Ứng dụng phép suy luận quy nạp trong dạy học dạng toán tìm tập hợp ở trường phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
===o0o===

ĐÀO MAI LY

ỨNG DỤNG PHÉP SUY LUẬN QUY NẠP
TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN TÌM TẬP HỢP
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
===o0o===

ĐÀO MAI LY

ỨNG DỤNG PHÉP SUY LUẬN QUY NẠP
TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN TÌM TẬP HỢP
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. ĐÀO THỊ HOA

HÀ NỘI - 2017


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được
sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ Phương pháp dạy học và các
bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các
thầy, cô trong tổ phương pháp dạy học và đặc biệt là cô giáo Đào Thị Hoangười đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thiện
khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những hạn
chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý
thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Đào Mai Ly


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

LỜI CAM ĐOAN

Tên em là: Đào Mai Ly
Sinh viên lớp: K39D-Sư phạm Toán
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dưới sự
chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của bất cứ
tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Đào Mai Ly


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lời nói đầu ................................................................................................. 1
2. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................. 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 1
4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................... 2
Chương 1. LÝ LUẬN CHUNG VỀ GIẢI TOÁN ............................................ 3
1.1. Bài toán và lời giải bài toán .................................................................... 3
1.2. Ý nghĩa của việc giải toán ...................................................................... 3
1.3. Phân loại bài toán và phương pháp giải toán.......................................... 5
1.4. Phương pháp tìm lời giải bài toán: ......................................................... 7
1.5. Phép suy luận Toán học .......................................................................... 9
1.5.1 Phép suy luận toán học ...................................................................... 9
1.5.2 Phép suy luận quy nạp (Suy luận nghe có lí) ................................. 10
1.6. Ứng dụng của phép suy luận quy nạp................................................... 11
1.6.1 Ứng dụng suy luận quy nạp để tiếp cận lời giải bài toán ................ 11
1.6.2 Ứng dụng suy luận quy nạp trong dự đoán kết quả bài toán .......... 15
1.6.3 Ứng dụng suy luận quy nạp trong việc khai thác bài toán .............. 18

Tiểu kết chương 1 ........................................................................................ 21
Chương 2. ỨNG DỤNG PHÉP LUẬN QUY NẠP TRONG DẠY HỌC
DẠNG TOÁN TÌM TẬP HỢP ....................................................................... 23
2.1. Tổng quan về dạng toán tìm tập hợp ở trường phổ thông .................... 23
2.1.1 Vai trò của dạng toán tìm tập hợp ở trường phổ thông ................... 23
2.1.2 Nội dung chương trình của toán tìm tập hợp ở trường phổ thông .. 25
2.2. Hướng dẫn dạy học dạng toán tìm tập hợp ở trường phổ thông .......... 26
2.2.1 Dạy học dự đoán tập hợp cần tìm ................................................... 26


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2.2 Hướng dẫn học sinh thông hiểu bản chất dạng toán tìm tập hợp .... 31
2.2.3 Dạy học chứng minh phần đảo của bài toán tìm tập hợp ................ 34
2.3. Phần luyện tập giải toán tìm tập hợp .................................................... 39
Tiểu kết chương 2 ........................................................................................ 51
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 53


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

MỞ ĐẦU

1. Lời nói đầu
Toán học là một môn khoa học suy diễn, được trình bày chặt chẽ bằng
phương pháp tiên đề. Trong đó mọi khái niệm được định nghĩa và mọi mệnh
đề đã biết trước đó. Nhưng trong toán học, cũng như các khoa học khác cần
có những thí nghiệm và sự mò mẫm để dự đoán kết quả, dự đoán quy luật
trước khi chứng minh chúng bằng suy luận logic.

Phép suy luận quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung, từ cái ít tổng quát
đến cái tổng quát hơn. Phép suy luận quy nạp là cơ sở của mọi sự sáng tạo
Toán học; đồng thời phép suy luận quy nạp có ý nghĩa to lớn trong việc dạy
và học toán ở trường phổ thông.
Đối với dạng toán tìm kiếm - toán tìm tập hợp, tìm một hình có tính chất
nào đó, tìm một biểu thức tổng quát của một đại lượng nào đó,…thì khó khăn
đầu tiên - nhiều khi là khó khăn chủ yếu là dự đoán được hình cần tìm, dự
đoán được kết quả cần chứng minh. Chính vì vậy, em đã lựa chọn đề tài “Ứng
dụng phép suy luận quy nạp trong dạy học dạng toán tìm tập hợp ở
trường phổ thông”
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về lí luận:
+ Nghiên cứu lý luận chung về giải toán
+ Phép suy luận và chứng minh Toán học
- Ứng dụng suy luận quy nạp trong giải toán nói chung và trong dạy học
toán tìm tập hợp ở trường phổ thông
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Dạng toán tìm tập hợp trong chương trình môn toán trường phổ thông.

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

1

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận về bài toán, lời giải bài toán và phương pháp chung

về giải toán
Nghiên cứu nội dung chương trình và thuận lợi, khó khăn của học sinh
về dạng toán tìm tập hợp ở trường phổ thông
Tổng kết kinh nghiệm về dạy học giải dạng toán tìm tập hợp ở trường
phổ thông. Từ đó đề xuất phương pháp dạy học dạng toán tìm tập hợp ở
trường phổ thông sao cho hiệu quả: Dạy học dự đoán tập hợp cần tìm; dạy
chứng minh thuận - đảo của bài toán tìm tập hợp ở trường phổ thông

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

2

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chương 1. LÝ LUẬN CHUNG VỀ GIẢI TOÁN
1.1. Bài toán và lời giải bài toán
a. Bài toán:
Theo G.Polya: bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có
ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.Polya cho ta thấy rằng: Bài toán
là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy bài toán có thể đồng nhất
với một số quan niệm khác nhau về bài toán: đề toán, bài tập…
Cũng trong định nghĩa bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp
thành một bài toán đó là: Sự đòi hỏi của bài toán và mục đích của bài toán.
b. Lời giải bài toán.
Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực

hiện để đạt tới mục đích đã đề ra. Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải,
cách giải, đáp án của bài toán.
Một bài toán có thể có:

- Một lời giải
- Không có lời giải
- Nhiều lời giải

1.2. Ý nghĩa của việc giải toán
a. Kiến thức
Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm
toán học và các kết luận toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân
tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các
kiến thức đã biết khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến
thức mới. Và cứ như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã
biết trước được phân tích, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới… Cuối cùng
chúng ta đi đến được lời giải của bài toán.

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

3

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong
bài toán mà cả một hệ thống kiến thức liên quan đến bài toán cũng được củng
cố qua lại nhiều lần.

b. Kỹ năng
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ
một môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn
khoa học đó vào giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được các bài
toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia trong mọi tình huống
của quá trình dạy học môn toán.
Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức
gây tình huống để dẫn dắt học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm; Bài
toán được sử dụng để nêu ra làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh họa cho khái
niệm; Bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm.
Trong giảng dạy định lí toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức gây
tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lí toán học; Bài toán
có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lí; Đặc biệt là việc tổ
chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lí chính là việc tổ chức hướng dẫn
học sinh tập tìm ra lời giải của một bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong
một phần hay một chương nào đó của môn học.
Trong luyện tập toán học: Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết
luyện tập toán học. Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ
thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng
cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó.
c. Tư duy
Đặc điểm nổi bật của toán học cũng như của môn toán là một môn khoa
học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Do vậy nên lời giải

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

4

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến
một mục đích rất rõ rệt. Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác động trực tiếp
rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có
căn cứ đúng, suy luận theo quy tắc suy diễn,…
Chúng ta biết rằng không thể có một phương pháp chung nào để giải
được mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm được lời
giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích; phải biết cách dự đoán kết quả,
biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống
nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hóa… Như vậy qua việc giải bài
toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển.
d. Tư tưởng
Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là: Mọi hoạt động đều có
mục đích rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích
rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện
năng lực hoạt động của con người. Để giải một bài toán, nhất là đối với các
bài toán khó, người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì, và
nhiều khi người ta phải có quyết tâm rất lớn để giải bài toán đó.
Nói theo cách của G.POLYA là “Khát vọng và quyết tâm giải được bài
toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán”. Do vậy ta thấy rằng:
Hoạt động giải bài toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và
phát triển nhân cách con người.
1.3. Phân loại bài toán và phương pháp giải toán
a. Phân loại bài toán
Người ta phân loại các bài toán tho nhiều cách khác nhau để đạt được
mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi
- Phân loại theo hình thức bài toán:

Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho
hay chưa để phân chia bài toán thành hai loại.

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

5

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

+ Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã được đưa ra một
cách rõ ràng trong đề toán.
+ Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn
trong đề bài toán.
- Phân loại theo phương pháp giải bài toán:
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có algorit
giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại.
+ Bài toán có algorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo
một algorit nào đó hoặc mang tính chất algorit nào đó.
+ Bài toán không có algorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của
nó không theo một algorit nào hoặc không mang tính chất algorit nào.
- Phân loại theo nội dung bài toán:
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát triển theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành
các loại khác nhau như sau:
+ Bài toán số học
+ Bài toán đại số
+ Bài toán hình học.

- Phân loại theo ý nghĩa bài toán:
Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán:
Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào
đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán như sau:
+ Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó.
+ Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống
các kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư
duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

6

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4. Phương pháp tìm lời giải bài toán:
Dựa theo 4 bước của G.POLYA
Bước 1: Tìm hiểu đề
Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm
hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:
Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay
đổi, biến thiên của bài toán.
Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.
Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?
Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây
dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó khăn
nhất. Bước này đòi hỏi chúng ta phải biết huy động các kiến thức đã biết để
nhận xét, so sánh, bác bỏ, từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán.
Đối với những bài toán không có algorit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành
xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:
a. Phương pháp đi xuôi:
Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề. Bằng suy
luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic của các tiền đề đó. Tiếp tục
chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm
tiền đề mới. Lại bằng suy luận hợp logic chúng ra tìm ra được hệ quả logic
mới gần gũi hơn với kết luận… Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra được
hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán. Khi ấy ta tìm được lời giải của
bài toán. Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

A  B
  X (Trong đó: A, C là các giả thiết còn X là kết luận)
C  D

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

7

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

b. Phương pháp đi ngược:
Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp

logic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này.
Tiếp tục chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra các tiền đề gần gũi với giả
thiết của bài toán để làm kết luận mới từ đó rút ra các tiên đề logic mới của
các kết luận mới này… Quá trình ấy lại được tiếp diễn ta tìm được các tiên đề
logic trùng với giả thiết của bài toán, ta có được lời giải của bài toán. Phương
pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
C  A
X 
(Trong đó: A, B là các giả thiết còn X là kết luận)
D  B

Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của
bài toán ta thường kết hợp cả hai phương pháp - đi xuôi và đi ngược.
c. Phương pháp sử dụng các phép suy luận quy nạp:
Trong toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phương
pháp. Tuy nhiên không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của
bài toán. Có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phương pháp: Phương
pháp đi xuôi, phương pháp đi ngược, thậm chí kết hợp cả hai phương pháp đó
mà vẫn chưa tìm được lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển hướng
suy nghĩ theo một hướng khác, tạm gọi là phương pháp sử dụng các phép suy
luận quy nạp, nghĩa là: Suy nghĩ đến bài toán có liên quan, có tính chất gần
giống với bài toán ta cần giải - Có thể là bài toán con, bài toán tương tự, bài
toán đặc biệt, đôi khi là bài toán khái quát.
Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của bài toán có liên quan với bài
toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán
đã cho.
Theo G.POLYA chúng ta thường phải đặt câu hỏi sau: “Anh có biết
một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”; “Đây là một bài toán

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

8

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

gần giống với bài toán của anh đã được giải rồi. Anh có thể dùng được nó làm
gì không?”; “Nếu anh không giải được bài toán đã cho, thì trước hết hãy giải
bài toán gần giống với nó.”
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Đây là quá trình tổng hợp lại các bước xây dựng chương trình giải, ta
dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh
đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân
biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được chính là điều chứng minh được.
Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm
được của bài toán.
Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.
Nghiên cứu các bài toán có liên quan.
1.5. Phép suy luận Toán học
1.5.1 Phép suy luận toán học
- Suy luận:
Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề ta rút ra
mệnh đề mới. Mệnh đề đã có trước gọi là tiền đề, mệnh đề mới được rút ra
gọi là kết luận.
Ký hiệu: X1, X2,…,Xn  X
Trong đó: X1, X2,…,Xn - là các tiền đề.

X: là kết luận.

Nếu X1, X2,…,Xn là hằng đúng thì ta nói phép suy luận đó hợp logic.
Lúc đó ta gọi X1, X2,…,Xn là các tiền đề logic, còn X là hệ quả logic.
Nếu các tiền đề trong phép suy luận hợp logic là đúng thì ta có hệ quả
logic của nó là đúng.

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

9

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nếu các tiền đề trong phép suy luận hợp logic là sai thì hệ quả logic của
nó có thể đúng hoặc sai.
1.5.2 Phép suy luận quy nạp (Suy luận nghe có lí)
- Khái niệm:
Phép suy luận quy nạp là suy luận đi từ cái đúng riêng đến kết luận
chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn.
- Đặc trưng của suy luận quy nạp là:
+ Quá trình suy luận không theo quy tắc suy diễn.
+ Kết luận mang tính ước đoán có thể đúng, có thể sai cần phải
kiểm nghiệm.
+ Các phép suy luận quy nạp có nhiều ứng dụng trong giải toán, trong
việc sáng tạo toán học.
- Một số phép suy luận quy nạp:

+ Phép quy nạp không hoàn toàn:
Suy luận quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận mà kết luận thuộc
tính A thuộc vào tất cả các phần tử của tập đang xét trên cơ sở biết thuộc tính
A thuộc vào một số phần tử nào đó của tập đó.
A2A2…An  A
+ Phép tương tự:
Suy luận tương tự là suy luận mà việc rút ra kết luận về hai đối tượng A
và B giống nhau ở các dấu hiệu nào đó trên cơ sở đã biết hai đối tượng đó có
một số dấu hiệu giống nhau từ trước.
Ví dụ: A có các dấu hiệu a, b, c, d
B có các dấu hiệu a, b, c
 Kết luận B cũng có dấu hiệu d.

Suy luận tương tự có ứng dụng rất nhiều trong việc tìm tòi và sáng tạo
toán học, tuy nhiên cần tránh dập khuôn máy móc.

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

10

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

+ Phép khái quát hóa:
Suy luận khái quát hóa là suy luận đi từ một đối tượng hay một nhóm
đối tượng sang một nhóm đối tượng rộng hơn chứa đối tượng ban đầu bằng
cách dựa vào đặc điểm đặc trưng của nhóm đối tượng xuất phát.
Ví dụ: Nếu có hai điểm A1,A2, G là trọng tâm của hệ hai điểm ta có:

  
GA1  GA2  0
Nếu có ba điểm A1,A2, A3, G là trọng tâm hệ ba điểm ta có:
   
GA1  GA2  GA3  0

………………......
 
GA
 i 0
n

Vậy nếu hệ n điểm Ai, G là trọng tâm hệ n điểm thì:

i 1

+ Phép đặc biệt hóa:
Suy luận đặc biệt hóa là suy luận đi từ nhóm đối tượng rộng đến một
nhóm đối tượng hẹp hơn chứa trong tập hợp đối tượng ban đầu.
Trong phép suy luận đặc biệt hóa cần chú ý đến các trường hợp đặc biệt
giới hạn suy biến: Đoạn thẳng là trường hợp suy biến của tam giác, tam giác
là trường hợp suy biến của tứ giác,…
1.6. Ứng dụng của phép suy luận quy nạp
1.6.1 Ứng dụng suy luận quy nạp để tiếp cận lời giải bài toán
Khi giải một bài toán, một phương pháp chung tổng quát để tìm lời giải
là đưa bài toán cần phải giải về các bài toán có liên quan, bài toán tương tự
đơn giản hơn, đã biết cách giải.
Sau khi giải xong bài toán có liên quan này, ta có thể vận dụng kết quả
hoặc phương pháp giải của nó để tìm được lời giải của bài toán đặt ra ban đầu.
Các phép suy đoán như đặc biệt hoá, tương tự, khái quát hoá... có tác

dụng tích cực trong mặt này.
Ví dụ 1: Phân tích quá trình suy nghĩ tìm ra lời giải bài toán sau

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

11

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

“Một chiếc đồng hồ ba kim để bàn đang chạy, ta thấy lúc 12 giờ đúng thì
ba kim trùng nhau. Hỏi sau bao lâu thì ba kim ấy lại trùng nhau?”
Hướng dẫn

Hình 1.1

Ta xét hai bài toán tương tự trong trường hợp đặc biệt như sau
Bài toán 1. “Một chiếc đồng hồ ba kim để bàn đang chạy, ta thấy lúc 12
giờ đúng thì hai kim giờ và kim phút trùng nhau. Hỏi sau bao lâu thì hai kim
ấy lại trùng nhau?”
Gọi vận tốc kim giờ là vh, vận tốc kim phút là vf, vận tốc kim giây là vs.
Ta thấy mỗi giờ kim giờ quay được 1 vòng tròn. Nghĩa là vận tốc của
12

kim giờ là v h 

1
vòng/giờ. Mỗi giờ kim phút quay được 1 vòng tròn. Nghĩa

12

là vận tốc của kim phút là vf  1 vòng/giờ.
Ta thấy lúc 12 giờ đúng hai kim giờ và phút trùng nhau cùng chỉ số 12.
Sau đó hai kim cùng bắt đầu chuyển động tới khi kim giờ chỉ số 1 còn kim
phút chỉ số 12 (khi đó là 1 giờ đúng) thì kim phút đuổi kim giờ.
Ta có khoảng thời gian gần nhất để hai kim giờ và phút trùng nhau tính
từ lúc 1 giờ đúng là
1
1
1
(giờ)
:[1  ] 
12
12 11

Do vậy thời điểm gần nhất để hai kim giờ và kim phút trùng nhau tính từ
lúc 12 giờ đúng là
1
1
 1  1 (giờ)
11
11

Như vậy chu kỳ trùng nhau của hai kim giờ và kim phút trong hai lần

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

12

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học
1
giờ. Do đó suy ra các thời điểm trùng nhau của hai kim giờ và
11

kế tiếp là 1

kim phút trong vòng 12 tiếng đồng hồ như sau:
1
2
1 h, 2 h, .........
11
11

, 11

11
h
11

Bài toán 2. “Một chiếc đồng hồ ba kim để bàn đang chạy, ta thấy lúc 12
giờ đúng thì hai kim phút và kim giây trùng nhau. Hỏi sau bao lâu thì hai kim
ấy lại trùng nhau?”
Gọi vận tốc kim giờ là vh, vận tốc kim phút là vf, vận tốc kim giây là vs.
Ta thấy mỗi phút kim phút quay được 1 phần vòng tròn. Nghĩa là vận
60

tốc của kim phút là vf 

1
vòng/phút. Mỗi phút kim giây quay được 1 vòng
60

tròn. Nghĩa là vận tốc của kim giây là vs  1 vòng/phút.
Hai kim phút và kim giây cùng khởi hành vào lúc chúng chỉ vào số 12 và
1 phút sau kim giây đuổi kim phút.
Ta có khoảng thời gian gần nhất để hai kim giây và phút trùng nhau tính
từ phút đầu là 1 :[1  1 ]  1 (phút)
60

60

59

Do vậy thời điểm gần nhất để hai kim giây và kim phút trùng nhau tính
từ lúc 12 giờ đúng là 1  1  1 1 (phút)
59

59

Như vậy chu kỳ trùng nhau của hai kim giây và kim phút trong hai lần
kế tiếp là 1 1 phút. Do đó suy ra các thời điểm trùng nhau của hai kim giây
59

và kim phút trong vòng 12 tiếng đồng hồ như sau:
2
phút, ........

59

, 59

59
phút
59

1
2
phút, 2 phút, ........
59
59

, 59

59
phút
59

0h. 1 1 phút, 2
59

1h. 1

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

13

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

...................
11h. 1

1
2
phút, 2 phút, ........
59
59

, 59

59
phút
59

Ta thấy thời gian để ba kim trùng nhau là những điểm chung của hai
tập kết quả của hai bài toán trên. Từ đây ta suy ra lúc 12 giờ đúng thì ba kim
giờ, kim phút và kim giây trùng nhau thì 12 giờ sau ba kim lại trùng nhau.
Ví dụ 2: Phân tích quá trình suy nghĩ tìm ra lời giải bài toán sau.
“Chứng minh rằng với  n  N, n  1, ta đều có
S  1

1 1
1
  ...  không thể là số tự nhiên.”
2 3

n

Hướng dẫn
Ta xét các trường hợp cụ thể của n như sau.
1
2

3
2

1
2

1
3

11
;
6

1
2

1
3

1
4

n = 2. Ta có S  1   ;

n = 3. Ta có S  1   

n = 4. Ta có S  1    

25
.
12

......
Đến đây ta thấy rằng ở trong các trường hợp đặc biệt đã xét thì tổng S
luôn là phân số, trong đó có tử số là số chẵn, còn mẫu số là số lẻ. Vậy trong
trường hợp tổng quát ta chứng minh rằng tổng S của ta có tử số luôn là số lẻ,
còn mẫu số luôn chẵn với n tự nhiên bất kỳ (n1).
Vì n  2 nên mẫu số chung của các số hạng trong tổng S bao giờ cũng
chứa thừa số 2. Do vậy mẫu số của tổng S luôn là số chẵn với mọi n  2.
1 1
2 3

Khi phân tích các mẫu số của các phân số 1, , ,...,

1
ra thừa số nguyên
n

tố để tìm thừa số chung thì bao giờ cũng tồn tại phân số

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

14

1
có mẫu số là m
m

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

trong đó có chứa thừa số 2 với luỹ thừa cao nhất. Khi đó thừa số phụ của phân
số này là lẻ, còn thừa số phụ của tất cả các phân số còn lại là số chẵn. Do vậy
tử số của tổng S luôn là số lẻ với mọi n  2.
Vậy ta có thể kết luận rằng với mọi số tự nhiên n và n  2 thì tổng S
không thể là số nguyên.
1.6.2 Ứng dụng suy luận quy nạp trong dự đoán kết quả bài toán
Toán học là một khoa học suy diễn, được trình bày chặt chẽ theo phương
pháp tiên đề. Trong đó, mọi khái niệm được định nghĩa và mọi mệnh đề Toán
học được chứng minh đều dựa vào các khái niệm và mệnh đã biết trước đó.
Nhưng trong Toán học, cũng như các khoa học khác cần có những thí nghiệm
và sự mò mẫm để dự đoán kết quả, dự đoán qui luật trước khi chứng minh
chúng bằng suy luận hợp logic.
Khi giải bài toán, đối với dạng toán tìm kiếm như toán tìm tập hợp, tìm
điểm cố định, tìm một hình có tính chất nào đó, tìm một biểu thức tổng quát của
đại lượng nào đó, giải phương trình hay hệ phương trình,.... thì khó khăn đầu
tiên, nhiều khi là khó khăn chủ yếu, đó là dự đoán được hình cần tìm, dự đoán
được kết quả cần chứng minh. Trong trường hợp này ta phải biết sử dụng các
phép suy đoán vào việc mò mẫm dự đoán bằng được kết quả của bài toán.
Phương pháp dự đoán kết quả bài toán bằng các phép suy đoán như sau:
- Xét một vài trường hợp đặc biệt của bài toán;
- So sánh các trường hợp đặc biệt để tìm thấy sự tương tự của các trường

hợp đặc biệt đó;
- Phân tích sự tương tự trong các trường hợp đặc biệt và tổng quát hoá để
đề ra dự đoán;
- Nếu thấy cần thiết thì lại đặc biệt hoá để kiểm tra lại dự đoán đó.
Mặt khác, việc dự đoán kết quả bài toán còn ý nghĩa tích cực trong quá
trình giải toán. Khi người ta đã dự đoán được kết quả của bài toán, từ đó sẽ

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

15

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

tạo động lực thúc đẩy quyết tâm và khát vọng giải được bài toán đó.
Ví dụ 3: Dự đoán kết quả và cho lời giải bài toán sau
“Cho trước một đường tròn tâm O và một dây AB không đi qua tâm của
đường tròn. Điểm M chạy trên cung nhỏ AB (Phần cung của đường tròn
không chứa tâm O). Gọi N là trung điểm của dây MA và hạ NP  MB. Chứng
minh đường thẳng NP luôn đi qua một điểm cố định.”
Hướng dẫn
C
I

O
K

A

P M

Dự doán

B

N

Hình 1.2

t

M  A: Ta có N  A và MB trùng với AB.Vậy đường NP trùng với

đường thẳng qua A vuông góc với AB, tức là đường NP trùng với đường AC.
Ta có điểm cố định I thuộc đường AC.
M  B: Ta có N  K - điểm giữa của AB và đường MB suy biến về

đường Bt là tiếp tuyến của đường tròn tại B.
Vậy đường NP trùng với đường thẳng qua K vuông góc với Bt (tức là
NP trùng với đường thẳng qua K và song song với OB)
Ta có điểm cố định I thuộc đường thẳng qua K và song song với OB.
Do đó dự đoán điểm cố định I là giao của AC và đường thẳng qua K và
song song với OB. Từ đây ta dễ dàng chứng minh được rằng I là trung điểm
của AC.
Chứng minh
Lấy M bất kỳ trên cung nhỏ AB, M  A và B, gọi N là trung điểm của
dây MA, hạ NP  MB. Chứng minh đường thẳng NP luôn đi qua điểm I.

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

16

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

(Dễ dàng chứng minh được nhờ định lý đường trung bình của một tam giác).
Ví dụ 4: Dự đoán kết quả và cho lời giải bài toán sau
“Tìm số tự nhiên n > 0 để đa thức p(x) = xn + 1 phân tích được thành
tích đa thức với hệ số nguyên”
Hướng dẫn
n = 1: p(x) = x +1 - không phân tích được
n = 2.: p(x) = x2 +1 - không phân tích được
n = 3: p(x) = x3 +1 = (x +1)(x2 - x +1) - phân tích được.
n = 4: p(x) = x4 +1
Giả sử đa thức p(x) = x4 +1 phân tích được thành tích của hai đa thức với
hệ số nguyên thì chỉ xảy ra một trong hai nhân tử đó có chứa một nhân tử bậc
nhất hoặc cả hai nhân tử đều bậc hai.
Nếu sự phân tích của đa thức p(x) có chứa một nhân tử bậc nhất với hệ
số nguyên thì nó có nghiệm hữu tỉ. Điều này trái với điều kiện p(x) là không
có nghiệm trên R, nên không thể xảy ra.
Nếu sự phân tích của đa thức p(x) có cả hai nhân tử bậc hai, giả sử ta có
p(x) = x4 +1 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) với a, b, c, d nguyên.
Vậy p(x) = x4 +1 = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 +(ad + bc)x + bd.
Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, với a, b, c, d là các số nguyên ta có
a  c  0
ac  b  d  0



 ad  bc  0
 bd  1

(1)
(2)
(3)
(4)

Vì b, d nguyên và từ (4) ta suy ra b = d = 1 hoặc b = d = -1.
Trường hợp b = d = 1:
Ta có hệ 4 phương trình trên tương đương với hệ 2 phương trình sau.
 ac 0

ac  2  0

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

17

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Từ hệ trên ta rút ra đẳng thức -a2 + 2 = 0. Điều này vô lý vì a là số
nguyên. Vậy trường hợp này không xảy ra.
Trường hợp b = d = -1:
Ta có hệ phương trình trên tương đương với hệ hai phương trình sau.

 ac 0

ac  2  0

Từ hệ trên ta rút ra đẳng thức -a2 - 2 = 0. Điều này vô lý vì a là số
nguyên. Vậy trường hợp này không xảy ra.
Kết luận rằng đa thức p(x) = x4 + 1 không phân tích được thành tích của
hai đa thức với hệ số nguyên.
n = 5: p(x) = x5 + 1 = (x + 1)(x4 - x3 + x2 - x + 1) - phân tích được.
n = 6: p(x) = x6 + 1 = ((x2)3 + 1) = (x2 + 1)(x4 - x2 + 1) - phân tích được.
...
Vậy dự đoán khi n  1 và n có ước số lẻ k  1 thì p(x) phân tích được
thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên.
Chứng minh
Thật vậy giả thiết rằng n = k.l với k là tự nhiên lẻ, lớn hơn 1 thì theo
hằng đẳng thức mở rộng ta có
p(x) = xn +1 = xkl +1
p(x) = ((xl)k +1) = (xl +1)((xl)k-1 + (xl)k-2 +... + xl +1)
Vậy p(x) phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên.
1.6.3 Ứng dụng suy luận quy nạp trong việc khai thác bài toán
Khi giải bài toán, đối với các bài toán dạng tìm kiếm chúng ta phải sử
dụng các phép suy luận quy nạp vào việc mò mẫm dự đoán bằng được kết quả
của bài toán. Bởi vì nếu không dự đoán được kết quả bài toán thì không thể
tìm được lời giải bài toán đó. Nhờ đó chúng ta có động lực thúc đẩy việc tìm
lời giải bài toán.
Khi đã giải được bài toán, nhiều người muốn tiếp tục nghiên cứu về vấn

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

18

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

đề đó, vì vậy người ta phải sử dụng các phép suy luận quy nạp như đặc biệt
hóa, khái quát hóa, tương tự, … vào công việc nghiên cứu của mình. Các
phép suy luận quy nạp có ý nghĩa sáng tạo quan trọng là ở chỗ giúp ta phát
hiện những vấn đề mới, những bài toán mới, hoặc giúp chúng ta nhìn thấy sự
liên hệ giữa các vấn đề với nhau. Nhờ có các phương pháp đó chúng ta có thể
mở rộng, đào sâu thêm các kiến thức của chúng ta bằng cách nêu ra và giải
quyết các vấn đề tổng quát hơn, những vấn đề tương tự, hoặc đi sâu vào các
trường hợp đặc biệt có ý nghĩa về một mặt nào đó.
Ví dụ 5: Định lý Ceva và Menelaus
Theo tính chất của đường phân giác trong của một tam giác ta có “Nếu
 của tam giác ABC thì ta
đường AA ' là đường phân giác trong của góc A

luôn có đẳng thức sau.

A'B AB

”
A'C AC

Tương tự như vậy với các đường phân giác BB ' , CC ' của ABC ta có
B'A BA
C'B CB



và
.
B'C BC
C'A C'A

Ta rút ra kết luận sau. “Nếu AA ' , BB ' , CC ' là ba đường phân giác của
các góc trong của tam giác ABC thì

A'B B'C C'A
.
.
.  1 ” (*)
A'C B'A C'B

Ta thấy hệ thức (*) xảy ra khi AA ' , BB ' , CC ' là các đường trung tuyến
hoặc đường cao của ABC. Như vậy các đường AA ' , BB ' , CC ' là đồng qui.
Từ đây đặt vấn đề một cách tổng quát ta có:
“Nếu trên ba cạnh của tam giác ABC ta lấy lần lượt các điểm A ' ,
B ' , C ' sao cho AA ' , BB ' , CC ' đồng qui thì ta có

A'B B'C C'A
.
.
.  1”
A'C B'A C'B

(Chứng minh điều kiện cần này bằng cách qua A kẻ đường thẳng song
song với BC và sử dụng định lý Ta-let ).
Ta đặt vấn đề chứng minh điều kiện đủ.

“Nếu trên ba cạnh của ABC ta lấy các điểm tương ứng A ' , B ' , C ' sao

GVHD: ThS. Đào Thị Hoa

19

SV: Đào Mai Ly - K39D Toán