Một số tính chất hình học của vật lồi trong Rn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Đào

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC
CỦA VẬT LỒI TRONG Rn

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Đào

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC
CỦA VẬT LỒI TRONG Rn

Chuyên ngành: Hình học
Mã số: ....

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Th.s Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2017


Lời cảm ơn
Để hoàn thành được khóa luận với đề tài: "Một số tính chất hình học của vật lồi
trong Rn ", trước hết em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo
trong tổ Hình học, các thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
đã động viên giúp đỡ em trong thời gian qua. Đặc biệt em xin trân thành cảm ơn
thầy giáo: Th.s Trần Văn Nghị, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp
nhiều ý kiến quý báu để em có thể hoàn thành bài khóa luận này. Mặc dù đã có
nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên chắc
chắn đề tài này không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự cảm
thông và những đóng góp của thầy cô, các bạn sinh viên để bài khóa luận của em
hoàn thiện hơn.
Em xin trân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2017


Lời cam đoan
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình em học tập và nghiên
cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo - Th. s Trần Văn Nghị.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã
được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo. Khóa luận "Một số tính chất hình học
của vật lồi trong Rn " không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!
Sinh viên

Nguyễn Thị Đào


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

Bảng kí hiệu
af f A

Bao aphin của A

bdA

Biên của A

convA

Bao lồi của A

intA

Phần trong của A

relbdA

Biên tương đối của A

relintA

Phần trong tương đối của A

Rn

Không gian Euclid n-chiều


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Bảng kí hiệu
Lời mở đầu
1 Không gian các vật lồi

1

2 Một số tính chất hình học của vật lồi

10

2.1

Thể tích và diện tích mặt

. . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Thể tích hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Định lí Brunn Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.4

Vật lồi với độ rộng không đổi . . . . . . . . . . . . . .

42

KẾT LUẬN

56

Tài liệu tham khảo

56


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hình học lồi là ngành hình học nghiên cứu về tính lồi của các
hình, công cụ chính được sử dụng trong hình học lồi là lý thuyết
về tập lồi và hàm số. Đây là một ngành hình học tương đối khó
nhưng chứa đựng nhiều điều thú vị. Vật lồi là một trong những
đối tượng trọng tâm của hình học lồi với nhiều ứng dụng thực tế.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vật lồi, khối đa diện lồi và
lưới nên em đã chọn đề tài: "Một số tính chất hình học của vật
lồi trong Rn " để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu kỹ hơn các kiến thức về vật lồi.
- Hệ thống các tính chất hình học của vật lồi.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức về vật lồi.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất của vật lồi trên không gian
véc tơ.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày lý thuyết và các tính chất của vật lồi.
5. Các phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu sử dụng các công cụ toán học.
- Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu có liên quan.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

6. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận bao gồm 2 chương:
Chương 1: Không gian các vật lồi.
Chương 2: Một số tính chất hình học của vật lồi.

Nguyễn Thị Đào


Chương 1
Không gian các vật lồi
Ta kí hiệu Kn là tập hợp gồm các vật lồi (những tập lồi compact khác
rỗng) K trong Kn . Tập Kn đóng dưới phép cộng,
K, L ∈ Kn ⇒ K + L ∈ Kn ,
và phép nhân với vô hướng không âm,
K ∈ Kn , α ≥ 0 ⇒ αK ∈ Kn .
Do đó, Kn là một nón lồi và câu hỏi sinh ra là liệu ta có thể nhúng
nón lồi này vào một không gian véc tơ thích hợp. Vì (Kn , +) là một
nửa nhóm (giao hoán), câu hỏi đặt ra là liệu nửa nhóm này có thể
được nhúng vào một nhóm. Một tiêu chuẩn đại số đơn giản (là cần và
đủ) sao cho quy tắc khử phải đúng.
Với mục đích này, ta xét hàm giá hK của một vật lồi như một hàm số
trên hình cầu đơn vị S n−1 (bởi vì tính đồng nhất dương của hK , giá
trị trên S n−1 xác định hK hoàn toàn). Cho C(S n−1 ) là không gian véc
tơ các hàm liên tục trên S n−1 . Đây là một không gian Banach đối với
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

chuẩn max
f := max
|f (u)| ,

n−1

f ∈ C S n−1 .

u∈S

Ta gọi một hàm số f : S n−1 → R là lồi nếu mở rộng đồng nhất

 x f
˜
f :=

0

x
x

với

x = 0,
x = 0,

là lồi trên Rn . Cho Hn là tập tất cả hàm lồi trên S n−1 (sau Định lí
2.1.1 trong [1]) và Định lí 2.2.1 trong [1], Hn là một nón lồi trong
C(S n−1 ).
Định lí 1.1. [1, Theorem 3.1.1] Ánh xạ
T : K → hK ,
là tuyến tính trên Kn (dương) và ánh xạ nón lồi Kn 1-1 lên nón lồi
Hn . Hơn nữa T tương thích với bao hàm thứ tự trên Kn và thứ tự
≤

trên Hn .

Đặc biệt, T nhúng nón lồi (thứ tự) Kn vào trong không gian véc tơ
(thứ tự) C(S n−1 ).
Chứng minh. Tuyến tính dương của T kéo theo từ Định lí 2.3.1(e)
trong [1] và tính nội xạ từ Định lí 2.3.1(b) trong [1]. Thực tế T (Kn ) =
Hn là một hệ quả của Định lí 2.3.2 trong [1]. Tính tương thích tương
ứng với thứ tự kéo theo từ Định lí 2.3.1(c) trong [1].
Chú ý. Tuyến tính dương của T trên nón lồi Kn nghĩa là
T (αK + βL) = αT (K) + βT (L) ,
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

với K, L ∈ Kn và α, β ≥ 0. Tính tuyến tính này không mở rộng cho
α, β âm, đặc biệt không có vật K − L = K + (−L). Một lí do là hàm
số hK − hL tổng quát không lồi. Nếu
hK − hL = hM ,
với M bất kì thuộc Kn , thì vật M nói chung khác với hiệu vật K − L.
Ta viết KΘL := M và gọi vật này là hiệu Minkowski của K và L. Vì
hiệu vật K − L tồn tại với mọi K, L ∈ Kn , hiệu Minkowski KΘL chỉ
tồn tại trong trường hợp đặc biệt, đó là nếu K có thể được khai triển
là K = M + L (khi đó M = KΘL).
Với tô pô chuẩn cảm sinh từ chuẩn "max" trong C(S n−1 ), nón Hn
đóng. Mục đích tiếp theo là xác định một metric tự nhiên trên Kn ,
sao cho T trở thành phép đẳng cự (do đó, ta có phép đẳng cự nhúng

của Kn vào không gian véc tơ Banach C(S n−1 )).
Định nghĩa. Với K, L ∈ Kn , cho
d (K, L) := inf {ε ≥ 0 : K ⊂ L + B (ε) , L ⊂ K + B (ε)} .
Dễ thấy rằng cận dưới đúng đạt được, do đó nó là một cực tiểu.
Định lí 1.2. [1, Theorem 3.1.2] Với K, L ∈ Kn , ta có
d (K, L) = hK − hL .
Ngoài ra d là một metric trên Kn thỏa mãn
d (K + M, L + M ) = d (K, L) ,

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

với mọi K, L, M ∈ Kn .
Chứng minh. Từ Định lí 2.3.1 trong [1] ta được
K ⊂ L + B (ε) ⇔ hL ≤ hK + εhB(1) ,
và
L ⊂ K + B (ε) ⇔ hK ≤ hL + εhB(1) .
Vì hB(1) ≡ 1 trên S n−1 , kéo theo
K ⊂ L + B (ε) , L ⊂ K + B (ε) ⇔ hK − hL ≤ ε,
và khẳng định theo.
Trong không gian metric bất kì (X, d), lớp C(X) những tập con com˜ được
pact khác rỗng của X có thể được cho bởi metric Hausdorff d,
xác định bởi,
d˜(A, B) := max max d (x, B) , max d (y, A) .
x∈A

y∈B

Ở đó A, B ∈ C(X), và ta viết gọn
d (u, C) := min d (u, v) ,
v∈C

u ∈ X, C ∈ C (X) ,

(giá trị cực tiểu và cực đại tồn tại vì tính compact của các tập và tính
liên tục của metric). Bây giờ ta giả sử rằng trên Kn ⊂ C(Rn ), metric
Hausdorff d˜ trùng với metric d.
Định lí 1.3. [1, Theorem 3.1.3] Với K, L ∈ Kn , ta có
d (K, L) = d˜(K, L) .
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

Chứng minh. Ta có
d (K, L) = max (inf {ε ≥ 0 : K ⊂ L + B (ε)} , inf {ε ≥ 0 : L ⊂ K + B (ε)}) .
Bây giờ
K ⊂ L + B (ε) ⇔ d (x, L) ≤ ε,

với mọi x ∈ K,

⇔ max d (x, L) ≤ ε,
x∈K

do đó
inf {ε ≥ 0 : K ⊂ L + B (ε)} = max d (x, L) .
x∈K

Ta đến một tính chất tô pô quan trọng của không gian metric (Kn , d):
Mọi tập con bị chặn M ⊂ Kn là compact tương đối. Đây là tính chất
đặc biệt cũng có, ví dụ trong không gian metric (Rn , d), nhưng không
có trong không gian metric tổng quát.
Trong Kn một tập con M bị chặn nếu tồn tại c > 0 sao cho
d (K, L) ≤ c,

với mọi K, L ∈ M.

Tương đương với
K ⊂ B (c ) ,

với mọi K ∈ M,

với hằng số bất kì c > 0. Ở đây ta có thể thay hình cầu B(c ) bởi
tập compact, đặc biệt là hình lập phương W ⊂ Rn . Tập con M là
compact tương đối, nếu mọi dãy K1 , K2 ,..., với Kk ∈ M, có một dãy
con hội tụ. Ngoài ra, tính chất tô pô là một hệ quả của định lí sau.
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

Định lí 1.4. (Định lí chọn của Blaschke) [1, Theorem 3.1.4, Blaschke’s

Selection Theorem]. Cho M ⊂ Kn là một bộ vô hạn của vật lồi tất
cả nằm trong một hình lập phương W. Khi đó tồn tại một dãy K1 ,
K2 ,..., với Kk ∈ M (đôi một khác nhau), và một vật K0 ∈ Kn sao cho
Kk → K0 ,

khi k → ∞.

Chứng minh. Giả sử W là hình lập phương đơn vị. Với mỗi i ∈ N,
ta chia W thành 2in lập phương có chiều dài cạnh là

1
2i .

Với K ∈ M,

cho Wi (K) là hợp tất cả lập phương trong sự chia i lần, mà giao tại
K. Vì ở đó chỉ có hữu hạn tập khác nhau Wi (K), K ∈ M, nhưng vô
hạn vật K ∈ M, đầu tiên cho một dãy (thuộc M)
(1)

(1)

K1 , K2 , ...
với
(1)

W1 K1

(1)

= W1 K2

= ...,

khi đó một dãy con
(2)

(2)

K1 , K2 , ...
với
(2)

W2 K1

(2)

= W2 K2

và tổng quát có dãy con
(j)

(j)

K1 , K2 , ...

6

= ...,

Khóa luận tốt nghiệp Đại học
(j−1)

của K1

(j−1)

, K2

Nguyễn Thị Đào

, ... với
(j)

Wj K1

(j)

= Wj K2

= ...,

với mọi j ∈ N (j ≥ 2).
Vì

√
min d (x, y) ≤

(j)

y∈Kl

n

2j

,

(j)

với mọi x ∈ Kk , ta có
√
d

(j)
(j)
Kk , Kl

≤

n

2j

với mọi k, l ∈ N, và mọi j.

,

Từ tính chất của dãy con ta được
√

d

(j)
(j)
Kk , Kl

≤

n

2j

với mọi k, l ∈ N, và mọi j ≥ i.

,

(k)

Đặc biệt, nếu ta chọn "dãy chéo" Kk := Kk , k = 1, 2, ..., khi đó
√
d (Kk , Kl ) ≤

n

2l

,

với mọi k ≥ l.

Do đó (Kk )k∈N là dãy Cauchy trong M, nghĩa là mỗi

> 0 tồn tại

m ∈ N sao cho
với mọi k, l ≥ m.

d (Kk , Kl ) < ε,

(1.1)
Cho
˜ k := cl conv (Kk ∪ Kk+1 ∪ ...) ,
K

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

và

∞

˜ k.
K

K0 :=
k=1

Đòi hỏi rằng
Kk → K0 , khi k → ∞, và K0 ∈ Kn .
˜ k ∈ K n và K
˜ k+1 ⊂ K
˜ k , k = 1, 2, ....
Đầu tiên, từ sự xây dựng ta có K
Mặt khác, K0 = ∅ do đó K0 ∈ Kn .
Với

> 0, (1.1) kéo theo
Kl ⊂ Kk + B (ε) ,

với mọi k, l ≥ m.

˜ k ⊂ Kk + B (ε) ,
K

với mọi k, k ≥ m,

Ngoài ra

do đó
K0 ⊂ Kk + B (ε) ,

với mọi k ≥ m.

Ngược lại, mỗi > 0 có m
¯ ∈ N sao cho
˜ k ⊂ K0 + B (ε) ,

K

với mọi k ≥ m.
¯

Đó là, giả sử trái lại rằng
˜ k ⊂ K0 + B (ε) ,
K

với vô số k.

Khi đó
˜ k ∩ [W\int (K0 + B (ε))] = ∅,
K
i

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

˜ k và W\int (K0 + B (ε)) là
với một dãy con thích hợp k1 , k2 ,.... Vì K
i
compact, điều này kéo theo
∞

˜ k ∩ [W\int (K0 + B (ε))] = K0 ∩ [W\int (K0 + B (ε))] = ∅,

K
i
i=1

(mẫu thuẫn).
˜ k ⊂ K0 + B (ε) kéo theo Kk ⊂ K0 + B (ε) ,, ta được
Vì K
d (K0 , Kk ) ≤ ε,

với mọi k ≥ max (m, m)
¯ .

9


Chương 2
Một số tính chất hình học của vật
lồi
2.1

Thể tích và diện tích mặt

Thể tích của một vật lồi K ∈ Kn có thể xác định như độ đo Lebesgue
λn (K) của K. Tuy vậy, tính lồi của K kéo theo thể tích cũng tồn tại
theo nghĩa sơ cấp và, hơn nữa diện tích mặt của K cũng tồn tại.
Vì vậy ta sử dụng định nghĩa đệ quy theo số chiều n, tập giá K(u) của
vật lồi K, u ∈ S n−1 nằm trong siêu phẳng song song với u⊥ . Do đó
phép chiếu trực giao K (u) |u⊥ là phép tịnh tiến của K(u) và ta có thể
xét K (u) |u⊥ như một vật lồi (nếu ta đồng nhất u⊥ với Rn−1 ). Giả sử
rằng thể tích được xác định thực sự trong Rn−1 , khi đó ta kí hiệu là

V n−1 (K(u)|u⊥ ) thể tích (n-1)-chiều của phép chiếu này. Sự đồng nhất
của u⊥ với Rn−1 đòi hỏi ta cho trước cơ sở trực chuẩn trong u⊥ . Tuy
vậy, nó phụ thuộc duy nhất vào u⊥ trên không gian metric Euclid và
nó độc lập với cách chọn cơ sở.
Định nghĩa. Cho P ∈ P n là một đa diện.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

Cho n = 1, P= [a,b] với a ≤ b, ta xác định V 1 (P) := b-a và F 1 (P):=
2.
Cho n ≥ 2, đặt

V (n) (P ) :=





1
n

hp (u)V (n−1) (P (u)|u⊥ )

nếu dim P ≥ n − 1,

(∗)

nếu dim P ≤ n − 2,


 0
và

F (n) (P ) :=







1
n

V (n−1) (P (u)|u⊥ )
(∗)

nếu dim P ≥ n − 1,
nếu dim P ≤ n − 2,

0

ở đó phép tổng (*) là trên tất cả u ∈ S n−1 , mà P (u) là một mặt của
P. Ta viết gọn V (P ) cho V (n) (P) và gọi là thể tích của P. Tương tự ta
viết F (P ) thay thế F (n) (P) và gọi là diện tích mặt của P.

Với dimP = n − 1, ở đó hai tập giá của P là các mặt, gọi là P =
P (u0 ) và P = P (−u0 ), ở đó u0 là một véc tơ chuẩn tắc tới P. Khi đó
(n−1)
(P (−u0 )|u⊥
V (n−1) (P (u0 )|u⊥
0 ) và hp (u0 ) = -hp (u0 ), ta được
0) = V

V (P ) = 0, trùng với độ đo Lebesgue của P. Cũng trong trường hợp
này, F (P ) = 2V (n−1) (P (u0 )|u⊥
0 ). Với dimP ≤ n-2, đa diện P không có
mặt nào, do đó V (P ) = 0 và F (P ) = 0.
Mệnh đề 2.1.1. [1, Proposition 3.2.1] Thể tích V và diện tích mặt
F của những đa diện P, Q có các tính chất sau:
(1) V(P)=λn (P),
(2) V và F là bất biến mối quan hệ những đại lượng bất biến,
(3) V (αP ) = αn V (P ), F (αP ) = αn−1 F (P ), với α ≥ 0,
(4) V (P ) = 0, nếu và chỉ nếu dim P ≤ n − 1,
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

(5) Nếu P ⊂ Q, thì V (P ) ≤ V (Q) và F (P ) ≤ F (Q).
Chứng minh.(1) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp trên
n. Kết quả đúng với n = 1. Cho n ≥ 2, ta đề cập tới, V (P ) = 0 = λn (P )
nếu dimP ≤ n − 1. Với dimP = n, cho P (u1 ), ..., P (uk ) là các mặt
của P. Khi đó, ta có

V (P ) =

1
n

n

hp (ui )V (n−1) (P (ui )|u⊥
i ),

i=1

ở đó từ giả thuyết quy nạp, V (n−1) (P (ui )|u⊥
i ) bằng (n-1)-chiều độ đo
⊥
Lebesgue (trong u⊥
i ) của P (ui )|ui . Ta giả sử rằng hp (u1 ), ..., hp (um )

≥ 0 và hp (um+1 ), ..., hp (uk ) < 0, và xét khối chóp đa diện Pi :=
conv(P (ui ) ∪ 0), i = 1, ..., k. Khi đó V (Pi ) = n1 hp (ui )V (n−1) (P (ui )|u⊥
i ),
i = 1, ..., m, và V (Pi ) = − n1 hp (ui )V (n−1) (P (ui )|u⊥
i ), i = m + 1, ..., k.
Do đó,
m

k

V (Pi ) −

V (P ) =
i=1
m

V (Pi )
i=m+1
k

λn (Pi ) −

=
i=1

λn (Pi )
i=m+1

= λn (P ).
Ở đó, ta đã sử dụng rằng độ đo Lebesgue của hình chóp Pi là

1
n

lần

thể tích cơ bản (V (n−1) (P (ui )|u⊥
i )) lần chiều cao (hp (ui )). Hơn nữa độ
đo Lebesgue của phần bên ngoài hình chóp P triệt tiêu, và phần bên
trong hình chóp P sinh ra một sự chia P (thành những tập với miền
trong rời nhau).
Các tính chất (2), (3), (4) và phần đầu của (5) suy ra trực tiếp từ (1)

(và tính chất tương ứng của độ đo Lebesgue). Còn lại ta chứng minh
F (P ) ≤ F (Q), với P ⊂ Q. Giả sử dimQ = n. Ta kí hiệu các mặt của
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

P bởi P (ui ), ..., P (uk ). Ta có bất đẳng thức sơ cấp sau (một dạng tổng
quát của bất đẳng thức tam giác),
V n−1 (P (uj )|u⊥
j ),

V n−1 (P (ui )|u⊥
i ) ≤

i = 1, ..., k.

j=i

(2.1.1)
Để có (2.1.1), ta chiếu P (uj ), j = i, trực giao với nhau lên siêu phẳng
⊥
u⊥
i . Phép chiếu khi đó qua P (ui )|ui . Vì phép chiếu không tăng (n-1)-

chiều độ đo Lebesgue, theo (2.1.1). Đánh giá (2.1.1) kéo theo rằng
F (Q ∩ H) ≤ F (Q),
với nửa siêu phẳng đóng bất kì H ⊂ Rn . Từ đó P ⊂ Q là một giao

hữu hạn của các nửa siêu phẳng, ta được F (P ) ≤ F (Q) bởi sự bỏ đi
liên tiếp.
Chú ý. (1) Trong chứng minh (Mệnh đề trên) ta có thể bỏ sự xuất
hiện của "phía ngoài" hình chóp bởi lập luận sau. Nếu 0 ∈ int(P ),
sự chia hình chóp P chứng tỏ V (P ) = λn (P ). Với t ∈ Rn đủ nhỏ,
khi đó ta có −t ∈ int(P ) và tương ứng phép chia t chứng tỏ rằng
V (P + t) = V (P ). Ta sử dụng
1
V (P ) =
n

k

hp (ui )λn−1 (P (ui )|u⊥
i )
i=1

(Từ phương pháp quy nạp) và công thức cho P + t, thấy rằng
hP +t = hP (ui ) + t, ui

⊥
và λn−1 ((P + t)(ui )|u⊥
i ) = λn−1 (P (ui )|ui ).

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Theo

Nguyễn Thị Đào

k

t, ui λn−1 (P (ui )) = 0,
i=1

từ xây dựng này với mọi t đủ nhỏ, t ∈ Rn . Do đó
k

ui λn−1 (P (ui )) = 0.
i=1

Cho V (P + t) = V (P ) với mọi t ∈ Rn . Mặt khác, tổng quát giả thiết
0 ∈ int(P ) có thể thực hiện và ta được V (P ) = λn (P ).
(2) Ta có thể đơn giản hóa công thức cho thể tích V (P ) và diện tích
mặt F (P ) của một đa diện P. Đầu tiên, vì ta đã chứng tỏ tính sơ cấp
đã định nghĩa thể tích bằng độ đo Lebesgue và do phép tịnh tiến bất
biến, ta không cần phép chiếu trực trực giao của các mặt nữa. Thứ
hai, vì V n−1 (P (u)) = 0, với dimP (u) ≤ n − 2, ta có thể tính tổng
trên tất cả u ∈ S n−1 .
Nếu ta viết, trong phép cộng v thay thế V (n−1) , ta được
V (P ) =

1
n

hp (u)v(P (u)),
u∈S n−1

và
F (P ) =

v(P (u)).
u∈S n−1

Từ những công thức ta có.

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

Với một vật lồi K ∈ Kn , ta định nghĩa
V+ (K) := inf V (P ), V− (K) := sup V (P ),
P ⊃K

P ⊂K

và
F+ (K) := inf F (P ), F− (K) := sup F (P ),
P ⊃K

P ⊂K

(ở đó P ∈ P n ).
Định lí 2.1.2 (và Định nghĩa) [1, Theorem 3.2.2]. Cho K ∈ Kn .

(a) Ta có
V+ (K) = V− (K) := V (K),
và
F+ (K) = F− (K) := F (K).
V (K) được gọi là thể tích và F (K) được gọi là diện tích mặt của K.
(b) Thể tích và diện tích mặt có những tính chất sau:
(b1) V (K) = λn (K),
(b2) V và F là bất biến với mối quan hệ với các đại lượng bất biến,
(b3) V (αK) = αn V (K), F (αK) = αn−1 F (K), với α ≥ 0,
(b4) V (K) = 0, nếu và chỉ nếu dimK ≤ n − 1,
(b5) Nếu K ⊂ L, khi đó V (K) ≤ V (L) và F (K) ≤ F (L),
(b6) K → V (K) là liên tục.
Chứng minh. (a) Đầu tiên ta chú ý rằng với một đa diện P tính
đơn điệu của V và F (Mệnh đề 2.1.1(5)) chứng tỏ rằng V + (P ) =
V − (P ) = V (P ) và F + (P ) = F − (P ) = F (P ). Do đó, định nghĩa mới
của V(P) và F(P) là phù hợp định nghĩa cũ.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

Với một vật tùy ý K ∈ Kn , ta có từ Mệnh đề 2.1.1 (5)
V− (K) ≤ V+ (K) và F− (K) ≤ F+ (K),
và từ Mệnh đề 2.1.1 (2), V− (K), V+ (K), F− (K) và F+ (K) là đại lượng
bất biến. Sau phép tịnh tiến thích hợp, ta có thể giả thiết 0 ∈ rel int
K. Với > 0, khi đó ta sử dụng Định lí (Định lí 3.1.5(c)- trong [1]) và
cho một đa diện P với P ⊂ K ⊂ (1+ )P. Từ Mệnh đề 2.1.1 (3), ta có

V (P ) ≤ V− (K) ≤ V+ (K) ≤ V ((1 + ε)P ) = (1 + ε)n V (P ),
và
F (P ) ≤ F− (K) ≤ F+ (K) ≤ F ((1 + ε)P ) = (1 + ε)n F (P ).

2.2

Thể tích hỗn hợp

Thông thường sử dụng định nghĩa diện tích mặt của tập K ⊂ Rn , là
đạo hàm của phiếm hàm thể tích các tập song song bên ngoài của K,
có nghĩa là,
1
F (K) = lim (V (K + B(ε)) − V (K)).
ε↓0 ε
Ta thấy ngay rằng khái niệm về diện tích mặt của một vật lồi K
cũng thỏa mãn quan hệ giới hạn này. Thực tế, ta sẽ chứng tỏ rằng
V (K + B( )) là một đa thức theo

16

(đây là công thức Steiner quen


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đào

thuộc) và bằng cách này có một họ hàm hình học. Ta bắt đầu với vấn
đề tổng quát hơn và nghiên cứu thể tích
V (α1 K1 + ... + αm Km ),

với Ki ∈ Kn , αi > 0, phụ thuộc các biến α1 ,..., αm như thế nào. Điều
này dẫn chúng ta tới một họ của hàm hỗn hợp của những vật lồi, thể
tích hỗn hợp.
Đầu tiên ta xét trường hợp các đa diện. Từ đó sự biểu diễn đệ quy
của thể tích của một đa diện P được dựa trên những tập(mặt) của P,
ta có các tính chất những tập giá dưới tổ hợp tuyến tính.
Mệnh đề 2.2.1. [1, Proposition 3.3.1] Cho m ∈ N, α1 ,..., αm > 0,
cho P1 ,..., Pm ∈ P n là những đa diện, và cho u, v ∈ S n−1 . Khi đó:
(a) (α1 P1 + ... + αm Pm ) (u) = α1 P1 (u) + ... + αm Pm (u) ,
(b) dim (α1 P1 + ... + αm Pm ) (u) = dim (P1 + ... + Pm ) (u) ,
(c) Nếu (P1 + ... + Pm ) (u) ∩ (P1 + ... + Pm ) (v) = ∅, khi đó,
(P1 + ... + Pm ) (u) ∩ (P1 + ... + Pm ) (v) =
= (P1 (u) ∩ P1 (v)) + ... + (Pm (u) ∩ Pm (v)) .
Chứng minh. (a) Từ Định lí 2.3.1, 2.3.3 trong [1] với mọi x ∈ Rn
ta có
h(α1 P1 +...+ αm Pm )(u) (x) = h α1 P1 +...+ αm Pm (u; x)
= α1 h P1 (u; x) + ... + αm h Pm (u; x)
= α1 hP1 (u) (x) + ... + αm hPm (u) (x)
= hα1 P1 (u)+...+ αm Pm (u) (x).
17