Bài 14 hướng dẫn giải bài tập tự luyện tiep tuyen hàm so phần 3

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 3)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Cho họ đường cong bậc ba có phương trình là y   x 3  3x 2  3 . Xác định p để trên (C) có 2 tiếp
tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.
Lời giải:
Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của :
y' = p  3x2 – 6x + p = 0

(3)

' = 9 – 3p > 0  p < 3

Ta có

Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p.
Gọi x3, x4 là nghiệm của (3).
Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm.
x3  x4 b

1
2
2a

Ta có :

y3  y4 ( x33  x43 )  3( x32  x42 )  6

 1
2
2

Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M3M4.
Bài 2. Cho họ đường cong bậc ba (Cm) có phương trình là y   x 3  mx 2  m .
Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau.
Lời giải:
Ta có: y '  – 3x 2  2mx
(Cm) qua (x, y), m
2

x 1  0
 y  x  m  x – 1 , m  

3
y  x  0

3

2

x  1
 x  1
hay 

 y  1
y 1

Vậy (Cm) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1).
Vì y '  – 3x 2  2mx nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần lượt là :

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

a1  y' 1  – 3  2m và a 2  y'  –1  – 3 – 2m .
2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau  a1.a 2  – 1  9 – 4m 2  – 1  m 

 10
.
2

Bài 3. Cho hàm số y  x 3  mx 2  1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt
A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là:

x3  mx2  1  – x  1  x  x2  mx  1  0

(*)

Đặt g(x) = x2 + mx + 1 . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt  g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
2

m  2
g  m  4  0


.
m


2
g
0

1

0






Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0

 S  xB  xC  m
.


 P  xB xC  1

Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: f   xC  f   xB   1

 xB xC 3xB  2m3xC  2m  1  xB xC 9 xB xC  6m  xB  xC   4m2   1
 1 9  6m  m   4m2   1  2m2  10  m   5

(nhận so với điều kiện)

Bài 4. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm). Tìm m để (Cm) cắt đường y = 1 tại ba điểm
phân biệt C(0; 1), D, E sao cho tiếp tuyến tại D, E vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là:

x  0
x 3  3x 2  mx  1  1  x  x 2  3x  m   0   2
 x  3x  m  0 (2)
(Cm) đường thẳng y = 1 tại C(0;1), D, E phân biệt:
 Phương trình (2) có 2 nghiệm xD, xE  0.
m  0
   9  4m  0


 2
9 (*)
0  3  0  m  0
m  4

Khi đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:

k D  y’  x D   3xD2  6xD  m  (3xD  2m);
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

kE  y’ xE   3xE2  6xE  m  (3xE  2m).
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
k D k E  –1   3x D  2m  3x E  2m   1  9x D x E  6m  x D  x E   4m 2  –1
 9m  6m  –3  4m 2  –1


9  65
m 
8
4m 2 – 9m  1  0  

9  65
m 
8


(vì x D  x E  – 3; x D x E  m theo định lý Vi-ét).


9  65
m 
8
So sánh với (*) ta có: 

9  65
m 
8


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -