Luận văn thạc sĩ toán học logic mờ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÙI THỊ KIM CHI

LOGIC MỜ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÙI THỊ KIM CHI

LOGIC MỜ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Nam

HÀ NỘI, NĂM 2017


MỤC LỤC

MỤC LỤC

ii

LỜI CẢM ƠN

iii

LỜI MỞ ĐẦU

iv

1 Lý thuyết tập mờ
1.1

1
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

1
1
3
7
8
9
9

1.2.3 Phép lấy phần bù . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Tích Descartes giữa hai (nhiều) tập mờ . . .

1.2.5 Các tính chất liên quan . . . . . . . . . . . .
Một số cách tiếp cận khác . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa tổng quát của phép giao . . . . .
1.3.2 Định nghĩa tổng quát của phép hợp . . . . .
1.3.3 Định nghĩa tổng quát của phép lấy phần bù

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

10
13
13
17
17
19
22

2 Logic mờ
2.1 Quan hệ mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Các phép toán trên quan hệ mờ . . . . . . . . . . . . . .

25
25
25
26

1.2

1.3

Tập mờ và các khái niệm cơ bản . . . .
1.1.1 Khái niệm tập mờ . . . . . . .
1.1.2 Các kiểu hàm thuộc của tập mờ
1.1.3 Các đặc trưng của tập mờ . . .
Các phép toán trên tập mờ . . . . . . .
1.2.1 Phép hợp . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Phép giao . . . . . . . . . . . .

i

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.


2.1.3
2.2

2.3

Logic
2.2.1

2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Biến ngôn ngữ và mệnh đề mờ . . . . . . .
Phép phủ định . . . . . . . . . . . . . . .
Phép hội . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phép tuyển . . . . . . . . . . . . . . . . .
Một số quy tắc với phép hội và phép tuyển
Luật De Morgan . . . . . . . . . . . . . .

2.2.7 Phép kéo theo . . . . . . . . . . .
2.2.8 Phép hợp thành . . . . . . . . . .
Suy luận theo logic mờ . . . . . . . . . .
2.3.1 Phương pháp lập luận xấp xỉ trên
2.3.2 Luật modus ponens tổng quát . .
2.3.3 Luật modus tollens tổng quát . .

. . . . .
. . . . .
. . . . .
tập mờ
. . . . .
. . . . .

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

27
27
31
32
32
35
36

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

36
44
48
48
55
59

3 Ứng dụng của logic mờ
3.1 Ứng dụng của logic mờ vào việc xác định thời gian
trắc nghiệm khách quan môn Toán . . . . . . . . .
3.1.1 Giới thiệu chung . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Mờ hoá dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Nhập dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Hệ thống mờ - thị giác màu sắc . . . . . . . . . . .
3.3

27

68
làm bài
. . . . .
. . . . .
. . . . .

. . . . .
. . . . .

thi
. .
. .
. .
. .
. .

68
68
69
74
75

Điều khiển mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Kết luận

78

Tài liệu tham khảo

79

ii

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, TS. Lê Đình Nam, người đã
đưa ra đề tài, luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên
cứu của tác giả. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, các
thầy cô trong bộ môn Đại số đã giúp đỡ, góp ý kiến chỉ bảo để tác giả hoàn
thành luận văn cũng như trong suốt khóa học vừa qua. Tác giả cũng xin gửi lời
cảm ơn tới các thầy cô Khoa đào tạo Sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện cho tác giả trong thời gian học tập
tại trường. Đồng thời, tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đặc biệt
là các thành viên trong lớp Đại số K25, đã động viên và cổ vũ rất nhiều trong
suốt thời gian vừa qua.
Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Học viên
Bùi Thị Kim Chi

iii


LỜI MỞ ĐẦU
Trong cuộc sống, con người truyền thông tin cho nhau chủ yếu bằng ngôn
ngữ tự nhiên. Mặc dù ngôn ngữ tự nhiên thường đa nghĩa, không chính xác và
không đầy đủ nhưng nó vẫn là phương tiện truyền thông tin mạnh mẽ và thông
dụng nhất giữa con người với nhau. Nhưng con người thường hiểu đúng và ít
khi hiểu sai những điều mà người khác muốn nói với mình. Tham vọng của các
nhà toán học, logic học và công nghệ thông tin là muốn xây dựng cho máy móc
khả năng suy diễn và xử lý thông tin, tương tự như bộ óc của con người. Như
vậy, vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để máy tính hiểu được những tri thức
diễn đạt bằng ngôn ngữ tự nhiên. Để đạt được điều này trước hết, người ta cần

phải xây dựng một lý thuyết logic toán cho phép mô tả chính xác ý nghĩa của
các mệnh đề không rõ ràng, đa nghĩa (hay còn gọi là "mờ").
Trong logic toán cổ điển, một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, nói cách
khác nó có giá trị chân lý là 1 hoặc 0. Nhưng trong lập luận hằng ngày của
chúng ta xuất hiện các mệnh đề đúng, sai không rõ ràng ví dụ như mệnh đề "xe
máy đi với vận tốc 60 km/h là nhanh" thì đối với một số người là đúng, đối với
một số người khác lại là sai. Do đó, từ nhanh là một khái niệm mơ hồ, không
chính xác hay chắc chắn. Ngoài ra, có rất nhiều từ khác cũng rơi vào tình trạng
tương tự như: chậm, giỏi, cao, thấp, giàu, nghèo,. . . . Như vậy, trong cuộc sống
ta còn gặp rất nhiều những mệnh đề đúng, sai không rõ ràng (gọi là các mệnh
đề "mờ"). Chính vì thế, ta cần mở rộng lý thuyết logic cổ điển thành lý thuyết
mới để làm việc tốt hơn với các mệnh đề "mờ" .
Vào những năm 1960, Lotfi Zadeh, một nhà logic học và cũng là nhà toán
học người Hà Lan, đã xây dựng thành công lý thuyết tập mờ và hệ thống logic
mờ trên cơ sở logic cổ điển đã biết trước đó. Phát minh này của Lotfi Zadeh đã
cho phép người ta có thể lượng hoá giá trị các mệnh đề mờ, nhờ đó truyền đạt
một số thông tin cho máy móc qua ngôn ngữ tự nhiên, và chúng có thể “hiểu”
khá chính xác nội dung của những thông tin đó và xử lý thông tin mềm dẻo và
iv


linh hoạt hơn. Đây là một bước tiến có tính đột phá trong việc lượng hoá những
mệnh đề của ngôn ngữ tự nhiên (có giá trị nội dung “không rõ ràng”) sang ngôn
ngữ nhân tạo.
Vì vậy, đề tài nghiên cứu của luận văn được chọn là “Logic mờ và ứng
dụng”.
Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu ở mục tài liệu tham khảo, tác giả sẽ
trình bày các kiến thức cơ sở của logic mờ gồm: tập mờ, các phép toán trên tập
mờ, logic mờ và một số ứng dụng của logic mờ .
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm các

chương sau:
Chương 1. Lý thuyết tập mờ
Chương 1, tác giả trình bày các khái niệm cơ bản của tập mờ: khái niệm
tập mờ, các kiểu hàm thuộc trên tập mờ, các hàm đặc trưng của tập mờ. Bên
cạnh đó, tác giả cũng trình bày các phép toán trên tập mờ, các tính chất của
các phép toán, giữa các phép toán và một số cách tiếp cận khác của phép giao,
hợp, lấy phần bù.
Chương 2. Logic mờ
Trong chương 2, tác giả tập trung chủ yếu đi sâu tìm hiểu về logic mờ. Đầu
tiên, tác giả trình bày về biến ngôn ngữ và mệnh đề mờ. Sau đó, tác giả trình
bày các toán tử logic thường gặp: phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép
hợp thành. Trên cơ sở này, tác giả trình bày phương pháp lập luận xấp xỉ trên
tập mờ và hai luật: modus ponens tổng quát, modus tollens tổng quát. Đây là
công cụ quan trọng nhất để đưa logic mờ gần hơn với cuộc sống.
Chương 3. Ứng dụng của logic mờ
Trong chương này, tác giả sử dụng suy diễn mờ để tìm hiểu ứng dụng của
của logic mờ vào việc xác định thời gian làm bài thi trắc nghiệm khách quan
môn Toán nếu biết tổng số câu của đề thi và độ khó của đề thi. Bên cạnh đó,
tác giả cũng nêu ra hai ứng dụng khác của logic mờ: hệ thống mờ, điều khiển
mờ. Nhưng vì khuôn khổ luận văn không cho phép nên tác giả không đi sâu vào
hai ứng dụng này.

v


Chương 1

Lý thuyết tập mờ
1.1
1.1.1

Tập mờ và các khái niệm cơ bản
Khái niệm tập mờ

Khái niệm tập mờ là mở rộng của khái niệm tập hợp cổ điển nhằm đáp
ứng nhu cầu biểu diễn tri thức không chính xác. Trong lý thuyết tập hợp cổ
điển, một phần tử a chắc chắn thuộc hay chắc chắn không thuộc một tập A.
Như vậy, để xem một phần tử có thuộc tập A hay không ta gán cho nó giá trị 1
nếu nó chắc chắn thuộc và gán cho nó giá trị 0 nếu nó chắc chắn không thuộc A.
Do đó ta có thể xây dựng một hàm thuộc để đánh giá độ thuộc của một phần
tử vào một tập hợp.
Lý thuyết tập mờ cho phép chúng ta đánh giá nhiều mức độ khác nhau về
khả năng một phần tử có thể thuộc hay không thuộc một tập hợp. Do đó, ta có
thể định nghĩa một cách hình thức như sau:
Định nghĩa 1.1. Cho U là tập nền, một tập con mờ A trên U được xác định
bởi một ánh xạ µA : U → [0; 1]; u → µA (u).
Ánh xạ µA được gọi là hàm thuộc.
+ µA (u) ∈ [0; 1] chỉ mức độ mà phần tử u thuộc về tập mờ A.
+ µA (u) = 0 nghĩa là u chắc chắn không thuộc A.
+ µA (u) = 1 nghĩa là u chắc chắn thuộc A.
Một tập con mờ A trên tập nền U có thể được biểu diễn như sau:
1


• Nếu tập U là tập rời rạc, hữu hạn thì
+ A = {(u, µA (u))|u ∈ U}
µA (u)
+ A=
u
u∈U

• Nếu tập U là tập liên tục hoặc không đếm được thì A =
U

Chú ý hai kí hiệu

,

µA (u)
u

không liên quan đến tổng và tích phân.

Ví dụ 1.2.
(i) Cho tập nền U = {u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7 ; u8 ; u9 }
Tập mờ A trên U được cho bởi
0.3 0.5 0.7 0.6
0
0.5
0
0
1
A=
+
+
+
+
+
+
+
+

u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7 u8 u9
hoặc
A = {(u1 , 0.3); (u2 , 0.5); (u3 , 0.7); (u4 , 0.6); (u5 , 0); (u6 , 0.5); (u7 , 0); (u8 , 0); (u9 , 1)}.
(ii) Cho tập nền U = {cam, đào, nho, bưởi, ổi}.
Ta xét ánh xạ µA : U → [0; 1]
cam → 0
đào

→ 0.34

nho

→ 0.48

bưởi → 1
ổi

→ 0.82

Khi đó ta có tập mờ A = {(cam, 0); (đào, 0.34); (nho, 0.48); (bưởi, 1); (ổi, 0.82)}.
(iii) Cho tập nền U.
Ta xét ánh xạ µA : U → {0; 1}
Khi đó A là tập hợp con cổ điển của U (ta có thể gọi là tập rõ để phân biệt
với tập mờ) và hàm thuộc của nó sẽ trùng với hàm đặc trưng

µA (u) =



 1

nếu u ∈ A


 0

nếu u ∈
/A

(iv) Cho tập nền U = [0; 5].
Ta xét ánh xạ µA : U → [0; 1]
2


Khi đó A =
[0;5]

x
x → µA (x) :=
x+2
x
(x + 2)x

Thuật ngữ "tập mờ" mục đích dùng để phân biệt với "tập rõ" (tập hợp
theo nghĩa cổ điển) . Thực ra chính xác nhất ta phải dùng thuật ngữ "tập con

mờ" của một tập nền nào đó. Tuy nhiên để cho gọn ta dùng "tập mờ" thay cho
"tập con mờ" mà không gây sai sót hay hiểu lầm nào cả.
Từ định nghĩa tập mờ, ta suy ra các khái niệm sau:
Cho A, B là hai tập mờ trên tập nền U.
+ Tập mờ A trên tập nền U được gọi là rỗng nếu µA (a) = 0 ∀a ∈ U.
Kí hiệu A = ∅.
+ Tập mờ A trên tập nền U được gọi là toàn phần nếu µA (a) = 1
∀a ∈ U.
+ Tập mờ A được gọi là tập con của tập mờ B nếu µA (a) ≤ µB (a)
∀a ∈ U. Kí hiệu A ⊆ B.
+ Hai tập mờ A, B được gọi là bằng nhau nếu µA (a) = µB (a)
∀a ∈ U. Kí hiệu A = B.
Từ đây trở đi khi làm việc với hai tập mờ, ta đã ẩn ý chúng cùng được xây dựng
trên một tập nền nào đó.

1.1.2

Các kiểu hàm thuộc của tập mờ

Dưới đây là một số kiểu hàm thuộc tiêu biểu:
1. Tập mờ tam giác
Tập mờ tam giác là tập mờ có hàm thuộc xác định bởi 3 giá trị a < m < b
theo công thức sau: (với mọi h ≤ 1)

µA (u) =




0

nếu u ≤ a hoặc





h(u − a)



nếu a < u < m

m−a




h
nếu





h(b − u)



b−m

u=m

nếu m < u < b

3

u≥b


Hàm thuộc này gọi là hàm thuộc tam giác.
Hàm thuộc được gọi là tam giác đối xứng nếu nó là hàm thuộc tam giác và
a+b
m=
.
2
Đồ thị của hàm thuộc tam giác và tam giác đối xứng có dạng:

Hình 1.1: Các tập mờ tam giác

2. Tập mờ hình thang
Tập mờ hình thang là tập mờ có hàm thuộc xác định bởi 4 giá trị a < b <
c < d theo công thức sau: (với mọi h ≤ 1)

µA (u) =




0
nếu u ≤ a hoặc






h(u − a)



nếu a < u < b

b−a




h
nếu





h(d − u)



b≤u≤c

nếu c < u < d

d−c

Đồ thị của hàm thuộc hình thang có dạng sau:

4

u≥d


Hình 1.2: Tập mờ hình thang

3. Tập mờ L
Tập mờ L là tập mờ có hàm thuộc xác định bởi 2 giá trị a < b theo công
thức sau: (với mọi h ≤ 1)

µA (u) =




h





nếu u ≤ a




 0

nếu b ≥ u

h(b − u)


 b−a

nếu a < u < b

Đồ thị của hàm thuộc L có dạng sau:

Hình 1.3: Tập mờ L

4. Tập mờ Gamma tuyến tính (hay L trái)
Tập mờ Gamma tuyến tính (hay L trái) là tập mờ có hàm thuộc xác định

5


bởi 2 giá trị a < b theo công thức sau: (với mọi h ≤ 1)

µA (u) =




0






nếu u ≤ a



 h

nếu b ≥ u

h(u − a)


 b−a

nếu a < u < b

Đồ thị của hàm thuộc Gamma tuyến tính (hay L trái) có dạng sau:

Hình 1.4: Tập mờ Gamma tuyến tính

5. Hàm thuộc Singleton
Đây là hàm thuộc cho tập A có đúng một phần tử u = m, có giá trị 1 tại
điểm m, có giá trị 0 tại tất cả các điểm còn lại của tập nền. Hàm thuộc
Singleton được xác định như sau:
SGA (u) =



 1

nếu u = m


 0

nếu u = m

Đồ thị của hàm thuộc Singleton:

6


Hình 1.5: Tập mờ Singleton

1.1.3

Các đặc trưng của tập mờ

Các đặc trưng của một tập mờ A là những thông tin để mô tả về các phần
tử liên quan đến tập mờ A, những đặc trưng này chỉ rõ sự khác biệt của tập mờ
A so với tập con cổ điển ta biết trước đó.
Định nghĩa 1.3. Giá của một tập mờ A (suppA) là tập các phần tử có giá trị
hàm thuộc lớn hơn 0 trong tập mờ A.
supp(A) = {u ∈ U|µA (u) > 0}
Định nghĩa 1.4. Chiều cao của một tập mờ A (h(A)) là giá trị lớn nhất mà
hàm thuộc có thể lấy trong A.

h(A) = sup{µA (u)|u ∈ U}
Định nghĩa 1.5. Tập mờ A được gọi là chuẩn hoá nếu chiều cao của nó bằng
1 tức là h(A) = 1.
Như vậy, tập mờ A được gọi là chuẩn hoá nếu nó chắc chắn có ít nhất một
phần tử của U thực sự thuộc A.
Định nghĩa 1.6. Hạt nhân của tập mờ A (ker(A)) là tập tất cả các phần tử
có hàm thuộc bằng 1.
ker(A) = {u ∈ U|µA (u) = 1}
7


Như vậy, ker(A) = ∅ ⇔ A là tập mờ chuẩn hoá.
Định nghĩa 1.7. Lực lượng của tập mờ A được kí hiệu và xác định như sau:
|A| =

µA (u)
u∈U

Nếu A là tập rõ thì µA (u) = 1∀u ∈ A nên tổng trên bằng số phần tử của tập
A. Điều này trùng với định nghĩa về lực lượng của tập hợp cổ điển.
Định nghĩa 1.8. Tập mức α của A (hay còn được gọi là α− nhát cắt), kí hiệu
là Aα là tập các phần tử có giá trị hàm thuộc lớn hơn hoặc bằng α với α ∈ [0; 1].
Aα = {u ∈ U|µA (u) ≥ α}
Chú ý rằng, tập mức α của một tập mờ A là một tập rõ, các phần tử của nó
hoàn toàn được xác định.
Ví dụ 1.9. Xét ví dụ 1.2 (i)
Cho tập nền U = {u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7 ; u8 ; u9 }
Tập mờ A trên U được cho bởi
0.3 0.5 0.7 0.6
0

0.5
0
0
1
A=
+
+
+
+
+
+
+
+
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7 u8 u9
hoặc
A = {(u1 , 0.3); (u2 , 0.5); (u3 , 0.7); (u4 , 0.6); (u5 , 0); (u6 , 0.5); (u7 , 0); (u8 , 0); (u9 , 1)}.
Khi đó ta có:
suppA = {u1 , u2 , u3 , u4 , u6 , u9 }
h(A) = sup{µA (u)|u ∈ U} = 1(do có µA (u9 ) = 1).
Khi đó ta thấy tập mờ A là chuẩn hoá.
ker A = {u9 }
Tập mức α của A, với α = 0.44 là A0.44 = {u2 , u3 , u4 , u6 , u9 }
α = 0.6, A0.6 = {u4 , u9 }

1.2

Các phép toán trên tập mờ

Tương tự như lý thuyết tập hợp cổ điển, trên các tập mờ ta cũng định
nghĩa các phép toán: phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù và tích Descartes
giữa hai (nhiều) tập mờ. Thực ra đây là sự mở rộng của các phép toán tương
ứng trong lý thuyết tập hợp cổ điển.
Cho A và B là hai tập mờ trên tập nền U với hàm thuộc lần lượt là µA , µB .
8


1.2.1

Phép hợp

Định nghĩa 1.10. Hợp của hai tập mờ A và B, kí hiệu A ∪ B là một tập
mờ trên U với hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau:
µA∪B (u) = max{µA (u), µB (u)},

∀u ∈ U

Ta có thể biểu diễn hợp hai tập mờ bằng hình vẽ như sau:

Hình 1.6: Hợp hai tập mờ

Phép hợp hai tập mờ có tính chất giao hoán và kết hợp như trong lý thuyết tập
hợp cổ điển.

1.2.2

Phép giao

Định nghĩa 1.11. Giao của hai tập mờ A và B, kí hiệu A ∩ B là một tập
mờ trên U với hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau:
µA∩B (u) = min{µA (u), µB (u)},

∀u ∈ U

Ta có thể biểu diễn giao hai tập mờ bằng hình vẽ như sau:

9


Hình 1.7: Giao hai tập mờ

Phép giao hai tập mờ có tính chất giao hoán và kết hợp như trong lý thuyết
tập hợp cổ điển.

1.2.3

Phép lấy phần bù

Trong tập hợp cổ điển, phần bù của một tập hợp chứa những phần tử
không thuộc tập đó (trên cùng tập nền). Đối với tập mờ A trên U phần bù của
nó kí hiệu A chứa những phần tử với độ thuộc càng cao nếu độ thuộc của nó
vào tập A càng nhỏ. Nói cách khác, phần tử càng có ít khả năng thuộc tập mờ
A thì có càng nhiều khả năng thuộc phần bù của nó. Do vậy, phần bù của một
tập mờ cũng là một tập mờ. Cụ thể:
Định nghĩa 1.12. Phần bù của tập mờ A kí hiệu A là một tập mờ trên U với

hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau:
µA (u) = 1 − µA (u),

∀u ∈ U

Ta có thể biểu diễn phần bù của tập mờ bằng hình vẽ như sau:

10


Hình 1.8: Phần bù của tập mờ

Phép lấy phần bù có các tính chất:
(i) Đối với các tập con cổ điển trên tập nền U, ta luôn có A ∩ A = ∅ và
A ∪ A = U, nhưng đối với các tập mờ thì hai tính chất này nói chung không
đúng, nghĩa là:
– A∩A=∅
– A∪A=U
(ii) Các tính chất khác đối với phần bù của tập con cổ điển vẫn đúng cho các
tập mờ: A = A; U = ∅; ∅ = U
Ví dụ 1.13. Cho tập nền U là tập các học sinh tổ 2.
U = {u1 , u2 , u3 , . . . , u10 }.
A là tập các học sinh học giỏi môn Toán.
B là tập các học sinh học giỏi môn Văn.
Cụ thể như sau:
0
0
0.48
0
0

0
1
0.1 0.3 0.7
+
+
+
+
+
+
+
+
+
u1
u2
u3
u4 u5
u6
u7 u8 u9 u10
1
0.3
0
0.4
0
0
0
0.8
0
0.5
B=
+

+
+
+
+
+
+
+
+
u1
u2
u3
u4
u5
u6 u7 u8
u9
u10
Khi đó:
A=

+ Tập các học sinh học giỏi Văn hoặc Toán là A ∪ B
11


A∪B =

1
0.7
0
0.4 0.48
0

0
0.8
1
0.5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7 u8
u9
u10

+ Tập các học sinh học giỏi Văn và Toán là A ∩ B
0.1 0.3 0.3
0
0
0
0
0

0
0
A∩B =
+
+
+
+
+
+
+
+
+
u1
u2
u3
u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10
+ Tập các học sinh không học giỏi Toán là A
0.9 0.7 0.3
1
1
0.52
1
1
1
0
A=
+
+
+
+

+
+
+
+
+
u1
u2
u3
u4 u5
u6
u7 u8 u9 u10
0.9 0.7 0.7
1
1
0.52
1
1
1
1
+ A∪A=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
.

u1
u2
u3
u4 u5
u6
u7 u8 u9 u10
Ta thấy A ∪ A = U.
0.1 0.3 0.3
0
0
0.48
0
0
0
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
.
u1
u2
u3
u4 u5
u6

u7 u8 u9 u10
Ta thấy A ∩ A = ∅.

+ A∩A=

+ Tập các học sinh không học giỏi Văn là B
0.5
0 0.7
1
0.6
1
1
1
0.2
1
B=
+
+
+
+
+
+
+
+
u1
u2 u3
u4
u5
u6 u7 u8
u9

u10
0.5
0
0.3
1
0.6 0.52
1
1
0.2
0
+ A∩B =
+
+
+
+
+
+
+
+
+
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7 u8
u9
u10
0.5

0
0.3
1
0.6 0.52
1
1
0.2
0
A∪B =
+
+
+
+
+
+
+
+
+
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7 u8
u9
u10
Ta nhận thấy rằng A ∪ B = A ∩ B.
1
1

1
1
1
1
1
0.9 0.7 0.7
+
+
+
+
+
+
+
+
+
u1
u2
u3
u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10
0.9 0.7 0.7
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+

+
+
+
+
+
+
A∩B =
u1
u2
u3
u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10

+ A∪B =

Ta nhận thấy rằng A ∩ B = A ∪ B.
Ví dụ 1.14. Cho hai tập mờ
0 1 0.5 0.3 0.2
+ +
+
+
1 2
3
4
5
0 0.5 0.7 0.2 0.4
+
+
+
B= +
1

2
3
4
5
trên tập nền X = {1, 2, 3, 4, 5}. Khi đó, ta có:
A=

+ A=

1 0 0.5 0.7 0.8
+ +
+
+
1 2
3
4
5
12


1 0.5 0.3 0.8 0.6
+
+
+
+
1
2
3
4
5

0 1 0.7 0.3 0.4
+ A∪B = + +
+
+
1 2
3
4
5
0 0.5 0.3 0.3 0.2
+ A∩B = +
+
+
+
1
2
3
4
5
+B=

1.2.4

Tích Descartes giữa hai (nhiều) tập mờ

Trước hết ta định nghĩa tích Descartes của hai tập mờ A và B trên hai tập nền
U, V (giả sử U, V là độc lập với nhau.)
Định nghĩa 1.15. Cho A, B là hai tập mờ có các hàm thuộc tương ứng là
µA , µB trên các tập nền lần lượt là U, V. Khi đó tích Descartes của hai tập
mờ A và B, kí hiệu A × B là một tập mờ trên U × V, với hàm thuộc được kí
hiệu và xác định như sau:

µA×B (u, v) = min{µA (u), µB (v)},

∀(u, v) ∈ U × V

Tương tự như trong lý thuyết tập hợp cổ điển, ta có thể mở rộng định nghĩa
cho tích Descartes của k tập mờ trên các tập nền độc lập.
Định nghĩa 1.16. Tích Descartes của k tập mờ A1 , A2 , . . . , Ak trên các tập
nền U1 , U2 , . . . , Uk là một tập con mờ kí hiệu A1 × A2 × . . . × Ak trên tập nền
U1 × U2 × . . . × Uk với hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau:
µA1 ×A2 ×...×Ak (u) = min{µA1 (u1 ), µA2 (u2 ), . . . , µAk (uk )}
∀u = (u1 , u2 , . . . , uk ) ∈ U1 × U2 × . . . × Uk
Dựa trên định nghĩa về tích Descartes của các tập con mờ, ta sẽ nghiên cứu
các quan hệ mờ ở các phần tiếp theo.

1.2.5

Các tính chất liên quan

a. Tính giao hoán
A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
b. Tính kết hợp
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
13


A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
c. Tính phân phối của phép giao và phép hợp
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

d. Tính luỹ đẳng
A∪A=A
A∩A=A
e. Tính đồng nhất
A ∪ ∅ = A,

A∩U =A

A ∩ ∅ = ∅,

A∪U =U

f. Tính bắc cầu Nếu A ⊆ B ⊆ C thì A ⊆ C.
g. Tính phủ định kép
A=A
h. Luật De Morgan
A∪B =A∩B
A∩B =A∪B
Thật vậy:
a. Tính giao hoán là hiển nhiên.
b. Tính kết hợp
µA∪(B∪C) (u) = max{µA (u), µB∪C (u)}
+

= max{µA (u), max{µB (u), µC (u)}}
= max{µA (u), µB (u), µC (u)}
µ(A∪B)∪C (u) = max{µA∪B (u), µC (u)}

+

= max{max{µA (u), µB (u)}, µC (u)}
= max{µA (u), µB (u), µC (u)}

Do đó có
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

14


µA∩(B∩C) (u) = min{µA (u), µB∩C (u)}
+

= min{µA (u), min{µB (u), µC (u)}}
= min{µA (u), µB (u), µC (u)}
µ(A∩B)∩C (u) = min{µA∩B (u), µC (u)}

+

= min{min{µA (u), µB (u)}, µC (u)}
= min{µA (u), µB (u), µC (u)}

Do đó có
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
c. Tính phân phối của phép giao và phép hợp
µA∪(B∩C) (u) = max{µA (u), µB∩C (u)}
= max{µA (u), min{µB (u), µC (u)}}
+

= min{max{µA (u), µB (u)}, max{µA (u), µC (u)}}
= min{µA∪B (u), µA∪C (u)}

= µ(A∪B)∩(A∪C) (u)

Do đó có
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
µA∩(B∪C) (u) = min{µA (u), µB∪C (u)}
= min{µA (u), max{µB (u), µC (u)}}
+

= max{min{µA (u), µB (u)}, min{µA (u), µC (u)}}
= max{µA∩B (u), µA∩C (u)}
= µ(A∩B)∪(A∩C) (u)

Do đó có
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
d. Tính luỹ đẳng là hiển nhiên.
e. Tính đồng nhất là hiển nhiên.
f. Tính bắc cầu

15


A⊆B

⇔ µA (u) ≤ µB (u) ∀u ∈ U

B⊆C

⇔ µB (u) ≤ µC (u) ∀u ∈ U

Do đó có

µA (u) ≤ µC (u) ∀u ∈ U

Suy ra

A⊆C

g. Tính phủ định kép
∀u ∈ U, ta có:
µA (u) = 1 − µA (u) = 1 − (1 − µA (u)) = 1 − 1 + µA (u) = µA (u)
Do đó có
A=A
h. Luật De Morgan
µA∪B (u) = 1 − µA∪B (u)
= 1 − max{µA (u), µB (u)}
+

= min{1 − µA (u), 1 − µB (u)}
= min{µA (u), µB (u)}
= µA∩B (u)

Do đó có
A∪B =A∩B
µA∩B (u) = 1 − µA∩B (u)
= 1 − min{µA (u), µB (u)}
+

= max{1 − µA (u), 1 − µB (u)}
= max{µA (u), µB (u)}
= µA∪B (u)

Do đó có
A∩B =A∩B

16


1.3

Một số cách tiếp cận khác

1.3.1

Định nghĩa tổng quát của phép giao

Định nghĩa 1.17. Hàm T : [0, 1]2 → [0, 1] được gọi là một hàm t- chuẩn (
hay t- norm) nếu thoả mãn các điều kiện sau:
(i) T (1, x) = x,

∀x ∈ [0, 1]

(ii) T có tính giao hoán: T (x, y) = T (y, x),

∀x, y ∈ [0, 1]

(iii) T không giảm theo nghĩa T (x, y) ≤ T (u, v),
∀0 ≤ x ≤ u ≤ 1, 0 ≤ y ≤ v ≤ 1
(iv) T có tính chất kết hợp: T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z),

∀x, y, z ∈ [0, 1]

Tiên đề (iv) đảm bảo tính thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến.
Một vài ví dụ về hàm t- chuẩn
1.

t- chuẩn Min (Zadeh 1965) : T (x, y) = min(x, y)

2.

t- chuẩn dạng tích

: T (x, y) = xy

3.

t- chuẩn Lukasiewicz

: T (x, y) = max(x + y − 1, 0)

4.

5.

min nilpotent (Fodor 1993) : T (x, y) =

t- chuẩn yếu nhất

: Z(x, y) =




 min(x, y)

 0


 min(x, y)

nếu x + y > 1
nếu x + y ≤ 1
nếu


 0

nếu

max(x, y) = 1
max(x, y) < 1

Không khó khăn để chỉ ra rằng với mỗi t- chuẩn T thì
Z(x, y) ≤ T (x, y) ≤ min(x, y) ∀0 ≤ x, y ≤ 1
Do đó ta có thể định nghĩa phép giao như sau:
Cho hai tập mờ A, B trên cùng tập nền U với các hàm thuộc lần lượt kí hiệu là
A(u), B(u). Cho T là một t- chuẩn.
Định nghĩa 1.18. Ứng với mỗi t- chuẩn T , phép giao (tổng quát) của hai tập
mờ A, B là một tập mờ được kí hiệu là A ∩T B trên tập nền U với hàm thuộc
xác định như sau:
(A ∩T B)(u) = T (A(u), B(u)),
17

∀u ∈ U


Việc lựa chọn phép giao nào tức là việc lựa chọn t- chuẩn nào để làm việc
và tính toán hoàn toàn phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể mà bạn đang quan
tâm.
Chú ý rằng, trong định nghĩa phép giao ở mục trước, ta chọn t- chuẩn Min.
Một số định nghĩa tập giao khác
• Hamacher, 1978 đề nghị dùng
(A ∩T B)(u) =

A(u)B(u)
, p ≥ 0,
p + (1 − p)[A(u) + B(u) − A(u)B(u)]

∀u ∈ U

• Yager, 1980 xét phép giao hai tập mờ A, B với hàm thuộc như sau:
1

(A ∩T B)(u) = 1 − min{1, ((1 − A(u))p + (1 − B(u))p ) p }, p ≥ 1,

∀u ∈ U

• Dubois và Prade đề nghị dùng phép giao với hàm thuộc phụ thuộc tham số
t:
A(u)B(u)
, 0 ≤ t ≤ 1, ∀u ∈ U
(A ∩T B)(u) =

max(A(u), B(u), t)
Ví dụ 1.19. Cho tập nền U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A, B là hai tập mờ trên U với hàm thuộc cũng kí hiệu lần lượt là A, B. Cụ thể
1
x
A(x) =
, B(x) =
x+1
x+2
Khi đó, ta có thể biểu diễn A, B như sau:
A=

0.5 1/3 0.25 0.2 1/6 1/7
+
+
+
+
+
1
2
3
4
5
6

1/3 0.5 0.6 2/3 5/7 0.75
+
+
+
+

+
1
2
3
4
5
6
+ Nếu chọn t- chuẩn Min: T (x, y) = min(x, y). Khi đó
A ∩T B(1) = min{A(1), B(1)} = min{0.5, 1/3} = 1/3
Tương tự ta có:
B=

A ∩T B =

1/3 1/3 0.25 0.2 1/6 1/7
+
+
+
+
+
1
2
3
4
5
6

+ Nếu chọn t- chuẩn tích: T (x, y) = xy. Khi đó
A ∩T B(1) = A(1)B(1) = 0.5 × 1/3 = 1/6
Tương tự ta có:

A ∩T B =

1/6 1/6 3/20 2/15 5/42 3/28
+
+
+
+
+
1
2
3
4
5
6
18