Bài 4 Hướng Dẫn Giải Bài Tập Tự Luyện thể tích khối chóp Phần 4 Chop tong hop

Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương

Chuyên ñ 01. Hình h c khơng gian

BÀI GI NG 04.
TH TÍCH KH I CHÓP (Ph n 4)
HƯ+NG D/N GI1I BÀI T3P T4 LUY7N

CHÓP T NG H P

Bài 1.
Cho t di n ABCD có ba c nh AB, BC, CD đơi m t vng góc v i nhau và AB = BC = CD = a . G i C’
và D’ l#n lư%t là hình chi'u c(a đi)m B trên AC và AD. Tính th) tích tích t di n ABC’D’.
L i gi i:

Vì CD ⊥ BC , CD ⊥ AB nên CD ⊥ mp ( ABC ) và do đó
mp ( ABC ) ⊥ mp ( ACD ) .Vì BC ' ⊥ AC nên BC ⊥ mp ( ACD) .
1
Suy ra n'u V là th) tích t di n ABC’D’ thì V = S△ AC ' D ' .BC ' .
3
Vì tam giác ABC vuông cân nên AC ' = CC ' = BC ' =

a 2
.
2

Ta có AD 2 = AB 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 = 3a 2 ⇒ AD = a 3 .
Vì BD’ là đư:ng cao c(a tam giác vng ABD nên AD '. AD = AB 2 ⇒ AD ' =
Ta cã S△ AC ' D ' =

V>y V =

a
.
3

2
1
ˆ = 1 AC '. AD '. CD = 1 a 2 a 3 ⋅ 1 = a 2 .
AC '. AD 'sin CAD
AD 2 2
2
2
3
12
3

1 a 2 2 a 2 a3
.
=
3 12
2
36

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng đài tư v n: 1900 58(58(12

Trang | 1

Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương

Chuyên ñ 01. Hình h c khơng gian

Bài 2.
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x <
th) tích c(a hình chóp S.ABCD theo x

3 ) các c nh cịn l i đFu bGng 1. Tính

L i gi i:

Ta có

SBD = DCB (c.c.c ) ⇒ SO = CO . Tương tJ ta có SO = OA

V>y tam giác SCA vuông t i S ⇒ CA = 1 + x 2
MMt khác ta có AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

⇒ BD = 3 − x 2 ( do 0 < x < 3) ⇒ S ABCD =

1
1 + x2 3 − x2
4

G i H là hình chi'u c(a S xuQng (CAB).
Vì SB = SD nên HB = HD ⇒ H ∈ CO
Mà

1

1
1
x
=
+ 2 ⇒ SH =
2
2
SH
SC
SA
1 + x2

V>y V =

1
x 3 − x 2 ( dvtt)
6

Bài 3.
Cho t di n đFu ABCD có c nh bGng 1. G i M, N là các ñi)m l#n lư%t di ñ ng trên các c nh AB, AC sao
cho ( DMN ) ⊥ ( ABC ) . ðMt AM = x, AN = y. Tính th) tích t di n DAMN theo x và y. Ch ng minh rGng:
x + y = 3xy.

L i gi i:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng đài tư v n: 1900 58(58(12

Trang | 2

Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương

Chuyên ñ 01. Hình h c khơng gian

DJng DH ⊥ MN = H
Do ( DMN ) ⊥ ( ABC ) ⇒ DH ⊥ ( ABC ) mà D. ABC là t di n ñFu nên H là tâm tam giác ñFu ABC .
2

 3
6
Trong tam giác vuông DHA: DH = DA − AH = 1 − 
 =
3
 3 
2

Di n tích tam giác AMN là S AMN =

2

2

1
3
AM . AN .sin 600 =
xy
2
4

1
2
Th) tích t di n D. AMN là V = S AMN .DH =
xy
3
12
Ta có: S AMN = S AMH + S AMH ⇔

1
1
1
xy.sin 600 = x. AH .sin 300 + y. AH .sin 300
2
2
2

⇔ x + y = 3xy.

Bài 4.
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =

a
. SA = a 3 , SAB = SAC = 300 . Tính th) tích khQi chóp
2

S.ABC.

L i gi i:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng đài tư v n: 1900 58(58(12

Trang | 3


Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương

Chuyên ñ 01. Hình h c khơng gian

Theo đUnh lí cơsin ta có: SB 2 = SA2 + AB 2 − 2 SA. AB.cos SAB = 3a 2 + a 2 − 2.a 3.a.cos 300 = a 2
Suy ra SB = a . Tương tJ ta cũng có SC = a.
G i M là trung ñi)m c(a SA, do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA.
Suy ra SA ⊥ (MBC).
1
1
1
Ta có VS . ABC = VS .MBC + VA.MBC = MA.S MBC + SA.S MBC = SA.S MBC
3
3
3
SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung đi)m SB, S’D: V = VS . ABCD − VS . AMND
VS . AMND = VS . AMD + VS .MND ;

VS . AMD SM 1 VS .MND SM SN 1
=
= ;
=
.

= ;
VS . ABD
SB 2 VS .BCD
SB SC 4

1
3
5
5 2
VS . ABD = VS . ACD = VS . ABCD ; VS . AMND = VS . ABCD ⇒ V = VS . ABCD ⇒ V =
ah
2
8
8
24
Hai tam giác SAB và SAC có ba cMp c nh tương ng bGng nhau nên chúng bGng nhau. Do đó MB = MC
hay tam giác MBC cân t i M.
G i N là trung ñi)m c(a BC suy ra MN ⊥ BC. Tương tJ ta cũng có MN ⊥ SA.
2

2
2
a 3
 a   a 3  3a
.
=
MN = AN − AM = AB − BN − AM = a −   − 
⇒ MN =

16

4
4  2 
2

2

2

2

2

2

2

1
1
1
a 3 a a3
Do đó VS . ABC = SA. MN .BC = a 3.
. =
3
2
6
4 2 16

Bài 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đư:ng chéo AC = 2 3a , BD = 2a và c]t nhau t i
O; hai mMt ph^ng (SAC) và (SBD) cùng vng góc v i mMt ph^ng (ABCD). Bi't kho`ng cách ta ñi)m O

ñ'n mMt ph^ng (SAB) bGng

a 3
, tính th) tích khQi chóp S.ABCD theo a.
4

L i gi i:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng đài tư v n: 1900 58(58(12

Trang | 4


Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương

Chuyên ñ 01. Hình h c khơng gian

Ta gi` thi't AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vng góc v i nhau t i trung ñi)m O c(a mbi đư:ng chéo.
Ta có tam giác ABO vng t i O và AO = a 3 ; BO = a , do đó ABD = 600 hay tam giác ABD đFu.
Ta gi` thi't hai mMt ph^ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i mMt ph^ng (ABCD) nên giao tuy'n c(a
chúng là SO ⊥ (ABCD)
Do tam giác ABD ñFu nên v i H là trung ñi)m c(a AB, K là trung ñi)m c(a HB ta có DH ⊥ AB và DH =
a 3 ; OK // DH và OK =

1
a 3
DH =
⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)

2
2

G i I là hình chi'u c(a O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là kho`ng cách ta O
ñ'n mMt ph^ng (SAB).
Tam giác SOK vng t i O, OI là đư:ng cao ⇒
Di n tích đáy S ABCD = 4S

ABO

1
1
1
a
=
+
⇒ SO =
2
2
2
OI
OK
SO
2

= 2.OA.OB = 2 3a 2 ; đư:ng cao c(a hình chóp SO =

a
.
2

1
3a 3
Th) tích khQi chóp S.ABCD: VS . ABCD = S ABCD .SO =
3
3

Bài 6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng t i A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc gifa
hai mMt ph^ng (SBC) và (ABCD) bGng 600. G i I là trung ñi)m c(a c nh AD. Bi't hai mMt ph^ng (SBI) và
(SCI) cùng vng góc v i mMt ph^ng (ABCD), tính th) tích khQi chóp S.ABCD theo a.

L i gi i:

Vì (SBI)và (SCI)vng góc v i (ABCD) nên SI ⊥ ( ABCD) .
Ta có IB = a 5; BC = a 5; IC = a 2;
Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58(58(12

Trang | 5


Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương

H IH ⊥ BC tính đư%c IH =

Chun đ 01. Hình h c khơng gian

3a 5

;
5

Trong tam giác vng SIH có SI = IH tan 600 =

3a 15
.
5

S ABCD = S AECD + S EBC = 2a 2 + a 2 = 3a 2 (E là trung ñi)m c(a AB).
1
1
3a 15 3a 3 15
V = S ABCD SI = 3a 2
=
.
3
3
5
5

Bài 7.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân t i ñhnh A ( A = 90o), AB=AC=a. MMt bên qua
c nh huyFn BC vng góc v i mMt ñáy, hai mMt bên còn l i ñFu h%p v i mMt đáy các góc 60o. Hãy tính th)
tích c(a khQi chóp S.ABC.

L i gi i:

Kk SH vng góc v i BC. Suy ra SH ⊥ mp (ABC)
Kk SI vuông góc v i AB và SJ ⊥ AC

⇒góc SIH=góc SJH = 60o ⇒ tam giác SHI = tam giác SHJ
⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vng
⇒ I là trung ñi)m AB ⇒ IH = a/2
a 3
Trong tam giác vng SHI ta có SH = 2
Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58(58(12

Trang | 6


Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương

Chuyên ñ 01. Hình h c khơng gian

1
a3 3
SH.dt(ABC) =
12 (đvtt)
V(SABC) = 3

Bài 8.
Hình chóp t giác đFu SABCD có kho`ng cách ta A ñ'n mMt ph^ng ( SBC ) bGng 2. V i giá trU nào c(a
góc α gifa mMt bên và mMt đáy c(a chóp thì th) tích c(a chóp nhm nhnt?

L i gi i:

G i M, N là trung ñi)m BC, AD, g i H là hình chi'u vng góc ta N xuQng SM. Ta có:

SMN = α , d ( A; ( SBC ) ) = d ( N ; ( SBC ) ) = NH = 2
NH
2
4
=
⇒ S ABCD = MN 2 =
sin α sin α
sin 2 α
tan α
1
=
SI = MI .tan α =
sin α cosα
1
4
1
4
⇒ VSABCD = ⋅ 2 ⋅
=
2
3 sin α cosα 3.sin α .cosα
sin 2 α + sin 2 α + 2cos 2α 2
sin 2 α .sin 2 α .2cos 2α ≤
=
3
3
1
⇒ sin 2 α .cosα ≤
3
2

VSABCD min ⇔ sin α .cosα max
⇒ MN =

⇔ sin 2 α = 2cos 2α ⇔ cosα =

1
3

Bài 9.
Tính th) tích khQi t di n ABCD, bi't: AB=a và AC = AD = BC = BD = CD = a 3 .

L i gi i:
G i I, J theo th tJ là trung ñi)m c(a CD, AB. Do

ACD, BCD ñFu.

⇒ AI ⊥ CD, BI ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( ABI )

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng đài tư v n: 1900 58(58(12

Trang | 7


Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương

Chuyên ñ 01. Hình h c khơng gian

Suy ra CI là đư:ng cao c(a hình chóp C.ABI.

1
a 3
SABI .
Ta có: VABCD = VCABI + VDABI = CD.SABI =
3
3
Vì : AB = BI =

AD 3 3a
=
⇒ AB ⊥ IJ và IJ 2 = AI 2 − AJ 2 = 2a 2 ⇒ IJ = a 2
2
2

⇒ VABCD = a

3
3

SABI = a

3 1
a3 6
. a.a 2 =
3 2
6

Bài 10. Trên đư:ng th^ng vng góc t i A v i mMt ph^ng ch a hình vng ABCD c nh a ta lny ñi)m S
v i SA=2a. G i B’,D’ là hình chi'u vng góc c(a A lên SB và SD. MMt ph^ng (AB’D’) c]t SC t i C’.
Tính th) tích hình chóp S.AB’C’D’

L i gi i:

Ta có:

AB ' ⊥ SB 
 ⇒ AB ' ⊥ SC . Tương tJ AD ' ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AB ' C ' D ') ⇒ SC ⊥ AC '
AB ' ⊥ CB 

Do tính đQi x ng ta có: VS . AB ' C ' D ' = 2VS . AB ' C ' .
Áp dqng tính chnt tr sQ th) tích cho 3 tia: SA,SB,SC, ta có:

VS. AB ' C ' = SB ' . SC ' = SB '.SB . SC '.SC = SA . SA = 4a . 4a = 8
SC
SB SC
5a 6 a
15
VS . ABC SB SC SB
1 a
a
8 a
8a
16a
MàVS . ABC = . .2a = ⇒ VS . AB ' C ' = . =
⇒ VS . AB ' C ' D ' =
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3 2

3

15 3

45

3

45

Bài 11.
Trong mMt ph^ng (P) cho ñư:ng trịn (C) tâm O đư:ng kính AB = 2R.Trên đư:ng th^ng vng góc v i (P)
2R
t i O lny đi)m S sao cho OS = R 3 . I là ñi)m thu c ño n OS v i SI =
. M là m t ñi)m thu c (C). H
3
Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58(58(12

Trang | 8


Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương

Chuyên ñ 01. Hình h c khơng gian

là hình chi'u c(a I trên SM. Tìm vU trí c(a M trên (C) đ) t di n ABHM có th) tích l n nhnt.Tìm giá trU
l n nhnt đó.

L i gi i:

T giác IHMO n i ti'p nên SH.SM = SI.SO mà OS = R 3 , SI =

SM =

2R
,
3

SO 2 + OM 2 = 2 R ⇒ SH = R hay H là trung đi)m c(a SM

G i K là hình chi'u vng góc c(a H lên mp(MAB) thì HK =

1
3
SO=
R , (khơng đui)
2
2

⇒ VBAHM l n nhnt khi dt( MAB) l n nhnt ⇒ M là đi)m gifa c(a cung AB
Khi đó VBAHM=

3 3
R (đvtt)
6

Bài 12.
Cho hình chóp t giác đFu S.ABCD có c nh bGng a , và SH là ñư:ng cao c(a hình chóp. Kho`ng cách ta
trung đi)m I c(a SH đ'n mMt bên (SDC) bGng b . Tìm th) tích hình chóp S.ABCD

L i gi i:

Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng đài tư v n: 1900 58(58(12

Trang | 9


Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương

Chuyên ñ 01. Hình h c khơng gian

Ta gi` thi't suy ra H là tâm c(a hình vng ABCD.
G i M là trung ñi)m c(a CD, và G là trJc tâm ∆SCD ⇒ HG ⊥ CD (1)
Mà

BD ⊥ AD 
 ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC và SC ⊥ DG ⇒ SC ⊥ ( BDG ) ⇒ SC ⊥ HG (2)
BD ⊥ SH 

Vì I là trung đi)m c(a SH nên : HG = d ( H ;( SCD ) ) = 2d ( I ; ( SCD) ) = 2b

⇒ GM 2 =

a2
1
1
1
− 4b 2 và
=
+
⇒h=
2

2
4
HG
HM
SH 2

ab
a2
− 4b 2
4

⇒

V=

2a 3b
3 a 2 − 16b 2

Giáo viên: Lê Bá Tr n Phương
Ngu2n:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng đài tư v n: 1900 58(58(12

Hocmai.vn

Trang | 10