KĨ THUẬT CASIO tìm HÌNH CHIẾU VUÔNG góc OXYZ

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

KĨ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN
TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
Sưu tầm : Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Ninh Giang, Hải Dương.
FB:

/>CASIO TRẮC NGHIỆM

HỌC CASIO FREE TẠI:

/> />
Group: THỦ THUẬT CASIO THPT />Phương pháp chung:

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một mặt phẳng
 Cho điểm M  x0 ; y0 ; z0  và mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0 thì hình chiếu vuông góc H của

M trên mặt phẳng  P  là giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng  P 


 là đường thẳng qua M và vuông góc với  P  (  nhận nP làm u )

2. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một đường thẳng


x  xN y  y N z  z N
thì hình chiếu vuông góc


a

b
c
của M lên đường thẳng d là điểm H thuộc d sao cho MH  ud  MH .ud  0
Cho điểm M  x0 ; y0 ; z0  và đường thẳng d :

3. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng đến một mặt phẳng
 Cho đường thẳng d và mặt phẳng  P  . Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d đến mặt phẳng




 P  là giao điểm của mặt phẳng   và mặt phẳng  P 
  là mặt phẳng đi chứa d và vuông góc với  P 
  nhận ud và nP là cặp vecto chỉ phương
  chứa mọi điểm nằm trong đường thẳng d

4. Lệnh Caso
 Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8
 Nhập thông số vecto MODE 8 1 1
 Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB
 Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB
 Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP
 Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP
 Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7
 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE
II) VÍ DỤ MINH HỌA


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
VD1-[Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh lần 1 năm 2017]

Cho mặt phẳng   : 3 x  2 y  z  6  0 và điểm A  2; 1;0  . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng

  có tọa độ
A.  2; 2;3

B. 1;1; 2 

C. 1;0;3 D.  1;1; 1
GIẢI



Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên    Đướng thẳng AH song song với vecto pháp

 x  2  3t

tuyến n  3; 2;1 của     AH  :  y  1  2t
z  t


 Tọa độ điểm A  2  3t ; 1  2t ;1  t 



(Phần này ta dễ dàng nhẩm được mà không cần nháp)
Để tìm t ta chỉ cần thiết lập điều kiện A thuọc   là xong

3(2+3Q))p2(p1p2Q))+Q)
+6qr1=

 t  1  H  1;1; 1
 Đáp số chính xác là D
VD2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]
Tìm tọa độ của điểm M ' đối xứng với điểm M  3;3;3 qua mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0

1 1 1
 1 1 1
B. M '   ;  ;  
3 3 3
 3 3 3
 7 7 7
7 7 7
C. M '   ;  ;   D. M '  ; ; 
 3 3 3
3 3 3
A. M '  ; ; 



GIẢI
Tương tự ví dụ 1 ta nhẩm được tọa độ hình chiếu vuông góc H của M lên  P  là



M  3  t;3  t;3  t 
Tính t bằng Casio.

3+Q)+3+Q)+3+Q)p1qr1=

8

3

1 1 1
3 3 3

Ta thu được t    H  ; ; 


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh


Ví A ' đối xứng với M qua H nên H là trung điểm của MM ' . Theo quy tắc trung điểm ta suy ra

 7
 3

7
3

7
3

được M '   ;  ;   .

 Đáp số chính xác là C
VD3-[Thi thử THPT Quảng Xương – Thanh Hóa lần 1 năm 2017]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

x  3 y 1 z 1
và điểm M 1; 2; 3 . Tọa



2
1
2

độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d là :
A. H 1; 2; 1 B. H 1; 2; 1 C. H  1; 2; 1 D. H 1; 2;1


GIẢI
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d .

x  3  t

Đường thẳng d có phương trình tham số  y  1  t  Tọa độ H  3  2t; 1  t;1  2t 
 z  1  2t


MH  d  MH .ud  0 với ud  2;1; 2 


Sử dụng máy tính Casio bấm :

2(3+2Q)p1)+(p1+Q)p2)+2
(1+2Q)pp3)qr1=

Khi đó t  1  H 1; 2; 1

 Đáp số chính xác là B

VD4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017]

x 1 y  2 z 1
và điểm A  2; 1;1 . Gọi


1
1
2
I là hình chiếu vuông góc của A lên d . Viết phương trình mặt cầu  C  có tâm I và đi qua A

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

A. x 2   y  3   z  1  20
2

2

B. x 2   y  3   z  1  5
2

2

C.  x  1   y  2    z  1  20
2

2

2

D.  x  1   y  2    z  1  14
2

2

2



Điểm I có tọa độ I 1  t ; 2  t ; 1  t 



Thiết lập điều kiện vuông góc  IA.ud  0

GIẢI

p1(1pQ)p2)+(2+Q)pp1)+2
(p1+2Q)p1)qr1=


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

 t  0  I 1; 2; 1


2
2
Với I 1; 2; 1 và A  2; 1;1 ta có : R  IA  IA  14
2

w8112p1=p1p2=1pp1=Wqc
q53)==d=

 Đáp số chính xác là D
VD5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017]

x 1 y 1 x  2
. Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng  Oxy  là :


2
1
1
x  0
 x  1  2t
 x  1  2t  x  1  2t




A.  y  1  t B.  y  1  t C.  y  1  t
D.  y  1  t
z  0
z  0
z  0
z  0





Cho đường thẳng d :



GIẢI
Ta hiểu : Hình chiếu vuông góc d ' của d lên mặt phẳng  Oxy  là giao tuyến của mặt phẳng  
chứa d vuông góc với  Oxy  và mặt phẳng  Oxy 



Mặt phẳng   chứa d và vuông góc với  Oxy  nên nhận vecto chỉ phương u  2;1;1 của đường
thẳng d và vecto pháp tuyến nOxy  0;0;1 là cặp vecto chỉ phương

 n  ud ; nOxy   1; 2;0 

w8112=1=1=w8210=0=1=W
q53Oq54=

Hơn nữa   đi qua điểm có tọa độ 1; 1; 2  nên có phương trình :



  :1 x  1  2  y  1  0  z  2   0    : x  2 y  3  0
  : x  2 y  3  0
Phương trình của d ' có dạng 
. Chuyển sang dạng tham số ta có :
Oxy
:
z


0



ud '   nOxy ; n    2; 1;0 


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
w8111=p2=0=w8210=0=1=W
q53Oq54=

Có 3 đáp án thỏa mãn vecto chỉ phương có tọa độ  2; 1;0  là B , C , D
Tuy nhiên chỉ có đáp án B chứa điểm M 1; 1;0  và điểm này cũng thuộc d '

 Đáp số chính xác là B
VD6-[Câu 61 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

7

 x  2  3t

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d :  y  2t trên   : x  2 y  2 z  2  0
 z  2t


3
3
y
y

x 5
z
x

5
2
2z

A.
B.

4
2
1
4
2
1
3
3
y
y
x 5
2  z D. x  5 
2z

C. 2
4
2
1
4

2
1


GIẢI
Lập phương trình mặt phẳng    chứa d và vuông góc với  

n  ud ; n    8; 4;8 

w8113=p2=p2=w8211=2=p2
=Wq53Oq54=

   đi qua điểm 



7
7


;0;0  nên có phương trình 8  x    8 y  8z  0  2 x  2 y  2 z  7  0
2

2

2 x  2 y  2 z  7  0
Ta có d ' : 
x  2 y  2z  2  0
Tính nd '   n ; n    8;6; 2   n  4;3;2  cũng là vecto chỉ phương của d '
3

y
x 5
3 

2z

Đường thẳng d ' lại đi qua điểm  5;  ; 0  nên có phương trình :
4
2
1
2 

 Đáp án chính xác là A


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần 1 năm 2017]
Hình chiếu vuông góc của A  2; 4;3 lên mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  6 z  19  0 có tọa độ là :
A. 1; 1; 2 

 20 37 3 
; ;  C.
 7 7 7

B.  

 2 37 31 
  ; ;  D. Kết quả khác
 5 5 5

Bài 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng  P  : x  y  z  4  0 và điểm M 1; 2; 2  .Tìm tọa
độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng  P 
A. N  3; 4;8 B. N  3;0; 4 

C. N  3;0;8

D. N  3; 4; 4 

Bài 3-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017]
Cho A  5;1;3 , B  5;1; 1 , C 1; 3;0  , D  3; 6; 2  . Tọa độ của điểm A ' đối xứng với A qua mặt phẳng

 BCD  là :
A.  1;7;5 

C. 1; 7; 5  D. 1; 7;5 

B. 1; 7;5 

Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017]

x 1 y z  2
và mặt phẳng
 
2
2
3
 P  :  x  y 2 z 3  0 . Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng  P  .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

x2

1
x2

C.
3
A.

y 1 z 1 x  2 y  1 z 1
B.



1
3
3
1
1
y 1 z 1
x  2 y 1 z 1



D.
1
1
1

1
3

Bài 5-[Câu 75 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho ba điểm A  1;3; 2 , B  4;0;  3 , C  5; 1; 4  . Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên đường thẳng BC

9 12 
 77
; ; 
 17 17 17 

A. 

 77 9 12 
; ; 
 17 17 17 

B. 

9 12 
 77
; ; 
 17 17 17 

C. 

9 12 
 77
; ; 
 17 17 17 

D.  

Bài 6-[Câu 76 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tìm tọa độ điểm đối xứng của M  3;1; 1 qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

  : 4 x  3 y 13  0 và    : y  2 z  5  0
A.  2; 5; 3 B.  2; 5;3
C.  5; 7; 3

D.  5; 7;3

Bài 7-[Câu 22 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

x 1 y 1 z  2


. Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa đọ  Oxy  là :
2
1
1
 x  1  2t
x  0
 x  1  2t
 x  1  2t




A.  y  1  t B.  y  1  t C.  y  1  t

D.  y  1  t
z  0
z  0
z  0
z  0




Cho đường thẳng d :

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần 1 năm 2017]


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Hình chiếu vuông góc của A  2; 4;3 lên mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  6 z  19  0 có tọa độ là :
A. 1; 1; 2 

 20 37 3   2 37 31 
; ;  C.   ; ;  D. Kết quả khác
 7 7 7  5 5 5 

B.  

GIẢI

 x  2  2t

Đường thẳng  chứa A và vuông góc với  P  có phương trình :  y  4  3t

 z  3  6t




Điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên  P  nên có tọa độ H  2  2t ; 4  3t ;3  6t 


Tính t bằng Casio


2(p2+2Q))p3(4p3Q))+6(3+
6Q))+19qr1=

Chuyển t về dạng phân thức

qJz=

Vậy t  

3
 20 37 3 
 H  ; ; 
7
 7 7 7

Vậy đáp số chính xác là B
Bài 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng  P  : x  y  z  4  0 và điểm M 1; 2; 2  .Tìm tọa
độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng  P 

A. N  3; 4;8 B. N  3;0; 4 

C. N  3;0;8

D. N  3; 4; 4 
GIẢI



x  1 t

Phương trình  :  y  2  t  Tọa độ hình chiếu H 1  t ; 2  t ; 2  t 
 z  2  t




Tìm t bằng Casio ta được t  1

1+Q)p2+Q)p(p2pQ))p4qr1=

Với t  1  H  2; 1; 3  N  3;0; 4 

 Đáp án chính xác là B


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Bài 3-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017]
Cho A  5;1;3 , B  5;1; 1 , C 1; 3;0  , D  3; 6; 2  . Tọa độ của điểm A ' đối xứng với A qua mặt phẳng

 BCD  là :
A.  1;7;5 

B. 1; 7;5 

C. 1; 7; 5  D. 1; 7;5 
GIẢI



Tính vecto chỉ phương của  BCD  : u   BC; BD    5; 10; 10

w8111pp5=p3p1=0pp1=w821
3pp5=p6p1=2pp1=Wq53Oq54
=

 BCD  qua B  5;1; 1   BCD  : 5  x  5  10  y  1  10  z  1  0
 x  2 y  2z  5  0


Gọi H là hình chiếu của A lên  BCD   H  5  t ;1  2t ;3  2t  . Tính t

w15+Q)+2(1+2Q))+2(3+2Q)
)+5qr1=

 t  2  H  3; 3; 1  A ' 1; 7; 5 
 Đáp án chính xác là C
Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017]

x 1 y z  2

 
và mặt phẳng
2
2
3
 P  :  x  y 2 z 3  0 . Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng  P  .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

x2

1
x2

C.
3
A.

y 1 z 1 x  2 y  1 z 1



B.
1
3
3
1
1
y 1 z 1
x  2 y 1 z 1




D.
1
1
1
1
3
GIẢI



Lập mặt phẳng   chứa d và vuông góc với  P   n  ud ; nP   1; 7; 4 

w8112=2=3=w821p1=1=2=Wq
53Oq54=


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

  :  x  1  7 y  4  z  2   0  x  7 y  4z  9  0


 x  7 y  4z  9  0
. Để so sánh kết quả ta phải chuyển
 x  y  2 z  3  0

Đường thẳng d có phương trình tổng quát 

phương trình đường thẳng d về dạng chính tắc
Ta có : ud   n ; nP    18; 6; 6   u  3;1;1 cũng là vecto chỉ phương của d

w8111=p7=4=w821p1=1=2=W
q53Oq54=

Hơn nữa điểm M  2;1; 1 cũng thuộc d  Phương trình chính tắc d :

x  2 y 1 z 1


3
1
1

 Đáp số chính xác là C
Bài 5-[Câu 75 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho ba điểm A  1;3; 2 , B  4;0;  3 , C  5; 1; 4  . Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên đường thẳng BC
9 12 
 77
; ; 
 17 17 17 

A. 

 77 9 12 
; ; 
 17 17 17 

B. 

9 12 
 77
; ; 
 17 17 17 

C. 

9 12 
 77
; ; 
 17 17 17 

D.  

GIẢI



Đường thẳng BC nhân vecto BC 1; 1;7  là vecto chỉ phương và đi qua điểm B  4;0; 3

x  4  t

 BC :  y  t
 z   3  7t

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC  H  4  t ;  t; 3  7 t 


Mặt khác AH  BC  AH .BC  0 .

w1(4+Q)pp1)p(pQ)p3)+7(p
3+7Q)p2)qr1=

Chuyển t về dạng phân số

qJz

t 

9
9 12 
 77
 H  ; ; 
17
 17 17 17 

 Đáp số chính xác là A


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Bài 6-[Câu 76 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tìm tọa độ điểm đối xứng của M  3;1; 1 qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

  : 4 x  3 y 13  0 và    : y  2 z  5  0
A.  2; 5; 3 B.  2; 5;3
C.  5; 7; 3

D.  5; 7;3
GIẢI




4 x  3 y  13  0
d là giao tuyến của 2 mặt phẳng   ;    nên có phương trình tổng quát : 
 y 2 z  5  0
Vecto chỉ phương của d là ud   n ; n    6;8; 4   nhận u  3;4;2  là vecto chỉ phương

w8114=p3=0=w8210=1=p2=W
q53Oq54=

 x  4  3t

Đường thẳng d có vecto đi qua điểm N  4;1;3 nên có phương trình tham số  y  1  4t
 z  3  2t



Điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d nên có tọa độ M  4  3t;1  4t ;3  2t 

Mặt khác MH  d  MH .u  0

w13(4+3Q)pp3)+4(1+4Q)p1
)+2(3+2Q)pp1)qr1=

 t  1  H 1; 3;1
M ' đối xứng M qua d vậy H là trung điểm MM '  M '  5; 7;3
 Đáp số chính xác là D
Bài 7-[Câu 22 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

x 1 y 1 z  2


Cho đường thẳng d :
. Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa đọ  Oxy  là :
2
1
1
 x  1  2t
x  0
 x  1  2t
 x  1  2t




A.  y  1  t B.  y  1  t C.  y  1  t
D.  y  1  t
z  0
z  0
z  0
z  0




GIẢI
 Dưng mặt phẳng   chứa đường thẳng d và vuông góc với  Oxy   n  ud ; nOxy   1; 2;0 

w8112=1=1=w8210=0=1=Wq5

3Oq54=


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

Mặt phẳng   chứa điểm N 1; 1; 2  nên có phương trình là :

  :  x  1  2  y  1  0  z  2   0  x  2 y  3  0


Đường thẳng d ' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng  Oxy   d ' là giao tuyến

x  2 y  3  0
z  0

của   và  Oxy   d ' : 

Tính ud   n ; nOxy    2; 1;0   nhận u  2;1;0  là vecto chỉ phương

w8111=p2=0=w8210=0=1=Wq
53Oq54=

 x  1  2t

Lại có d ' qua điểm có tọa độ 1; 1;0   d ' :  y  1  t
z  0

 Đáp số chính xác là B