Bài 10 hướng dẫn giải bài tập tự luyện dung đồ thị bien luan so nghiem cua pt

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

BÀI GIẢNG 10.
DÙNG ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  f  x   x3  3x 2 - 1
b. Tìm m để phương trình 2x3  6x 2  m  1 có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải:
a. Tập xác định R.
y’  3x 2  6x, y’  0  x  0, x  2

 x  2
y’  3  x  2  x  0  
x  0

y’  3 x  2 x < 0    x  0
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (; 2) và (0; ) ; nghịch biến trên (2;0)
Hàm số có điểm cực đại tại điểm (-2;3) và cực tiểu tại (0;-1).
y” = 6x + 6, y” = 0  x = -1, y” đổi dấu qua x = -1, vậy y = f(x) có điểm uốn (-1, 1).
Học sinh tự vẽ bảng biến thiên.
Đồ thị

b. Phương trình 2x 3  6x 2  m  1  x 3  3x 2  1 
bài toán là: 1 

m 1
. Dựa vào đồ thị ta có điều kiện m để thỏa mãn

2

m 1
 3    m  7 .
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Vậy  m  7
Bài 2.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  3x 4  6 x 2  2
b. Tìm m để phương trình

3 4
x  3x 2  2m có đúng 2 nghiệm phân biệt.
2

Lời giải:
Tập xác định R
Ta có:
x  0

y '  12 x 3  12 x  0  
 x  1
1
1
y ''  36 x 2  12  0  x  
y
3
3

y” đổi dấu qua x  

1
1 1
1 1
; ).
nên hàm số có hai điểm uốn ( ; ), ( 
3 3
3 3
3

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (1;0) và (1; ) ; nghịch biến trên mỗi khoảng (; 1) và (0;1)
Hàm số có điểm cực đại tại điểm (0;2) và cực tiểu tại 2 điểm (1;1)

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Đồ thị:

b. Phương trình

3 4
x  3x 2  2m  x 4  6 x 2  2  4m  2 , do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi:
2

3

 4m  2  1  m  
4.
 4m  2  2  

m  0

3

m

Vậy
4

m  0

Bài 3. Cho họ đồ thị (Cm): y = x3 +mx2  4
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 3
b. Tìm m để phương trình x3  mx2 + a + 4 = 0 có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a thỏa mãn điều
kiện 4  a  0
Lời giải:
Tập xác định: D     ,  
Chiều biến thiên: y  f  x    x3  3x 2  4
Đạo hàm và cực trị:
Đạo hàm: f   x   3x 2  6 x  3x  x  2 

 x  0  y1  4
Cực trị: f   x   0  
 x  2  y2  0
Điểm uốn: f   x   6 x  6  0  x  1  Điểm uốn: U(1; 2)
Giới hạn ở  : lim f  x   lim   x3    ; lim f  x   lim   x3   
x 

x 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

x 

x 

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Bảng biến thiên:

x









0

1

2

0



0



0


0







-2
-4



Đồ thị
- Hàm số nghịch biến trên  ; 1  1;   , đồng biến trên  1;1 .
- Hàm số có CT (0;4), CĐ (2; 0) ; Điểm uốn U(1;-2)
 (C)  Oy: (0; 4)
 (C)  Ox: (2;0) và (-1;0)
b. Biến đổi phương trình về dạng: x3 +mx2  4 = a
Xét tương giao giữa đường thẳng y=a với đồ thị (Cm): y  f  x    x3  3mx 2  4
Nếu m=0 thì f  x    x 3  4 và f   x   3x 2  0  hàm số nghịch biến nên đường thẳng y=a cắt
đồ thị (C0) tại duy nhất 1 điểm.
Nếu m  0 thì f   x   3x 2  2mx  0  x  0; x 

 2m 4m3


2m
;
 4
 2 điểm cực trị (0;4) và 
 3 27

3

Với mọi 4  a  0 thì y=a cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt  m>0 và

4m3
 4  0  m  3.
27

Bài 4.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  x 4  2 x 2  2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

b. Tìm m sao cho đồ thị hàm số trên cắt đường thẳng y = 2m tại 3 điểm phân biệt.
Lời giải:
a. TXĐ: R

Ta có:

y '  4 x3  4 x  0  x  0; 1
y ''  12 x 2  4  0  x  
y” đổi dấu qua x  

1
13
y
9
3

1
1 13
1 13
; ).
nên hàm số có hai điểm uốn ( ; );(
3
3 9
3 9

(0;1) Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (1;0) và (1; ) ; nghịch biến trên mỗi khoảng (; 1) và
Hàm số có điểm cực đại tại điểm (0;2) và cực tiểu tại 2 điểm (1;1)
Đồ thị:

b. Dựa vào đồ thị hàm số ta đi đến kết luận:
Đồ thị hàm số trên cắt đường thẳng y = 2m tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi 2m = 2, tức là m = 1.
Vậy m = 1.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Bài 5. Cho hàm số y 

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

2x  3
C 
x 3

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

2x  3
 1  log 2 m
x 3

c. Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

2x  3
 2m  1  0
x3

Lời giải:
a. Các bạn tự khảo sát và vẽ hình.
b. Số nghiệm của phương trình f  x   g  m là số giao điểm của đường cong y  f  x  và đường thẳng

y  g  m song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa độ Oxy.
Vẽ đồ thị hàm số  C  : y 

2x  3
như sau:
x 3

- Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành Ox của  C  - kí hiệu là  Ct 
- Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu  Ct' 

  C    Ct'    Ct  (Các bạn tự vẽ hình)
Từ đó ta có kết luận:
m

1
phương trình vô nghiệm
2

1 
m   ; 2  phương trình có nghiệm duy nhất
2 
1 
m   ; 2    2;   phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
2 

c. Vẽ đồ thị hàm số  C ' : y 

2x  3
như sau:
x 3

- Giữ nguyên nhánh phải của  C  - kí hiệu là  C p 
- Lấy  C p'  đối xứng nhánh trái của  C  qua trục hoành Ox

  C    C p'    C p  (Các bạn tự vẽ hình)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Từ đó ta có kết luận:
m

1
phương trình vô nghiệm
2

1
3

  m  phương trình có nghiệm duy nhất
2
2
m

3
phương trình có 2 nghiệm phân biệt
2

Bài 6. Cho hàm số y   x3  3x  2 (C)
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:
a.  x  3 x  m  1  0
3

b. x 2  x  2 

m 1
2 x 1

Lời giải:
Bạn đọc tự vẽ đồ thị hàm số C  : y  x3  3x  2
a. Ta có:  x  3 x  m  1  0   x  3 x  2  3  m
3

3

Vẽ đồ thị hàm số y   x  3 x  2 như sau:
3

- Giữ nguyên phần đồ thị  C p  hàm số (C) bên phải trục Oy

- Lấy  C ' p  đối xứng phần đồ thị  C p  qua Oy

  C1    C ' p    C p  từ đó dựa vào đồ thị hàm số biện luận
b. x 2  x  2 

m 1
m 1
   x2  x  2 x  1  
với x  1
2 x 1
2

Vẽ đồ thị hàm số  C2  y    x2  x  2 x  1 như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị  C p  của  C  - ứng với x > -1
- Lấy  C p'  đối xứng với phần đồ thị của  C  - ứng với x < -1 qua trục hoành Ox

  C    C p'    C p  (Các bạn tự vẽ hình). Từ đó dẫn tới kết luận
Bài 7.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  4x 3  3x
b. Biện luận số nghiệm của phương trình theo m : 4 x  3 x  m
3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Lời giải:
a. Ta có: y’  12x 2  3 , vậy có bảng biến thiên sau:

x

-



y’

+

1
2

0

y

+

1
2

-

0

1

+

-1

Ta có: y’’  24x
Từ đó suy ra đồ thị cần vẽ: (Hình dung ra dạng đồ thị bậc 3 dựa vào bảng biến thiên)
b. Số nghiệm của phương trình 4 x  3 x  m chính là số giao điểm của hai đường
3

y = 4 x  3 x và y = m.
3

Từ đồ thị ở câu 1 suy ra đồ thị của y = 4 x  3 x :
3

(Đồ thị hàm này gồm 2 phần: phần 1 là phần đồ thì ở câu 1 ứng với x>0; phần 2 là phần đối xứng với phần
đồ thị ở câu 1 ứng với x<0, bao gồm cả điểm (0;0) )
Và y = m là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m, nên từ đồ
thị ta có kết luận:
- Nếu m > 0: Có 2 nghiệm
- Nếu m = 0: Có 3 nghiệm
- Nếu -1 < m < 0: Có 4 nghiệm
- Nếu m = -1: Có 2 nghiệm
- Nếu m < -1: Vô nghiệm
Bài 8. Cho hàm số y  x3  3x 2  2
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b. Biện luận số nghiệm của phương trình x 2  2 x  2 

m
theo tham số m.
x 1

Lời giải:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y  x3  3x 2  2.
 Tập xác định: Hàm số có tập xác định D  R.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

x  0
Sự biến thiên: y '  3 x 2  6 x. Ta có y '  0  
x  2
yCD  y  0  2; yCT  y  2  2.
 Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b. Biện luận số nghiệm của phương trình x 2  2 x  2 
Ta có x 2  2 x  2 

m
theo tham số m.
x 1

m
  x 2  2 x  2  x  1  m, x  1.
x 1

Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của y   x2  2x  2 x  1 , C '  và đường thẳng
y  m, x  1.
 f  x  khi x  1
 Vì y   x 2  2 x  2  x  1  
nên  C ' bao gồm:
 f  x  khi x  1
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x  1.

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x  1 qua Ox.
Đồ thị:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

 Dựa vào đồ thị ta có:
+ m  2 : Phương trình vô nghiệm;
+ m  2 : Phương trình có 2 nghiệm kép;
+ 2  m  0 : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+ m  0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Bài tập không có hƣớng dẫn giải:
Bài 1.
Cho hàm số y = x4 – mx2 + 4m – 12 (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4.
b. Dùng đồ thị (C) của hàm số biện luận theo a số nghiệm phương trình: x4 – 4x2 + 4 = a
Bài 2.
2
2
Cho hàm số y   x  1  x  1 có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.

b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình  x 2  1  2m  1  0 .
2

Bài 3.
Cho hàm số y  x3  kx 2  4 .
a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
b. Tìm các giá trị của k để phương trình x3  kx 2  4  0 có nghiệm duy nhất.
Bài 4.
Cho hàm số y 

x 1
.
x 1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x 1
x 1

 m.

Bài 5.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y =

1 3 5 2 7
x  x  x 1
3
3
3

2

1

b. Biện luận số nghiệm của phương trình:  x  1  x  1  a theo tham số a.
3


Giáo viên:Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn :

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 11 -