Ôn tập hè - Toán lớp 11, lớp 12 potx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (417.78 KB, 27 trang )
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
1
ÔN TẬP HÈ MÔN TOÁN HỌC
DÙNG CHO HỌC SINH KHỐI 11 LÊN 12
Tài liệu này gồm nhiều phần ñược sưu tầm trên Internet, với sự chia sẻ của các thầy cô
giáo dạy Toán THPT.
chỉ Tập hợp chúng lại ñể bạn ñọc dễ dàng ôn tập.
Tuy nhiên do một số Tác giả không ñể lại tên trong Tài liệu của mình nên chúng tôi không thể kể
hết. Xin gửi lời cảm ơn tới các thầy Trần Mạnh Tùng (THPT Lương Thế Vinh), Phan Phú Quốc
(THPT Phan Châu Trinh), và các thầy cô khác ñã chia sẻ những Tài liệu của mình.
*****
Giới Hạn Hàm Số
Bài 1 : ðịnh nghĩa Và Một Số ðịnh Lý
1.Giới hạn tại một ñiểm :
Ví dụ: Cho hàm số f(x) =
3 2
5 4
x
x
−
+
và dãy số (
n
x
) biết
2 1
+
=
n
n
x
n
a) Tính f(
n
x
) .
b) Tính lim
n
x
và limf(
n
x
)
a) Giới hạn hữu hạn
: Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên một khoảng (a;b ) , có thể trừ ñiểm
0
x
∈
(a;b)
.Hàm số f(x) có giới hạn L khi x dần tới
0
x
, nếu mọi dãy số (
n
x
) (
0
( ; ), ,
∈ ≠ ∀ ∈
n n
x a b x x n N
) sao
cho lim
n
x
=
0
x
thì lim f(
n
x
) = L .
Ta viết :
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
.
b) Giới hạn vô cực
:
ð.n :
0
0n n
lim ( ) ( hay - ) (x ), limx lim ( ) ( hay -
)
n
x x
f x x f x
→
= +∞ ∞ ⇔ ∀ = ⇒ = +∞ ∞
2. Giới hạn tại vô cực :
ð.n:
n n
n n
lim ( ) (x ), limx lim ( )
lim ( ) (x ), limx lim ( )
n
x
n
x
f x L f x L
f x L f x L
→+∞
→−∞
= ⇔ ∀ = +∞ ⇒ =
= ⇔ ∀ = −∞ ⇒ =
3. ðịnh lý về giới hạn
:
ðịnh lý 1 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) ñều có giới hạn khi x dần tới a thì :
0 0 0 0 0
0
0
0 0
0
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ).
lim[ ( ). ( )] lim ( ).lim ( ).
lim ( )
( )
lim (lim ( ) 0).
( ) lim ( )
→ → → → →
→
→
→ →
→
± = ± =
= ≠
x x x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
x x
f x g x f x g x f x g x f x g x
f x
f x
g x
g x g x
0
0
0
0
3
3
lim ( ) lim ( ).
lim ( ) lim ( ) ( f(x) 0 )
→
→
→
→
=
= ≥
x x
x x
x x
x x
f x f x
f x f x
Bài tập
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
2
Vấn ñề 1: Tìm Giới Hạn Của Hàm Số Tại ðiểm a
Phương pháp : Sử dụng các giới hạn cơ bản sau :
•
CC
ax
=
→
lim
. Với C là hằng số .
•
nn
ax
ax =
→
lim
Bài 1
: Tính các giới hạn sau :
a) )3(lim
2
+
→
x
x
, b) )523(lim
34
1
+−+
→
xxx
x
, c)
6
3
23
lim
3
2
0
+
++
→
x
xx
x
,
6
5
23
lim
3
1
+
+
−→
x
x
x
.
Bài 2: Tính các giới hạn sau :
3
2 2 2 2
2 2 2
3
x - x x -
8x -3x+7 (x -5x+7)(4x-1) 2x -1 - x
a) lim b) lim c) lim
3x + x + 2 (3x + 2)
27x + x - 3
x
→ ∞ →+∞ → ∞
−
Bài 2 : Giới Hạn Một Bên
1
.ðịnh nghĩa
:
a) Giới hạn bên phải : cho hàm số f(x) xác ñịnh trên (
0
x
; b) .
0
0 0n n
lim ( ) x ( ; ), limx lim ( )
n
x x
f x L x b x f x L
+
→
= ⇔ ∀ ∈ = ⇒ =
b) Giới hạn bên trái : cho hàm số f(x) xác ñịnh trên (a;
0
x
) . Ta có :
0
0 0n n
lim ( ) x ( ; ), limx lim ( )
n
x x
f x L a x x f x L
−
→
= ⇔ ∀ ∈ = ⇒ =
2. ðịnh lý
: ðiều kiện cần và ñủ ñể hàm số f(x) có giới hạn bằng L là giới hạn bên phải bằng giới hạn
bên trái và bằng L .
Ta có : Lxf
ax
=
→
)(lim
⇔
=
+
→
)(lim xf
ax
Lxf
ax
=
−
→
)(lim .
3. Một số kết quả :
2 2 1
0 0 0
1 1 1
lim (k Z) , lim , lim
k k k
x x x
x x x
= − −
+
→ → →
= +∞ ∈ = +∞ = −∞
Ví dụ 1: Tìm giới hạn một bên của hàm số sau
2 2
6 3
6 2 3 2 6
1
5 9
+ - + -
x 1 x x x 1
| |
1.lim x - 1 2. lim 3. lim 4. lim
x x x x x
x
x x x
→ → → →
− − + −
−
+ −
Ví dụ 2: Tìm giới hạn một bên của hàm số sau : f(x)=
>
−
+
≤−
1,
7
5
1,13
2
x
x
x
xx
Bài tập
1. Tìm giới hạn của hàm số sau
2 2 2
2
2 2
5 1 2 1 5
4 3 1 6 8 6 5 5
1
1
6 5
5
5 6
- - -
x x x x x
. lim 2. lim 3. lim 4. lim 5. lim
| |
x x x x x x x x
x
x x
x
x x x x
− −
→ → → → →
+ − − − + − + −
−
− +
−
− + −
2. Tìm giới hạn của hàm số sau
2 2
2
4 5
5 5 5
4 3 3 1
1 1 3 2
3
- - -
2 2
x x x
1
.lim b. lim c. lim
| | x x
x x x x
a
x x
x x
→ → →
− + −
−
− − − +
−
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
3
3. Cho hàm số : f(x) =
>
−
+
≤++
1,
7
1,52
2
x
x
mx
xxx
Tìm m ñể hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới 1 và tìm giới hạn ñó .
Bài 3 : Khử Các Dạng Vô ðịnh
Các dạng vô ñịnh :
Khi tính giới hạn của hàm số ta gặp các giới hạn sau : ∞×∞−∞
∞
∞
0,,,
0
0
gọi là dạng vô ñịnh . Khi
ñó ta không sử dụng ñược các ñịnh lý về giới hạn và cũng không biết giới hạn này là bao nhiêu .ðể
tính ñược các giới hạn ta phải khử các dạng vô ñịnh trên .
Vấn ñề 1 : Khử Dạng Vô ðịnh
0
0
.
Phương pháp : Giả sử
)(
)(
lim
xg
xf
ax
→
có dạng
0
0
. Ta khử dạng này như sau :
• Phân tích f(x) = (x-a)f
1
(x) và g(x) = (x-a)g
1
(x) .
• Khi ñó :
)(
)(
lim
xg
xf
ax
→
=
)(
)(
lim
1
1
xg
xf
ax→
, sau ñó tính bình thường .
Bài Tập
Bài 1 : Tìm các giới hạn sau :
a)
2
4
lim
2
2
−
−
→
x
x
x
b)
8
4
lim
3
2
2
−
−
→
x
x
x
c)
7
5
2
34
lim
2
2
1
−
−
++
−→
x
x
xx
x
d)
372
156
lim
2
2
2
1
+−
+−
→
xx
xx
x
Bài 2 : Tìm các giới hạn sau :
a)
x
x
xx
x
2
42
lim
2
3
2
+
+−
−→
b)
6
293
lim
3
23
2
−
−
−−+
→
x
x
xxx
x
c)
9
8
935
lim
24
23
3
−
−
++−
→
x
x
xxx
x
Bài 3: Tìm các giới hạn sau
a)
1
23
lim
2
1
−
−+
→
x
x
x
b)
314
2
lim
2
−+
+−
→
x
xx
x
c)
1
26
lim
2
3
2
−
−+
→
x
x
x
d)
2
3
7118
lim
2
3
3
+
−
+−+
→
x
x
xx
x
e)
x
xx
x
341
lim
0
−+++
→
Vấn ñề 2: Khử Dạng Vô ðịnh
∞
∞
Phương pháp : Giả sử
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
có dạng
∞
∞
. Ta khử dạng này như sau :
• Chia cả tử và mẫu cho x
k
là số hạng có số mũ lớn nhất của tử và mẫu.
Bài tập
Bài 4 : Tính các giới hạn sau :
a)
2
4
32
lim
3
+
+
+
∞→
x
x
x
x
b)
2
4
632
lim
3
4
+
+
++
∞→
x
x
xx
x
c)
2
5
310
lim
+
+
∞→
x
x
x
d)
2
4
7
1032
lim
2
2
+
+
++
∞→
x
x
xx
x
e)
2
4
)53)(32(
lim
3
2
+
+
++
∞→
x
x
xx
x
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
4
Vấn ñề 3: Khử Dạng Vô ðịnh
∞
−
∞
Giả sử lim f(x) =
+∞
và limg(x) =
+∞
thì lim[f(x) – g(x)] có dạng
∞
−
∞
Phương pháp : ðưa dạng
∞
−
∞
về dạng
∞
∞
Bài Tập
Bài 5 : Tính các giới hạn sau
a)
)1(lim
2
xx
x
−+
+∞→
, b)
)1(lim
2
xx
x
−+
−∞→
, c)
)4(lim
2
xxx
x
−−
∞→
d) )
1
2
1
1
(lim
2
1
−
−
−
→
x
x
x
e)
)
1
3
1
1
(lim
3
1
x
x
x
−
−
−
→
, f) )
1
3
2
1
(lim
32
1
−
−
−
+
→
x
x
x
x
Vấn ñề 4: Giới Hạn Hàm Số Lượng Giác
Phương pháp : Sử dụng ñịnh lý sau :
• ðịnh lý : 1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
.
• Hệ quả: Nếu 0)(lim =
→
xu
ax
thì 1
)(
)(sin
lim =
→
xu
xu
ax
.
Bài Tập
Bài 6 . Tính các giới hạn :
a)
x
x
x
2sin
lim
0→
b)
x
x
x
2
5sin
lim
0→
c)
x
x
x
5
sin
2sin
lim
0→
d)
2
0
2cos1
lim
x
x
x
−
→
e)
22
2
1
)1(
)1(sin
)1(lim
−
−
+
→
x
x
x
x
, f)
x
xx
x
3sin
cos3sin
lim
3
−
→
π
g)
1
sin
lim
0
−
→
x
x
x
π
Tổng Hợp Phương Pháp Khử Các Dạng Vô ðịnh
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Các dạng vô ñịnh:
1. Giới hạn của hàm số dạng:
(
)
( )
0
lim
0
x a
f x
g x
→
o
Nếu f(x) , g(x) là các hàm ña thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)
2
.
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
2. Giới hạn của hàm số dạng:
(
)
( )
lim
x
f x
g x
→∞
∞
∞
o
Chia tử và mẫu cho x
k
với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu
x
→ +∞
thì coi như x>0, nếu
x
→ −∞
thì coi như x<0 khi ñưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
3. Giới hạn của hàm số dạng:
(
)
(
)
(
)
lim . 0.
x
f x g x
→∞
∞
. Ta biến ñổi về dạng:
∞
∞
4. Giới hạn của hàm số dạng:
( ) ( ) ( )
lim -
x
f x g x
→∞
− ∞ ∞
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
5
o ðưa về dạng:
(
)
(
)
( ) ( )
lim
x
f x g x
f x g x
→∞
−
+
B. CÁC VÍ DỤ
1.
(
)
(
)
( )
2
2
2
2 3 2 2
3 2 12
lim 3
2 2 2 4
x
x x
x
→−
− − − +
− +
= = − = −
− − −
2.
(
)
(
)
( )
2
2 2 2
2 1
3 2
lim lim lim 1 2 1 1
2 2
x x x
x x
x x
x
x x
→ → →
− −
− +
= = − = − =
− −
.Chia tử và mẫu cho (x-2).
3.
(
)
(
)
(
)
( )( )( )
( )
(
)
( )
( )
2
3 3 3
1 2 1 2 3 3 1 4 3 3
1 2
lim lim lim
3 3
3 3 1 2 3 3 3 3 1 2
x x x
x x x x x
x
x
x x x x x
→ → →
+ − + + + + − +
+ −
= =
−
− + + + − + +
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
3 3
3 3 3 3 3 3.3 3
6 1
lim lim
12 2
3 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2
x x
x x x
x x x
→ →
− + + +
= = = = =
− + + + + + +
4.
2
3
3 1
lim
3
x
x x
x
→
− +
= ∞
−
(vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể:
2
3
2
3
3 1
lim
3
3 1
lim
3
x
x
x x
x
x x
x
+
−
→
→
− +
= +∞
−
− +
= −∞
−
5.
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
( )( )
2 2
3 2
2
3 2
1 1 1
1 2 1 2 1
2 1
lim lim lim
4 5 2 1 2
1 2
x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
→ → →
− + + + +
− −
= = = ∞
− + − − −
− −
.
6.
2
2
2 2
2
2
2
2
2 3 1 3
2
2 3 2
lim lim lim 2
1
1
1 1
1
x x x
x x
x x
x x x
x
x
x
x
→∞ →∞ →∞
− +
− +
− +
= = = =
+
+
+
7.
1
lim 1 0
x
x
+
→
− =
8.
2
2
2
1
1
1 1
lim lim lim 1 1
x x x
x
x
x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
= = + =
9.
2
2 2
2
1 1
1 1
1 1
lim lim lim lim 1 1
x x x x
x x
x
x x
x x x x
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
+ − +
+
= = = − + = −
.
10.
Cho hàm số :
( )
(
)
( )
2
3 x 1
x+a
x>1
x
x x
f x
− + ≤
=
. Tìm a ñể hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và
tìm giới hạn ñó.
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
6
Giải
Ta có :
(
)
(
)
2
1 1
lim lim 3 3
x x
f x x x
− −
→ →
= − + =
.
( )
1 1
lim lim 1
x x
x a
f x a
x
+ +
→ →
+
= = +
Vậy
(
)
1
lim 3 1 3 2
x
f x a a
→
= ⇔ + = ⇔ =
11.
(
)
(
)
( )
2
3
2
2 2 2
2 2 4
8
lim lim lim 2 4 12
2 2
x x x
x x x
x
x x
x x
→ → →
− + +
−
= = + + =
− −
. Dạng
0
0
.
12.
3
3
3 2 3
3
3
3
3
2 1 2 1
1
2 1 1
lim lim lim
1
2 1
2 1 2
2
x x x
x x
x x
x x x
x
x
x
x
→∞ →∞ →∞
+ −
+ −
+ −
= = =
+
+
+
. Dạng
∞
∞
.
13.
( )
( )
(
)
2
2
2
2
3 3 3
3 3 3
2
2 3 1
2 3 1
2
lim 3 1 lim lim
. 1 . 1 . 1
x x x
x x
x x
x
x x
x x x x x x
x
→∞ →∞ →∞
− +
− +
− + = =
+ + +
2
3
3
1 1
2 3
6
lim 6
1
1
1
x
x x
x
→∞
− +
= = =
+
14.
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2
2 2
3 3
3
lim 3 lim lim
3 3
x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
+ + − + + +
+ + −
+ + − = =
+ + + + + +
2 2
2
3 3
1
3 1
lim lim lim
2
1 3
3 3
1 1
x x x
x
x
x x
x x x x x x
x x
x
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
+
= = = =
+ + + + + +
+ + +
. Dạng
(
)
∞ − ∞
Bài Tập Tính ðạo Hàm
Bài 1: Bằng ñịnh nghĩa, hãy tính ñạo hàm của hàm số: y =
2x 1
−
tại x
0
= 5
Giải: Tập xác ñịnh D =
1
x : x
2
≥
•
Với
∆
x là số gia của x
0
= 5 sao cho 5+
∆
x
∈
∆
thì
•
∆
y =
2(5 x) 1
+ ∆ −
-
10 1
−
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
7
• Ta có:
y
x
∆
∆
=
9 2 x 9
x
+ ∆ −
∆
Khi ñó: y’(5)=
x 0
y
lim
x
∆ →
∆
∆
=
(
)
(
)
( )
x 0
9 2 x 3 9 2 x 3
lim
x 9 2 x 3
∆ →
+ ∆ − + ∆ +
∆ + ∆ +
•
=
( )
x 0
9 2 x 9
lim
x 9 2 x 3
∆ →
+ ∆ −
∆ + ∆ +
=
( )
x 0
2
lim
9 2 x 3
∆ →
+ ∆ +
=
1
3
Bài 2 : Chứng minh hàm số
x
y
x 1
=
+
liên tục tại x
0
= 0, nhưng không có ñạo hàm tại ñiểm ñó.
HD: Chú ý ñịnh nghĩa:
x
=
x
,neáu x 0
-x ,neáu x<0
≥
Cho x
0
= 0 một số gia
∆
x
∆
y = f(x
0
+
∆
x) –f(x
0
) = f(
∆
x) –f(0) =
x
x 1
∆
∆ +
y
x
∆
∆
=
( )
x
x x 1
∆
∆ ∆ +
•
Khi
∆
x
→
0
+
( thì
∆
x > 0) Ta có:
x 0
y
lim
x
+
∆ →
∆
∆
=
( )
x 0
x
lim
x x 1
+
∆ →
∆
∆ ∆ +
=
( )
x 0
1
lim
x 1
+
∆ →
∆ +
=1
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =
2
x ,
,
− ≥
neáu x 0
x neáu x<0
a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0 b) Hàm số này có ñạo hàm tại ñiểm x = 0 hay không ? Tại sao?
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,n
,n
− ≥
2
eáu x 0
-x eáu x<0
không có ñạo hàm tại x = 0. Tại x = 2
hàm số ñó có ñạo hàm hay không ?
Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,
,
2
neáu x 0
(x+1) neáu x<0
− ≥
không có ñạo hàm tại x
0
= 0, nhưng liên
tục tại ñó.
HD:a) f(0) = (0-1)
2
= 1;
x 0
y
lim
x
+
∆ →
∆
∆
= -2;
x 0
y
lim
x
−
∆ →
∆
∆
= 2
⇒
x 0
y
lim
x
+
∆ →
∆
∆
≠
x 0
y
lim
x
−
∆ →
∆
∆
⇒
hàm số không có
ñạo hàm tại x
0
= 0
b) Vì
x 0
lim f (x)
+
∆ →
=1;
x 0
lim f (x)
−
∆ →
=1; f(0) = 1
⇒
x 0
lim f (x)
+
∆ →
=
x 0
lim f (x)
−
∆ →
= f(0) = 1
⇒
hàm số liên tục tại x
0
= 0
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =
cos x,
sin x
Neáu x 0
Neáu x<0
≥
−
a)
Chứng minh rằng hàm số không có ñạo hàm tại x = 0.
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
8
b) Tính ñạo hàm của f(x) tại x =
4
π
HD:a) Vì
x 0
lim f (x)
+
→
=
x 0
lim cos x
+
→
=1 và
x 0
lim f (x)
−
→
=
x 0
lim ( sin x)
−
→
−
= 0; f(0) = cos0 = 1
⇒
x 0
lim f (x)
+
→
≠
x 0
lim f (x)
−
→
⇒
hàm số không liên tục tại x
0
= 0 (hàm số gián ñoạn tại x
0
= 0)
Bài 7: Tính ñạo hàm các hàm số sau:
1. y = (
2
x
-3x+3)(
2
x
+2x-1); ðs: y’ = 4x
3
-3x
2
– 8x+ 9
2.
y = (
3
x
-3x+2)(
4
x
+
2
x
-1); ðs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x
3. Tìm ñạo hàm của hàm số: y =
( )
2
3x x 1
x
+ −
Giải: y’ =
( )
2
3x ' x 1
x
+ −
+
( )
2
3x x 1 '
x
+ −
=
( )
2
2
3 x 1
x
− + −
=
2 1
3x
x
2 x
+
=
( )
2
2
3 x 1
x
− + −
+
1 3x
x x 2 x
+
3.
y =
( )
1
x 1 1
x
+ −
4.
y =
(
)
(
)
3
2
3
x 2 1 x 3x
+ + +
5.
y = (
2
x
-1)(
2
x
-4)(
2
x
-9); ðs: 6*x^5-56*x^3+98*x
6.
y = (1+
x
)(1+
2x
)(1+
3x
)
7.
y =
1 x
1 2x
+
+
8.
y =
3
3
1 2x
1 2x
−
+
9.
y =
x 1
x 1
+
−
; ðs:-
3
1
(x 1)(x 1)
+ −
10.
y =
2
2
1 x
1 x
−
+
; ðs:-
2 2 3
2x
(1 x )(1 x )
− +
11.
y = cos
2
1 x
1 x
−
+
; ðs:
2
1 1 x
sin 2
x(1 x) 1 x
−
+ +
12.
y = (1+sin
2
x)
4
; ðs:
2 3
(1 sin x) sin 2x
+
13.
y =sin
2
(cos3x); ðs: -3sin(2cos3x)sin3x
14.
y =
sin x cos x
sin x cos x
−
+
; ðs:
2
2
(sin x cos x)
+
15.
y =
2
sin 3x
sin x.cos x
518) y = f(x) =
x
1 cos x
−
; y’ =
( )
2
1 cos x x sin x
1 cos x
− −
−
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
9
519) y = f(x) =
tan x
x
; y’ =
2 2
x sin xcos x
x cos x
−
522) y = f(x) =
sin x
1 cos x
+
; y’ =
1
1 cos x
+
523) y = f(x) =
x
sin x cos x
+
; y’ =
sin x cos x x(sin x cos x)
1 sin 2x
+ + −
+
526) y = f(x) =
4
1
tan x
4
; y’ = tan
3
x.
2
1
cos x
527) y = f(x) = cosx
3
1
cos x
3
− ; y’ = -sin
3
x
528) y = f(x) = 3sin
2
x –sin
3
x; y’ =
3
sin 2x(2 sin x)
2
−
529) y = f(x) =
1
3
tan
3
x –tanx + x; y’ = tan
4
x
535) y = f(x) = tan
x 1
2
+
; y’ =
2
1
x 1
2cos
2
+
539) y = f(x) = cos
3
4x; y’ = -12cos
2
4x.sin4x
544) y = f(x) =
1
1 tan x
x
+ +
; y’ =
2
2 2
x 1
1 1
2x cos x 1 tan x
x x
−
+ + +
672) y = f(x) = 3cos
2
x –cos
3
x; y’ =
3
2
sin2x(cosx-2)
682) y = f(x) =
2
2sin x
cos 2x
; y’ =
2
2sin 2x
cos 2x
684) y = f(x) =
x x
tan cot
2 2
x
+
; y’ =
2 2
2(x cos x sin x)
x sin x
+
−
685) y = f(x) =
2
x x
sin cot
3 2
; y’ =
1 x 2x
cot sin
3 2 3
2
1 x
sin
2 2
− ….
689) y = f(x) =
2 4
1 tan x tan x
+ +
; y’ =
2
2 2 4
tan x(1 2tan x)
cos x 1 tan x tan x
+
+ +
694) y = f(x) =
6 8
1 1
sin 3x sin 3x
18 24
− ; y’ = sin
5
3xcos
3
3x
705) y = f(x) = cosx.
(
)
2
1 sin x
+ ; y’ =
3
2
2sin x
1 sin x
−
+
706) y = f(x) = 0.4
2
2x 1
cos sin 0.8x
2
+
−
; y’ = -0.8
2x 1
cos sin 0.8x
2
+
−
2x 1
sin cos0.8x
2
+
+
713) y = f(x) =
2
1
1 sin x
+
; y’ =
( )
3
2
sin 2x
2 1 sin x
−
+
721) y = f(x) = sin
2
x.sinx
2
; y’ =2sinx(xsinx.cosx
2
+cosx.sinx
2
)
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
10
722) y = f(x) =
2cos x
cos 2x
; y’ =
2sin x
cos 2x cos 2x
BÀI TẬP ðẠO HÀM BỔ SUNG
Bài 1.
Tìm ñạo hàm của hàm số:
y =
x
cot2x Giải: y’ = (
x
)cot2x+
x
(cot2x)’ =
1
2 x
cot2x
2
2 x
sin 2x
−
Bài 2
. Tìm ñạo hàm của hàm số: y = 3sin
2
xcosx+cos
2
x
y’ = 2(sin
2
x)’cosx+3(sin
2
x)(cosx)’+(cos
2
x)’
= 6sinxcos
2
x-3sin
3
x-2cosxsinx =sinx(6cos
2
x-3sin
2
x-2cosx)
Bài 3.
Cho hàm số : y =
2
x
x x 1
+ +
Tìm TXð và tính ñạo hàm của hàm số ? TXð: D = R
y’ =
2
2
2
2x 1
x x 1 x.
2 x x 1
x x 1
+
+ + −
+ +
+ +
=
( )
2
3
2
2(x x 1) x(2x 1)
x x 1
+ + − +
+ +
=…
Bài 4:
Chứng minh rằng các hàm số sau có ñạo hàm không phụ thuộc x:
a) y = sin
6
x + cos
6
x +3sin
2
xcos
2
x;
HD:
Cách 1:
y = (sin
2
x)
3
+(cos
2
x)
3
+3sin
2
xcos
2
x= (sin
2
x+cos
2
x)(sin
4
x-sin
2
xcos
2
x+cos
4
x) +3sin
2
xcos
2
x
= [(sin
2
x)
2
+[(cos
2
x)
2
+2sin
2
xcos
2
x-3sin
2
xcos
2
x] +3sin
2
xcos
2
x
=[(sin
2
x+cos
2
x)
2
-3sin
2
xcos
2
x] +3sin
2
xcos
2
x
= 1
⇒
y’ = 0 (ñpcm)
Cách 2:
y’ = 6sin
5
x.(sinx)’ +6cos
5
x.(cosx)’+3[(sin
2
x)’.cos
2
x+sin
2
x(cos
2
x)’]
= 6sin
5
x.cosx -6cos
5
x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos
2
x+sin
2
x.2cosx.(cosx)’]
= 6sinx.cosx(sin
4
x-cos
4
x) + 3[2sinx.cosx. cos
2
x-sin
2
x.2cosx.sinx]
= 6sinx.cosx(sin
4
x-cos
4
x) + 6sinx.cosx(cos
2
x – sin
2
x)
b) y = cos
2
x
3
π
−
+cos
2
x
3
π
+
+cos
2
2
x
3
π
−
+cos
2
2
x
3
π
−
-2sin
2
x.
Bài 5:
Cho hàm số y = f(x) = 2cos
2
(4x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)
Bài :
Cho hàm số y = f(x) = 3cos
2
(6x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)
Bài 6:
Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình :
a) y =
2
2x x
−
; y
3
y"+1 = 0. b) y = e
4x
+2e
-x
; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e
2x
sin5x; y"-4y'+29y = 0
d) y =
3
x
[cos(lnx)+sin(lnx)];
2
x
y"-5xy'+10y = 0. e) y =
(
)
2
2
x x 1
+ + ; (1+
2
x
)y"+xy'-4y = 0
Bài 7:
Cho hàm số
y= f(x) = 2x
2
+ 16 cosx – cos2x.
1/. Tính f’(x) và f”(x), từ ñó tính f’(0) và f”(
π
). 2/. Giải phương trình f”(x) = 0.
Bài 8:
Cho hàm số y = f(x) =
x 1
2
−
cos
2
x
a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
11
Bài 9:
Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng:
f(x) = 3x+
60
x
3
64
x
− +5; b) f(x) =
sin 3x
3
+cosx-
3
cos3x
sin x
3
+
Giải:
f’(x) = 3
2
60
x
− +
2
6
64.3x
x
== 3
2
60
x
− +
4
64.3
x
== 3
2 4
20 64
1
x x
− +
f’(x) = 0
⇔
2 4
20 64
1
x x
− +
= 0
⇔
x
4
-20x
2
+64 = 0 (x
≠
0)
⇔
…
{
}
2; 4
± ±
Phương Trình Lượng Giác
A. CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ
1. Công thức cơ bản
1 sin 1
x
≤ ≤
1 cos 1
x
≤ ≤
sin(
α + k2π) = sinα; cos(α + k2π) = cosα;
tan(α +kπ) = tanα; cot(α + kπ) = cotα
* Hàm số
sin
y x
=
có TXð:
D
=
¡
;
TGT:
[
]
1;1
−
;
Tuần hoàn với chu kì:
2
T
π
=
là hàm số lẻ
* Hàm số
cos
y x
=
có TXð:
D
=
¡
;
TGT:
[
]
1;1
−
;
Tuần hoàn với chu kì:
2
T
π
=
; là hàm số chẵn
* Hàm số
tan
y x
=
có TXð:
\ ;
2
D k k
π
π
= + ∈
¡ ¢
;
TGT:
¡
;
Tuần hoàn với chu kì: T
π
=
; là hàm số lẻ
* Hàm số
cos
y x
=
có TXð:
{
}
\ ;
D k k
π
= ∈
¡ ¢
;
TGT:
¡
;
Tuần hoàn với chu kì: T
π
=
; là hàm số lẻ
Giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt:
(
)
0 0
o
(
)
30
6
o
π
( )
45
4
o
π
( )
60
3
o
π
( )
90
2
o
π
(
)
2
120
3
o
π
(
)
3
135
4
o
π
(
5
150
6
o
π
(
)
180
o
π
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
α
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
3
2
−
-1
tan
α
0
1
3
1
3
3
−
-1
1
3
−
0
cot
α
3
1
1
3
0
1
3
−
-1
3
−
Góc
Hàm
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
12
2. Các hằng ñẳng thức lượng giác cơ bản
2 2
sin cos 1
α α
+ =
tan .cot 1
α α
=
2
2
1
1 tan
cos
α
α
= +
2
2
1
1 cot
sin
α
α
= +
3. Các công thức có liên quan ñặc biệt
a. Cung ñối nhau
sin(-
α
) = - sin
α
cos(-
α
) = cos
α
tan(-
α
) = - tan
α
cot(-
α
) = -cot
α
b. Cung bù nhau
sin(
π
-
α
) = sin
α
cos(
π
-
α
) = - cos
α
tan(
π
-
α
) = - tan
α
cot(
π
-
α
) = - cot
α
c. Cung phụ nhau
sin cos
2
π
α α
− =
cos sin
2
π
α α
− =
tan cot
2
π
α α
− =
cot tan
2
π
α α
− =
d. Cung hơn kém
π
ππ
π
(
)
sin sin
π α α
+ = −
(
)
cos cos
π α α
+ = −
(
)
tan tan
π α α
+ =
(
)
cot cot
π α α
+ =
e. Cung hơn kém
2
π
sin cos
2
π
α α
+ =
cos sin
2
π
α α
+ = −
tan cot
2
π
α α
+ = −
cot tan
2
π
α α
+ = −
3. Công thức cộng
(
)
cos cos cos sin sin
a b a b a b
+ = −
(
)
cos cos cos sin sin
a b a b a b
− = +
(
)
sin sin cos cos sin
a b a b a b
+ = +
(
)
sin sin cos cos sin
a b a b a b
− = −
4. Công thức nhân ñôi
sin 2 2sin cos
x x x
=
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
x x x x x
= − = − = −
2
2 tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−
5. Công thức hạ bậc
2
1 cos 2
sin
2
x
x
−
=
2
1 cos 2
cos
2
x
x
+
=
6. Công thức nhân ba
3
sin 3 3sin 4sin
x x x
= −
3
cos3 4cos 3cos
x x x
= −
(
)
2
2
3 tan tan
tan 3
1 3tan
x x
x
x
−
=
−
7. Công thức biến ñổi tích thành tổng
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
13
( ) ( )
1
cos .cos cos cos
2
x y x y x y
= − + +
( ) ( )
1
sin .sin cos cos
2
x y x y x y
= − − +
( ) ( )
1
sin .cos sin sin
2
x y x y x y
= − + +
8. Công thức biến ñổi tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
(
)
sin
tan tan
cos cos
x y
x y
x y
+
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− = −
(
)
sin
tan tan
cos cos
x y
x y
x y
−
− =
sin sin 2sin .cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
(
)
sin
cot t
sin sin
x y
x co y
x y
−
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− =
(
)
sin
cot t
sin sin
y x
x co y
x y
−
− =
9. Công thức rút gọn: asin x + bcos x
( ) ( )
2 2 2 2
sin cos .sin .cos
a x b x a b x a b x
α α
+ = + + = + −
( ) ( )
2 2 2 2
sin cos .sin .cos
a x b x a b x a b x
α α
− = + − = − + +
ðặc biệt:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
+ = + = −
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
− = − = − +
Mở rộng:
2
cot tan
sin 2
x x
x
+ =
cot tan 2cot 2
x x x
− =
10. Công thức tình sin
α
αα
α
; cos
α
αα
α
; tan
α
αα
α
theo
tan
2
α
ðặt
tan
2
t
α
=
ta có:
2
2
sin
1
t
t
α
=
+
2
2
1
cos
1
t
t
α
−
=
+
2
2
tan
1
t
t
α
=
−
B PHẦN BÀI TẬP
I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
Các dạng bài tập cơ bản
1. Dạng 1: Tìm TXð của hàm số lượng giác
* Phương pháp giải: Sử dụng tính chất:
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
14
- Các hàm số
sin , cos
y x y x
= =
xác ñịnh với mọi x
∈
¡
- Hàm số:
tan
y x
=
xác ñịnh với mọi ,
2
x k k
π
π
≠ + ∈
¢
- Hàm số:
cot
y x
=
xác ñịnh với mọi ,x k k
π
≠ ∈
¢
Ví dụ: Tìm TXð của hàm số:
1
sin
4
y
x
π
=
−
Lời giải:
Hàm số có nghĩa
sin 0 ,
4 4 4
x x k x k k
π π π
π π
⇔ − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ + ∈
¢
Vậy TXð của hàm số là:
\ ,
4
D k k
π
π
= + ∈
¡ ¢
Ví dụ 2: Tìm TXð của hàm số:
sin cos
cot 1
x x
y
x
+
=
−
Lời giải:
Hàm số xác ñịnh khi: ,
cot 1
4
x k
x k
k
x
x k
π
π
π
π
≠
≠
⇔ ∈
≠
≠ +
¢
Vậy TXð của hàm số là:
\ | ,
4
D x x k x k k
π
π π
= = + = ∈
¡ ¢
vµ
Bài 1: Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau:
1)
1
2cos 1
y
x
=
−
2)
tan
2
x
y = 3)
2
sin
2
x
y
x
=
−
4)
cot 2
y x
=
5)
2
1
cos
1
y
x
=
−
6)
cos 1
y x
= +
2.Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
(
)
y f x
=
:
ðịnh nghĩa:
Cho hàm số
(
)
y f x
=
có TXD là: D
* Hàm số
(
)
f x
chẵn
( ) ( )
x D x D
f x
∀ ∈ ⇒ − ∈
⇔
=
(D lµ tËp ®èi xøng)
f -x
* Hàm số
(
)
f x
lẻ
( ) ( )
x D x D
f x
∀ ∈ ⇒ − ∈
⇔
= −
(D lµ tËp ®èi xøng)
f -x
* Phương pháp giải:
Bước 1:
Tìm TXð D của hàm số
Nếu D không là tập ñối xứng thì ta kết luận ngay hàm số
(
)
y f x
=
không chẵn, không
lẻ.
Nếu D là tập ñối xứng ta thực hiện tiếp bước 2:
Bước 2:
Với mọi
x D
∈
, nếu
Nếu
(
)
(
)
f x f x
− =
thì hàm số
(
)
y f x
=
là hàm chẵn.
Nếu
(
)
(
)
f x f x
− = −
thì hàm số
(
)
y f x
=
là hàm lẻ.
Nếu
(
)
(
)
f x f x
− ≠ ±
thì hàm số
(
)
y f x
=
là hàm không chẵn, không lẻ.
Lưu ý tính chất:
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
15
*
(
)
:sin sin
x x x
∀ ∈ − = −
¡
*
(
)
: cos cos
x x x
∀ ∈ − =
¡
*
( )
\ , : tan tan
2
x k k x x
π
π
∀ ∈ + ∈ − = −
¡ ¢
*
{
}
(
)
\ , :cot cot
x k k x x
π
∀ ∈ ∈ − = −
¡ ¢
Ví dụ:
Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
sin 3
y x
=
Lời giải:
TXð:
D
=
¡
là tập ñối xứng
x x
∀ ∈ ⇒ − ∈
¡ ¡
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
sin 3 sin 3 sin 3
f x x x x f x
− = − = − = − = −
Vậy hàm số là hàm số lẻ.
Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
1)
sin 2
y x
=
2)
cos3
y x
=
3)
tan 2
y x
=
4)
sin
y x x
=
5)
1 cos
y x
= − 6)
sin
y x x
= −
3. Dạng 3: Tìm chu kì của hàm số lượng giác:
* Phương pháp giải:
Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến ñổi biểu thức của hàm số ñã cho
về một biểu thức tối giản và lưu ý rằng:
1) Hàm số
sin , cos
y x y x
= =
có chu kì
2
T
π
=
2) Hàm số
tan , cot
y x y x
= =
có chu kì
T
π
=
.
3) Hàm số
(
)
(
)
sin , cos
y ax b y ax b
= + = +
với
0
a
≠
có chu kì
2
T
a
π
=
4) Hàm số
(
)
(
)
tan , cot
y ax b y ax b
= + = +
với
0
a
≠
có chu kì
T
a
π
=
5) Hàm số
1
f
có chu kì
1
T
, hàm số
2
f
có chu kì
2
T
thì hàm số
1 2
f f f
= +
có chu kì
(
)
1 2
,
T BCNN T T
=
Ví dụ:
Tìm chu kì của hàm số
3 1
cos 2
2 2
y x
= +
Lời giải
Hàm số
3 1
cos 2
2 2
y x
= + có chu kì là
2
2
T
π
π
= =
Bài 3: Tìm chu kì của các hàm số sau:
1)
2cos 2
y x
=
2)
sin 2 2cos3
y x x
= +
* Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Phương pháp:
Dựa vào TGT của các hàm số lượng giác
Chú ý:
* Hàm số
sin , cos
y x y x
= =
có TGT là:
[
]
1;1
−
* Hàm số
tan , cot
y x y x
= =
có TGT là:
¡
Ví dụ:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
3 1 cos
y x
= − −
Lời giải:
Ta có
1 cos 1 0 1 cos 2 0 1 cos 2 0 1 cos 2
x x x x
− ≤ ≤ ⇒ ≤ − ≤ ⇒ ≤ − ≤ ⇒ ≥ − − ≥ −
3 3 1 cos 3 2
x
≥ − − ≥ −
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
16
Vậy
3
Maxy
=
ñạt ñược cos 1 2 ,
x x k k
π
⇔ = ⇔ = ∈
¢
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1)
3 2 sin
y x
= −
2)
cos cos
3
y x x
π
= + −
3)
2
cos 2cos2
y x x
= + 3)
2cos 1
y x
= +
5)
2 sin
y x
= −
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản
* Dạng 1:
sin
x a
=
(
)
1
a
≤
nghiệm tổng quát:
arcsin 2
;
arcsin 2
x a k
k
x a k
π
π π
= +
∈
= − +
¢
ðặc biệt:
2
sin sin ;
2
x k
x k
x k
α π
α
π α π
= +
= ⇔ ∈
= − +
¢
Tổng quát:
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
sin sin ;
2
f x g x k
f x g x k
f x g x k
π
π π
= +
= ⇔ ∈
= − +
¢
* Dạng 2:
cos
x a
=
(
)
1
a
≤
nghiệm tổng quát: arccos 2 ;
x a k k
π
= ± + ∈
¢
ðặc biệt: cos cos 2 ;
x x k k
α α π
= ⇔ = ± + ∈
¢
Tổng quát:
(
)
(
)
(
)
(
)
cos cos 2 ;
f x g x f x g x k k
π
= ⇔ = ± + ∈
¢
* Dạng 3:
tan
x a
=
;
2
x k k
π
π
≠ + ∈
¢
nghiệm tổng quát: ;
x k k
α π
= + ∈
¢
ðặc biệt: tan tan ;
x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈
¢
Tổng quát:
(
)
(
)
(
)
(
)
tan tan ;
f x g x f x g x k k
π
= ⇔ = + ∈
¢
* Dạng 4:
cot
x a
=
(
)
;
x k k
π
≠ ∈
¢
nghiệm tổng quát: ;
x k k
α π
= + ∈
¢
ðặc biệt: cot cot ;
x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈
¢
Tổng quát:
(
)
(
)
(
)
(
)
cot cot ;
f x g x f x g x k k
π
= ⇔ = + ∈
¢
Ví dụ minh hoạ:
Giải các phương trình sau:
1)
1
cos 2
2
x
=
2)
sin 3 cos 2
x x
=
3)
cos 2 sin 0
4 4
x x
π π
− + + =
4)
tan 3 cot
x x
=
5)
1
cot
4
3
x
π
− =
6)
cos 3 sin
x x
=
Lời giải
1) Ta có
2 2
1
3 6
cos2 cos 2 cos ,
2 3
2 2
3 6
x k x k
x x k
x k x k
π π
π π
π
π π
π π
= + = +
= ⇔ = ⇔ ⇔ ∈
= − + = − +
¢
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
2) Ta có:
3 2 2
2
sin 3 cos 2 sin 3 sin 2
2
3 2 2
2
x x k
x x x x
x x k
π
π
π
π
π π
= − +
= ⇔ = − ⇔
= − − +
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
17
2
10 5
,
2
2
k
x
k
x k
π π
π
π
= +
⇔ ∈
= +
¢
3) Ta có:
cos 2 sin 0 cos 2 sin
4 4 4 4
x x x x
π π π π
− + + = ⇔ − = − +
2 2
4 4
cos 2 cos
4 4 2
2 2
4 4
x x k
x x
x x k
π π
π
π π π
π π
π
3
− = + +
⇔ − = + + ⇔
3
− = − − +
2
,
2
6 3
x k
k
k
x
π π
π π
= +
⇔ ∈
= − +
¢
4) ðiều kiện:
cos3 0
3
,
6 32
sin 0
k
x
xx k
k
x
x k
x k
π ππ
π
π
π
≠
≠ +≠ +
⇔ ⇔ ∈
≠
≠
≠
¢
Ta có:
tan 3 cot tan 3 tan 3 ,
2 2 8 4
k
x x x x x x k x k
π π π π
π
= ⇔ = − ⇔ = − + ⇔ = + ∈
¢
Ta thấy nghiệm trên thoả mãn ñiều kiện. Vậy phương trình có một họ nghiệm.
5) ðiều kiện:
sin 0 ,
4 4 4
x x k x k k
π π π
π π
− ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ − ∈
¢
(*)
Ta có:
1
cot cot cot ,
4 4 3 4 3 12
3
x x x k x k k
π π π π π π
π π
− = ⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = − − ∈
¢
thoả mãn ñiều
kiện (*).
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
6) Ta có:
cos 3 sin cot 3 cot ,
6 6
x x x x k k
π π
π
= ⇔ = = ⇔ = + ∈
¢
Vậy phương trình có một họ nghiệm
Bài tập tương tự: giải các phương trình sau:
1)
2 cos2 1 0
x
− =
2)
sin cos3
x x
=
3)
cos sin 3 0
3 4
x x
π π
+ + + =
4)
tan 2 cot
4
x x
π
= +
5)
sin 3 cos
x x
= 6)
2
tan 2 3 0
3
x
π
− − =
2. Phương trình bậc hai ñối với một hàm số lượng giác.
* ðịnh nghĩa:
Là phương trình có dạng
(
)
2
0 0
at bt c a
+ + = ≠
trong ñó t là một trong bốn hàm số lượng
giác:
sin ,cos , tan ,cot
x x x x
* Cách giải:
Bước 1: ðặt t bằng hàm số lượng giác có trong phương trình;
Bước 2: ðặt ñiều kiện với ẩn phụ t;
Bước 3: Giải phương trình tìm t (thoả mãn ñiều kiện);
Bước 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phương trình lượng giác cơ bản ⇒ nghiệm x
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
18
Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau:
1)
2
2cos 5cos 3 0
x x
− + =
2)
2
1 5sin 2cos 0
x x
− + =
3)
2
3 cot 4cot 3 0
x x
− + =
4)
2
3
4 tan 2 0
cos
x
x
− − =
Lời giải
1) ðặt
cos
t x
=
, ñiều kiện:
1
t
≤
Ta có phương trình trở thành:
2
1
2 5 3 0
3
1
2
t
t t
t
=
− + = ⇔
= >
(lo¹i)
Vậy t = 1 ⇒ cos 1 2 ,x x k k
π
= ⇔ = ∈
¢
Phương trình có một họ nghiệm
2) Ta có:
(
)
2 2 2
1 5sin 2cos 0 1 5sin 2 1 sin 0 2sin 5sin 3 0
x x x x x x
− + = ⇔ − + − = ⇔ + − =
sin 3
2
1
6
sin ,
1
5
2
sin
2
2
6
x
x k
x k
x
x k
π
π
π
π
= −
= +
⇔ ⇔ = ⇔ ∈
=
= +
¢
(lo¹i)
(
Chú ý: ta có thể không cần ñặt ẩn phụ mà coi hàm số lượng giác như là một ẩn như ví dụ
này)
3) ðiều kiện: sin 0 ,x x k k
π
≠ ⇔ ≠ ∈
¢
ðặt
cot
x t
=
, khi ñó phương trình trở thành:
2
3 cot 3
6
3 4 3 0 ,
1 1
cot
3 3
3
t x x k
t t k
t x
x k
π
π
π
π
= = = +
− + = ⇔ ⇔ ⇔ ∈
= =
= +
¢
Ta thấy hai họ nghiệm ñều thoả mãn ñiều kiện. Vậy phương trình có hai họ nghiệm
4) ðiều kiện:
cos 0 ,
2
x x k k
π
π
≠ ⇔ ≠ + ∈
¢
Ta có:
( )
2 2
2
3
4 tan 2 0 3 1 tan 4 tan 2 0 3tan 4 tan 1 0
cos
x x x x x
x
− − = ⇔ + − − = ⇔ − + =
tan 1
tan tan
4
,
4
1
1
tan
tan tan
(tan )
3
3
x
x k
x
k
x
x
x k
π
π
π
α
α π α
=
= +
=
⇔ ⇔ ⇔ ∈
=
=
= + =
¢
Ta thấy cả hai họ nghiệm ñều thoả mãn ñiều kiện. Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Bài 1: Giải các phương trình sau
1)
2
cos2 sin 2cos 1 0
x x x
+ + + =
2)
cos2 5sin 2 0
x x
+ + =
Bài 2: (Các phương trình ñưa về phương trình bậc nhất, bậc hai). Giải các phương trình
1)
cos cos 2 1 sin sin 2
x x x x
= +
2)
4sin cos cos 2 1
x x x
= −
3)
sin 7 sin3 cos5
x x x
− =
4)
2 2
cos sin sin 3 cos 4
x x x x
− = +
5)
2
3
cos2 cos 2sin
2
x
x x− = 6)
1
sin sin 2 sin 3 sin 4
4
x x x x
=
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
19
7)
4 4 2
1
sin cos cos 2
2
x x x
+ = − 8)
2
3cos 2sin 2 0
x x
− + =
9)
6 6 2
sin cos 4cos 2
x x x
+ = 10)
2 tan 3cot 2 0
x x
− − =
11)
cos3 cos2 cos sin3 sin 2 sin
x x x x x x
+ + = + +
3. Phương trình bậc nhất ñối với sin x và cos x:
* Dạng phương trình:
sin cos ( , , 0)
a x b x c a b c
+ = ≠
(*)
* Cách giải:
Cách 1:
Chia hai vế của phương trình cho
2 2
a b
+
ta ñược phương trình:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
(**)
Vì:
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
+ =
+ +
Nên ta ñặt
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b
α
α
=
+
=
+
Khi ñó phương trình (**) trở thành:
2 2
sin cos cos sin
c
x x
a b
α α
+ =
+
( )
2 2
sin
c
x
a b
α
⇔ + =
+
là phương trình lượng giác cơ bản ñã biết cách giải!
Chú ý: ðiều kiện ñề phương trình có nghiệm là:
2 2 2
a b c
+ ≥
Cách 2: Chia hai vế cho a và ñặt tan
b
a
α
=
(Tự làm)
Cách 3: Sử dụng công thức tính
sin ,cos
x x
theo
tan
2
x
t = (tự làm)
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1)
sin 3 cos 1
x x
+ =
2)
5cos 2 12sin 2 13
x x
− =
Lời giải:
1) Ta có:
( )
2
2 2 2
1 3 2
a b
+ = + =
. Chia hai vế của phương trình cho 2 ta ñược phương trình:
1 3 1 1
sin cos sin cos cos sin sin sin
2 2 2 3 3 2 3 6
x x x x x
π π π π
+ = ⇔ + = ⇔ + =
2
2
3 6
6
,
2 2
3 6
2
x k
x k
k
x k x k
π π
π
π
π
π π π
π π π
+ = +
= − +
⇔ ⇔ ∈
+ = − + = +
¢
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
2) Ta có:
5cos 2 12sin 2 13 12sin 2 5cos 2 13
x x x x
− = ⇔ − + =
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
20
Có:
( )
2
2 2 2
12 5 169 13
a b
+ = − + = =
. Chia hai vế phương trình cho 13 ta ñược phương trình :
12 5
sin cos 1
13 13
x x
− + =
Vì
2 2
12 5
1
13 13
− + =
. ðặt
12 5
cos ; sin
13 13
α α
− = = ta ñược phương trình:
( )
sin cos cos sin 1 sin 1 2
2
x x x x k
π
α α α α π
+ = ⇔ + = ⇔ + = +
2 ,
2
x k k
π
α π
⇔ = − + ∈
¢
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau:
1)
3sin 4cos 1
x x
− =
2)
2sin 2cos 2
x x− =
3)
3sin 4cos 5
x x
+ =
4)
3 sin 3 cos3 2
x x+ =
4. Phương trình thuần nhất ñối với sin x và cos x:
* Dạng phương trình:
2 2
sin sin cos .cos 0
a x b x x c x
+ + =
(*)
* Cách giải:
Cách 1:
Bước 1: Nhận xét
cos 0
x
=
hay ,
2
x k k
π
π
= + ∈
¢
không là nghiệm của phương trình;
Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos 0
x
≠
ta ñược phương trình”
2
tan tan 0
a x b x c
+ + =
Bước 3: Giải phương trình ta ñược nghiệm của phương trình ñã cho.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc ñưa về phương trình trình bậc nhất ñối với sin 2x và cos 2x. (Học
sinh tự giải cách này)
Chú ý: Nếu phương trình có dạng tổng quát:
2 2
sin sin cos .cos ( 0)
a x b x x c x d d
+ + = ≠
(**)
Ta biến ñổi như sau: (**)
2 2 2 2
sin sin cos .cos (sin cos )
a x b x x c x d x x
⇔ + + = +
(
)
(
)
2 2
sin sin cos cos 0
a d x b x x c d x
⇔ − + + − =
.
ðây là phương trình có dạng (*)
Ví dụ: Giải các phương trình:
1)
2 2
2sin 5sin cos 3cos 0
x x x x
− + =
2)
2 2
2sin 5sin cos cos 2
x x x x
− − = −
Lời giải
1)
2 2
2sin 5sin cos 3cos 0
x x x x
− + =
Nhận xét: nếu
2
cos 0
0
Vt
x
Vp
=
= ⇒ ⇒
=
cos x = 0 không thoả mãn phương trình .
Chia cả hai vế cho
2
cos 0
x
≠
ta ñược phương trình:
2
tan 1
4
2 tan 5tan 3 0 ,
3
3
tan
arctan
2
2
x
x k
x x k
x
x k
π
π
π
=
= +
− + = ⇔ ⇔ ∈
=
= +
¢
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
21
2)
(
)
2 2 2 2 2 2
2sin 5sin cos cos 2 2sin 5sin cos cos 2 sin cos
x x x x x x x x x x
− − = − ⇔ − − = − +
2 2
4sin 5sin cos cos 0
x x x x
⇔ − + =
(*)
Nhận xét:
4
cos 0 cos 0
0
Vt
x x
Vp
=
= ⇒ ⇒ =
=
không thoả mãn phương trình.
Chia cả hai vế cho
2
cos 0
x
≠
ta ñược phương trình:
2
tan 1
4
4 tan 5tan 1 0 ,
1
1
tan
arctan
4
4
x
x k
x x k
x
x k
π
π
π
=
= +
⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈
=
= +
¢
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau
1)
2 2
4sin 3 3 sin 2 2cos 4
x x x
+ − =
2)
2 2
2sin 3cos 5sin cos
x x x x
+ =
3)
2
sin 3sin cos 1
x x x
− =
4)
2 2
cos 2sin cos 5sin 2
x x x x
+ + =
5)
2 2
2cos 3sin 2 sin 1
x x x
− + =
5. Phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx
* Dạng phương trình:
(
)
sin cos sin cos
a x x b x x c
+ + =
* Cách giải:
ðặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
π
= + = +
; ñiều kiện:
2
t ≤
2
2
1
1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−
⇒ = + ⇒ =
Phương trình trở thành:
( )
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c
−
+ = ⇔ + − + =
Giải phương trình trên tìm t thoả mãn ñiều kiện, với mỗi t ta có phương trình :
2 sin sin
4 4
2
t
x t x
π π
+ = ⇔ + =
ñã biết cách giải
Ví dụ: Giải phương trình :
(
)
3 sin cos 4sin cos 3 0
x x x x
+ + + =
Lời giải:
ðặt
sin cos 2 sin ;
4
t x x x
π
= + = +
ñiều kiện
2
t ≤
2
1
sin cos
2
t
x x
−
⇒ =
Khi ñó phương trình trở thành:
2
2
1 ( )
1
3 4 3 0 2 3 1 0
1
2
( )
2
t tm
t
t t t
t tm
= −
−
+ + = ⇔ + + = ⇔
= −
* Với
1
1 2 sin 1 sin sin
4 4 4
2
t x x
π π π
= − ⇔ + = − ⇔ + = − = −
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
22
2
2
4 4
,
2
2
2
4 4
x k
x k
k
x k
x k
π π
π
π
π
π π
π π
π π
+ = − +
= − +
⇔ ⇔ ∈
+ = − − +
= +
¢
* Với
1 1 1
2 sin sin
2 4 2 4
2 2
t x x
π π
= − ⇔ + = − ⇔ + = −
1 1
arcsin 2 arcsin 2
4 4
2 2 2 2
,
1 3 1
arcsin 2 arcsin 2
4 4
2 2 2 2
x k x k
k
x k x k
π π
π π
π π
π π π
+ = − + = − + − +
⇔ ⇔ ∈
+ = − − + = − − +
¢
Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.
Bài tập tự giải:
1)
sin cos 2sin cos 1 0
x x x x
+ − + =
2)
(
)
3 sin cos 4sin cos 0
x x x x
+ − =
6. Phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx
* Dạng phương trình:
(
)
sin cos sin cos
a x x b x x c
− + =
* Cách giải:
ðặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
π
= − = −
; ñiều kiện:
2
t ≤
2
2
1
1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−
⇒ = − ⇒ =
Phương trình trở thành:
( )
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c
−
+ = ⇔ − − − =
Giải phương trình trên tìm t thoả mãn ñiều kiện, với mỗi t ta có phương trình :
2 sin sin
4 4
2
t
x t x
π π
− = ⇔ − =
ñã biết cách giải
Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau:
1)
(
)
6 sin cos sin cos 6 0
x x x x
− + + =
2)
3 3
sin cos 1
x x
− =
3)
(
)
3 sin cos 4sin cos 3 0
x x x x
− − + =
4)
sin cos 4sin 2 1
x x x
− + =
6)
(
)
(
)
1 cos 1 sin 2
x x
+ + =
7)
(
)
3 sin cos 2sin cos 3 0
x x x x
+ + + =
Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian
A. CÁC VẤN ðỀ CHÍNH:
1. Véc tơ, các phép toán véc tơ trong không gian và ứng dụng.
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
23
2. Chứng minh vuông góc: ñường thẳng vuông góc với ñường thẳng, ñường thẳng vuông góc
với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc.
3. Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 ñường thẳng, góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng, góc
giữa 2 mặt phẳng.
4. Các bài toán tính khoảng cách: Từ 1 ñiểm ñến 1 ñường thẳng, ñến 1 mặt phẳng, khoảng
cách giữa 2 ñường thẳng chéo nhau.
5. Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiết diện.
B. BÀI TẬP:
Loại 1: Chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng, với ñường thẳng:
1.
Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B.
a)
Chứng minh BC
⊥
(SAB)
b)
Gọi AH là ñường cao của
∆
SAB. Chứng minh: AH
⊥
(SBC)
2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lượt là trung ñiểm AB, BC.
Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a.
SO
⊥
(ABCD)
b.
IJ
⊥
(SBD)
3. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA
⊥
(ABCD). Gọi H, I,
K lần lượt là hình chiếu vuông góc của ñiểm A lên SB, SC, SD.
a.
Chứng minh rằng: CD
⊥
(SAD), BD
⊥
(SAC)
b.
Chứng minh: SC
⊥
(AHK) và ñiểm I cũng thuộc (AHK)
c.
Chứng minh: HK
⊥
(SAC), từ ñó suy ra HK
⊥
AI
4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác ñều, gọi I là trung ñiểm BC
a.
Chứng minh: BC
⊥
(AID)
b.
Vẽ ñường cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH
⊥
(BCD)
5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC ñôi một vuông góc với nhau. Gọi H là ñiểm thuộc
mp(ABC) sao cho OH
⊥
(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC
⊥
(OAH)
b) H là trực tâm của
∆
ABC
c)
2222
1111
OC
OB
OA
OH
++=
6. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác ñều và SC
=
2
a
. Gọi H, K lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, AD.
a)
Chứng minh: SH
⊥
(ABCD)
b)
Chứng minh: AC
⊥
SK và CK
⊥
SD
7. Gọi I là 1 ñiểm bất kì nằm trong ñường tròn (O; R). CD là dây cung của ñường tròn (O) qua I.
Trên ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy ñiểm S với OS = R. Gọi E là
ñiểm ñối tâm của D trên (O). Chứng minh rằng:
a)
Tam giác SDE vuông ở S
b)
SD
⊥
CE c) Tam giác SCD vuông.
Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:
8.
Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với ñáy DBC. Vẽ các ñường cao
BE, DF của tam giác BCD; ñường cao DK của tam giác ACD
a)
Chứng minh: AB
⊥
(BCD)
b)
Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC)
c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD. CM: OH
⊥
(ADC)
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
24
9. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 60
0
, SA
⊥
(ABCD) và
SA =
6
a . Chứng minh:
a)
(SAC)
⊥
(ABCD) và (SAC)
⊥
(SBD)
b)
(SBC)
⊥
(SDC)
10. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a)
Chứng minh: SO
⊥
(ABCD); (SAC)
⊥
(SBD)
b)
Một mặt phẳng (
α
) ñi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
Chứng minh AC
’
⊥
B’D’ và 2 tam giác AB’C’ và AD’C’ ñối xứng với nhau qua mặt phẳng
(SAC)
11. Cho tam giác ñều ABC cạnh a, I là trung ñiểm của BC, D là ñiểm ñối xứng với A qua I. Dựng
ñoạn SD =
6
2
a
vuông góc với (ABC). Chứng minh:
a)
Mặt phẳng (SAB)
⊥
(SAC)
b)
Mặt phẳng (SBC)
⊥
(SAD)
12. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD =
2
3
a
. Trên ñường thẳng vuông góc
với (P) tại giao ñiểm của 2 ñường chéo của hình thoi lấy ñiểm S sao cho SB = a.
a)
Chứng minh tam giác ASC vuông
b)
Chứng minh: (SAB)
⊥
(SAD)
13. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ
giữa a, b, x, y ñể:
a)
(ABC)
⊥
(BCD)
b)
(ABC)
⊥
(ACD)
14. Cho
∆
ABC vuông tại A. Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với (ABC)
a)
(ABB’)
⊥
(ACC’)
b)
Gọi AH, AK là các ñường cao của các tam giác ABC và AB’C’. Chứng minh rằng hai mặt
phẳng (BCC
’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với (AHK)
Loại 3: Góc của 2 ñường thẳng:
15.
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA
vuông góc với AB và AD, SA =
2 3
3
a
. Tính góc của 2 ñường thẳng:
a)
SB và DC (30
0
)
b)
SD và BC (cos
α
=
42
14
)
16. Cho tứ diện ñều ABCD cạnh a, gọi I là trung ñiểm cạnh AD.
Tính góc giữa AB và CI (cos
α
=
3
6
)
17.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) Tính góc giữa: AB
’ và BC’; AC’ và CD’ (60
0
và 90
0
)
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm AB, BC, C
’D’. Hãy tính góc giữa: MN và C’D’; BD và
AD
’; MN và
α
; A’P và DN. (60
0
, 45
0
, 90
0
)
Loại 4: Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng:
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
25
18. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, SA =
6
a
vuông góc với ñáy. Tính góc
của:
a)
SC với (ABCD) (60
0
)
b)
SC với (SAB)
7
tan
7
α
=
c)
SB với (SAC)
14
sin
14
α
=
19. Cho hình vuông ABCD và tam giác ñều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là
trung ñiểm AB.
a)
Chứng minh SI
⊥
(ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD)
15
tan
5
α
=
b)
Tính khoảng cách từ B ñến (SAD). Suy ra góc của SC với (SAD)
3 6
;sin
2 4
a
α
=
c)
Gọi J là trung ñiểm CD, chứng tỏ (SIJ)
⊥
(ABCD).
Tính góc hợp bởi SI với (SDC)
2
tan
3
α
=
20. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với ñáy. Gọi M, N
lần lượt là trung ñiểm SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 60
0
a)
Tính MN, SO
10 30
;
2 2
a a
MN SO
= =
b)
Tính góc của MN với mặt phẳng(SBD)
2
sin
5
α
=
Loại 5: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng:
21.
Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc ñôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là trung
ñiểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (60
0
)
22. Cho hình chóp tam giác ñều có cạnh ñáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt ñáy (30
0
)
b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt ñáy
2
tan
3
α
=
23. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñáy ñều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và
mặt ñáy là 60
0
và hình chiếu H của ñỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung ñiểm của B’C’.
a) Tính khoảng cách giữa 2 mặt ñáy (3a/2)
b) Tính góc giữa 2 ñường thẳng: BC và AC
’ (tan
α
= 3)
c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABB
’A’) và mặt ñáy
(
)
tan 2 3
α
=
