PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHOẢNG CÁCH HÌNH KHÔNG GIAN

CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

KINH NGHI M H C T T BÀI “KHO NG CÁCH”
Các em thân m n, kho ng cách th

ng là câu 7đ, nhi u b n lúng túng

trong vi c tính kho ng cách không gian, đ c bi t là kho ng cách 2
đ

ng chéo nhau, d

i đây là kinh nghi m h c (rút g n l i).

CÁC EM CÓ TH K T H P V I B

GIÁO ÁN CHU N CHÉP

TAY MÀ TH Y Ã G I D NG HÌNH NH NHÉ.
1- Khoang cach t 1 điêm đên môt m t ph ng va đên môt đ ng th ng.
1.1- Khoang cach t 1 điêm đên môt đ
Phân nay chố l u y : muôn tinh đ

ng th ng.

c đô dai cua đoan MH, ng

chiêu cao cua tam giac MAB (v i A, B thuôc đ

i ta th

ng xem no la

ng  ).

Nêu tam giac MAB vuông tai M thố tính đ dài MH nh th nào? nh lai hê th c
trong tam giac vuông:

1
1
1


.
MH 2 MA2 MB 2

Nêu tam giac cân tai M? thố H la trung điêm cua AB.
Nêu tam giac th

ng? thố tốnh diên tốch tam giac va đô dai AB, t đo suy ra đô dai

MH.

A

H

M

M

M

B

A

H

A

B

H

B

Vố du 1: Cho hốnh chop t giac đêu S.ABCD co canh đay a, canh bên 2a. Tốnh
khoang cach t A đên SC.
V i vố du nay không kho kh n trong viêc ke AH vuông goc v i SC ( H thuôc
SC) va nêu h

ng tốnh AH:

SO.AC = AH. SC.

CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

S

H
D
C
O
A

B

1.2 - Khoang cach t 1 điêm đên môt m t ph ng.
( tr ng tâm nh t, cu i cùng kho ng cách 2 đ

ng chéo nhau c ng quy v d ng

này).
Vi c tính kho ng cách , tìm m t ph ng vuông góc hãy chú ý bám sát vào
các đi m c a 1 c nh vuông góc v i 1 m t nào đó ( th
"Cac b

ng là vuông v i đáy)

c xac đinh khoang cach t 1 điêm M đên 1 m t ph ng (P)" nh sau:

+ Tốm m t ph ng (Q) qua M va vuông goc v i (P).
+ Tốm giao tuyên a cua (P) va (Q).
+ Trong (Q), ke MH vuông goc v i a. Khi đo d(M;(P)) = MH.
Vố du : Cho hốnh hôp ch nhât ABCD.A'B'C'D' co AB =a, AD = b, AA' = c. Tốnh
khoang cach t B đên (ACC'A').
B

C
H

A
D
B'

A'

C'

D'


CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

+ Tim m t ph ng qua B va vuông goc v i (ACC'A'): đo la m t ph ng (ABCD)
vố mp (ABCD) vuông goc v i AA' nên vuông goc v i (ACC'A'))
+ Giao tuyên cua (ABCD) va (ACC'A'): la AC.
+ Trong m t (ABCD), ke BH vuông goc v i AC (H thuôc AC), thê thố BH
vuông goc v i (ACC'A'). Vây d(B; (ACC'A')) = BH.
+ BH la đ
ABC nên:

ng cao cua tam giac nao? HB la đ

ng cao cua tam giac vuông

1
1
1
ab


 BH 
2
2
2
2
BH
BA BC
a  b2

Vố du 2: Cho hốnh chop t giac đêu S.ABCD co canh bên b ng 2a, canh đay b ng a.
Goi M la trung điêm cua AB. Tốnh khoang cach t M đên (SCD).
+ M t ph ng (Q) qua M va vuông goc v i (SCD): L u ý ch n mp (Q) ch c n

vuông góc v i 1 đ

ng c a (SCD). Trong các đ

ng c a (SCD) hi n nay th y DC có

liên quan nhi u đ n quan h vuông góc h n. Tìm nh ng đ

ng vuông góc v i CD.

T đó phát hi n ra mp (SNM) vuông
goc v i CD (N là trung đi m c a CD),

S

hay (SNM) vuông goc v i (SCD).
+ Giao tuyên cua (SCD) va
(SMN) la: SN

H

+ Trong (SMN): ke MH vuông

B

goc v i SN (H thuôc SN) thố MH
vuông goc v i (SCD). T

đo suy ra

nao? D a vao tam giac SMN h
2- Khoang cach gi a môt đ

N

O

d(M; (SCD)) = MH.
+ MH la chiêu cao cua tam giac

C

M

A

D

ng tốnh: SO.MN = MH. SN
ng th ng va môt m t ph ng song song, gi a hai m t

ph ng song song.
2.1- Khoang cach gi a 1 đ
"cac b

ng th ng va môt m t ph ng song song.

c lam đê tinh khoang cach gi a đ

song" nh sau:

ng th ng a va m t ph ng (P) song


CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

+ Tốm m t ph ng (Q) vuông goc v i (P)
+ Tốm điêm chung M cua (Q) va a (nêu a song song v i (Q) thố đôi (Q) thanh
(Q') ch a a va song song v i (Q))
+ Tốm giao tuyên (  ) cua (P) va (Q).
+ Trong (Q): ke MH   (H  ) . Khi đo MH  (P) va d(a; (P)) = d(M;(P)) =
MH
Vố du 3: Cho hốnh lâp ph

ng ABCD.A'B'C'D' canh a. Tốnh khoang cach gi a

AB’ và mp (A'C'D).
B

C
I

A
D
B'

C'

H

O
D'

A'

+ Tìm mp vuông góc v i (A’DC’): Ta tìm mp vuông góc v i A’C’.

ó là mp

(BDD’B’).
Hai mp (A’DC’) và (BDD’B’) có giao tuy n DO ( O là tâm A’B’C’D’)
Trong mp (DBB’) k B’H vuông góc v i DO thi B’H vuông góc v i (DA’C’).
kho ng cách ph i tìm là B’H
tính đ dài B’H : 2.dt tam giác DB’O = B’H.OD = DD’.B’O
2.2 - Khoang cach gi a hai m t ph ng song song.
Cac b

c lam đ

c tiên hanh t

ng t khoang cach gi a đ

ng th ng va m t

ph ng song song.
Vố du 4: Cho hốnh lâp ph

ng ABCD.A'B'C'D' canh a. Tốnh khoang cach gi a hai

m t ph ng (ACB') va (A'C'D).


CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

B

C
I

A
D
B'

C'

H

O
D'

A'

+ Tốm m t ph ng vuông goc v i (A'C'D): đo la m t ph ng (BDD'B') (vố (BDD'B') 
A'C')
+ Giao tuyên cua (A'C'D) va (BDD'B'): la DO
+ iêm chung cua (BDD'B') va (ACB') thuôc đ

ng B'I.

+ Trong (BDD'B'), ke B'H  DO thố khoang cach phai tốm la B'H.
+ B'H la đ

ng cao cua tam giac B'OD. T đo co h

3- Khoang cach gi a hai đ

ng tốnh: B’H.OD = DD’.B’O

ng th ng cheo nhau.

Vố du 5: Cho hốnh chop S.ABCD co đay ABCD la hốnh vuông canh a.
SA  (ABCD), SA =a. Xác đ nh đo n vuông góc chung c a SA và BC; SA và DB;
SA và d (trong đó d là đ

ng th ng n m trong mp (ABC) và không đi qua A.

S

A

D
O
B
C
d

D dàng tìm đ

c đo n vuông góc chung c a SA và BC, đó là AB.


CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

C a SA và BD đó là AO.
V y mu n d ng đ
T Ak đ

c đo n vuông góc chung c a SA và d thì làm th nào?

ng th ng vuông góc v i d, nó c t d t i H. Khi đó đo n AH là đo n

vuông góc chung c a SA và d.
M t cách t ng quát, mu n d ng đ

c đo n vuông góc chung c a hai đ

ng chéo

nhau và vuông góc v i nhau thì làm th nào?

3.1- Nêu hai đ

ng cheo nhau a va b ma vuông goc v i nhau:

a

M
N
b
P)

+ Tìm mp (P) ch a b va vuông goc v i a
+ (P) c t a tai M
+ Ke MN  b (N thuôc b), MN chốnh la đ

ng vuông goc chung cua a va b.

Vố du 6 : Cho hốnh chop S.ABCD co đay ABCD la hốnh vuông canh a.
SA  (ABCD), SA =a. Tốnh khoang cach gi a SB va AD; gi a DB va SC.
*) Khoang cach gi a SB va AD
- Hai đ

ng nay co vuông goc không? tai sao?

+ AD vuông goc v i SB (vố AD vuông goc v i (SAB) ).

T đo suy ra co m t ph ng ch a SB va vuông goc v i SD, đo la (SAB).


CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

S

H
M

A
D

N
O
C

B

+ AD c t (SAB) tai A.
+ Ke AM vuông goc v i SB.Khi đo AM la đoan vuông goc chung cua AD va
SB.
+ dê dang tốnh đ

c AM vố no la đ

ng cao cua tam giac vuông SAB.

*) Khoang cach gi a DB va SC.
+ Co mp ch a SC va vuông goc v i BD, đo la (SAC).
+ (SAC) c t BD tai O la trung điêm cua BD.
+ Ke OK vuông goc v i SC. Khi đo OK la đoan vuông goc chung cua SC va
BD.
+ OK la đ

ng cao cua tam giac SOC nên: OK. SC = SA. OC

3.2- Nêu hai đ

ng cheo nhau a va b ma không vuông goc

v i nhau:
Viêc xac đinh đ

ng vuông goc chung không cân thiêt cho bai toan tốnh

khoang cach nay.
Ta đôi khoang cach phai tốm thanh khoang cach gi a a va mp(P) ( trong đo (P) ch a
b va vuông goc v i a).(sgk trang 115 -hình h c 11 nâng cao)
Vố du 7 : Cho hốnh chop t giac đêu S.ABCD co canh bên b ng 2a, canh đay b ng a.
Tốnh khoang cach gi a AB đên SC.


S

CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
H
B
C

M
N

O
A

Tr

D

c tiên ki m tra xem hai đ

ng có vuông góc không?

i k/c ph i tìm thành k/c gi a đ
ó là k/c gi a đ

ng và m t song song.

ng AB và (SCD)

Bài toán này đã làm trong ví d 2.
Vố du 8: Cho hình l p ph

ng ABCD.A’B’C’D’ c nh a. Tính k/c gi a AA’ và DB;

gi a AC’ và BD; gi a AI và D’C’ ( v i I là tâm m t DCC’D’)
- ki m tra xem hai đ

ng có vuông góc không.

D th y AA’ và BD vuông góc vì AA’ vg v i (ABCD).
K t qu k/c th nh t là AO b ng

a 2
2

- AC’ và BD có vuông góc vì BD vg v i (ACC’) t i O. Trong (ACC’) k ON
vuông góc v i AC’ thì ON là đo n vgc c a AC’ và BD.
- d a vào di n tích tam giác AOC’ suy ra: ON.AC’ = AO. CC’.

T đó tính đ

a 2
.a
a 6
2

c k/c c n tìm là
6

a 3


CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

A

D
N

B

C

O

P
I

A'

M

H

D'

C'

B'
- ki m tra hai đ
gi a đ

ng AI và C’D’ không vuông góc. C n đ i k/c này thành k/c

ng và m t nào? Có th k đ

ng song song v i C’D’ ho c k đ

ng //

v i AI đ t o ra mp.
- Th ng nh t đ i k/c ph i tìm thành k/c gi a đ
-

th c hi n các b

ng C’D’ và mp(ABPM).

c c a bài toán này:

+ Mp (BCC’) vuông góc v i BA nên (BCC’) vuông góc v i (BAPM)
+giao tuy n c a (BCC’) và (BAPM) là BM
+Trong mp (BCC’) k đ

ng C’H vuông góc v i BM thì nó vuông góc v i

(BAPM). Kho ng cách ph i tìm là C’H.
+Mu n tính đ dài c a C’H, ta tính nh di n tích c a tam giác BMC’:

a
.a
2 a 5
BM. C’H= BC. MC’. T đó suy ra k/c ph i tìm là: a 5
5
2
Ví d 9: Cho l ng tr đ u ABC. A’B’C’ có AA’ = a, AB’ t o v i (ABC) góc
600 . Tính kho ng cách gi a AA’ và BC’.


CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

A

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

C
H
B

C'

A'

B'

Do l ng tr đ u nên các c nh bên vuông góc v i đáy. AB’ có hình chi u trên
đáy là AB nên góc gi a AB’ và đáy là B’AB = 600.
K/c gi a AA’ và BC’ b ng k/c gi a AA’ và mp(BCC’B’). Mp( ABC) vuông
góc v i (BCB’) theo giao tuy n BC nên t A k AH vuông góc v i BC thì AH

3 a
a
.

vuông góc v i (BCC’). K/c ph i tìm là AH b ng
3 2 2
4-M r ng bài toán kho ng cách:
- Trong bài toán k/c gi a 1 đ

ng và m t m t song song ta đã bi t đ i k/c t A

đ n mp(P) thành k/c t B đ n mp(P) khi AB song song v i (P) và d d ng, d
tính k/c t B đ n (P) h n nhi u k/c t A đ n (P).
- Trong tr

ng h p AB không song song v i (P) thì có tìm đ

gi a hai k/c này không? Yêu c u h/s so sánh trong các tr

c m i liên quan

ng h p đ c bi t sau:


CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

A

A

B
M

K

M

H

P) H

P)

K

B

Tr

ng h p th nh t M là trung đi m c a AB. H/s có th suy ra đ

c hai k/c

b ng nhau (hai tam giác AHM và BMK b ng nhau)
Tr

ng h p th hai AB c t (P) t i M và AB= 2MB D a vào đ nh lí ta lét có

th suy ra k/c t A đ n (P) b ng 3 l n k/c t B đ n (P).
V y t đây ta có th tính đ

c k/c t B đ n (P) n u bi t k/c t A đ n (P).

Ví d 10: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc v i (ABC). Tam giác ABC
đ u c nh a. SA =2a. Tính k/c t A, Tr ng tâm I c a tam giác SAB đ n mp (
SBC).
-Bài toán k/c t A đ n (SBC) h/s hoàn toàn có th tính đ

a 3
2a 3
2

19
3a 2
2
4a 

4
2a .

c a đo n AH b ng

c. K t qu là đ dài


CHIA S TÀI LI U CHO HS T
TR N HOÀI THANH

M TG C
T 8-9 I M
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

S

H
N
I
A
G

C

K
M

B

d ng đ

c k/c t I đ n mp( SBC) thì trông hình v r t r i. Ki m tra th

xem nó có liên quan gì đ n k.c t A đ n (SBC) hay không? AI c t SBC t i N
là trung đi m c a SB. Gi s IE vuông góc v i mp(SBC). Theo đ nh lí talét ta
suy ra: IE/ AH= NI/ NA = 1/3. V y k/c t I đ n (SBC ) là

2a 3
.
3 19