Giải tích chương 1: SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC

Phép tính giải tích một biến số

Ch¬ng 1. SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC
1.1. Số thực
1.1.1. Một số khái niệm

•

Tập các số thực[1]: R = (–∞, +∞).

•

Tập các số tự nhiên[2]: N = {0, 1, 2, ...}.

•

Tập các số nguyên dương[3]: N* = {1, 2, ...}.

•

Tập các số nguyên[4]: Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}.

•

Tập các số hữu tỷ[5]: Q = { : 0 ≠ n, m ∈Z, m và n nguyên tố cùng nhau}
Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng chỉ có ước chung lớn nhất là 1.
Tất nhiên, mọi phân số

p
m
đều có thể đưa về dạng

bằng cách chia cả q và q cho ước số
q
n

chung lớn nhất của chúng. Vì vậy mọi số có dạng

p
đều là số hữu tỷ.
q

Trong lĩnh vực cơ khí, để đảm bảo sự mòn đều của các răng của hai bánh răng ăn khớp với
nhau, người ta thiết kế số răng của hai bánh răng này là hai số nguyên tố cùng nhau.
Mọi số hữu tỷ đều có thể viết được dưới dạng thập phân hữu hạn [6] hoặc thập phân vô
1
1
= 0.5, = 0.142857142857... = 0.(142857).
2
7
Ngược lại, mọi số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn đều có viết được dưới dạng
phân số với m và n là nguyên tố cùng nhau.
Một điều lý thú của số 142857:
142857x2 = 285714, 142857x3 = 428571,
142857x4 = 571428,
142857x5 = 714285, 142857x6 = 857142
Các kết quả đều là những hoán vị thuận của 142857.
hạn tuần hoàn, ví dụ,

•

Tập các số vô tỷ[7]: R\Q. Biểu diễn thập phân của các số vô tỷ là dạng thập phân vô

hạn không tuần hoàn.
Chú ý rằng, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

1.1.2. Một số tính chất

Số phần tử của tập A được gọi là lực lượng [8] của tập đó, và được ký hiệu là card(A), đôi
khi còn ký hiệu là n(A) hoặc |A|.
Về mặt lực lượng, các tập Z và Q đều tương đương [9] với tập N (tức là giữa chúng có
tương ứng 1 – 1), và được gọi là vô hạn đếm được. Tập các số vô tỷ R\Q cũng như tập các số
thực R đều không đếm được[10].
Trong R, ta xây dựng hai phép toán là phép cộng [11] và phép nhân[12], được ký hiệu tương
ứng bởi các dấu "+" và dấu "." (nếu không dẫn đến nhầm lẫn, ta có thể viết ab thay cho a.b).
Các phép toán này có các tính chất sau:
• Tính giao hoán[13]

a+b=b+a

ab = ba

• Tính kết hợp[14]:

(a + b) + c = a + (b + c)

(ab)c = a(bc)
1


Phép tính giải tích một biến số

• Tính phân bố[15] của phép nhân đối với phép cộng: a(b + c) = ab + ac

• Phần tử trung hoà[16] của phép cộng, ký hiệu là 0:

0+a=a+0=0

• Phần tử trung hoà của phép nhân, ký hiệu là 1:

1a = a1 = a

• Với phép cộng, phần tử đối[17] của a là –a, và a + (–a) = 0
• Với phép nhân, phần tử nghịch đảo[18] của a ≠ 0 là a–1, và aa–1 = 1.
Trong R, xây dựng được các phép toán quan hệ[19],
• Nhỏ hơn, ký hiệu là "<", ví dụ 2 < 3.
• Nhỏ hơn hoặc bằng, ký hiệu là "≤", ví dụ a ≤ b.
Định nghĩa 1.1.1[20]. Số thực x được gọi là cận trên[21] của tập con[22] A ⊂ R nếu a ≤ x với mọi
a ∈ A. Khi đó ta nói tập A bị chặn trên[23]. Tương tự, số thực x được gọi là cận dưới[24]
của tập A ⊂ R nếu a ≥ x với mọi a ∈ A. Khi đó ta nói tập A bị chặn dưới [25]. Tập A được
gọi là bị chặn nếu nó đồng thời bị chặn trên và bị chặn dưới.
Định nghĩa 1.1.2. Cận trên bé nhất[26], nếu có, của tập A được gọi là cận trên đúng[27] của A,
ký hiệu là sup A. Cận dưới lớn nhất [28], nếu có, của tập A được gọi là cận dưới đúng [29]
của A, ký hiệu là inf A.
Nếu sup A thuộc A thì đó là phần tử lớn nhất [30] của A, ký hiệu là max A. Nếu inf A thuộc
A thì đó là phần tử nhỏ nhất[31] của A, ký hiệu là min A.
Trị tuyệt đối[32] của số thực
Trị tuyệt đối của số thực x, ký hiệu là |x|, được định nghĩa như sau:
 x khi x ≥ 0
|x| = 
 − x khi x < 0
Các tính chất của trị tuyệt đối:
1. |a| ≥ 0,
2. |a.b| = |a|.|b|,

3. Với b ≠ 0,

a |a|
=
,
b |b|

4. |a + b| ≤ |a| + |b|,
5. |a – b| ≥ ||a| – |b||
Chứng minh:
1.
Hiển nhiên.
2.
Dễ dàng kiểm tra khi xét bốn khả năng về dấu của a và b.
3.
Tương tự 2.
4.

Ta có: –|a| ≤ a ≤ |a| và –|b| ≤ b ≤ |b|

Cộng vế với vế các bất đẳng thức kép trên ta có –(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ (|a| + |b|), hay là
|a + b| ≤ ||a| + |b|| = |a| + |b|.
5.

Vì |a| = |a – b + b| ≤ |a – b| + |b| nên |a| – |b| ≤ |a – b|.

Hoán đổi vai trò a và b ta có |b| – |a| ≤ |b – a| = |a – b|.
Kết hợp lại ta có |a – b| ≥ ||a| – |b||.
Trục số thực
2

Phép tính giải tích một biến số

Để biểu diễn hình học tập R các số thực, người ta lấy một đường thẳng định hướng Ox,
trong đó điểm O tương ứng với số 0. Các số dương được biểu diễn trên nửa dương (từ gốc O
về phía mũi tên), các số âm được biểu diễn trên âm là nửa còn lại.
Trên nửa dương chọn một điểm và cho ứng với số thực 1, nhờ đó các số thực đều được
biểu diễn theo tỷ lệ tương ứng. Ví dụ, ta áp dụng định lý Pythagore ta có thể xác định điểm
trên trục Ox ứng với số 2 .

Một số ký hiệu –2

–1

O

1

x

R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}, R– = {x ∈ R | x ≤ 0}, N* = N\{0},
*
*
R* = {x ∈ R | x ≠ 0}, R + = {x ∈ R | x > 0}, R − = {x ∈ R | x < 0}.

Với a < b thì:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
Khi viết x ∈ <a, b>, ta hiểu là x thuộc (a, b) khi a < b và x ∈ (b, a) khi b < a mà không

quan tâm a < b hay b < a.
Ta bổ sung thêm hai số đặc biệt, ký hiệu là –∞ và +∞, thoả mãn một số tính chất sau ∀ x ∈ R,
( –∞) + x = – ∞,

(+∞) + x = +∞,

(+∞) + (+∞) = +∞,

(+∞).(–∞) = –∞.

( –∞) + (–∞) = –∞,

Các trường hợp sau không xác định: (+∞) + ( – ∞), (+∞) – (+∞), (±∞)/(±∞), 1±∞.
Khi đó, tập các số thực R được mô tả bởi (–∞, +∞) và
(–∞, a) = {x ∈ R | x < a}, (–∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
(a, +∞) = {x ∈ R | x > a}, [a, +∞) = {x ∈ R | x ≥ a}
Tiên đề[33] về cận trên và cận dưới đúng :
•

Mọi tập A ⊂ R không rỗng và bị chặn trên đều có cận trên đúng thuộc R.

•

Mọi tập A ⊂ R không rỗng và bị chặn dưới đều có cận dưới đúng thuộc R.

Nguyên lý[34] Archimede. Cho trước x > 0 và y > 0, tồn tại k ∈ N* sao cho ky > x.
Chứng minh: Giả sử ngược lại, ∀n∈N*, n.y ≤ x.
Xét tập E = {n.y : n∈N*} thuộc R, khác rỗng và bị chặn trên bởi x. Theo tiên đề trên, tồn
tại số thực b sao cho b = sup E, tức là n.y ≤ b với mọi n ∈ N*.
Vì b là cận trên nhỏ nhất và b – y < b nên b – y không phải là cận trên của E, do đó tồn tại

phần tử noy thuộc E sao cho b – y < noy. Tức là b < (no + 1)y, mâu thuẫn.♦
Từ nguyên lý trên ta có hệ quả[35] sau đây.
Hệ quả 1.1.1. ∀x∈ R, ∃k ∈ Z sao cho k ≤ x < k + 1.
Chứng minh: Nếu 0 ≤ x < 1 thì hiển nhiên vì ta lấy k = 0. Nếu x ≥ 1, áp dụng nguyên lý
Archimede cho hay số x – 1 và 1, tồn tại k ∈ N* sao cho x – 1 < k.

(1.1.0)
3


Phép tính giải tích một biến số

Vì các số nguyên dương từ 1 đến k là hữu hạn nên không giảm tổng quát ta coi k chính là
số nhỏ nhất trong các số k thoả mãn ( 1.1 .0), tức là k – 1 ≤ x – 1.

(1.1.0)

Kết hợp ( 1.1 .0) với ( 1.1 .0) ta có k ≤ x < k + 1.
Nếu x < 0, đặt y = –x > 0 và áp dụng chứng minh trên, tồn tại k1 ∈ N sao cho k1 ≤ y < k1 + 1,
tức là k1 ≤ –x < k1 + 1, hay –k1 ≥ x > –k1 – 1.
Nếu –k1 > x thì lấy k = –k1 – 1 và ta có k ≤ x < k + 1.
Nếu –k1 = x thì lấy k = –k1 và ta có k ≤ x < k + 1.
Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều có điều cần chứng minh.♦
Định lý 1.1.1. Giữa hai số thực bất kỳ luôn tồn tại một số hữu tỷ.
Chứng minh: Giả sử a < b là hai số thực bất kỳ. Áp dụng nguyên lý Archimede cho hai số 1
và b – a, tồn tại q ∈ N* sao cho 1 < (b – a)q, hay 1 + aq < bq.
Áp dụng Hệ quả 1.1 .1 cho số 1 + aq, tồn tại p ∈ Z sao cho p < 1 + aq < p + 1.
Từ ( 1.1 .0) và ( 1.1 .0) ta có p – 1 < aq < p < 1 + aq < bq, do đó aq < p < bq.

(1.1.0)

(1.1.0)
(1.1.0)

Vì q ∈ N* nên từ ( 1.1 .0) ta có a < < b. Vậy chính là số hữu tỷ cần được chỉ ra.♦
Hệ quả 1.1.2. Giữa hai số thực bất kỳ luôn tồn tại vô số số hữu tỷ.
Chứng minh: Giả sử a < b là hai số thực bất kỳ. Theo Định lý 1.1 .1, tồn tại số hữu tỷ b 1 sao
cho a < b1 < b. Lại áp dụng Định lý 1.1 .1 cho hai số thực a và b1, tồn tại số hữu tỷ b2 sao cho
a < b2 < b1. Cứ như thế ta nhận được vô hạn các số hữu tỷ b1, b2, ..., bn, ... thuộc (a, b).♦
Định lý 1.1.2.
1.
Tổng và tích hai số hữu tỷ là một số hữu tỷ.
2.
Tổng của một số hữu tỷ với một số vô tỷ là một số vô tỷ.
3.
Tích của một số hữu tỷ khác 0 với một số vô tỷ là một số vô tỷ.
Chứng minh:
p
p m
pn + qm
m
1.
Giả sử a =
và b =
là hai số hữu tỷ. Khi đó a + b = +
=
∈
q
q n
qn
n

Q.
Ta có ab =
2.

p m
pm
=
∈ Q.
q n
qn
Giả sử a là số hữu tỷ và b là số vô tỷ. Giả sử ngược lại, a + b là số hữu tỷ, tức

là
a + b = c ∈ Q. Theo chứng minh trên ta có b = c – a là số hữu tỷ, mâu thuẫn.
3.
Giả sử a là số hữu tỷ khác 0 và b là số vô tỷ. Giả sử ngược lại, tích ab là số hữu
tỷ, tức là
1
1
ab = c ∈ Q. Từ ab = c và a ≠ 0 nên b = c . Dễ thấy cũng là số hữu tỷ nên theo chứng
a
a
1
là số hữu tỷ, hay b là số hữu tỷ, mâu thuẫn.♦
a
Hệ quả 1.1.3. Giữa hai số hữu tỷ hay hai số vô tỷ khác nhau, luôn tồn tại vô hạn số hữu tỷ và
vô hạn số vô tỷ.
Chứng minh:
minh trên ta có tích c

4


Phép tính giải tích một biến số

Cho a < b là hai số hữu tỷ. Khi đó với mọi số tự nhiên n > 0, theo Định lý 1.1 .2, ta có các
b−a
b−a
là số hữu tỷ và các số a + 2
là số vô tỷ, và chúng đều thuộc khoảng (a, b).
2n
2n
Vì vậy giữa hai số hữu tỷ khác nhau, luôn tồn tại vô hạn số hữu tỷ và vô hạn số vô tỷ.
Cho a < b là hai số vô tỷ. Theo Hệ quả 1.1 .2 tồn tại hai số hữu tỷ là c và d.
Theo chứng minh trên, giữa hai số hữu tỷ c và d (và cũng có nghĩa là giữa hai số vô tỷ a

số a +

và b) tồn tại vô hạn số hữu tỷ và vô hạn số vô tỷ.♦
1.2. Dãy số thực
1.2.1. Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.2.3. Một dãy số thực[36] (hay dãy số) là một ánh xạ từ N* vào R: N* ∋ n → xn ∈ R.
Để biểu thị một dãy, ta có thể dùng ký hiệu {xn}, n = 1, 2, ...
Ví dụ: {xn} = {1,

1 1
1
, , ...} hay xn = , n = 1, 2, ...
2 3

n

Lân cận[37] của điểm hữu hạn: Với số thực hữu hạn a và số dương δ, ta gọi
•

δ–lân cận của a, ký hiệu Uδ(a), là tập {x ∈R: |x – a| < δ}.

•

δ–lân cận trái của a, ký hiệu Uδ(a–), là tập {x ∈R: a – δ < x < a}.

•

δ–lân cận phải của a, ký hiệu Uδ(a+), là tập {x ∈R: a < x < a + δ}.

Lân cận của điểm vô cùng: Với số dương M, ta gọi
•

M–lân cận của –∞, ký hiệu UM(–∞), là tập {x ∈ R : x < –M}.

•

M–lân cận của +∞, ký hiệu UM(+∞), là tập {x ∈ R : x > M}.

Định nghĩa 1.2.4. Dãy {ym} nhận được từ dãy {xn} bằng cách bỏ đi hữu hạn hay vô hạn các
phần tử nhưng vẫn giữ lại vô hạn phần tử, được gọi là dãy con của dãy {xn}.
Định nghĩa 1.2.5. Dãy {xn} được gọi là hội tụ[38] tới số hữu hạn a khi n dần ra vô cùng nếu

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N* : xn ∈ Uε(a)∀n > n0.
x =a.

Ta còn nói a là giới hạn[39] của dãy xn và viết xn → a khi n → +∞, hoặc nlim
→+∞ n
Nhận xét: mệnh đề ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N* : xn ∈ Uε(a)∀n > n0 có thể phát biểu như sau
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N* : ∀n > n0 ⇒ |xn – a| < ε.
Về trực giác, dãy {xn} hội tụ tới a nếu mọi ε–lân cận của a đều chứa mọi phần tử của dãy,
có thể loại trừ một số hữu hạn phần tử phía đầu dãy.
Ta nói dãy {xn} → +∞ nếu
∀K > 0, ∃n0 = n0(K) > 0 sao cho với mọi n > n0 thì xn ∈ UK(+∞).
Ta nói dãy {xn} → –∞ nếu
∀K > 0, ∃n0 = n0(K) > 0 sao cho với mọi n > n0 thì xn ∈ UK(–∞).
Ta nói dãy {xn} là phân kỳ[40] nếu nó không hội tụ.
Định nghĩa 1.2.6. Số hữu hạn a được gọi là điểm giới hạn của dãy {x n} nếu nó là giới hạn
của dãy con nào đấy của dãy {xn}.
Rõ ràng nếu a là giới hạn thì nó cũng là điểm giới hạn của dãy.
Như vậy, nếu dãy {xn} không hội tụ thì có thể xảy ra một trong các khả năng sau
5


Phép tính giải tích một biến số

•

Dãy {xn} không bị chặn, ví dụ xn = n.

•

Dãy {xn} có nhiều hơn một điểm giới hạn: ví dụ x n = sin n

π
có ba điểm giới

2

hạn.
Các bước tìm giới hạn của dãy bằng định nghĩa giới hạn
1. Cho ε > 0 bất kỳ,
2. Từ bất đẳng thức |xn – a| < ε, ta biến đổi theo chiều "⇔" hoặc "⇐" để tìm n0 = n0(ε).
Ví dụ 1.2.1. Tìm giới hạn của dãy xn =

n
.
n +1

Giải: Ta chứng minh rằng xn hội tụ về 1. Giả sử ε > 0 bất kỳ, khi đó
|xn – 1| < ε ⇔ |

n
1
1
1 
– 1| < ε ⇔
<ε⇔n+1> ⇐n≥  
n +1
n +1
ε
ε

Ở đây, [x] là ký hiệu phần nguyên của x.
1 
Vậy ta lấy n0 =   , rõ ràng n0 phụ thuộc vào ε.
ε

Với ε đã cho và n0 như vậy thì |xn – 1| < ε ∀n > n0, vậy

n
→ 1 khi n → +∞.
n +1

Định nghĩa 1.2.7.
•

Dãy {xn} tương ứng được gọi là đơn điệu tăng[41] nếu xn ≤ xn+1 ∀n.

•

Dãy {xn} tương ứng được gọi là đơn điệu giảm[42] nếu xn ≥ xn+1 ∀n.

Định nghĩa 1.2.8. Cho hai dãy {xn} và {yn}, ta gọi dãy {zn} là
•

tổng của {xn} với {yn}, ký hiệu {xn + yn}, nếu zn = xn + yn với mọi n,

•

hiệu của {xn} với {yn}, ký hiệu {xn – yn}, nếu zn = xn – yn với mọi n,

•

tích của {xn} với {yn}, ký hiệu {xnyn}, nếu zn = xnyn với mọi n,

•

thương của {xn} với {yn}, ký hiệu {

xn
yn

}, nếu zn =

xn
yn

và yn ≠ 0 với mọi n.

Dễ thấy rằng tổng hoặc tích hai dãy đơn điệu tăng cũng là dãy đơn điệu tăng.
Ví dụ 1.2.2.
Dãy {xn} = {1 –

1
} là dãy đơn điệu tăng.
n

Dãy {yn} = {1 +

1
} là dãy đơn điệu giảm.
n

Dãy {zn} = {1 + sinnπ} không phải là dãy đơn điệu.
1.2.2. Một số tính chất

Định lý 1.2.3. Giả sử x, y và z tương ứng là giới hạn của các dãy {xn}, {yn} và {zn}, còn a, b và

c là các hằng số. Khi đó:
1) axn + byn + c → ax + by + c
3)
6

1
1
→ với y ≠ 0
yn
y

2) xnyn → xy
4)

xn
yn

→

x
với y ≠ 0
y


Phép tính giải tích một biến số

(Xem chứng minh tại trang 16)
Định lý này còn được gọi là các phép tính số học về giới hạn.
Ví dụ 1.2.3. Cho {xn} = {1 +

1
1
} và {yn} = {1 – }.
n
n

Bằng định nghĩa, tìm giới hạn của các dãy x n + yn, xnyn và

xn
yn

, sau đó so sánh với kết quả

khi sử dụng Định lý 1.2 .3.
Giải: Ta sử dụng định nghĩa chứng minh rằng dãy xn có giới hạn là 1. Thật vậy,
∀ε > 0, x n − 1 < ε ⇔ n >

1
1
⇐ n ≥   + 1 .
ε
ε

1
1 
Với ε > 0 đã cho, lấy n0 =   + 1, khi đó |xn – 1| < ε, vậy 1 + → 1 = x khi n → + ∞.
n
ε
Tương tự, ta cũng có yn = 1 –

1
→ 1 = y khi n → + ∞.
n

Ta thấy xn + yn = 2, nên xn + yn hội tụ về 2 = x + y.
Đặt zn = xnyn thì zn = 1 –
zn −1 < ε ⇔

1
, ta chứng minh zn hội tụ về 1. Thật vậy, với ε > 0,
n2

1
1
 1 
< ε ⇔ n2 > ⇐ n ≥   +1.
2
n
ε
 ε

 1 
Với ε > 0 đã cho, lấy n0 =   + 1, khi đó |zn – 1| < ε. Vậy zn hay xnyn hội tụ về 1 = xy.
 ε
Đặt tn =

xn
yn

= thì zn =

tn −1 < ε ⇔

n −1
2
=1–
, ta chứng minh tn hội tụ về 1. Thật vậy, với ε > 0,
n +1
n +1

2
2
2
< ε ⇔ n + 1 > ⇐ n ≥   .
n +1
ε
ε

xn
x
2
Với ε > 0 đã cho, lấy n0 =   , khi đó |tn – 1| < ε. Vậy tn hay
hội tụ về 1 = .
yn
y
ε
Chú ý: Định lý chỉ đúng trong trường hợp các dãy thành phần đều hội tụ, trái lại có thể không
đúng. Ta xét các ví dụ sau.
Ví dụ 1.2.4. Cho dãy xn =

1
– cosnπ và yn = cosnπ. Dễ thấy cả xn và yn đều không hội tụ,
n

1
hội tụ về 0.
n
Định lý 1.2.4. (định lý so sánh)
trong khi đó dãy xn + yn =

1. Nếu xn ≤ yn ∀n > n0 ∈ N và xn → a, yn → b thì a ≤ b.
2. Nếu xn ≤ yn ≤ zn ∀n > n0 ∈N và xn → a, zn → a thì yn → a.
(Xem chứng minh tại trang 17)
Chú ý: Trong trường hợp xn < yn ta cũng chỉ có thể kết luận a ≤ b, mà không thể kết luận a < b.
7


Phép tính giải tích một biến số

1
1
và yn = , rõ ràng xn < yn ∀n. Nhưng cả xn và yn đều hội tụ về 0.
n +1
n

Ví dụ, xét xn =

Ví dụ 1.2.5. Xét sự hội tụ của dãy xn =
Giải: Với n > 1 ta có 0 <

1
.
n + sin nπ

1
1
1
≤
→ 0, vậy
→ 0 khi n → +∞.
n + sin nπ n − 1
n + sin nπ

Định lý 1.2.5. Mọi dãy đơn điệu tăng (hay giảm) bị chặn trên (hay dưới) đều hội tụ.
(Xem chứng minh tại trang 17)
n

 1
Xét dãy có số hạng tổng quát là xn =  1 + ÷ . Với k > 1 thì
 n

•

1
n!
1
1 n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) 1
1
2
k −1

=
=
= (1 − )(1 − )...(1 −
)<
k
k
k
n
k!(n − k)! n
k!
n
k!
n
n
n
1
1
2
k −1
1 (n + 1)n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 2)
< (1 −
)(1 −
)...(1 −
)=
k!
n +1
n +1
n + 1 k!
(n + 1) k
Ckn

n

x n = ∑ C kn x n =
k =0

< 1 + (n + 1)

n
1
1 n
1
1
1
= 1 + n + ∑ C kn k < 1 + (n + 1)
+ ∑ C kn +1
<
k
n
n k=2 n
n + 1 k =2
(n + 1) k

n +1
n +1
1
1
1
+ ∑ C kn +1
=

C kn +1
= x n +1
∑
k
n + 1 k =2
(n + 1)
(n + 1) k
k =0

Vậy {xn} là dãy đơn điệu tăng.
k

Mặt khác, C n

1
1
1
2
k −1
1
1
= (1 − )(1 − )...(1 −
) < < k −1 nên
k
n
k!
n
n
n
k! 2

1
1
(1 − n −1 )
1
1
k 1
2
= 2 + (1 − n −1 ) < 3.
xn = ∑ Cn k < 2 + ∑ k −1 = 2 + 2
1
n
2
k =0
k =2 2
1−
2
n

n

n

1
Vậy dãy {xn} hội tụ, và ta ký hiệu giới hạn đó là e, tức là lim  1 + ÷ = e .
n →+∞ 
n
Người ta chứng minh được rằng, e là số vô tỷ, và hơn nữa, e còn là số siêu việt [43], tức là
nó không thể là nghiệm của của phương trình P n(x) = 0 với Pn(x) là đa thức bậc n nào đó có
các hệ số là các số hữu tỷ. Viết e với 15 chữ số sau dấu phảy thì e = 2.718281828459054.

Định lý 1.2.6 (Cantor(1)). Cho hai dãy {an} và {bn} thoả mãn
•

∀n ∈ N, an ≤ bn và [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn]

•

(bn – an) → 0 khi n → +∞

Khi đó ∀n∈ N, tồn tại duy nhất c ∈ [an, bn].
(Xem chứng minh tại trang 17)
Định lý 1.2.7. Dãy {xn} hội tụ khi và chỉ khi nó giới nội và có duy nhất điểm giới hạn.
(Xem chứng minh tại trang 17)
Định lý 1.2.8. Dãy {xn} hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều hội tụ và có chung giới hạn.
(Xem chứng minh tại trang 18)
Cách chứng minh dãy không hội tụ
1()

8

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (03/03/1845 – 06/01/1918), nhà Toán học Đức, sinh ở Nga.


Phép tính giải tích một biến số

Để chứng minh dãy xn không hội tụ, ta phải chỉ ra: hoặc dãy không giới nội, hoặc có hai
dãy con dần đến hai điểm giới hạn khác nhau.
Ví dụ 1.2.6. Chứng minh dãy xn = cosnπ không hội tụ.
Giải: Xét dãy con ym = x2m+1. Vì ym = cos(2m + 1)π = –1 nên ym → –1.
Xét dãy con zm = x2m. Vì zm = cos(2m)π = 1 nên zm → 1.

Vậy điểm giới hạn của {xn} không duy nhất nên {xn} không hội tụ.
Ví dụ 1.2.7. Chứng minh dãy xn = n ( −1)n phân kỳ.
Giải: Ta thấy dãy con ym = x2m = 2m không giới nội, vậy dãy xn phân kỳ.
Định lý 1.2.9 (Bolzano(1) – Weierstrass(2)).
Từ một dãy giới nội, luôn trích ra được dãy con hội tụ.
(Xem chứng minh tại trang 18)
Ví dụ 1.2.8. Cho dãy xn = αn là một số tuỳ ý thuộc [0, 1]. Ta thấy |xn| ≤ 1 ∀n, nên dãy xn giới
nội. Ký hiệu [a1, b1] = [0, 1].
1
1
] và [ , 1] sẽ chứa vô hạn
2
2
phần tử của dãy xn, ta ký hiệu đó là [a2, b2]. Lập luận tương tự, ta nhận được một dãy các đoạn
Vì dãy xn có vô hạn phần tử, nên một trong hai đoạn con [0,

con [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] mà mỗi đoạn đều chứa vô hạn phần tử của dãy.
Theo định lý Cantor, tồn tại c thuộc giao của tất cả các đoạn đó. Trên mỗi đoạn [a n, bn], ta
lấy một phần tử của dãy, để tiện trình bày, ta ký hiệu đó là βn, rõ ràng βn → c.
Định nghĩa 1.2.9. Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy(3) nếu

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho khi m ≥ n0 và n ≥ n0 thì |xm – xn| < ε.
Định lý 1.2.10. (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy {xn} hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
(Xem chứng minh tại trang 19)
Chú ý: Ta thường sử dụng định nghĩa về giới hạn để tìm giới hạn của dãy khi đã tiên đoán
được điểm giới hạn duy nhất của nó, cũng có nghĩa là sử dụng định nghĩa về giới hạn để
khẳng định dãy {xn} hội tụ về số a biết trước nào đó.
Định lý Cauchy được sử dụng khi chưa tiên đoán được giới hạn của dãy, đồng nghĩa với
việc cần khẳng định dãy {xn} là hội tụ, mà không cần chỉ ra giới hạn của nó.
n

dx

∫ ex

Ví dụ 1.2.9. Chứng minh rằng dãy có số hạng tổng quát xn =

2

hội tụ.

0

Giải: Cho ε > 0 bất kỳ, khi đó với m ≥ n,
xm − xn < ε ⇔

m

dx

∫ ex

0
m

⇐∫
n

2

n

−∫
0

dx
ex

2

<ε⇔

m

dx

∫ ex
0

2

0

+∫
n

dx
ex

2

<ε⇔

m

dx

∫ ex
n

2

<ε⇔

dx
1 1
1
1
1 
< ε ⇔ − < ε ⇐ < ε ⇔ n > ⇐ n ≥   +1
2
x
n m
n
ε
ε

m

dx

∫ ex

2

<ε⇐

n

1 
Với ε đã cho, lấy n0 =   , khi đó |xm – xn| < ε ∀ m ≥ n > n0, vậy dãy xn =
ε

n

dx

∫ ex

2

hội tụ.

0

1()

Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (05/10/1781 – 18/12/1848), nhà Toán học, thần học Đức.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass(31/10/1815 – 19/02/1897), nhà Toán học Đức.
3()

Augustin Louis Cauchy (21/08/1789 – 23/05/1857), nhà Toán học Pháp.
2()

9


Phép tính giải tích một biến số
+∞

Sau này ta sẽ thấy rằng dãy xn hội tụ về

dx

∫ ex

2

=

0

π
.
2

Quả thực ta không thể dùng định nghĩa để chứng minh cho dù biết trước giới hạn đó.
Ta có thể sử dụng Định lý 1.2 .5 để chứng minh sự hội tụ của dãy này.
n +1

Thật vậy, xn+1 =

∫e
0

n

Mặt khác, do xn =

n

dx

=∫

x2

0

dx

∫e
0

x

2

<

dx

e

x2

+∞

n +1

dx

∫e
n

dx

∫e
0

+

x

2

<

+∞

x2

n

>∫
0

dx
ex

dx

∫ 1+ x

2

0

=

2

= xn, nên xn là dãy đơn điệu tăng.
π
nên xn là dãy bị chặn trên.
2

1.2.3. Nói thêm về dãy số

Trong các ví dụ trước, chúng ta luôn chỉ ra biểu thức của x n, hay nói khác đi, chúng ta cho
dãy dưới dạng tường minh[44].
Bây giờ ta xét dãy {xn} được cho bởi công thức truy hồi như sau,

 x1 = 2

x 2n − 2

x
=
x
−
∀n ≥ 1
n
 n +1
2x

n
Để tính xn, ta phải tính lần lượt x2, x3, ..., xn–1.
Trong trường hợp này, việc tính giới hạn của {xn} có thể được thực hiện như sau.
Ta có x n +1 − x n = −
Đồng thời

x 2n − 2
2x n

x 2n − 2
2x n

⇔ x n +1 =

> 0 với xn ≥

x 2n + 2

2x n

≥ 2 với xn dương, tức xn là dãy bị chặn dưới.

2 , nên xn là dãy đơn điệu giảm. Theo Định lý 1.2 .5, dãy

x2 − 2
xn hội tụ, giả sử giới hạn đó là x thì x thoả mãn phương trình x = x –
hay x2 – 2 = 0.
2x
Giải ra ta được x =

2.
Giải công thức truy hồi tuyến tính cấp hai hệ số hằng số
Xét dãy số {xn} được cho bởi công thức truy hồi xn+2 + axn+1 + bxn = 0,

(1.2.0)

với các điều kiện đầu x0 = c0, x1 = c1, n ≥ 0.
Ta tìm biểu thức của xn dưới dạng λn với λ ≠ 0.
Thay vào ta có λn+2 + aλn+1 + bλn = 0, hay λ2 + aλ + b = 0.
Phương trình ( 1.2 .0) được gọi là phương trình đặc trưng của ( 1.2 .0).

(1.2.0)

Xét các trường hợp về nghiệm λ1, λ2 của phương trình này.
a) Hai nghiệm thực λ1 ≠ λ2: khi đó nghiệm của ( 1.2 .0) có dạng xn = k1λ1n + k2λ2n.
Các hằng số k1, k2 được xác định từ các điều kiện đầu ứng với n = 0 và n = 1.
 k1 + k 2 = c0


 k1λ1 + k 2 λ 2 = c1
b) Nghiệm thực kép λ1 = λ2 = λ: khi đó nghiệm của ( 1.2 .0) có dạng xn = (k1 + k2n)λn.
Các hằng số k1, k2 được xác định từ các điều kiện đầu ứng với n = 0 và n = 1.
10


Phép tính giải tích một biến số

 k1 = c 0

(k1 + k 2 )λ = c1
c) Nghiệm phức λ1 = α – iβ, λ2 = α + iβ: nghiệm của ( 1.2 .0) có dạng xn = k1λ1n + k2λ2n.
Các hằng số k1, k2 được xác định từ các điều kiện đầu ứng với n = 0 và n = 1.
 k1 + k 2 = c 0
 k1 + k 2 = c 0

⇒ α(k1 + k 2 ) = c1

 k1 (α − iβ) + k 2 (α + iβ) = c1 β(k − k ) = 0
 2 1
Nếu αc0 = c1 thì hệ có nghiệm k1 = k2 = k =

c0
2

. Biểu diễn λ1, λ2 dưới dạng lượng giác,

λ1 = α – iβ = ρ(cosϕ – isinϕ), λ2 = α + iβ = ρ(cosϕ + isinϕ),
ở đây ρ =

α 2 + β2 , ϕ = arctg

β
.
α

Khi đó nghiệm của ( 1.2 .0) có dạng xn =
=

c0
2

c0
2

ρn[(cosϕ – isinϕ)n + (cosϕ + isinϕ)n] =

ρn[(cosnϕ – isinnϕ) + (cosnϕ + isinnϕ)] = c0ρncosnϕ.

Ví dụ 1.2.10. Xác định dãy Fibonacci được cho bởi Fn+2 = Fn+1 + Fn, với F0 = F1 = 1.
Phương trình đặc trưng λ2 – λ – 1 = 0 có hai nghiệm thực λ1 =

1− 5
1+ 5
.
, λ2 =
2
2

Xác định k1, k2 từ hệ phương trình

 k1 + k 2 = 1
5 −1
5 +1

⇒ k1 =
, k2 =
. Thay vào ta có
 1− 5
1+ 5
2
5
2
5
k
+
k
=
1
 1
2

2
2
n
n
n +1
n +1

5 −1  1 − 5 
5 +1 1+ 5 

1  5 + 1 


5
−
1
Fn =
−

.

÷ +

÷ =
÷
÷
2 5  2 
2 5  2 
5  2 
 2  

Ví dụ 1.2.11. Xác định xn từ công thức xn+2 = 4xn+1 – 4xn, với x0 = 1, x1 = 4.
Phương trình đặc trưng λ2 – 4λ + 4 = 0 có nghiệm kép λ = 2. Khi đó
 k1 = 1
⇒ k1 = k2 = 1 ⇒ xn = (1 + n)2n.

(k
+
k
)2

=
4
 1
2
Ví dụ 1.2.12. Xác định xn từ công thức xn+2 = 2xn+1 – 4xn, với x0 = 2, x1 = 2.
Phương trình λ2 – 2λ + 4 = 0 có nghiệm λ1 = 1 – i 3 , λ2 = 1 + i 3 ⇒ α = 1, β =
Vì αc0 = c1 và ρ = 2, ϕ = arctg 3 =

3.

π
π
π
, nên ta có xn = 2.2ncosn = 2n+1cosn .
3
3
3

1.3. Định nghĩa hàm số một biến số thực
Cho các tập A ⊆ R, B ⊆ R. Một hàm f: A → B là luật gán mỗi x trong A với duy nhất f(x)
trong B. Khi đó A được gọi là miền xác định của f, ký hiệu là Df.
Tập {f(x) | x ∈ A} được gọi là miền giá trị hoặc ảnh của A qua f , ký hiệu là Rf hoặc f(A).
Ta thường viết y = f(x) để biểu thị rõ luật gán x ∈ A với y ∈ B.
11


Phép tính giải tích một biến số

Ta nói hàm f: A → B là toàn ánh[45] hoặc ánh xạ lên nếu f(A) = B, nghĩa là với mọi y ∈ B
có ít nhất một x ∈ A sao cho f(x) = y.

Ta nói f: A → B là đơn ánh[46] hoặc 1–1 trên A nếu với mọi x 1, x2 thuộc A mà f(x1) = f(x2)
thì x1 = x2.
Ta nói hàm f: A → B là song ánh[47] nếu nó vừa là 1–1 vừa là toàn ánh.
Đồ thị của f là tập {(x, f(x)) : x ∈ A} ⊂ R2.
Để mô tả đồ thị của hàm số y = f(x), ta dùng hệ trục toạ độ Đề các trong R2.
Trục ngang được gọi là trục hoành ứng với biến độc lập x, còn trục dọc được gọi là trục
tung ứng với biến phụ thuộc y.
y
Không phải trường hợp nào cũng vẽ được đồ thị của hàm số.
Ví dụ, với hàm số được cho như sau
x
f(x) =
Đồ thị của hàm này gồm một số điểm trên đường cong y = x2 và y = –x2.
1.4. Các tính chất chẵn, lẻ, tuần hoàn và đơn điệu của hàm số
Hàm f được gọi là

chẵn nếu f(–x) = f(x) với mọi x,

lẻ nếu f(–x) = –f(x) với mọi x,

tuần hoàn nếu tồn tại T > 0 sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x, số nhỏ nhất trong các
số T đó được gọi là chu kỳ[48],

tăng ngặt[49] trên A nếu f (x) < f (y) với mọi x < y thuộc A,

giảm ngặt[50] trên A nếu f (x) > f (y) với mọi x < y thuộc A,


không giảm trên A nếu f (x) ≤ f (y) với mọi x < y thuộc A,



không tăng trên A nếu f (x) ≥ f (y) với mọi x < y thuộc A.

1.5. Hàm hợp
Cho A, B và C là các tập trong R cùng các hàm f: A → B và g: B → C.
Khi đó hàm h: A → C được xác định bởi h(x) = g(f(x)) được gọi là hàm hợp của g với f và
được ký hiệu là gof, ta viết h(x) = (gof)(x) hay h = gof.
Ví dụ, f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x + 2, thì (gof)(x) = 2(x2 + 1) + 2 = 2x2 + 4.
1.6. Hàm ngược
Cho A ⊆ R và hàm f: A → R. Đặt B = f (A) = {f (x) : x ∈ A}. Hàm g: B → A được gọi là
hàm ngược[51] của f nếu g(f(x)) = x với mọi x ∈ A, ký hiệu là f–1.
Theo thói quen, ta thường dùng chữ x để chỉ biến độc lập và chữ y để
chỉ biến phụ thuộc, nên hàm ngược của f được viết là y = f–1(x).
Ký hiệu Gf và Gf–1 tương ứng là đồ thị của các hàm y = f(x) và y = f–1(x).
Nếu điểm (x, y) ∈ Gf thì x = f–1(y), nghĩa là điểm (y, x) ∈Gf–1.
Do hai điểm (x, y) và (y, x) đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất, nên đồ thị của
các hàm f và f–1 đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Nếu tồn tại g = f–1 thì f là 1–1, bởi nếu f(x1) = f(x2) thì g(f(x1)) = g(f(x2)) tức là x1 = x2.
Dễ thấy rằng, f–1 tồn tại khi và chỉ khi f: A → B là song ánh.
12


Phép tính giải tích một biến số

Ví dụ: Ký hiệu R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}. Xét các hàm số:

• f: R ∋ x → x2 = y ∈ R. Với y < 0, phương trình x 2 = y vô nghiệm nên f không là toàn
ánh. Với y > 0, phương trình x2 = y có hai nghiệm nên f không là đơn ánh.
Vậy không tồn tại hàm ngược f –1.

• g: R+ ∋ x → x2 = y ∈ R. Phương trình x2 = y có nghiệm duy nhất với y ≥ 0 và vô
nghiệm với y < 0 nên g là đơn ánh nhưng không là toàn ánh.
Vậy không tồn tại hàm ngược g–1.

• h: R+ ∋ x → x2 = y∈R+. Phương trình x2 = y luôn có nghiệm duy nhất với mọi y ≥ 0 và
x ≥ 0, nên h vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Vậy tồn tại hàm ngược h–1(x) =

x.

1.7. Các hàm số sơ cấp cơ bản
Các hàm sau đây được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản[52].

• Hàm luỹ thừa : f(x) = xα, với α ∈ R,

y

miền xác định phụ thuộc α.

y = x2

o

Nếu α ∈ N thì Df = R.

o

Nếu α nguyên âm thì Df =

y=

R\{0}.
Nếu α =

o


1

(p ∈ N*)

y = x–1

với p chẵn thì Df =

O

R+,



y=x

x

1

với p lẻ thì Df = R,
với p nguyên âm thì Df cũng phụ thuộc tính chẵn lẻ của p.
Nếu α là số vô tỷ thì Df = {x : x ≥ 0 } khi α > 0 và Df = {x : x > 0 } khi α <

o
0.

• Hàm mũ: f(x) = ax (a > 0, a ≠ 1), a được gọi là cơ số.
y

y = ax, a < 1

y = ax, a > 1
1
x

• Hàm

O

logarit:

y

f(x) = loga(x) (a > 0, a ≠ 1), là hàm ngược của a .
x

Nếu a = 10, ta viết lg(x) và gọi là logarit thập phân của x.
Nếu a = e, ta viết ln(x), và gọi là logarit tự nhiên của x.
Với x1 và x2 dương ta có:
loga(x1x2) = logax1 + logax2,
loga() = logax1 – logax2.

y = logax, a > 1
x
O

1
y = logax, a < 1
13


Phép tính giải tích một biến số

Với x > 0 thì x = a loga x .
Với b > 0, b ≠ 1, a > 0, a ≠ 1 và x > 0 thì logbx = logba logax.

• Các hàm lượng giác: sinx, cosx, tgx và cotgx.
– Các hàm sinx, cosx tuần hoàn với chu kỳ 2π.
– Các hàm tgx, cotgx tuần hoàn chu kỳ π.
– Các hàm sinx, tgx và cotgx là hàm lẻ, còn cosx là hàm chẵn.
Trên hình vẽ ta có:
y

cosx = OP , sinx = OQ ,
tgx = AD , cotgx = BC .
Các giá trị 0,

1 2 3
và 1, còn được viết dưới dạng
,
,
2 2 2

–π/2

y = sinx

1

1
x

–1

π/2

–π

O

P

π

y = cosx
π/2

–1

π

x

y
y = tgx

–π/2

y

–π/2

y

–π

x

π π π π
, , , và 0 (radian).
2 3 4 6
y

–π

D

Q

0 1 2 3
4
và

, là các giá trị của cosx tương ứng với
, ,
,
2 2 2 2
2
các góc

C

B

π/2 π

y = cotgx
–π/2

x

–π

•

π/2 π
x

Các

hàm lượng giác ngược: arcsinx, arccosx, arctgx và arccotgx
o
y = arcsinx: là hàm ngược của y = sinx.

Do sinx tuần hoàn chu kỳ 2π và là song ánh từ [ −

π
π
± kπ, ± kπ ] sang [–1, 1] nên trên
2
2

π
π
± kπ, ± kπ ], xác định một hàm ngược y = arcsinx.
2
2
Ta ký hiệu Arcsinx là họ tất cả các hàm ngược của y = sinx, còn ký hiệu arcsinx là hàm

mỗi đoạn [ −

π π
ngược xác định trên [–1, 1], nhận giá trị trên đoạn [ − , ].
2 2
o
y = arccosx: là hàm ngược của y = cosx.
14

A

x


Phép tính giải tích một biến số

Do cosx tuần hoàn chu kỳ 2π và là song ánh từ [0 ± kπ, π ± kπ] sang [–1, 1] nên trên mỗi
đoạn [0 ± kπ, π ± kπ], xác định một hàm ngược y = arccosx.
Ta ký hiệu Arccosx là họ tất cả các hàm ngược của y = cosx, còn ký hiệu arccosx là hàm
ngược xác định trên [–1, 1], nhận giá trị trên đoạn [0, π].
y = arctgx: là hàm ngược của y = tgx.

o

Do tgx tuần hoàn chu kỳ π và là song ánh từ ( −

π
π
± kπ, ± kπ ) sang (–∞, +∞) nên trên
2
2

π
π
± kπ, ± kπ ), xác định một hàm ngược y = arctgx.
2
2
Ta ký hiệu Arctgx là họ tất cả các hàm ngược của y = tgx, còn ký hiệu arctgx là hàm

mỗi khoảng ( −

π π
ngược xác định trên (–∞, +∞), nhận giá trị trong khoảng ( − , ).
2 2
y = arccotgx: là hàm ngược của y = cotgx.

o

Do cotgx tuần hoàn chu kỳ π và là song ánh từ (0 ± kπ, π ± kπ) sang (–∞, +∞) nên trên mỗi
khoảng (0 ± kπ, π ± kπ), xác định một hàm ngược y = arccotgx.
Ta ký hiệu Arccotgx là họ tất cả các hàm ngược của y = cotgx, còn ký hiệu arccotgx là hàm
ngược xác định trên (–∞, +∞), nhận giá trị trong khoảng (0, π).
π/2

y

y
π
y = arccosx

–1
O

π/2

1 x

y = arcsinx
–π/2

O

–1

y y = arctgx

π/2

π
x
O
–π/2

1 x

y y = arccotgx
π/2
x
O

Dễ thấy rằng arcsinx + arccosx = = arctgx + arccotgx
Ta gọi hàm dấu của x, ký hiệu sgnx (signal), là hàm
a+b

ab < 1
arctg 1 − ab
 −1 x < 0


π
sgn x =  0 x = 0 . Khi đó arctg a + arctg b =  sgn a
ab = 1
2
1 x>0




a+b
arctg 1 − ab + π sgn a ab > 1
15


Phép tính giải tích một biến số

1.8. Các hàm số sơ cấp
Các hàm sơ cấp là những hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán số học [53]
và phép lấy hàm hợp từ các hàm sơ cấp cơ bản.
Cho hai hàm f(x) và g(x) có cùng miền xác định, các phép toán số học đối với f và g là:
• Tổng: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

•Hiệu: (f – g)(x) = f(x) – g(x)

•Tích: (f.g)(x) = f(x).g(x)

•Thương: ()(x) = , với g(x) ≠ 0.

Trong số các hàm sơ cấp, người ta quan tâm đến các đa thức[54] và các hàm hữu tỷ.
 Đa thức:

Pn(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 +... + an – 1x + an,
ở đây các ak là các hằng số và a0 ≠ 0.

Ta có thể biểu diễn đa thức dưới dạng:
Pn(x) = ( ... (((0.x) +a0)x + a1)x + a2)x +... + an – 1)x + an
Để tính giá trị của Pn(x) tại x = c, ta thực hiện n + 1 lần cho mỗi phép nhân, phép cộng và
phép gán[55] theo lược đồ Horner(1) như sau:

y := 0; for k := 0 to n do y := y*c + ak
 Hàm hữu tỷ: f(x) =

a x n + a1x n −1 + ... + a n
Pn (x)
= 0 m
, với Pn(x) và Qm(x) là các đa thức.
Qm (x) b 0 x + b1x m −1 + ... + b m

1.9. Chứng minh một số phát biểu trong chương 1
1.9.1. Chứng minh Định lý 1.2 .3

∀ε > 0 ta có:
1) Nếu a = 0 ta lấy εx =

ε
ε
, trái lại ta lấy εx =
.
2|a |
2

Nếu b = 0 ta lấy εy =

ε
ε
, trái lại ta lấy εy =
.
2|b|
2

ε
∀n > nx
2
ε
Do yn → y, nên với εy, ∃ny ∈N* : |yn – y| < εy ∀n > ny, ⇒ |b||yn – y| < ∀n > ny
2
Lấy no = max(nx, ny). Khi đó,
Do xn → x, nên với εx, ∃nx ∈N* : |xn – x| < εx ∀n > nx, ⇒ |a||xn – x| <

|axn + byn + c – ax – by – c| = |a(xn – x) + b(yn – y)| ≤ |a||xn – x| + |b||yn – y| < ε ∀n > no.
Theo định nghĩa, axn + byn + c → ax + by + c khi n → +∞.
2) Theo Định lý 1.2 .7, tồn tại Mx, My sao cho |xn| < Mx và |yn| < My với mọi n ∈N*.
ε
Đặt M = max(Mx, My, |x|). Với
,
2M
ε
ε
∃nx ∈N* : |xn – x| <
∀n > nx, ∃ny ∈N* : |yn – y| <
∀n > ny.
2M
2M
Lấy no = max(nx, ny). Khi đó,
ε
ε
+M
|xnyn – xy| = |xnyn – xyn + xyn –xy| ≤ |yn||xn – x| + |x||yn – y| < M
= ε.

2M
2M
1()

William George Horner (1786 – 22/09/1837), nhà Toán học Anh.

16


Phép tính giải tích một biến số

Theo định nghĩa, xnyn → xy khi n →+∞.
3) Vì yn → y ≠ 0 nên |yn| → |y| > 0. Do đó tồn tại n1∈ N* sao cho với n > n1 thì |yn| >
Theo định nghĩa, với

εy 2
εy 2
> 0, ∃n2 ∈ N* : với n > n2 thì |yn – y| <
.
2
2

Lấy no = max(n1, n2), khi đó
Vậy

| y|
.
2

1 1 | y n − y | 2 | y n − y | 2 εy 2

− =
≤
< 2
= ε.
y n y | y n || y |
| y |2
y 2

1
1
→ khi n → +∞.
yn
y

4) Là hệ quả của 2) và 3).♦
1.9.2. Chứng minh Định lý 1.2 .4

1. Giả sử ngược lại, a > b. Với ε =

a−b
,
2

∃nx > 0 : xn ∈ Uε(a) ∀ n > nx, ∃ny > 0 : yn ∈ Uε(b) ∀ n > ny.
Lấy N = max(nx, ny, n0), khi đó, ∀n > N, ta có yn < b + ε < a – ε < xn.
Mâu thuẫn, vậy a ≤ b.
2. ∀ε > 0, ∃nx > 0 : ∀n > nx ⇒ xn ∈ Uε(a). ∃nz > 0 : ∀n > nz ⇒ zn ∈ Uε(a).
Lấy ny = max(nx, nz, n0), khi đó ∀n > ny, a – ε < xn ≤ yn ≤ zn < a + ε ⇒ yn ∈ Uε(a).
Vậy yn → a khi n → +∞.♦
1.9.3. Chứng minh Định lý 1.2 .5

Giả sử {xn} đơn điệu tăng và bị chặn trên. Theo tiên đề về cận trên đúng, tồn tại
a = sup{xn}. Khi đó, với mọi ε > 0, vì a – ε không phải là cận trên đúng của {x n} nên tồn tại
N > 0 : xN > a – ε. Khi đó, ∀n ≥ N, a – ε < xN ≤ xn ≤ a.
Vậy ∀n ≥ N, xn ∈ Uε(a), tức là {xn} hội tụ.
Nếu {xn} đơn điệu giảm và bị chặn dưới, xét dãy {yn} với yn = –xn.
Đây là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên, do đó {yn} hội tụ, tức {xn} hội tụ.♦
1.9.4. Chứng minh Định lý 1.2 .6

Dễ thấy {an} là dãy đơn điệu tăng bị chặn trên, còn {b n} đơn điệu giảm bị chặn dưới, nên
cả hai dãy đều hội tụ.
− a n ) = lim b n − lim a n , nên lim b n = lim a n = c .
Theo Định lý 1.2 .3, 0 = nlim(b
n
→∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
Dễ thấy an ≤ c ≤ bn ∀n, vậy c ∈ [an, bn] ∀n.
Nếu d ∈[an, bn] ∀n thì 0 ≤ |d – c| < bn – an → 0 khi n → +∞, vậy d = c.♦
1.9.5. Chứng minh Định lý 1.2 .7

a) Chứng minh điều kiện cần: Giả thiết dãy {x n} hội tụ tới a. Giả sử ngược lại, dãy {x n} còn
có điểm giới hạn nữa là b với a ≠ b, tức là tồn tại dãy con {ym} hội tụ tới b.
Khi đó, với ε =

|b−a |
> 0, Uε(a)∩Uε(b) = ∅. Mặt khác,
3

17


Phép tính giải tích một biến số

do a là giới hạn của dãy nên ∃na > 0 : xn ∈ Uε(a) ∀ n > na,
do b là giới hạn của dãy {ym} nên ∃nb > 0 : ym ∈ Uε(b) ∀ m > nb.
Lấy n0 = max(na, nb), khi đó ym ∈Uε(a)∩Uε(b) ∀ n > n0, mâu thuẫn vì Uε(a)∩Uε(b) = ∅.
Vậy dãy {xn} hội tụ thì nó chỉ có duy nhất điểm giới hạn, ta chứng minh nó giới nội.
Với ε = 1, ∃n0 > 0 : xn ∈ Uε(a), tức là a – 1 < xn < a + 1, ∀ n > n0.
max
Đặt m = min(a – 1, min
k ≤ n 0 {xk}) và M = max(a + 1, k ≤ n 0 {xk}) ⇒ m ≤ xn ≤ M ∀n.
Vậy dãy {xn} giới nội.
b) Chứng minh điều kiện đủ: Giả sử dãy {xn} giới nội và có duy nhất điểm giới hạn là a.
Do {xn} giới nội nên tồn tại M > 0 sao cho |xn| < M với mọi n.
Với ε > 0 đủ nhỏ bất kỳ, ta chứng minh rằng bên ngoài Uε(a) chỉ có hữu hạn các phần tử của dãy.
Giả sử ngược lại, bên ngoài Uε(a) có vô hạn các phần tử của dãy. Khi đó một trong các
đoạn [–M, a – ε] và [a + ε, M] sẽ chứa vô hạn các phần tử của dãy. Không giảm tổng quát ta
xem đó là đoạn [a + ε, M], để tiện trình bày, ta gọi đoạn đó là [α, β].
Rõ ràng, trên một trong hai nửa của đoạn [α, β] sẽ chứa vô hạn phần tử của dãy, giả sử đó
là [α1, β1]. Một trong hai nửa của đoạn [α1, β1] lại cũng chứa vô hạn phần tử của dãy, giả sử
đó là [α2, β2], ... Cứ thế ta được vô hạn đoạn con [αm+1, βm+1] ⊂ [αm, βm] luôn chứa vô hạn các
phần tử của dãy {xn}. Trên đoạn [αm, βm], ta lấy phần tử x n m của dãy {xn}, dễ thấy rằng
αm ≤ x n m ≤ βm và βm – αm → 0.
Theo định lý Cantor, tồn tại c ∈[αm, βm] và rõ ràng x n m → c, vậy c là điểm giới hạn của
dãy {xn} và hiển nhiên là c ≠ a.
Mẫu thuẫn với giả thiết dãy {xn} chỉ có duy nhất một điểm giới hạn.♦
1.9.6. Chứng minh Định lý 1.2 .8

a) Chứng minh điều kiện cần: Giả sử dãy {x n} hội tụ về a. Xét dãy con {ym} bất kỳ, ta chứng
minh nó cũng hội tụ về a.
∀ε > 0 bất kỳ, do {xn} hội tụ nên ∃n0 > 0 sao cho |xn – a| < ε ∀n > n0.
Vì {yn} là dãy con nên |ym – a| < ε ∀m > n0, vậy dãy {ym} hội tụ về a.
Do {ym} là dãy con bất kỳ, nên ta kết luận mọi dãy con đều cùng hội tụ về a.
b) Chứng minh điều kiện đủ: Giả thiết mọi dãy con đều cùng hội tụ về a. Khi đó mọi dãy con
đều giới nội, chứng tỏ dãy {xn} giới nội và chỉ có một điểm giới hạn.
Theo Định lý 1.2 .7 ta có dãy {xn} hội tụ.♦
1.9.7. Chứng minh Định lý 1.2 .9

Giả sử dãy {xn} giới nội, tức tồn tại a0, b0 sao cho a0 ≤ xn ≤ b0 ∀n. Chia đôi đoạn [a0, b0],
tồn tại một nửa đoạn chứa vô số các phần tử của dãy {x n}, và gọi đoạn đó là [a 1, b1] . Lại chia
đôi đoạn [a1, b1], ta nhận được đoạn [a2, b2] chứa vô số các phần tử của dãy. Cứ như thế, ta
nhận được dãy đoạn lồng nhau [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] thoả mãn bn – an → 0 khi n → +∞.
Theo định lý Cantor, tồn tại c ∈[an, bn] ∀n.
18


Phép tính giải tích một biến số

Do [an, bn] chứa vô số các phần tử của dãy {x n} nên ta có thể lấy một phần tử c n ∈ [an, bn]
sao cho cn ≠ ck ∀ k < n. Rõ ràng {cn} là dãy con của {xn} và |cn – c| ≤ bn – an → 0.
Vậy dãy con {cn} hội tụ. ♦
1.9.8. Chứng minh Định lý 1.2 .10

a) Chứng minh điều kiện cần: giả sử dãy xn hội tụ tới a.
Khi đó ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N* : ∀n ≥ n0 ⇒ |xn – a| <

ε
.

2

Do đó với ε nói trên và m ≥ n0, n ≥ n0 thì |xm – xn| ≤ |xm – a| + |xn – a| <

ε ε
+ = ε.
2 2

Điều đó chứng tỏ rằng {xn} là dãy Cauchy.
b) Chứng minh điều kiện đủ: giả sử dãy xn là dãy Cauchy.
Trước tiên, ta chứng minh dãy Cauchy là giới nội. Thật vậy, do {x n} là dãy Cauchy nên
với ε = 1, tồn tại n0 ∈ N* sao cho |xm – xn| < 1 với mọi m ≥ n0, n ≥ n0.
Với mọi n ≥ n0 ta có |xn| = |xn – x n 0 + x n 0 | ≤ |xn – x n 0 | + | x n 0 | < 1 + | x n 0 |.
Đặt M = max{|x1|, |x2|, ..., | x n 0 −1 |, 1 + | x n 0 |}, ta có |xn| ≤ M ∀n ∈ N*, tức {xn} giới nội.
Theo Định lý 1.2 .9, ta trích ra được dãy con { x n k } hội tụ, giả sử giới hạn là a.
Ta chứng minh dãy {xn} hội tụ về a. Thật vậy, ∀ε > 0,
vì { x n k } hội tụ về a nên ∃m1 ∈ N* sao cho | x n k – a| <

ε
với mọi nk > m1,
2

vì {xn} là dãy Cauchy nên ∃m2 ∈ N* sao cho |xn – x n k | <

ε
∀n > m2 và ∀nk > m2.
2

Đặt n0 = max{m1, m2}, khi đó với ε nói trên và n > n0 ta có
|xn – a| ≤ |xn – x n k | + | x n k – a| <

ε ε
+ = ε.
2 2

Vậy dãy {xn} hội tụ về a.♦
1.10. Bài tập chương 1
Bài 1.1.Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của các dãy sau
n +1
n +1
1
n
b) xn =
c) xn =
2 d) xn =
n
n
1+ n
1+ n2
Bài 1.2. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của các dãy sau
a) xn = (–1)n

b) xn =

n(n + a) – n

1
1
1
+

+ ... +
1.2 2.3
n(n + 1)

f) s n =

a) xn = n –
e) s n =

n2 − n

Bài 1.3. Xét dãy xn = xn–1 +

1
x n −1

c) xn = n + 3 1 − n 3

d) xn =

n
nπ
sin
2
2

1
1
1
+

+ ... +
1.3 3.5
(2n − 1)(2n + 1)

với x0 = 1.

a) Chứng minh rằng dãy {xn} không có giới hạn hữu hạn
b) Chứng minh rằng xn → +∞ khi n → +∞.
19


Phép tính giải tích một biến số

Bài 1.4. Xét dãy xn =

an
bn

với an = 2an–1 + 3bn–1, bn = an–1 + 2bn–1, a0 > 0, b0 > 0.

a) Chứng minh rằng an > 0, bn > 0.
b) Tính xn+1 theo xn.
c) Chứng minh rằng dãy xn có giới hạn hữu hạn không phụ thuộc a0 và b0.
Bài 1.5. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy xn =
Bài 1.6. Chứng minh rằng hai dãy xn =

2
x n −1

+ 1, với x0 = 1.

x n −1 y n −1 và yn =

1
(x + y n −1 ) , với y0 > x0 > 0, cùng
2 n −1

hội tụ và có chung giới hạn.
Bài 1.7. Xét sự hội tụ của dãy xn = 1 + x n −1 với x0 =

3.

Bài 1.8. Xác định xn nếu biết xn+2 = 2 3 xn+1 – 4xn, x0 = 2, x1 = 2 3 .
Bài 1.9. Số nguyên dương n được gọi là số nguyên tố (prime) nếu nó chỉ chia hết cho 1 và
chính nó.
Chứng minh rằng, nếu p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – q2 chia hết cho 3.
Bài 1.10. Cho trước số nguyên dương m, hãy chỉ ra m số nguyên dương liên tiếp nhưng
không số nào trong chúng là số nguyên tố.
Bài 1.11.Chứng minh rằng

2 là số vô tỷ.

Bài 1.12.Chứng minh rằng, mọi hàm f(x) xác định trong miền đối xứng luôn biểu diễn được
dưới dạng tổng của một hàm chẵn với một hàm lẻ.
1.11. Lời giải bài tập chương 1
Bài 1 .1.
a) xn = (–1)n
Vì dãy

n +1

2n + 1
1
= 1+
. Xét dãy con x2n =
.
n
2n
2n

1
có giới hạn là 0 nên 1 chính là điểm giới hạn của dãy xn.
n

Mặt khác, xét dãy x2n+1 = –

2n + 1 + 1
1
= −1 −
.
2n + 1
2n + 1

1
có giới hạn là 0 nên –1 cũng là điểm giới hạn của dãy xn.
2n + 1
Vậy dãy {xn} có hai điểm giới hạn nên nó phân kỳ.
Vì dãy

b) xn =

n +1
1
= 1 + hội tụ về 1.
n
n

c) xn =

1
1
1
< → 0 nên dãy hội tụ về 0.
2 . Vì 0 <
2
1+ n
1+ n
n

d) xn =

n
n
1
< → 0 nên dãy hội tụ về 0.
2 . Vì 0 <
2
1+ n
1+ n
n

Bài 1 .2.

20


Phép tính giải tích một biến số

a) xn = n –

b) xn =

n2 − n =

n
n+ n −n
2

n(n + a) − n =

1

=

1+ 1−

an
=
n(n + a) + n

3

3 3
3
b) xn = n + 1 − n = n − n − 1 =

1
n

→

1
2 khi n →+∞.

a
a
→
2 khi n →+∞.
a
(1 + ) + 1
n
1

n 2 + n 3 n 3 − 1 + 3 (n 3 − 1) 2

→ 0 khi n →+∞.

n
nπ
4m + 1 (4m + 1)π 4m + 1
sin
sin

=
. Xét dãy x4m+1 =
→ +∞ khi m → +∞.
2
2
2
2
2
1
Bài 1 .3. xn = xn–1 +
với x0 = 1.
x n −1
d) xn =

a) Giả sử ngược lại, dãy có giới hạn là a, khi đó a = a +
b) Vì x0 = 1 và xn = xn–1 +

1
x n −1

1
1
⇔ 0 = ⇒ mâu thuẫn.
a
a

≥ xn–1 nên xn là dãy đơn điệu tăng. Theo ý a) dãy không có giới

hạn hữu hạn, chứng tỏ dãy không bị chăn trên. Vậy xn → +∞ khi n → +∞.
Bài 1 .4.

a) Do a0 > 0, b0 > 0 và an = 2an–1 + 3bn–1, bn = an–1 + 2bn–1 nên ta có an > 0 và bn > 0 ∀n.
a
2 n +3
a
2a + 3b n
bn
2x + 3
=
= n
b) xn+1 = n +1 = n
.
an
b n +1 a n + 2b n
xn + 2
+2
bn
c) x n +1 =

2x n + 3
xn + 2

= 2−

1
1
1
⇒ x n +1 +
= 2 ⇒ xn +
= 2.
xn + 2

xn + 2
x n −1 + 2

Nếu xn–1 > xn thì xn > xn+1, nếu xn–1 < xn thì xn < xn+1, chứng tỏ {xn} là dãy đơn điệu tăng
hoặc giảm, phụ thuộc vào a0 và b0.
2x n + 3

Ta có xn+1 – xn =
thì xn <

xn + 2

− xn =

3 − x n2
xn + 2

3 , nếu xn đơn điệu giảm thì xn >

Giả sử giới hạn đó là x, ta có x +
Rõ ràng giá trị
Bài 1 .5. Do xn =

=

( 3 − x n )( 3 + x n )
xn + 2

, do đó nếu xn đơn điệu tăng

3 . Trong cả hai trường hợp ta đều có x n hội tụ.

1
= 2 ⇒ x2 – 3 = 0 ⇒ x = 3 (do xn > 0).
x+2

3 không phụ thuộc vào a0 và b0.
2
x n −1

+ 1 và x0 = 1 nên xn > 1 ∀n. Ta lại có

21


Phép tính giải tích một biến số

xn+1 – xn =

(1 − x n )(2 + x n )
2
+1− xn =
< 0 nên xn+1 < xn, tức xn là dãy đơn điệu giảm, bị
xn
xn

chặn dưới, do đó tồn tại giới hạn, giả sử là x. Khi đó, x =

2
+ 1 ⇒ x = 2.

x

Bài 1 .6. Do y0 > x0 > 0 nên xn > 0 và y n > 0 với mọi n.
1
Mặt khác, x n −1 y n −1 ≤ (x n −1 + y n −1 ) nên xn ≤ yn với mọi n.
2
Ta có 2y1 = x0 + y0 < 2y0 ⇒ y1 < y0, x12 = x0y0 > x02 ⇒ x1 > x0 ⇒ x0 < x1 ≤ y1 < y0.
Tương tự ta có x0 < x1 < x2 < ... < xn ≤ yn < ... Vậy dãy {xn} đơn điệu tăng và bị chặn trên, còn {y n} đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên
cả hai dãy cùng hội tụ., giả sử giới hạn của chúng tương ứng là x và y.
xy ⇒ x = y.

Ta có x =

Bài 1 .7. Do x0 =

3 nên xn = 1 + x n −1 > 1 với mọi n. Mặt khác

x1 = 1 + x 0 = 1 + 3 < 3 = x0 ⇒ x1 < x0.
x2 = 1 + x1 < 1 + x 0 = x1 ⇒ x2 < x1.
...
xn = 1 + x n −1 < 1 + x n −2 = xn–1 ⇒ xn < xn–1,
Vậy dãy xn đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ.
Gọi giới hạn đó là x ta có x = 1 + x ⇒ x =

1+ 5
(vì xn > 1).
2

Bài 1 .8. xn+2 = 2 3 xn+1 – 4xn, x0 = 2, x1 = 2 3 .

Phương trình λ2 – 2 3 + 4 = 0 có nghiệm λ1 =

3 – i, λ2 =

3+i⇒α=

3 , β = 1.

π
π
⇒ xn = 2n+1cosn .
6
6
Bài 1 .9. Trước hết ta chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Thật vậy, số dư của n chia cho 3 chỉ có thể là
0: khi đó n chia hết cho 3,
1: khi đó n + 2 chia hết cho 3,
2: khi đó n + 1chia hết cho 3.
Vậy n(n + 1)(n + 2) luôn chia hết cho 3.
Giả sử p là số nguyên tố, khi đó p(p 2 – 1) = (p – 1)p(p + 1) chia hết cho 3. Nhưng p > 3 và
là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3, vậy (p – 1)(p + 1) = p2 – 1 chia hết cho 3.
Vì p2 – q2 = (p2 – 1) – (q2 – 1), vậy p2 – q2 chia hết cho 3.
Bài 1 .10. Xét dãy gồm m số: (m + 1)! + 2, (m + 1)! + 3, ..., (m + 1)! + (m + 1).
Rõ ràng, (m + 1)! + k chia hết cho k, với k = 2, 3, ..., m + 1.
Điều kiện αc0 = c1 được thoả mãn, đồng thời ρ = 2, ϕ =

22


Phép tính giải tích một biến số

Bài 1 .11. Giả sử ngược lại, 2 là số hữu tỷ, khi đó tồn tại hai số nguyên dương m và n sao
m
m
. Không giảm tổng quát, ta coi
đã ở dạng tối giản, nghĩa là chúng không có
n
n
ước số chung nào ngoài 1. Quy đồng rồi bình phương hai vế ta có 2n 2 = m2. Vậy m chia hết
cho 2, tức m = 2m1, thay vào ta có n2 = 2m12. Vậy n lại phải chia hết cho 2, mâu thuẫn vì m và
cho

2 =

n không có ước số chung nào ngoài 1.♦
Bài 1 .12. Giả sử f(x) xác định trên miền đối xứng (–a, a). Xét hai hàm
1
1
f1(x) = [f(x) – f(–x)] và f2(x) = [f(x) + f(–x)] .
2
2
Dễ thấy f1(x) là hàm lẻ và f2(x) là hàm chẵn, đồng thời f(x) = f1(x) + f2(x).♦
Ch¬ng 2. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC
2.1. Giới hạn của hàm số
2.1.1. Giới hạn của hàm số khi x dần đến +∞

Giới hạn là một khái niệm quan trọng trong giải tích, thông qua đó ta có thể định lượng
được giá trị của biểu thức f(x) khi x đủ gần giá trị a, có thể chấp nhận sai số nào đó.
Thông qua khái niệm lân cận trong mục 1.2, ta có thể phát biểu nôm na khái niệm giới hạn
như sau, với quy ước rằng ký hiệu L cũng như ký hiệu a được nói đến sau này có thể nhận giá

trị hữu hạn hoặc vô hạn.
Định nghĩa phi hình thức: Ta nói rằng hàm f(x) có giới hạn là L khi x dần đến a, và ta viết
lim f ( x ) = L, nếu với mọi lân cận của L, tồn tại lân cận của a sao cho khi x thuộc lân cận
x →a
của a thì f(x) thuộc lân cận của L.
Hoặc phát biểu dưới dạng ký hiệu:
∀U(L), ∃U(a) : x ∈ U(a) ⇒ f(x) ∈ U(L).
Ví dụ với f(x) = x 2. Khi x đủ gần 0 thì x 2, tức là f(x), cũng đủ
gần 0. Khi x đủ gần 2 thì f(x) đủ gần 4.

y
4

x 2 = 0 và lim x 2 = 4.
Trong trường hợp này ta viết lim
x →0
x →2
Sau đây ta phát biểu hình thức cho từng trường hợp cụ thể.
Cho f(x) xác định trong khoảng [a, +∞) và số hữu hạn L ∈ R.
Định nghĩa 2.1.10. Ta nói hàm f(x) có giới hạn hữu hạn L khi
• x → +∞ nếu∀ε > 0, ∃A = A(ε) > 0 : ∀ x∈UA(+∞) ⇒ f(x)∈ Uε(L).
• x → –∞ nếu ∀ε > 0, ∃A = A(ε) > 0 : ∀ x∈UA(–∞) thì f(x)∈ Uε(L).
Trong trường hợp này ta viết lim f (x) = L, lim f (x) = L .
x →+∞

x
O

2

x →−∞

x +1
có giới hạn là 1 khi x → ±∞.
x
Giải: Xét quá trình x → –∞. Với ε > 0 bất kỳ,
x +1
1
−1 < ε ⇔ < ε
f(x) ∈ Uε(1) ⇔ |
x
x
Ví dụ 2.1.13. Chứng minh f(x) =

1
1
1
⇔ |x| > ⇔ x > ⇔ − x > ⇔ x < − .
ε
ε
ε

y

1

y=x+
x

O

23


Phép tính giải tích một biến số

1
> 0 thì với mọi x < –A ta có
ε
1
x +1
f (x) = 1.
− 1 < ε ⇔ f(x) ∈ Uε(1). Vậy xlim
x < –A ⇔ x < – x < −A ⇔ x < − ⇔
→−∞
ε
x
Vậy với ε đã cho, nếu lấy A =

Xét quá trình x → +∞. Với ε > 0 bất kỳ,
x +1
1
1
−1 < ε ⇔ < ε ⇔ x > .
f(x) ∈ Uε(1) ⇔
x
x
ε
1
> 0 thì với mọi x > A ta có

ε
1
1
x +1
f (x) = 1.
− 1 < ε ⇔ f(x) ∈ Uε(1). Vậy xlim
x >A⇔ x> ⇔ <ε⇔
→+∞
ε
x
x

Vậy với ε đã cho, nếu lấy A =

Định nghĩa 2.1.11. Ta nói hàm f(x) có giới hạn là +∞ khi
•

x → +∞ nếu∀M > 0, ∃A = A(M) > 0 : ∀ x∈ UA(+∞) ⇒ f(x)∈ UM(+∞)

•

x → –∞ nếu ∀M > 0, ∃A = A(M) > 0 : ∀ x∈UA(–∞) ⇒ f(x)∈ UM(+∞).

f (x) = +∞, lim f (x) = +∞ .
Trong trường hợp này ta viết xlim
→+∞
x →−∞
x4 +1
Ví dụ 2.1.14. Chứng minh rằng f(x) =
có giới hạn là +∞ khi x → ±∞.

x2
Giải: Xét quá trình x → +∞. Với M > 0 bất kỳ, khi đó với mọi x > 0,
f(x)∈UM(+∞) ⇔ f(x) > M ⇔

1
x4 +1
> M ⇔ x2 + 2 > M ⇐ x2 > M ⇔ x > M .
2
x
x

Vậy với M > 0 đã cho, lấy A =

M , khi đó

∀x > A ⇒ f(x)∈UM(+∞) ⇒ xlim
→+∞ f(x) = +∞.
Xét quá trình x → –∞. Với M > 0 bất kỳ, khi đó với mọi x < 0,
f(x)∈UM(+∞) ⇔ f(x) > M ⇔
Vậy với M > 0 đã cho, lấy A =

x4 +1
1
> M ⇔ x2 + 2 > M ⇐ x2 > M ⇔ x < − M .
2
x
x
f(x) = +∞.
M , khi đó ∀x < –A ⇒ f(x)∈UM(+∞) ⇒ xlim
→−∞

Định nghĩa 2.1.12. Ta nói hàm f(x) có giới hạn là –∞ khi
•

x → +∞ nếu∀M > 0, ∃A = A(M) > 0 : ∀ x∈UA(+∞)⇒ f(x)∈ UM(–∞)

•

x → –∞ nếu ∀M > 0, ∃A = A(M) > 0 : ∀ x∈UA(–∞) ⇒ f(x)∈UM(–∞).

f (x) = –∞, lim f (x) = –∞.
Trong trường hợp này ta viết xlim
→+∞
x →−∞
f ( x ) = L ⇔ lim f ( xn ) = L với mọi dãy {xn} có giới hạn là +∞.
Định lý 2.1.11. xlim
→+∞
n →+∞
(Xem chứng minh tại trang 32)
2.1.2. Giới hạn của hàm số khi x dần đến giá trị hữu hạn a

a) Giới hạn một phía[56]
Định nghĩa 2.1.13. Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi x → a
•

f ( x ) = +∞, nếu
từ bên trái, và viết xlim
→a −0

∀M>0, ∃δ = δ(M) > 0 : ∀x∈ Uδ(a – 0) ⇒ f(x)∈UM(+∞)

24


Phép tính giải tích một biến số

•

f ( x ) = +∞, nếu
từ bên phải, và viết xlim
→a + 0

∀M>0, ∃δ = δ(M) > 0 : ∀x∈ Uδ(a + 0) ⇒ f(x)∈UM(+∞)
1
Ví dụ 2.1.15. Chứng minh f(x) =
→ +∞ khi x → 1–0.
1− x2
1
1
> M ⇔ 1− x2 < 2
∀M > 1, f(x)∈UM(+∞) ⇔
M
1− x2
⇔ (1 – x)(1 + x) <
Lấy δ =

1
1
1
⇐ 2(1 − x) < 2 ⇔ 1 − x <
.

2
M
M
2M 2

y

–1

O

1

x

1
, khi đó ∀x∈ Uδ(1 – 0) ⇒ f(x) ∈ UM(+∞).
2M 2

Định nghĩa 2.1.14. Ta nói f(x) có giới hạn là –∞ khi x dần đến a
•
từ bên trái, và viết lim f ( x ) = –∞, nếu
x →a − 0

•

∀M>0, ∃δ = δ(M) > 0 : ∀x∈ Uδ(a – 0) ⇒ f(x)∈UM( –∞).
từ bên phải, và viết lim f ( x ) = –∞, nếu
x →a + 0

∀M>0, ∃δ = δ(M) > 0 : ∀x∈ Uδ(a + 0) ⇒ f(x)∈UM( –∞).
f (x) và lim f (x) .
Ta còn dùng các ký hiệu f(a – 0) và f(a + 0) thay thế cho xlim
→a − 0
x →a +0

Định nghĩa 2.1.15. Ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần đến a
•
từ bên trái, và viết lim f ( x ) = L, nếu
x →a − 0

•

∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 :∀x∈ Uδ(a–0) ⇒ f(x) ∈ Uε(L).
từ bên phải, và viết lim f ( x ) = L, nếu
x →a + 0

∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 :∀x∈ Uδ(a+0) ⇒ f(x) ∈ Uε(L).
b) Giới hạn hai phía[57]

y
L
O

a

x

f ( x ) = L , nếu cả
Định nghĩa 2.1.16. Ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a, ký hiệu lim

x →a
hai giới hạn f(a–0) và f(a+0) cùng tồn tại và bằng L. Tức là
lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x ∈ Uδ(a) ⇒ f(x) ∈ Uε(L).
x→a
f ( x ) = L ⇔ lim f ( xn ) = L với mọi dãy {xn} dần đến a.
Định lý 2.1.12. lim
x →a
n →+∞
(Xem chứng minh tại trang 32)
Định lý 2.1.13. Nếu f(x) → L (hữu hạn) khi x → a (vô hạn hoặc hữu hạn) thì tồn tại lân cận
của a sao cho f(x) giới nội trong lân cận đó.
2.2. Các tính chất của giới hạn
, lim , lim , lim , lim .
Ký hiệu lim thay thế cho một trong các xlim
→−∞ x →+∞ x →− a x →+ a x → a
Định lý 2.2.14. (Tính chất đại số của giới hạn) Giả sử lim f (x) = F, limg(x) = G. Khi đó
a) lim [f (x) + g(x)] = F + G
b) lim [f (x)g(x)] = F.G
c) ∀λ∈R, lim[λf(x)] = λF
d) Nếu G ≠ 0, thì lim =
(Xem chứng minh tại trang 33)
25