Bài 12 hướng dẫn giải bài tập tự luyện tiep tuyen hàm so phần 1

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Cho hàm số y  (m2  5m) x3  6mx 2  6 x  6 . Gọi (Cm ) là đồ thị của nó.
Tìm tất cả các điểm cố định trong mặt phẳng tọa độ mà (Cm ) luôn đi qua với mọi giá trị m. Tiếp tuyến của
(Cm ) tại mỗi điểm đó có cố định hay không khi m thay đổi, tại sao?
Lời giải:
y  (m2  5m) x3  6mx 2  6 x  6  x3m2  (5 x3  6 x 2 )m  y  6 x  6  0

Các điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m sẽ có tọa độ thỏa mãn phương trình trên có nghiệm với mọi m,
tức là các hệ số của m bằng 0.
Giải ra ta có nghiệm duy nhất x  0; y  6 nên m , đồ thị luôn đi qua điểm cố định A(0; -6).
Vì y(0)  6 m nên tiếp tuyến của (Cm ) tại điểm cố định A (0; - 6) cố định khi m thay đổi.
Bài 2. Cho đồ thị Cm  : y  x3  mx2  m 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của Cm  tại các điểm cố định
mà Cm  đi qua.
Lời giải:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định mà Cm  đi qua
 y0  x03  mx0 2  m  1, m
 m( x0 2  1)  x03  y0  1  0, m
 x0 2  1  0
 x0  1  x0  1
 3


 x0  y0  1  0  y0  0  y0  2

Do đó có 2 điểm cố định mà Cm  đi qua là M1 1;0 và M 2  1; 2
Ta có: y  3x 2  2mx
- Phuơng trình tiếp tuyến tại M1 là: y  y(1)( x 1)  (2m  3) x   2m  3
- Phuơng trình tiếp tuyến tại M2 là: y  y(1)( x  1)  2  (2m  3) x   2m 1
Bài 3. Tìm điểm M  C  : y  2x3  3x2 12x 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M đi qua gốc tọa độ.
Lời giải:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cần tìm  y0  2 x03  3 x0 2  12 x0  1 (1)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

PTTT của (C) tại M là:

(d ) : y  y( x0 )( x  x0 )  y0   6 x02  6 x0 12  x  y0   6 x0 2  6 x0 12  x0
Vì (d) đi qua gốc tọa độ nên y0   6 x0 2  6 x0  12  x0

(2)

Từ (1) và (2)  2 x03  3x02  12 x0  1   6 x02  6 x0  12  x0
 4 x03  3 x0 2  1  0
 ( x0  1)(4 x0 2  x0  1)  0
 x0  1  y0  12

Vậy M (1;1;2)
Bài 4. Cho hàm số y  4x3 – 6x 2  1 (1)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
Lời giải:
Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – 9.
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
4x3 – 6x2 + 1 = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9.
 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1)  2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1).
 x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x  x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0.
 x = –1 hay x =

5
 5  15
; y’(1) = 24; y '    .
4
4 4

Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y =
Bài 5. Cho hàm số y 

15
21
x .
4
4

x2
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến đi qua điểm
x2

A  6;5.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng đi qua A  6;5 là  d  : y  k  x  6  5 .
(d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

4
x2

x2


 x  6  5 
k
x

6

5




2 


x2
x2

  x  2



4
4
k  
k  
2
2


 x  2
 x  2

4  x  6   5  x  2 2   x  2  x  2 
4 x 2  24 x  0
 x  0; k  1






4
4
k


 x  6; k   1
k


2
2



4
 x  2
 x  2


x 7
Suy ra có 2 tiếp tuyến là :  d1  : y   x  1;  d 2  : y   
4 2

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A  0; 1 đến đồ thị hàm số y  2 x3  3x 2  1
Lời giải:
Gọi (d) là tiếp tuyến đi qua A  0; 1 đến đồ thị hàm số y  2 x3  3x 2  1 và x0 là hoành độ tiếp điểm

 (d ) : y  y( x0 )( x  x0 )  y ( x0 )

  6 x0 2  6 x0  x   6 x0 2  6 x0  x0  2 x03  3x02  1
  6 x0 2  6 x0  x  4 x03  3x02  1

Do A  (d ) nên: 1  4 x03  3 x02  1

 x0  0
 4 x  3x  0  
 x0   3

4
3
0

2
0

9
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: y  1 và y   x-1
8

Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A  1;2  đến y  x3  3x 2  2
Lời giải:
Gọi (d) là tiếp tuyến đi qua A  1;2  đến y  x3  3x 2  2 và x0 là hoành độ tiếp điểm
 (d ) : y  y( x0 )( x  x0 )  y ( x0 )

  3x0 2  6 x0  x   3 x0 2  6 x0  x0  x03  3 x02  2
  3x0 2  6 x0  x  2 x03  3 x02  2

Do A  (d ) nên: 2    3x02  6 x0   2 x03  3x02  2  2 x03  6 x0  2

 2 x03  6 x0  0
 x0  0

 2 x0  x02  3  0   x0   3

 x0  3
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Vậy có 3 tiếp tuyến cần tìm là: y  2; y  (9  6 3) x  6 3  11; y  (18  12 3) x  6 3  11 .
Bài 8. Cho hàm số y 

x 1
(C)
2x 1

Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.
Lời giải:

3
 1

Tập xác định: D  R \    . Ta có: y ' 
 0, x  D
2
 2
 2 x  1
1
1
 1 1
Hàm số có: TCĐ: x   ; TCN: y    I   ;  
2
2
 2 2

Vì đường thẳng x  

1
 1 1
không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua I   ;   có
2
 2 2

1 1

hệ số góc k có dạng: y  k  x    tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
2 2


 x  1
1 1


 2x 1  k  x  2   2



có nghiệm
 3

k
  2 x  12
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

x 1
3 
1 1
3
3
: Vô nghiệm

x  

2 
2 x  1  2 x  1 
2 2
2 x  1 2  2 x  1
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C)
x 1
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua giao
2x 1
điểm của đường tiệm cận đứng và trục Ox.

Bài 9. Cho hàm số : y 

Lời giải:
 1 
Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là A   , 0 
 2 
1

Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng y  k  x  
2


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

 x  1
1

 2x 1  k  x  2 




() tiếp xúc với (C)  
có nghiệm
/

x

1



k
 2 x  1 
 x  1
1

 2x 1  k  x  2 




 3 2  k
  2 x  1

(1)
(2)

Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là

1


3 x  
x 1
2
 
2
2x 1
 2 x  1
1
1
3
 ( x  1)(2 x  1)  3( x  ) và x    x  1 
2
2
2
x

5
1
. Do đó k  
2
12

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  

1
1
x 
12 
2

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 5 -