Bài 03 hướng dẫn giải bài tập tự luyện phương trình đường thẳng

Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

BÀI GI NG 03.
ðƯ NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN
CÁC ðƯ NG ð C BI!T TRONG TAM GIÁC
(HƯ)NG D-N GI/I BÀI T2P T4 LUY8N)

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho ABC bi t A = (1; 2; 1); B = (2; 1; 3); C = ( 4; 7; 5).
a. L%p phương trình ñư+ng trung tuy n k- t. ñ/nh A.
b. L%p phương trình ñư+ng cao k- t. ñ/nh A.
c. L%p phương trình ñư+ng phân giác trong c2a góc B.
Gi i:
a. G5i E là trung ñi9m BC ⇒ E = (−1,3, 4) ⇒ AE = ( −2,1,5).
Phương trình trung tuy n AE ñư=c cho b>i:

x −1 y − 2 z + 1
qua A = (1, 2, −1)
.
⇔ ( AE ) :
=
=
( AE ) : 
−2
1
5
vtcp a1 = ( −2,1, 5)
b.
Phương trình c@nh BC ñư=c cho b>i:

 x = 2 − 3t
qua B = (2, −1, 3)

⇔ ( BC ) :  y = −1 + 4t (t ∈ R)
( BC ) : 
vtcp BC = (− − 6,8, 2) / /(−3, 4,1)
z = 3 + t

G5i H là hình chi u vuông góc H c2a A lên BC ⇒ H ∈ ( BC ) , khi ñó:

H = (2 − 3t , −1 + 4t , 3 + t ) & AH = (1 − 3t , −3 + 4t , 4 + t )
Vì AH ⊥ BC ⇔ AH .BC = 0 ⇔ −3.(1 − 3t ) + 4.( −3 + 4t ) + 1.(4 + t ) = 0 ⇔ t =

11
26

34 115 
 7
Khi ñó: AH =  − , − ,
 ch5n a2 = (−7, 34,115)
 26 26 26 
Khi ñó phương trình ñư+ng cao (AH) ñư=c cho b>i:
qua A = ( −1, 2, −1)
x −1 y − 2 z +1
.
( AH ) : 
⇔ ( AH ) :
=
=
34

115
−7
vtcp a2 = ( −7, 34,115)
c. Ta có th9 thKc hiLn theo hai cách sau:
Cách 1: G5i I là chân ñư+ng phân giác trong góc B lên c@nh AC, ta có:

xA − kxC
2

x = 1− k = − 3

y − kyC 11
1
IA
BA

=−
= − = k ⇒ I : y = A
=
2
1− k
3
BC
IC

z A − kzC

z = 1− k = 1


Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 1


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

 8 14

⇒ BI =  − , , −2  ch5n a = (4, −7, 3)
3
3


Phương trình ñư+ng phân giác (BI) ñư=c xác ñPnh b>i:
x − 2 y +1 z − 3
qua B = (2, −1,3)
⇔ ( BI ) :
=
=
( BI ) : 
−7
4
3
vtcp a = (4, −7,3)
Cách 2:

Phân tích: Trên BC lQy mRt ñi9m C1 thSa mãn:
• BA = BC1
 BC = k BC (1)
• C, C1 cùng phía vXi B ⇔  1
(2)
k > 0
Suy ra ABC1 cân t@i B, do ñó ñư+ng phân giác trong c2a góc B c2a
c2a AC1.
V%y ñư+ng phân giác trong c2a góc B chính là ñư+ng th]ng (BM).

ABC c[t AC1 t@i M là trung ñi9m

D0ng: ði9m C1 ∈ ( BC ) , có t5a ñR C1(2 3t,4t 1,3+t) ⇒ BC1 = (−3t , 4t , t ). Khi ñó:
(2) ⇔ t > 0.

t = −1 (1)
(1) ⇔ 26t 2 = 26 ⇔ 
t = 1
5 3
⇒ C1 = (−1,3, 4) ⇒ M = (0, , )
2 2
7 3

⇒ BM =  −2, , −  ch5n a = (4, −7,3) .
2 2

Phương trình ñư+ng phân giác (BM) ñư=c xác ñPnh b>i:

qua B = (2, −1,3)
x − 2 y +1 z − 3

⇔ ( BM ) :
=
=
( BM ) : 
−7
4
3
vtcp a = (4, −7, 3)
Bài 2: (HVKTQS – 97): Cho ABC, bi t A = (1, 2, 5) và phương trình hai trung tuy n là:
x − 3 y − 6 z −1
x−4 y−2 z−2
=
=
và
=
=
.
−2
2
1
1
−4
1
a. Vi t phương trình chính t[c các c@nh c2a tam giác.
b. Vi t phương trình chính t[c c2a ñư+ng phân giác trong c2a góc A.
Gi i:
a. Ki9m nghiLm r`ng A không thuRc hai trung tuy n trên, ta gia sb:
x − 3 y − 6 z −1
x−4 y−2 z−2
( BN ) :

=
=
và (CP) :
=
=
2
1
1
1
−2
−4
• Chuy9n phương trình (BN) và (CP) vd d@ng tham se, ta ñư=c:

 x = −2t + 3
x = u + 4


( BN ) :  y = 2t + 6 , t ∈ R và (CP) :  y = −4u + 2, u ∈ R .
z = t +1
z = u + 2


Khi ñó t5a ñR B = ( 2t + 3,2t + 6,t + 1);C = (u + 4, 4u + 2,u + 2) và tr5ng tâm G = ( BN ) ∩ (CP ) có t5a ñR
G = (3, 6, 1) suy ra: GA = (−2, −4, 4), GB = ( −2t , 2t , t ); GC = (u + 1, −4u − 4, u + 1) .
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 2

Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

• Xét

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

ABC ta có:

GA + GB + GC = 0 ⇔ ( −2 − 2t + u + 1, −4 + 2t − 4u − 4, 4 + t + u + 1) = 0
t = −2
 B = (7, 2, −1)
⇔
⇒
u = −3 C = (1,14, −1)
V%y phương trình chính t[c các c@nh c2a

ABC ñư=c xác ñPnh như sau:

x −1 y − 2 z − 5
qua A = (1, 2, 5)
⇔ ( AB ) :
=
=
( AB) : 
1
0
−1
vtcp AB = (6, 0, −6) / /(1, 0, −1)
Tương tK:

x −1 y − 2 z − 5
x − 7 y − 2 z +1
( AC ) :
=
=
& ( BC )
=
=
−1
−1
0
2
2
0
b. Vi t phương trình chính t[c c2a ñư+ng phân giác trong c2a góc A.
G5i I là chân ñư+ng phân giác trong góc A lên c@nh BC, ta có:

xB − kxC 35 + 10
=
x =
1
−
k
10 + 5


y − kyC 10 + 14 10
10
IB
AB


=−
=−
= k ⇒ I : y = B
=
5
1− k
AC
IC
10 + 5


z B − kzC
= −1
z =
1− k

 30

12 10
⇒ AI = 
,
, −6  ch5n a = 5, −2 2, 2 − 5
 10 + 5 10 + 5

Phương trình ñư+ng phân giác (AI) ñư=c xác ñPnh b>i:

(

)

qua A = (1, 2,5)
x −1 y − 2
z −5
( AI ) : 
⇔ ( AI ) :
=
=
5 −2 2
2− 5
vtcp AI = 5, −2 2, 2 − 5
Bài 3: (ðHMðC – 2000): Cho ABC, bi t C = (3, 2, 3) và phương trình ñư+ng cao AH, ñư+ng phân giác
trong BM c2a góc B có phương trình:
x − 2 y −3 z −3
x −1 y − 4 z − 3
( AH ) :
=
=
; ( BM ) :
=
=
.
1
1
−2
1
−2
1
Tính ñR dài các c@nh c2a tam giác ABC.

(

)

Gi i:
• Chuy9n phương trình (AH), (BM) vd d@ng tham se, ta ñư=c:

x = 2 + t
x = 1+ u


( AH ) :  y = 3 + t t ∈ R và ( BM ) :  y = 4 − 2u u ∈ R
 z = 3 − 2t
z = 3 + u


Khi ñó t5a ñR A = (2 + t, 3 + t, 3 – 2 t) & B = (1 + u, 4 – 2u, 3 + u).
• Xác ñPnh t@o ñR ñ/nh B
Ta có: CB = (−2 + u , 2 − 2u , u )

BC ⊥ AH ⇔ CB. AH = 0 ⇔ 1.(−2 + u ) + 1.(2 − 2u ) − 2.u = 0 ⇔ u = 0
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 3


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

Ta ñư=c B = (1, 4, 3)
• Xác ñPnh t5a ñR ñ/nh A
Ta có: BA = (1 + t , −1 + t , −2t ), BM = (1, −2,1), BC = (2, −2, 0)
Vì BM là ñư+ng phân giác trong c2a góc B, do ñó:

(

)

(

)

cos BA, BM = cos BM , BC ⇔

⇔

1.91 + t ) − 2.(−1 + t ) + 1.(−2t )
(1 + t ) + (−1 + t ) + ( −2t )
2

2

2

BA.BM
BA . BM

=

=

BM , BC
BM . BC

t = 0
1.2 − 2.(−2) + 1.0
⇔
4+4
t = −1

VXi t = 0 ⇒ A = (2, 3, 3) .
Nh%n xét r`ng A, B, C th]ng hàng ⇒ A = (2, 3, 3) bP lo@i (lo@i vì khi ñó A, B, C th]ng hàng).
VXi t = 1 ⇒ A = (1, 2,5) nhân xét r`ng A, B, C không th]ng hàng ⇒ A = (1, 2,5) chQp nh%n ñư=c.
• Khi ñó ta có ñư=c: AB = 2 2, BC = 2 2, CA = 2 2 ( ABC ñdu)

Giáo viên: Tr+n Vi-t Kính
Ngu3n :
Hocmai.vn.

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 4