tài liệu word ôn tập hè toán lớp 8 có giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (389.14 KB, 22 trang )
N¨m häc: 2017 –
2018
1
Chủ đề 1: Nhân đa thức.
* Bài tập về nhân đơn thức với đa thức.
Bài 1: Thực hiện phép nhân.
= 19 x 2 y 2 − 11xy 3 − 8 x 3
1
2
Thay x = ; y = 2 ta có:
a. ( − 2 x 2 ).( x 3 − 3x 2 − x + 1)
2
2
1 1
y − z . − xy
5
3 2
3
b. − 10 x +
Giải: a. ( − 2 x ).( x − 3x − x + 1) = − 2 x + 6 x + 2 x − 2 x
2
3
3
b. − 10 x +
2
5
4
3
Bài 3: Điền vào chỗ dấu * để được đẳng thức đúng.
2
2
1 1
1
1
y − z . − xy = 5 x 4 y − xy 2 + xyz
5
3 2
5
6
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau khi thực hiện các phép toán.
a. 3 x(10 x − 2 x + 1) − 6 x( 5 x − x − 2 ) với x = 15
2
2
1
5
b. 5 x( x − 4 y ) − 4 y ( y − 5 x ) với x = − ; y = −
(
)
(
)
(
1
2
2
2
2
)
2
Giải:
a. 3 x(10 x 2 − 2 x + 1) − 6 x ( 5 x 2 − x − 2 ) =
= 30 x 3 − 6 x 2 + 3x − 30 x 3 + 6 x 2 + 12 x = 15 x
Thay x = 15 ta có: 15 x = 15.15 = 225
b. 5 x( x − 4 y ) − 4 y ( y − 5 x )
= 5 x 2 − 20 xy − 4 y 2 + 20 xy
= 5x 2 − 4 y 2
2
Thay x =
2
1
1
1
1
4
; y = 2 ta có: 5. − − 4 − = − 1 = −
2
5
5
5
2
c. 6 xy ( xy − y 2 ) − 8 x 2 ( x − y 2 ) + 5 y 2 ( x 2 − xy ) =
= 6 x 2 y 2 − 6 xy 3 − 8 x 3 + 8 x 2 y 2 + 5 x 2 y 2 − 5 xy 3 =
a. 36 x 3 y 4 − * = *( 4 x 2 y − 2 y 3 )
Giải:
a. Vì * .4 x 2 y = 36 x 3 y 4 = 9 xy 3 .4 x 2 y nên dấu * ở vỊ phải là 9xy3
Vì * ở vế trái là tích của 9xy 3 với 2y3 nên phải điền vào dấu * này biểu
thức
9 xy 3 .2 y 3 = 18 xy 6 vậy ta có đẳng thức đúng.
1
c. 6 xy xy − y − 8 x x − y + 5 y x − xy với x = ; y = 2
2
2
3
1
1
1
19. .2 2 − 11 . .2 3 − 8. = 19 − 44 − 1 = −26
2
2
2
(
36 x 3 y 4 − 18 xy 6 = 9 xy 3 . 4 x 2 y − 2 y 3
)
Bài 4: Tìm x biết
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
Giải:
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
⇔ 60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100
⇔ 50x = - 100
⇔ x=-2
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
⇔ 0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138
⇔ - 0,6x = 0,138
⇔ x = 0,138 : (- 0,6)
⇔ - 0,2
2
* Bài tập về nhân đa thức với đa thức
Bài 1: Làm tính nhân.
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
Giải:
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
= x4 + x3 + x2 + 2x2 + 2x + 2
= x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
= 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + 5 - 2a + 3a3 - 15a + 6a2
= 2a5 + 4a4 - 7a3 + 5a2 - 17a + 5
Bài 2: Cho x = y + 5. Tính
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
b. x2 + y(y - 2x) + 75
Giải:
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
Từ giả thiết x = y + 5 ⇒ x - y = 5
Ta có: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
= x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65
= x2- xy + y2 - xy + 2x - 2y + 65
=x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)2 + 2(x - y) + 65
= 52 - 2.5 + 65 = 100
b. x2 + y(y - 2x) + 75
= x2 + y2 - 2xy + 75
= x(x - y) - y(x - y) + 75
= (x - y) (x - y) + 75
= 5.5 + 75 = 100
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức.
a. A = x3 - 30x2 - 31x + 1 tại x = 31
b. B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x tại x = 14
Giải:
a. Với x = 31 thì
A = x3 - 30x2 - 31x + 1 = x3 - (x - 1)x2 - x.x +1
= x 3 - x3 + x2 + 1 = 1
b. Với x = 14 thì
B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13
= x5 - (x + 1)x4 + (x + 2)x3 - (2x + 1)x2 + x(x - 1)
= x5 - x5 - x4 + x4 + 2x3 - 2x3 - x2 + x2 - x = -x = - 14
Chủ đề 2: Tứ giác.
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC bằng cạnh AD. Chứng minh
cạnh BC nhỏ hơn đường chéo BD.
A
Giải:
B
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
Trong tam giác AOD ta có:
AD < AO + OD (1)
Trong tam giác BOC ta có
C
D
BC < OC + BO (2)
Cộng từng vỊ của (1) và (2) ta có:
AD + BC < AC + BD (3)
Theo đề ra: AC = AD nên từ (3) ⇒ BC < BD (đpcm)
Bài 2: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA
a. CMR: BD là đường trung trực của AC
3
b. Cho biết góc B = 1000, góc D = 700.
Tính góc A và góc C.
Vậy ABCD là hình thang
B
A
Giải:
B
D
a. BA = BC (gt)
DA = DC (gt)
⇒ BD là đường trung trực của AC
C
b. ∆ABD = ∆CBD (c.c.c)
⇒ Góc
Do đó: Góc Chủ đề 3: Hình thang
Bài 1: Tính các góc của hình thang ABCD (AB//CD) biết rằng góc 3
Từ Từ
A
C
D
Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD có 2cm,
DC = 4cm. Tính các góc của hình thang.
Giải:
Kẻ BH vuông góc với CD. Hình thang ABHD
có hai cạnh bên AD// BH ⇒ AD = BH, AB = DH
A
B
H
D
C
Do đó: HB = HD = 2cm ⇒ HC = 2cm
180 0 − 30 0
= 75 0
Ta tính được:
điểm M, N sao cho BM = CN.
ABCD là hình thang.
a. Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
Giải:
b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng ∆BCD có BC = CD ⇒ ∆BCD là tam giác cân ⇒
4
Vậy O thuộc đường trung trực của hai đáy
A
M
B
O
N
A
E
C
Giải:
a. Tam giác ABCD cân tại A
180 0 − < A
2
Lại có BM = CN (gt) ⇒ AM = AN
D
180 0 − < A
⇒
Vậy tứ giác BMNC là hình thang
Lại có: b.
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường
thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo.
CMR OE là đường trung trực của hai đáy.
Giải:
ABCD là hình thang cân ⇒
⇒ mà AD = BC (gt) ⇒ OA = OB
C
⇒ ∆ADC = ∆BCD (c.c.c)
⇒
⇒ ∆AMN cân tại A
B
⇒
Lại có: AC = BD nên EA = EB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ E thuộc đường trung trực của hai đáy.
Vậy OE là đường trung trực của hai đáy.
Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ thù là trung điểm của AD,
BC, AC. CMR
a. EI // CD, IF // AB
b. b. EF <
AB + CD
2
Giải:
Xét ∆ADC có: AE = ED
AI = IC nên EI // DC, EI =
B
1
DC
2
A
Tương tự ∆ABC có: AI = IC, BF = FC
Nên IF // AB, IF =
5
1
AB
2
I
E
F
b. Trong ∆EFI ta có: EF ≤ EI + IF
⇒ EF ≤
CD AB
+
2
2
Vậy EF ≤
AB + CD
2
D
C
Chủ đề 4: Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng, tức AB // DC
Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD, N là
trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN và BD,
MN và AC. Cho biết AB = 6cm, AD = 14cm. Tính các độ dài MI, IK,
KN.
Giải:
Vì MN là đường trung bình của
hình thang ABCD nên MN // AB // DC
A
B
Xét ∆ADC có AM = MD, MK // DC
⇒ KA = KC
I
K
Do đó: MK = DC = 14 = 7cm
2
2
D
Tương tự: ∆ABD có AM = MD, MI // AB
nên BI = ID
Do đó: MI =
1
6
AB = = 3cm
2
2
Từ đó ta có: IK = MK - MI = 7 - 3 = 4cm
Xét ∆ABC có BN = NC, NK // AB
⇒ AK = KC
Vậy KN =
1
6
AB = = 3cm
2
2
Bài 1: Biểu diễn các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng.
a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1
b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
Giải:
a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1
= x2 +2x(y + 1) + (y + 1)2
= (x + y + 1)2
b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
C
= (u2 + 2u + 1) + (v2 + 2v + 1) + 2(u + 1)(v + 1)
= (u + 1)2 + (v + 1)2 + 2(u + 1)(v + 1)
= (u + 1 + v + 1)2
= (u + v + 2)2
Bài 2: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu *
a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3
c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3
Giải:
a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
6
⇔ (2x)3 + * + * + (3y)3
⇔ 8x3 + 3(2x)2.3y + 3(2x).(3y)2 + (3y)2 = (2x + 3y)3
⇔ 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3
b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3
⇔ (2x)3 + 3(2x)2y + 3.2x (y)2 + y3 = (2x + y)3
⇔ 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3
c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3
⇔ x3 - 3x2 .2y + 3x(2y)2 - (2y)3 = (x - 2y)3
⇔ x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x - 2y)3
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a. (a - b + c + d)(a - b - c - d)
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
d. (x + y)3 - (x - y)3
e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
Giải:
a. (a - b + c + d)(a - b - c - d)
= [ ( a − b ) + ( c + d ) ].[ ( a − b ) − ( c + d ) ]
= (a - b)2 - (c + d)2
= a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2
= a2 + b2 - c2 - d2 - 2ab - 2cd
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
=
[ ( x + 3z ) + 2 y ].[ ( x + 3z ) − 2 y ]
= (x + 2z)2 - (2y)2
= x2 + 6xz + 9z2 - 4y2
c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
(x3 - 1) (x3 + 1) = x6 - 1
d. (x + y)3 - (x - y)3
(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) - (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3)
x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2y - 3xy2 + y3
6x2y + 2y3 = 2y(3x2 + y2)
e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
[( x 2 + 3 x + 1).( 3 x − 1) ] 2
(x2 + 3x + 1 - 3x + 1)2 = (x2 + 2)2
Bài 5: Trong hai số sau, số nào lớn hơn.
a. A = 1632 + 74. 163 + 372 và B = 1472 - 94. 147 + 472
x− y
x2 − y2
b. E =
và H = 2
với x > y > 0
x+ y
x + y2
Giải:
a. A = (163 + 37)2 = 2002 = 40000
B = (147 - 47)2 = 1002 = 10000
Vậy A > B
x − y ( x − y )( x + y )
x2 − y2
x2 − y2
=
= 2
<
b. E =
=H
x+ y
( x + y) 2
x + y 2 + 2 xy x 2 + y 2
(Vì x > y > 0)
Chủ đề 5: Phân tích đa thức thành nhân tư.
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp đặt nhân tư
chung.
a. 12xy - 4x2y + 8xy2
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
7
d. 3x(a - x) + 4a(a - x)
Giải:
a. 12xy - 4x2y + 8xy2 = 4xy(3 - x + 2y)
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
= (x - 2y) (4x - 8y) = 4(x - 2y) (x - 2y)
= 4(x - 2y)2
c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
= 25x2(y - 1) + 5x3(y - 1)
= (y - 1) (25x2 + 5x3) = 5x2(y - 1) (5 - x)
d. 3x(a - x) + 4a(a - x) = (a - x) (3x + 4a)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp dùng HĐT
b. (x + a)2 - 25
c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1
Giải:
b. (x + a)2 - 25 = (x + a)2 - 52 = (x + a + 5) (x + a - 5)
c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1 = (x + 2x + 1) - (y2 - 2y + 1)
= (x + 1)2 - (y - 1)2 = (x + 1 + y - 1) (x + 1 - y + 1)
= (x + y) (x - y + 2)
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp nhóm hạng tư.
a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y
b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
c. a2x + a2y - 7x - 7y
d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2
Giải:
a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y
= (2x - 3y) (2x + 3y + 2)
b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
= x3 + y - 3x2y + 3xy2 - x - y3
= (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - (x - y)
= (x - y)3 - (x - y)
[
]
= (x - y) ( x − y ) 2 − 1 = (x - y) (x - y + 1) (x - y - 1)
c. a2x + a2y - 7x - 7y
= (a2x + a2y) - (7x + 7y) = a2(x + y) - 7(x + y)
= (x + y) (a2 - 7)
d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2
[
]
+ x ] = (x - 5) (x
= x( x + 1) 2 − 5( x + 1) 2 + x( x − 5) = (x + 1)2 (x - 5) + x(x - 5)
[
= (x - 5) ( x + 1) 2
2
+ 3x + 1)
Bài 4: Phân tích đa thức thnµh nhân tư bằng cách phối hợp nhiều
phương pháp.
a. x4 + x2y2 + y4
b. x3 + 3x - 4
c. x3 - 3x2 + 2
d. 2x3 + x2 - 4x - 12
Giải:
a. x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2
= (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 )2 - (xy)2
= (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy)
b. x3 + 3x - 4 = x3 - 3x2 + 3x - 1 + 3x2 - 3
= (x - 1)3 + 3(x2 - 1) = (x - 1)3 + 3(x + 1) (x - 1)
[
]
= (x - 1) ( x − 1) 2 + 3( x + 1) = (x - 1) (x2 + x + 4)
c. x3 - 3x2 + 2 = x3 - 3x2 + 3x - 1 - 3x + 3
8
[
]
= (x - 1)3 - 3(x - 1) = (x - 1) ( x − 1) 2 − 3
= (x - 1) (x2 - 2x - 2)
d. 2x3 + x2 - 4x - 12 = (x2 - 4x + 4) + (2x3 - 16)
= (x - 2)2 + 2(x3 - 8) = (x- 2)2 + 2(x - 2) (x2 + 2x + 4)
= (x - 2) [( x − 2) + 2( x 2 + 2 x + 4) ] = (x - 2) (2x2 + 5x + 6)
Bài 5: Tìm x biết:
a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0
b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2
Giải:
a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0
⇔ (x - 2) (x - 3 + 1) - 1 = 0
⇔ (x - 2)2 - 1 = 0
⇔ (x - 2 + 1) (x - 2 - 1) = 0
⇔ (x - 1) (x - 3) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = 3
Vậy nghiệm của phương trình: x1 = 1, x2 = 3
b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2
⇔ (x + 2)2 - (x + 1)2 - 2x(2x + 3) = 0
⇔ (x + 2 + x + 1) (x + 2 - x - 1) - 2x(2x + 3) = 0
⇔ (2x + 3) - 2x(2x + 3) = 0
⇔ (2x + 3) (1 - 2x) = 0
⇔x=-
3
1
hoặc x =
2
2
Vậy nghiệm của PT: x1 = -
3
1
, x2 =
2
2
Chủ đề 6: Hình chữ nhật
Bài 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F,
G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác
EFGH là hình gì? Vì sao?
Giải:
Tam giác ABC có AE = EB, BF = FC
⇒ EF = AC (1)
Chứng minh tương tự: HG // AC (2)
Từ (1), (2) ⇒ EF // HG (*)
Chứng minh tương tự: EH // FG (**)
Từ (*) và (**) EFGH là hình bình hành.
EF // AC, BD ⊥ AC ⇒ EF ⊥ BD
EF ⊥ BD, EH // BD ⇒ EF ⊥ EH
Hình bình hành EFGH có góc E = 900
⇒ là hình chữ nhật
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, Điểm M thuộc
cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến
AB, AC.
a. Tứ giác EDME là hình gì? tính chu vi tứ giác đó.
9
b. Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ
nhất.
Giải:
a. Tứ giác ADME có góc Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật.
- Chu vi của hình chữ nhật ADME bằng:
2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB
= 2 . 4 = 8cm
b. Gọi H là trung điểm của BC, ta có AH ⊥ BC
ADME là hình chữ nhật ⇒ DE = AM
Ta có: DE = AM > AH.
Dấu “=” xảy ra khi M ≡ H
Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là AH khi M là trung điểm của BC
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E,
F, G theo thứ tự là trung điểm của BD , BC, DC. Chứng minh rằng tứ
giác EFEG là hình thang cân.
Giải:
Vì EF là đường trung bình của tam giác BDC
nên EF // DC
Do đó: AEFG là hình thang
Do FG là đường trung bình của tam giác BDC
Nên FG // BD ⇒ góc
Hình thang AEFG có hai góc kÌ một đáy bằng nhau nên là hình thang
cân.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung
tuyến AM
a. CMR: Góc
AM vuông góc với DE
A
Giải:
a. Ta có góc
của tam giác ABC ⇒ AM = MC
⇒ góc
I là giao điểm của AM và DE
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
⇒ OA = OE ⇒ góc
⇒ góc
BD
= ED
2
Do đó: tam giác AED cân tại E ⇒ góc
trung tuyến nên AE =
Từ đó góc
10
Chủ đề 7: Hình thoi.
- Điểm O thuộc tia phân giác của góc B nên cách đều 2 cạnh của góc do
Bài 1:
đó: OE = OF
a. Cho hình thoi ABCD, kỴ đường cao AH, AK. CMR: AH = AK
Tương tự ta cũng có: OF = OG, OG = OH
b. Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau. CMR: Vậy tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung
ABCD là hình thoi
điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.
Giải:
Bài 3: Cho hình thoi ABCD có góc a. Xét ∆ AHB và ∆ AKD có:
trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM = DN. Tam giác BMN là tam giác
AB = AD (vì ABCD là hình thoi)
gì? vì sao?
Góc Giải:
⇒ ∆ vuông AHB = ∆ AKD (cạnh huyền góc nhọn) ⇒ AH = AK (2 cạnh Ta có: Tam giác ABD cân tai A
Và tương ứng)
⇒ AB = BD
b. Xét tam giác vuông AHB và AKD có:
góc
Xét tam giác ABM và DBN có:
Góc
AB = BD (chứng minh trên)
⇒ tam giác ∆AHB = ∆AKD (cạnh góc vuông- góc nhọn kề)
Góc Vậy AB = AD (2 cạnh tương ứng)
AM = DN (gt)
Hình bình hành ABCD có 2 cạnh kÌ bằng nhau nên là hình thoi.
Bài 2: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, ⇒ ∆ ABM = ∆DBN (c.g.c)
F, G, H theo thứ tự là chân các đường góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. ⇒ BM = BN,
Ta lại có: góc,
Ta có; OF ⊥ AB, OG ⊥ CD
Tam giác BMN cân có góc MBN = 600 nên là tam giác đều.
Mà AB // CD (t/c hình thoi)
Bài 4: Cho hình thoi ABCD, có AB = AC, kề AE ⊥ BC, AF ⊥ CD
⇒ E, O, G thẳng hàng.
a. Chứng minh tam giác AEF là tam giác đều.
Chứng minh tương tự ta có 3 điểm
b. Biết AB = 4cm. Tính độ dài các đường chéo của hình thoi.
F, O, H thẳng hàng.
Giải:
11
Tam giác ABC có AB = BC (đ/n hình thoi)
AB = AC (gt)
⇒ Tam giác ABC đều ⇒ góc do đó: góc
xét ∆ ABE và ∆ ADE có:
AB = AD (đ/n hình thoi)
Vậy nếu I là giao điểm của tia phân giác
góc A với cạnh BC thì AHIK là hình thoi.
c. Hình bình hàng AHIK là hình chữ nhật
⇔ góc Vậy nếu tam giác ABC vuông tại A thì
AHIK là hình chữ nhật.
A
Bài 2: Cho tam giác vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm H, G sao
cho
Vậy tam giác AEF cân tại A.
- Trong các tam giác đều ABC, AOC có AE và AF là các đường cao nên BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chóng cắt
AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
là phân giác của góc
do đó: góc
Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vÊ đường
thẳng song song với AB c¨t AC ở H. Qua I vÊ đường thẳng song song
với AC c¨t AB ở K.
a. Tứ giác AHIK là hình gì?
b. Điểm I ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.
c. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.
Giải:
a. Tứ giác AHIK có IH // AK, AH // KI
⇒ tứ giác AHIK là hình bình hành.
b. Hình bình hành AHIK là hình thoi
⇔ AI là đường phân giác của góc A
Giải:
Tam giác AGC có góc
Do đó: GF = GC
Chứng minh tương tự EH = HB
Do BH = CG = HG nên EH = HG = GF
Tứ giác EHGF có EH // FG
(cùng vuông góc với BC)
EH = FG (c/m trên)
⇒ Tứ giác EHGF là hình bình hành
Hình bình hành EHGF có góc
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm F, trên cạnh DC
lấy điểm E sao cho AF = DE. Chứng minh rằng AE = BF và AE ⊥ BF
12
Giải:
AF = DE (gt)
A
⇒ ∆ADE = ∆BAF (2 cạnh góc vuông)
⇒ AE = BF (2 cạnh tương ứng)
c. x = −1
F
Góc
E
Gọi H là giao điểm của AE và BF
Thì góc
Chủ đề 9: Phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. - 2x + 14 = 0
b. 0,25x + 1,5 = 0
c.
4 5 1
− =
3 6 2
d. 3x + 1 = 7x + 11
e. 11 - 2x = x - 1
Giải:
a. - 2x + 14 = 0 ⇔ 14 = 2x ⇔ x = 7
b. 0,25x + 1,5 = 0 ⇔ 0,25x = - 1,5 ⇔ x = −
B
Bài 2: Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây vô nghiệm.
a. a(x + 1) = 3 + 2x
b. 2(1 - 1,5x) + 3x = 0
1,5
⇔ x=-6
0,25
4
5 1
4
1 5
4
8
8 3
⇔ x= . ⇔x=1
x− = ⇔ x = + ⇔ x=
3
6 2
3
2 6
3
6
6 4
d. 3x + 1 = 7x + 11 ⇔ 3x - 7x = - 11 - 1 ⇔ - 4x = - 12 ⇔ x = 3
Giải:
a. a(x + 1) = 3 + 2x
⇔ 0x = 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
C b. 2(1 - 1,5x) + 3x = 0
⇔ 0x = - 2 ⇒ phương trình vô nghiệm
c. x = −1 VT của phương trình không âm , VP âm
Phương trình vô nghiệm
Bài 3: Tìm giá trị của x sao cho 2 biểu thức A và B cho sau đây có giá trị
bằng nhau
a. A = (x - 3)(x + 4) - 2(3x - 2);
B = (x - 4)2
b. A = (x + 2)(x - 2) + 3x2;
B = (2x + 1)2 + 2x
c. A = (x - 1)(x2 + x + 1) - 2x;
B = x(x - 1)(x + 1)
3
3
d. A = (x + 1) - (x - 2) ;
B = (3x - 1)(3x + 1)
Giải:
a. x = 8
b. x = -
5
6
c. x = - 1
10
9
c.
d. x =
e. 11 - 2x = x - 1 ⇔ - 2x - x = - 1- 11 ⇔ - 3x = - 12 ⇔ x = 4
Bài 4: Giải các phương trình tích sau:
a. (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1)
13
b. 3x(25x + 15) - 35(5x + 3) = 0
c. (2 - 3x)(x + 11) = (3x - 2)(2 - 5x)
d. (2x2 + 1)(4x - 3) = (2x2 + 1)(x - 12)
e. (2x + 1)2 + (2 - x)(2x - 1) = 0
f. (x + 2)(3 - 4x) = x2 + 4x + 4
Giải: a. (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1)
11
Vậy S = 1,−
2
b. 3x(25x + 15) - 35(5x + 3) = 0
3 7
Vậy S = − ;
5 3
c.
d.
2 x + 1 5( x − 1)
=
x −1
x +1
f.
1
2x 2 − 5
4
+ 3
= 2
x −1 x −1
x + x +1
Giải:
a.
b.
c.
f. (x + 2)(3 - 4x) = x2 + 4x + 4
( x + 2) 2
2x − 3
⇒
e. (2x + 1)2 + (2 - x)(2x - 1) = 0
b.
( x + 2) 2
2x − 3
−1 =
ĐKXĐ: x =
3
2
3
(loại)
2
ĐKXĐ: x ≠ 1
11
(thoả mãn ĐKXĐ)
12
11
12
Vậy S =
Bài 6: Giải các phương trình có ẩn ở mẫu.
1− x
2x + 3
+3=
x +1
x +1
x 2 + 10
2x − 3
5x − 2 2x − 1
x2 + x − 3
+
= 1−
2 − 2x
2
1− x
Vậy S = − 2;
a.
−1 =
PT vô nghiệm hay S = Ø
⇔x=
1
5
ĐKXĐ: x ≠ - 1
PT vô nghiệm hay S = Ø
⇔x=
Vậy S = { − 3}
1
2
1− x
2x + 3
+3=
x +1
x +1
⇔ 0x = - 1
⇒
d. (2x2 + 1)(4x - 3) = (2x2 + 1)(x - 12)
Vậy S = ;−1
5 − 2 x ( x − 1)( x + 1) ( x + 2 )(1 − 3 x )
+
=
3
3x − 1
9x − 3
e.
c. (2 - 3x)(x + 11) = (3x - 2)(2 - 5x)
2 13
Vậy S = ;
3 4
5x − 2 2x − 1
x2 + x − 3
+
= 1−
2 − 2x
2
1− x
d.
x 2 + 10
2x − 3
5 − 2 x ( x − 1)( x + 1) ( x + 2)(1 − 3 x )
+
=
3
3x − 1
9x − 3
⇔ x=
14
10 5
=
22 11
§KX§: x ≠
1
3
5
11
Vậy S =
e.
2 x + 1 5( x − 1)
=
§KX§: x ≠ ± 1
x −1
x +1
⇔
(2 x + 1)( x + 1) 5( x − 1)( x − 1)
=
( x − 1)( x + 1)
( x − 1)( x + 1)
⇔ (2x + 1)(x + 1) = (5x - 5)(x - 1)
⇔ 2x2 + 2x + x + 1 = 5x2 - 5x - 5x + 5
⇔ 3x2 - x - 12x + 4 = 0
⇔ x(3x - 1)(x - 4) = 0
⇔x=
1
(thoả mãn) ho¨c x = 4 (thoả mãn)
3
1
3
Vậy S = ;4
1
2x 2 − 5
4
+ 3
= 2
f.
§KX§: x ≠ 1
x −1 x −1
x + x +1
⇔
x 2 + x + 1 + 2 x 2 − 5 4( x − 1)
= 3
x3 − 1
x −1
⇔ x2 + x + 1 + 2x2 - 5 = 4x - 4
⇔ 3x2 - 3x = 0
⇔ 3x(x - 1) = 0
⇔ x = 0 (thoả mãn) hoặc x = 1 (loại)
Vậy S = { 0}
* Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bài 7: Thùng dầu thứ nhất chứa gấp đôi thùng dầu thứ hai. Nếu chuyển
từ thùng dầu thứ nhất sang thùng dầu thứ hai 25 lít thì lượng dầu hai
thùng bằng nhau. Tính lượng dầu trong mỗi thùng lúc đầu.
Giải:
Gọi số lượng dầu ban đầu trong thùng thứ hai là x (đk: x > 0)
⇒ lượng dầu trong thùng thứ nhất là 2x
Khi đó số lượng dầu trong thùng thứ hai là: x + 25
Theo gt: 2x - 25 = x + 25
⇔ 2x - x = 25 + 25
⇔ x = 50
Vậy lúc đầu lượng dầu trong thùng thứ nhất là 100 lít và thùng thứ
hai là 50lít.
Bài 8: Học sinh khối 8 nhắt được 65kg kim loại vôn. Trong đó đồng
nhiều hơn nhôm 15kg, kẽm ít hơn tổng số khối lượng nhôm và đồng 1kg.
Hỏi khối 8 đã nhặt được bao nhiêu kg mỗi loại
Giải:
Gọi số lượng nhôm nhặt được là x (kg) (x > 0)
Số lượng đồng nhặt được là x + 15 (kg)
Số lượng kẽm nhặt được là x + x + 15 - 1 = 2x + 14 (kg)
Tổng số kim loại vôn nhặt được là
x + x + 15 + 2x + 14 = 4x + 29
Theo bài ra: 4x + 29 = 65 ⇔ x = 9
Vậy khối 8 nhặt được: 9 kg nhôm
9 + 15 = 24 kg đồng
15
9 + 24 - 1 = 32 kg kẽm
Bài 9: Một xí nghiệp dệt thảm được giao làm một số thảm xuất khẩu
trong 20 ngày. Xí nghiệp đã tăng năng suất 20% nên sau 18 ngày không
những đã làm xong số thảm được giao mà còn làm thêm được 24 chiếc
nữa. Tính số thảm xí nghiệp đã làm được trong 18 ngày.
Khi đó số ngày dự định để trồng cây là :
Nhưng thực tế mỗi ngày đã trồng 400 cây (vì thêm 100 cây)
Nên số cây đã trồng được tất cả x + 600 và số ngày là:
Theo bài ra ta có phương trình:
Giải:
Gọi số thảm xí nghiệp đã làm được trong 18 ngày là x chiếc (x
nguyên dương)
Một ngày đã làm được
x
ngày
300
x
chiếc.
18
x + 600
400
x
x + 600
=
+1
300
400
Giải ra ta được: x = 3000 cây
Vậy số cây dù định trồng là 3000 cây.
Chủ đề 10: Tam giác đồng dạng
Bài 1: Cho hình thang ABCD, có đáy lớn là CD, đáy nhỏ là AB. Qua A
Số thảm xí nghiệp được giao trong 20 ngày là: x - 20 chiếc.
kẻ đường thẳng song song với BC c¨t đường chéo BD ở E, qua B kẻ
x − 24
Một ngày phải làm
chiếc.
đường thẳng song song với AD c¨t đường chéo AC ở F.
20
Do tăng năng suất 20% nên trong một ngày số thảm xí nghiệp đã a. Chứng minh tứ giác DEFC là hình thang cân.
làm so với số thảm xí nghiệp phải làm bằng 100% + 20% = 120% = 1,2 b. Tính độ dài đoạn EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm.
Giải:
Theo bài ra ta có phương trình:
a. Do AE // BC (gt)
x
x − 21
= 1,2.
18
20
Theo định lý TalÐt ta có:
OE OA
Giải PT tìm được x = 324
=
(1)
OE OC
Vậy số thảm xí nghiệp đã làm trong 18 ngày là 324 chiếc.
Do BF // AD (gt)
Bài 10: Một lớp học tham gia trồng cây ở một lâm trường trong thời
gian đã định với năng suất 300 cây trong một ngày. Nhưng thực tế mỗi Theo định lý ta lét ta có:
OB OF
người đã trồng thêm được 100 cây nên đã trồng thêm được tất cả 600 cây
=
(2)
OD OA
và hoàn thành kế hoạch trước một ngày. Tính số cây dù định trồng.
OE OB OA OF
OE OF
.
=
.
=
Giải:
Từ (1) và (2) ⇒
hay
OB OD OC OA
OD OC
Gọi số cây dù định trồng là x cây (x nguyên dương)
Theo định lý đảo của định lý TalÐt ta lại có: EF // DC
16
⇒ Tứ giác DEFC là hình thnag (dấu hiệu nhận biết)
Giải:
Gọi giao điểm của AC với EF là I
Do IE // CD
Xét tam giác ABC và tam giác BAD có: AB là cạnh chung
BC = AD (gt); AC = BD (gt)
⇒ ∆ABC = ∆BAD (c.c.c)
EI
AE
=
Theo định lý TalÐt ta có:
CD AD
⇒ góc
mà góc
= 25cm
⇒ EI =
AD
17,5
Hình thang DEFC có hai góc kÌ một đáy bằng nhau nên là hình thang
Do IF // AB theo định lý TalÐt ta có
cân.
CI DE
5
IF
CI
=
=
=
mà
b. Theo câu a, ta có: EF // CD mà CD // AB (gt)
CA DA 17,5
AB CA
⇒ EF // CD // AB.
IF
5
14.5
=
= 4cm
⇒ IF =
Do đó:
Do đó EF // AB. Theo định lý Ta lét ta có:
AB 17,5
17,5
AB OB
OB OC
AB OC
⇒
=
=
=
mà
(3)
EF OE
OE OA
EF OA
Vậy EF = EI + IF = 25 + 4 = 29cm
Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm cạnh CD.
DC OC
=
Do CD // AB, theo định lý Ta lét ta có:
(4)
Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.
AB OA
a. Chứng minh: IK // AB
AB DC
⇒ AB2 = EF . DC
=
Từ (3), (4) ⇒
b. Đường thẳng IK cắt AD và BC theo thứ tự ở E và F
AF
AB
Chứng minh: EI = IK = KF
AB 2 52 25
=
=
= 2,5 cm
Do đó: EF =
Giải:
CD 10 10
Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 14cm, CD = 35cm, §ÆtAB = m, MC = MD = n
AD= 17,5cm. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho DE = 5cm. Qua E vÊ a. Do AB // CD ta có:
MI MD n
đường thẳng song song với AB cắt BC ở F. Tính độ dài EF
=
=
(1)
IA
AB
m
MK MC n
=
=
(2)
KB
AB m
Từ (1), (2) ⇒
MI MK
=
AI
KB
Theo định lý đảo của định lý talÐt đối với tam giác MAB ta có:
17
IK // AB
b. Do EF // CD ta có:
IE
AI
EI
AI
=
=
hay
(3)
DM AM
n
AM
IK
IM
IK
AI
=
=
hay
(4)
MC AM
n
AM
Từ (3), (4) ⇒ EI = IK
KF
AI
=
Tương tự ta cũng có:
MC AM
a. Chứng minh: tam giác ADB đồng dạng với tam tam giác BCD
b. Tính độ dài các cạnh BC, CD.
Giải:
a. Ta có: góc
b. Ta có:
2,5
AB AD BD
=
=
BD BC DC
3,5
5 .5
5
= 10cm
⇒ DC =
=
=
hay
Từ đó ta có: EI = IK = KF (đpcm)
2,5
5
BC CD
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là một điểm trên cạnh CD, K
DG 1
BK 3
= và
= .
là một điểm trên cạnh CB sao cho
GC 2
KC 2
BC =
5.3,5
= 7cm
2,5
Bài 6:: Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ một đường thẳng tuỳ ý cắt
Gọi giao điểm của DB với AG và AK lần lượt là E và F. Tính độ dài các
BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G. Chứng minh:
đoạn thẳng DE, EF, FB nếu biết BD = 24cm
a. AE2 = EK . EG
Giải:
1
1
1
=
+
b.
DE DG
AE AK AG
=
Do DG // AB nên
EB
AB
c. Khi đường thẳng đi qua A thay đổi thì tích BK. DG có giá trị không
mà AB = CD do đó
đổi.
DE DG 1
DE 1
=
= ⇒
=
Giải:
EB
DC
Vậy DE =
3
DB
4
1
DB = 6cm
4
a. Do BK // AD nên
3
Tương tự: BF = BD = 9cm
8
EK BE
=
(1)
AE ED
Do AB // DG nên
EK
AE BE
=
(2)
EG ED
AE
=
Từ đó ta có: EF = 9cm
Từ (1) và (2) ⇒
AE EG
Bài 5: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2,5cm, AD = 3,5cm, BD
Do đó : AE2 = EK . EG
= 5cm và góc
18
b. Ta có:
AE DE
AE DE
⇒
=
=
(3)
EK EB
AK DB
Tương tự:
AE BE
=
(4)
AG BD
Cộng vỊ với vỊ của (3) và (4) ta có:
AE AE DE BE BD
+
=
+
=
=1
AK AG DB BD BD
c. Đặt AB = a, AD = b
Như vậy:
BK
a
KC CG
=
=
(*); và
(**)
KC CG
b
DG
Nhân vỊ với vỊ của (*) và (**) ta có:
BK
a
⇒ BK - DG = ab không đổi.
=
b
DG
Chủ đề 11: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức.
a. a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b
b. a2 + b2 + c2 ≥ a(b + c)
Giải:
a. Ta có: (a + b)2 ≥ 0 và (a - 1)2 ≥ 0
⇔ a2 + b2 ≥ 2ab (1); ⇔ a2 + 1 ≥ 2a (2)
Lại có: (b - 1)2 ≥ 0
⇔ b2 + 1 ≥ 2b (3)
⇔ Cộng vế với vế của (2) và (3) ta có:
2(a2 + b2 + 1) ≥ 2(ab + a + b)
⇔
1
1
. 2(a2 + b2 + 1) ≥ . 2(ab + a + b)
2
2
a − b = 0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0 ⇒ a = b = 1
b − 1 = 0
b. Ta có: a2 + b2 + c2 ≥ a(b + c)
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac ≥ 2ab + 2ac - 2ab - 2ac
⇔ (a - b)2 + (a - c)2 + b2 + c2 ≥ 0 (1)
BĐT (1) luôn đúng nên ta có đpcm.
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 0
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a. 3x - 5 > 2(x - 1) + x
b. (x + 2)2 - (x - 2)2 > 8x - 2
c. 3(4x + 1) - 2(5x + 2) > 8x - 2
d. 1 + x e. 5 +
x −3 x +3
+
4
3
x+4
x−2 x+3
+
3
f. 2x2 + 2x + 1 -
15( x − 1)
≥ 2x(x + 1)
2
Giải:
a. 3x - 5 > 2(x - 1) + x
⇔ 0x > 3
Vậy bất PT vô nghiệm.
b. (x + 2)2 - (x - 2)2 > 8x - 2
⇔ 0x > - 2
Vậy bất PT vô số nghiệm.
⇔ a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b
19
d. 1 + x ⇔
x3 - x2 - 5x - 3 ≠ 0
⇔ x2(x - 3) + 2x(x - 3) + (x - 3) ≠ 0
⇔ (x - 3)(x2 + 2x + 1) ≠ 0
⇔ (x - 3)(x + 1)2 ≠ 0
x −3 x +3
+
4
3
12(1 + x) − 3( x − 3) 3( x + 1) − 4( x − 2)
>
12
12
⇔x>-1
x − 3 ≠ 0
⇔
x + 1 ≠ 0
Vậy nghiệm của bất PT là x > - 1
e. 5 +
x+4
x−2 x+3
+
3
Vậy với x ≠ 3; x ≠ - 1 thì B có nghĩa.
30.5 + 6( x + 4) 30 x − 15( x − 2) + 10( x + 3)
⇔
<
30
30
⇔x>6
b. Ta có: A =
⇔
c. Ta có: A . B =
17
15
Vậy nghiệm của bất PT là x ≤
x 2 + 2x + 1
và
x 2 − 4x + 5
B=
17
15
2 x 2 − 8 x + 10
x 3 − x 2 − 5x − 3
a. Tìm điều kiện có nghĩa của B
b. Tìm giá trị bé nhất của A và giá trị tương ứng của x.
c. Tìm giá trị của x để A. B < 0
Giải:
a. Biểu thức B có nghĩa khi mẫu thức
x 2 + 2 x + 1 2 x 2 − 8 x + 10
.
x 2 − 4x + 5 x 3 − x 2 − 5x − 3
( x + 1) 2 2( x 2 − 4 x + 5)
2
.
= 2
2 =
x − 4 x + 5 ( x − 3)( x + 1)
x−3
2
<0
x < 3
⇔
Do đó A. B < 0 ⇔ x − 3
x ≠ −1
x ≠ 3; x ≠ −1
Bài 3: Cho các biểu thức sau:
A=
≥ 0∀x và (x - 2)2 + 1 > 0 ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = - 1
2
⇔x ≤
( x − 2) 2 + 1
( x + 1) 2
≥ 0∀x hay A ≥ 0
Do đó:
( x − 2) 2 + 1
15( x − 1)
≥ 2x(x + 1)
2
2(2 x + 2 x + 1) − 15( x − 1) 4 x( x + 1)
≥
2
2
( x + 1) 2
Ta có: (x + 1)2
Vậy nghiệm của bất PT là x > 6
f. 2x2 + 2x + 1 -
x ≠ 3
⇔
x ≠ −1
Vậy với x < 3 và x ≠ - 1 thì A . B < 0
Bài 4: Chứng tỏ: (x - 1)(x - 3)(x - 4) (x - 6) + 10 ≥ 1
Giải: VT = (x - 1) (x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10
= (x - 1)(x - 6)(x - 3)(x - 4) + 10
= (x2 - 7x + 6)(x2 - 7x + 12) + 10
= (x2 - 7x + 9 - 3)(x2 - 7x - 9 + 3) + 10
20
= (x2 - 7x + 9)2 - 9 + 10
= (x2 - 7x + 9)2 + 1 ≥ 1∀x
Do đó (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10 ≥ 1∀x
Bài 5: Giải các phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối sau.
d. x = 3 = 5 − x
Hai vế không âm bình phương hai vế ta có.
(x + 3)2 = (5 - x)2 ⇔ x2 + 6x + 9 = 25 - 10x + x2
⇔x=1
Vậy nghiệm của PT là: x = 1
a. x − 1 = 2
b. 5 x − 2 = x
e. 3 x − 14 − x + 2 = 5
c. x − 3 − 5 x = 7
d. x = 3 = 5 − x
- Xét x ≤ −2 ta có Pt: (14 - 3x) - (- x - 2) = 5
⇔ 14 - 3x + x + 2 = 5
e. 3 x − 14 − x + 2 = 5
x −1 = 2
x = 3
⇔
Giải: a. x − 1 = 2 ⇔
x − 1 = −2
x = −1
⇔ - 2x = - 11 ⇔ x =
- Xét - 2 < x ≤
b. Xét 2 trường hợp
TH1: Nếu x ≥ 0 thì PT 5 x − 2 = x trở thành
5x - 2 = x ⇔ x =
⇔ - 4x = - 7 ⇔ x =
TH2: Nếu x < 0 thì PT 5 x − 2 = x trở thành
1
(thoả mãn đk x < 0)
3
14
ta có PT
3
(14 - 3x) - (x + 2) = 5
⇔ 14 - 3x - x - 2 = 5
1
(thảo mãn đk x > 0)
2
- 5x - 2 = x ⇔ x = -
11
(không thoả mãn ®k)
2
- Xét x >
7
(thoả mãn ®k)
4
14
ta có PT
3
(3x - 14) - (x + 2) = 5
⇔ 3x - 14 - x - 2 = 5
1
1
Vậy phương trình có nghiệm: x = và x = 2
3
21
(thoả mãn ®k)
2
c. x − 3 − 5 x = 7
⇔ 2x = 21 ⇔ x =
- Nếu x - 3 ≥ 0 hay x ≥ 3 ta có PT
x - 3 - 5x = 7 ⇔ x = - 2,5 (không thoả mãn đk x ≥ 3)
- Nếu x - 3 < 0 hay x < 3 ta có PT
Vậy nghiệm của phương trình là: x =
2
- x + 3 - 5x = 7 ⇔ x = - (thoả mãn dk x < 3)
3
2
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
7
21
và x =
4
2
2− x
x
2− x 3− x
−
+ 2
: 1 −
x −1
x + 3 2 + 2 x + 5x + 6
Bài 6: Cho biểu thức A =
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm giá trị của x để A > 1.
21
Giải:
b.
x −3
>2
x+2
2− x
x
2− x 3− x
−
+ 2
: 1 −
®kx®: x ≠ −2 ,
Giải:
x −1
x + 3 2 + 2 x + 5x + 6
A =
a.
x ≠ −3; x ≠ 1
2− x 3− x
x −1− x
2−x
:
−
+
x −1
x + 3 x + 2 ( x + 3)( x + 2)
A =
A=
( 2 − x ) ( x + 2) − (3 − x)( x + 3) + 2 − x . x − 1
( x + 3)( x + 2)
A=
4 − x2 − 9 + x2 + 2 − x x −1
.
( x + 3)( x + 2)
−1
A=
− ( x + 3)
x −1
.
( x + 3)( x + 2) − 1
A=
x −1
x+2
b. Để a >1 ⇔
Giải (1)
⇔
a. 3x3 + 4x2 + 5x + 6 > 0
⇔ 3x3 - 2x2 + 6x2 - 4x + 9x - 6 > 0
⇔ x2(3x - 2) + 2x(3x - 2) + 3(3x - 2) >0
⇔ (3x - 2)(x2 + 2x + 3) > 0
−1
⇔ Ta thấy x2 + 2x + 3 > 0 nên 3x - 2 > 0 ⇔ x >
b.
x −3
>2
x+2
⇔
x −3
x − 3 − 2x − 4
− x−7
−2>0⇔
>0⇔
>0
x+2
x+2
x+2
x + 7 < 0
x+7
x + 2 > 0
<0⇔
⇔
⇔
x + 7 > 0
x+2
x + 2 < 0
x ≠ −2
x ≠ −3
x −1
> 1(1)
x + 2
2
3
x < −7
x > −2 ⇔ −7 < x < −2
x > −7
x < −2
Vậy bất phương trình đã cho có các nghiệm là - 7 < x < - 2
x −1
x −1
x −1− x − 2
>1 ⇔
−1 > 0 ⇔
>0
x+2
x+2
x+2
−3
>0 ⇔x+2<0 ⇔ x<-2
x+2
x < −2
thì A > 1
x ≠ −3
Vậy với
Bài 7: Giải bất phương trình
a. 3x3 + 4x2 + 5x + 6 > 0
22
