; n 1

a) Rỳt gn biu thc A.
b) Tỡm giỏ tr ca A vi m = 56 + 24 5 .
c) Tỡm giỏ tr nh nht ca A.


a+3 a +2
a+ a 1
1


:
+
Bi 19: Cho biu thc P =
ữ
a + 2 a 1
a 1 a +1
a 1


a) Rỳt gn P.
1
a +1
b) Tỡm a
1

P
8


x 1
2 x

Bi 20: Cho biu thc P = 1 +
ữ:
ữ 1
x
+
1
x

1
x
x
+
x

x

1



a) Tỡm KX v Rỳt gn P
b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P x nhn giỏ tr nguyờn.

(

)(

)

VN 2: PHNG TRèNH BC HAI MT N S
A. KIN THC CN NH:
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
ax 2 + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và a 0
II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a 0)
= b 2 4ac

*) Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

b +
b
; x2 =
2a
2a

14


*) Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép :
x1 = x 2 =

*) Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm.

b
2a

III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a 0) và b = 2b '
' = b '2 ac
b '+ '
b ' '
*) Nếu ' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1 =
; x2 =
b '
*) Nếu ' = 0 phơng trình có nghiệm kép : x1 = x 2 =
a
*) Nếu ' < 0 phơng trình vô nghiệm.

a

a

IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a 0) thì :
b

x1 + x 2 = a

x x = c
1 2 a

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :
x 2 Sx + P = 0

(Điều kiện để có u và v là S2 4P 0 )
3. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a 0) có hai nghiệm :
c
a
2
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax + bx + c = 0(a 0) có hai nghiệm :
c
x1 = 1; x 2 =
a
x1 = 1; x 2 =

IV: Cỏc b iu kin phng trỡnh cú nghim tha món c im cho trc:
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm dơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S < 0
15

12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
B. MT S BI TP Cể LI GII:
Bài 1. Giải các phơng trình sau :
a / 2x 2 8 = 0

c / 2x 2 + 3x + 5 = 0

b / 3x 2 5x = 0

d / x 4 + 3x 2 4 = 0
x+2
6
f/
+3=
x 5
2x

e / x 3 + 3x 2 2x 6 = 0

Giải
a / 2x 8 = 0 2x = 8 x = 4 x = 2
Vậy phơng trình có nghiệm x = 2
2

2

2

x = 0
x = 0
b / 3x 5x = 0 x(3x 5)

x = 5
3x 5 = 0
3

5
Vậy phơng trình có nghiệm x = 0; x =
3
2
c / 2x + 3x + 5 = 0
2

Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phơng trình có nghiệm : x1 = 1; x 2 =
d / x 4 + 3x 2 4 = 0

5 5
=
2 2

Đặt t = x 2 (t 0) . Ta có phơng trình : t 2 + 3t 4 = 0
a+b+c=1+3-4=0
4
= 4 < 0 (loại)
1
Vi: t = 1 x 2 = 1 x = 1

Vậy phơng trình có nghiệm x = 1

=> phơng trình có nghiệm : t1 = 1 > 0 (thỏa mãn);

t2 =

e / x 3 + 3x 2 2x 6 = 0 (x 3 + 3x 2 ) (2x + 6) = 0 x 2 (x + 3) 2(x + 3) = 0 (x + 3)(x 2 2) = 0
x = 3
x + 3 = 0
x = 3
2
2

x 2 = 0
x = 2
x = 2

Vậy phơng trình có nghiệm x = 3; x = 2
x+2
6
+3=
(ĐKXĐ : x 2; x 5 )
x 5
2x
x+2
6
+3=
Phơng trình :
x 5
2x

f/

16


(x + 2)(2 x) 3(x 5)(2 x)
6(x 5)
+
=
(x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x)
(x + 2)(2 x) + 3(x 5)(2 x) = 6(x 5)


4 x 2 + 6x 3x 2 30 + 15x = 6x 30
4x 2 + 15x + 4 = 0
= 152 4.(4).4 = 225 + 64 = 289 > 0; = 17
15 + 17
1
= (thỏa mãn ĐKXĐ)
=> phơng trình có hai nghiệm : x1 =
2.( 4)
4
15 17
x2 =
= 4 (thỏa mãn ĐKXĐ)
2.(4)

Bài 2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m : x 2 + mx + m + 3 = 0 (1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình. Tính x12 + x 22 ; x13 + x 32 theo m.

c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x12 + x 22 = 9 .
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá
trị của m.
HNG DN GII:
a/ Thay m = - 2 vào phơng trình (1) ta có phơng trình :
x 2 2x + 1 = 0
(x 1) 2 = 0
x 1 = 0
x =1

Vậy với m = - 2 phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phơng trình : x 2 + mx + m + 3 = 0 (1) Ta cú: = m 2 4(m + 3) = m 2 4m 12
Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
x1 + x 2 = m
x1x 2 = m + 3

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

(a)
(b)

*) x12 + x 22 = (x1 + x 2 ) 2 2x1x 2 = ( m) 2 2(m + 3) = m 2 2m 6
*) x13 + x 32 = (x1 + x 2 )3 3x1x 2 (x1 + x 2 ) = (m)3 3(m + 3)(m) = m 3 + 3m 2 + 9m
c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
Khi đó x12 + x 22 = m 2 2m 6
Do đó x12 + x 22 = 9 m 2 2m 6 = 9 m 2 2m 15 = 0
'(m) = (1) 2 1.(15) = 1 + 15 = 16 > 0; (m) = 4

1+ 4
1 4
= 5; m 2 =
= 3
1
1
+) Với m = 5 = 7 < 0 => loại.
+) Với m = 3 = 9 > 0 => thỏa mãn.

=> phơng trình có hai nghiệm : m1 =
Thử lại :

17


Vậy với m = - 3 thì phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x12 + x 22 = 9 .
d/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
x1 + x 2 = m
x1x 2 = m + 3

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

(a)
(b)

Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5
(c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phơng trình :
x1 + x 2 = m
3x + 3x 2 = 3m

x = 3m 5
x = 3m 5
1
1
1

2x1 + 3x 2 = 5
2x1 + 3x 2 = 5
x 2 = m x1
x 2 = 2m + 5
x1 = 3m 5
vào (b) ta có phơng trình :
x 2 = 2m + 5

Thay

(3m 5)(2m +5) = m +3
6m 2 15m 10m 25 = m +3
6m 2 26m 28 = 0
3m 2 +13m +14 = 0
(m) =132 4.3.14 =1 > 0

13 + 1
= 2
2.3
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
13 1
7
m2 =
=

2.3
3
Thử lại :
+) Với m = 2 = 0
=> thỏa mãn.
7
25
+) Với m = = > 0 => thỏa mãn.
3
9
7
Vậy với m = 2; m = phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
3
e/ Phơng trình (1) có nghiệm x1 = 3 (3) 2 + m.(3) + m + 3 = 0 2m + 12 = 0 m = 6
Khi đó : x1 + x 2 = m x 2 = m x1 x 2 = 6 (3) x 2 = 3
m1 =

Vậy với m = 6 thì phơng trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu ac < 0 1.(m + 3) < 0 m + 3 < 0 m < 3
Vậy với m < - 3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
x1 + x 2 = m
m = x1 x 2

x1 x 2 = x1x 2 3

x1x 2 = m + 3
m = x1 x 2 3

Vy h thc liờn h gia x1; x2 khụng ph thuc vo m l: x1.x2 + (x1 + x2 ) 3 = 0

Bài 3:
Cho phơng trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
18


HNG DN GII:
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =

3
(là nghiệm)
2

+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: =12- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm = 3m-2 0 m

2
3

2
thì phơng trình có nghiệm
3
3
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x = (là nghiệm)
2

+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m

+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất = 3m-2 = 0 m =
Khi đó x =



2
(thoả mãn m 1)
3

1
1
=
=3
2
m 1
1
3

+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
với m =

3
2

2
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
3

c) Do phơng trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:

(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m =
Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =

3
4
3
1
-1= 0)
4
4

3
3
=
= 12 x 2 = 6
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m 1 1
4
3
Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6
4

Bài 4: Cho phơng trình: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phơng trình thoả mãn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
HNG DN GII:
19

2

1 15

a) Ta có: = (m-1) ( 3 m ) = m +
2
4



2

2

15
1
Do m 0 với mọi m; > 0 > 0 với mọi m
4
2


Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 3 m < 0 m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0

2(m 1) < 0
m < 1


m < 3
(m + 3) > 0
m < 3

Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 6m + 10
Theo bài A 10 4m2 6m 0 2m(2m-3) 0
m 0

m 0
m 3

3

m

2
2 m 3 0





2

m 0

m

0



m 0

3
2m 3 0
m
2


Vậy m

3
hoặc m 0
2

e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
x1 + x 2 = 2(m 1)
x + x 2 = 2m 2
. 1
x1 .x 2 = (m + 3)
2 x1 .x 2 = 2m 6

Theo định lí Viet ta có:

x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
8+ x

2
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) x1 = 1 + 2 x
2

Vậy x1 =

8 + x2
1 + 2 x2

1
2

( x2 )

Bài 5: Cho phơng trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
20


1

1

2

1

c) Lập phơng trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 + x ; y 2 = x 2 + x với x1; x2 là nghiệm
của phơng trình ở trên
HNG DN GII:
a) Ta có = 12 (m-1) = 2 m
Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
' 0
2 m 0
m 2



m=2
m 1 = 1
m = 2
P = 1

Vậy m = 2
b) Ta có = 12 (m-1) = 2 m
Phơng trình có nghiệm 0 2 m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
x1 + x 2 = 2
2 x + 2 x 2 = 4
x = 5
x = 5
1
1

1
3 x1 + 2 x 2 = 1 3 x1 + 2 x 2 = 1
x1 + x 2 = 2
x 2 = 7

Từ (1) và (3) ta có:

Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m 1 (2)
Khi đó: y1 + y 2 = x1 + x 2 +
y1 y 2 = ( x1 +

x + x2
1
1
2
2m
+
= x1 + x 2 + 1
= 2 +
=
(m1)
x1 x 2
x1 x 2
m 1 1 m

1
1

1
1
m2
)( x 2 + ) = x1 x 2 +
+ 2 = m 1+
+2=
(m1)
x2
x1
x1 x 2
m 1
m 1

y1; y2 là nghiệm của phơng trình: y2 -

2m
m2
.y +
= 0 (m1)
1 m
m 1

Phơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

21


C. MT S BI TP T LUYN
Bài 1Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1).
Tìm tất cả các số nguyên m để phơng trình (1) có nghiệm nguyên.

HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 x = 1
* m1 :

m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 x1 = 1 ; x 2 =
m 1 = 1;2 m { 1;0;2;3}

m +1
2
= 1+
m 1
m 1

Bài 2: Cho phơng trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 .
Xác định m và n để phơng trình có 2 nghiệm là 3 và -2.
HDẫn :

6m 3n = 6
m = 2


4m + 3n = 14
n = 2

Bài 3: Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là

1
:
2

mx2 + (mn + 1)x + n = 0

HDẫn :


m 0
m = 2



= 0
1
n=
m

1

2
+ ( mn + 1). + n = 0
2
4

Bài 4: Cho hai phơng trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn : 1 + 2 = 26 > 0 có 1 biệt số không âm .
Bài 5: Cho hai phơng trình : x2 + (m - 2)x +

m
=0
4

(1)

và 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2)
22


CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn : 1 = (m 1)(m 4) ; 2 = 16(1 m)(m 4)
1 . 2 = 16(m 1) 2 (m 4) 2 0 có 1 biệt số không âm .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x2 + 2x + m = 0
x2 + mx + 2 = 0
HDẫn : (m -2)x 0 = m - 2

: + m =2 : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x +2 = 0 ( vô nghiệm)
+ m 2 : x 0 = 1 ; m = -3
Bài 7: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
HDẫn : (m - 4)x 0 = m - 4
nghiệm)

: + m = 4 : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x +3 = 0 ( vô

+ m 4 : x 0 = 1 ; m = -2
Bài 8 : Gọi x1 và x2 là những nghiệm của phơng trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn :
3 x1 5 x 2 = 6

HDẫn :

4
* = (3k + 4) 0 k
3
2

k = 0
*
32
k =
15


(t/m)

Bài 9 : Cho phơng trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. Xác định m để giữa hai
x1 , x 2 ta có hệ thức : 3 x1 x 2 5( x1 + x 2 ) + 7 = 0
nghiệm
HDẫn :

7
* = 4m 7 0 m
4

m = 2
*
4
m=
3

loại m =

4
3

Bài 10: Cho phơng trình x 2 2( m + 2) x + m + 1 = 0 . Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng
trình. Tìm giá trị của m để x1 (1 2 x 2 ) + x 2 (1 2 x1 ) = m 2
2

HDẫn :

3
3
* ' = m + + > 0


2

4

m = 0
m = 2

2
* x1 (1 2 x 2 ) + x 2 (1 2 x1 ) = m 2 x1 + x 2 4 x1 x 2 = m m( m + 2) = 0

Bài 11: Cho phơng trình x 2 2( m 3) x + 2m 7 = 0 (1)
Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x1, x2 . hãy tìm m để
HDẫn :

1
1
+
=m
x1 + 1 x 2 + 1

* = ( m 4) 2 0
23


1

1

7 33

* x + 1 + x + 1 = m 2m 2 7 m + 2 = 0 m =
1
2
4
2
2
Bài 11: Cho phơng trình x - ( 2m + 1)x + m + m = 0. Tìm các giá trị của m để phơng
trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2HDẫn :

* = 1>0 * x1= m , x2= m + 1 x1 < x2Do đó:

x1 > 2

m > 2

2 < m < 3

m < 3
x2 < 4

Bài 12: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phơng trình: x2 + 2ax + 4 = 0 (1) có các
2

2

x x
nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện 1 + 2 3
x2 x1

HDẫn :

a 2

* ' = a2 - 4 0
a 2

( x1 + x2 ) 2 2 x1 x2
x1 x2 x1 x2

+
=
+

2

3

*

5

x
x
x2 x1 x2 x1
1
2


2



2

4a 2 8
5
4

2

2

a 2

( vì
nên 4a2 - 8 > 0 )
a

2


a 2 2 + 5 a 2 + 5 (t / m )

Bài 13: Cho phơng trình bậc hai mx 2 ( 5m 2) x + 6m 5 = 0
1-Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau.

2
5
( m = 1)

(m= )

2-Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.
Bài 14: Tìm giá trị m để phơng trình:
a) 2x2 + mx + m - 3 = 0
Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng. ( 0b) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

(m = 1)
2
Bài 15: Xác định m để phơng trình x - (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt sao
cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
> 0

m < 3 8 ; m > 3 + 8



S > 0

m
>

1


m = 6
P > 0
m > 0


x 2 + x 2 = 5 2

m = 6; m = 4
2

1

Bài 16: Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bậc hai
: ( m 2) x 2 2( m 1) x + m = 0 .
Hãy xác định giá trị của m để số đo đờng cao ứngvới cạnh huyền là

2
5

.
24


m 2

' 0

HD GII*
P > 0
S > 0




m < 0
m > 2

1

* x1

2

+

1
x2

=

2

1
2


5

2

m = 4(t / m)

khi đó x1 = 1; x2 = 2

Bài 17: Cho hai phơng trình x 2 ( 2m + n ) x 3m = 0 (1) và x 2 ( m + 3n ) x 6 = 0 (2)
Tìm m và n để các phơng trình (1) và (2) tơng đơng.
H.DN

*Phơng trình (2) có ac = - 6<0 (2) có 2 nghiệm phân biệt.
2m + n = m + 3n
m = 2

3m = 6
n = 1

*

* Thử lại, rút kết luận.

Bài 18: Tìm các giá trị của m và n để hai phơng trình sau tơng đơng :
x 2 + ( 4m + 3n ) x 9 = 0 (1) và x 2 + ( 3m + 4n ) x + 3n = 0 (2)
H.DN

*Phơng trình (1) có ac = - 9<0 (1) có 2 nghiệm phân biệt.
( 4m + 3n ) = ( 3m + 4n )
m = n = 3
9 = 3n

*

* Thử lại, rút kết luận.
Bài 19: Cho phơng trình x 2 2mx + 2m 1 = 0 . Tìm m sao cho A = 2( x 21 + x 2 2 ) 5 x1 x 2
đạt giá trị nhỏ nhất.
* ' = ( m 1) 2 0
2

9

9
9
9
9
* A = 8m 2 18m + 9 = 2 2m Amin = m =


4

8

8

8

8

Bài 20: Cho phơng trình x 2 2(m 2) x 6m = 0 (1). Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của phơng
trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của x 21 + x 2 2 .
* ' = ( m + 1) 2 + 3 > 0
2
* x 21 + x 2 2 = ( 2m 1) + 15 15 ( x 21 + x 2 2 ) min = 15 m =

1
2

Bài 21: Cho phơng trình x 2 2(m + 1) x + m 4 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 .
Chứng minh rằng biểu thức H = x1 (1 x 2 ) + x 2 (1 x1 ) không phụ thuộc vào m.
2

1 19

HNG DN: * ' = m + + > 0
2
4

* H = ( x1 + x 2 ) 2 x1 x 2 = 2( m + 1) 2( m 4 = 10)
Bài 22: Cho phơng trình x 2 2(m + 1) x + m 3 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 .
Chứng minh rằng biểu thức Q = x1 ( 2007 2006 x 2 ) + x 2 ( 2007 2008 x1 ) không phụ thuộc

vào giá trị của m.
25