Bài 12 hướng dẫn giải bài tập tự luyện PP chieu bt hàm so va bien doi phu

Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Phương pháp chiều biến thiên hàm số và biến đổi phụ

PHƯƠNG PHÁP CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ VÀ BIẾN ĐỔI PHỤ
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI

Bài 1.
Cho x, y  0; x  y  1. Tìm GTNN của hàm số P 

1
1

3
x y
xy
3

Hướng dẫn giải:
Ta có:

1
1
1
1



3
x y

xy 1  3xy xy
1
1
1
t  xy  ]  P  f (t ) 

4
1  3t t
2
6t  6t  1
3 3
 f '(t )  2
0t 
2
t (3t  1)
6
P

3

 min P  min f (t )  f (

3 3
)  42 3
6

Bài 2.
Cho x,y,z > 0; xyz = 1. Tìm GTNN của: P 

1

1 1
3
  
xy yz zx x  y  z

Hướng dẫn giải:
Ta có:
1
1 1
3
x yz
3
3
P
  
P

 x y z
xy yz zx x  y  z
xyz
x yz
x yz

t  x  y  z  3 3 xyz  3.
3
3
P  t   f (t )  f '(t )  1  2  0 t  3
t
t
 min P  min f (t )  f (3)  4  t    x  y  z  1.

Bài 3.
Cho x, y, z 0;1; xy  yz  zx  1. Tìm GTNN của P 

x
y
z


2
2
1 x 1 y 1 z2

Lời giải:
Xét hàm số: f (t ) 

3 3
(t  t 3 ) trên [0;1]
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Phương pháp chiều biến thiên hàm số và biến đổi phụ

Ta có:

3 3 9 3 2
1

t 0t 
2
2
3
1
1
 max f (t )  max{ f (0); f ( ); f (1)}  f ( )  1
3
3
f '(t ) 

3 3
(t  t 3 )  1
2
1
3 3
t
3 3 2
 2

t 2

t
t 1
2

t 1
2


P

x
y
z
3 3 2
3 3
3 3



(x  y2  z2 ) 
( xy  yz  zx) 
2
2
2
1 x 1 y 1 z
2
2
2

 min P 

3 3
1
x yz

2
3

x 1 
y 1  z 1 
Bài 4. Cho x, y, z  0. Tìm GTNN của P  x     y     z   
 2 xz   2 xy 
 2 yz 
Lời giải:

x 1 
y 1  z 1 
P  x    y   z  
 2 xz   2 xy 
 2 yz 
x2 y 2 z 2 x2  y 2  z 2
   
2
2
2
xyz


x 2 y 2 z 2 xy  yz  zx
  
2
2
2
xyz

x2 1
y2 1
z2 1
(  )(  )(  )
2 x
2 y
2 z
t2 1
f (t )   , t 
2 t
(t  1)(t 2  t  1)
 f '(t ) 
 0  t 1
t2
Lập bảng biến thiên, dễ thấy:
3
9
 P  f ( x)  f ( y )  f ( z ) 
2
2
'  '  x  y  z  1.
min f (t )  f (1) 

Bài 5. Cho x, y, z 0;1 . Tìm GTLN của P 

x
y
z



 (1  x)(1  y)(1  z)
y  z 1 z  x 1 x  y 1

Hướng dẫn giải:
Xét hàm số của biến x:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Phương pháp chiều biến thiên hàm số và biến đổi phụ

x
y
z


 (1  x)(1  y )(1  z )
y  z 1 z  x 1 x  y 1
1
y
z
f '( x) 


 (1  y )(1  z )

2
y  z  1 ( z  x  1) ( x  y  1) 2
2y
2z
f ''( x) 

0
2
( z  x  1) ( x  y  1) 2
f ( x) 

f’(x) đồng biến trên [0;1]
TH1: f '( x)  0 x 0;1  f ( x)  f (1)  1
y
z
y2 z2  y  z 1

 (1  y )(1  z ) 
 1 ( do y, z  1)
TH2: f '( x)  0 x   0;1  f ( x)  f (0) 
1 z 1 y
yz  y  z  1

TH3: f’(x) đổi dấu trên [0;1], do f’(x) đồng biến trên [0;1] nên f’(x) đổi dấu từ âm sang dương qua 1 điểm
thuộc [0;1], do đó: f ( x)  f (0)  f (1)  1 .
Vậy GTLN của P bằng 1 khi 1 trong 3 số bằng 1.
Giáo viên : Phan Huy Khải
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 3 -